Artículo sobre la existencia de un conjunto no medible Lebesgue.

1. Universidad Nacional de la Patagonia - Facultad de Ingenier´
ıa 1
Existencia de un conjunto no medible
Ms. Ana Mar´ Teresa Lucca
ıa
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Nos ocuparemos aqu´ de probar la existencia de un conjunto no medible.
ı
Si x e y son n´meros reales en [0, 1), definimos la suma m´dulo 1 de
u o
x e y como x + y si x + y < 1, y como x + y − 1 si x + y ≥ 1. Denotaremos
a la suma m´dulo 1 entre x e y como x ⊕ y. Entonces ⊕ es una operaci´n
o o
asociativa y conmutativa que a cada par de n´meros de [0, 1) le asocia un
u
n´mero en [0, 1). Si asignamos a cada x ∈ [0, 1) el ´ngulo 2πx, entonces la
u a
adici´n m´dulo 1 corresponde precisamente a la adici´n de ´ngulos. Si E
o o o a
es un subconjunto de [0, 1), definimos la traslaci´n m´dulo 1 de E como el
o o
conjunto
E ⊕ y = {z : z = x ⊕ y para alg´n x ∈ E}.
u
Si consideramos la adici´n m´dulo 1 como adici´n de ´ngulos, la traslaci´n
o o o a o
m´dulo 1 por y corresponde a la rotaci´n por un ´ngulo de 2πy. El siguiente
o o a
lema establece que la medida Lebesgue es invariante por traslaci´n m´dulo
o o
1.
Lema 1 Sea E ⊂ [0, 1) un conjunto medible. Entonces para cada y ∈ [0, 1)
el conjunto E ⊕ y es medible, y m(E ⊕ y) = m(E).
Dem: Descompongamos a E como E = E1 ∪ E2 , donde
E1 = {x ∈ E : x + y < 1}; E2 = {x ∈ E : x + y ≥ 1}.
Si x + y < 1, entonces 0 ≤ x < 1 − y. Entonces E1 = E ∩ [0, 1 − y)
por lo que E1 es medible. An´logamente puede concluirse que E2
a
es medible.
Como E = E1 ∪E2 (uni´n disjunta), m(E) = m(E1 )+m(E2 )
o
por la σ-aditividad.

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ıa
Por otro lado, E1 ⊕ y = E1 + y, pues los elementos de E1
est´n en el intervalo [0, 1 − y); y E2 ⊕ y = E2 + y − 1, pues los
a
elementos de E2 est´n en el intervalo [1 − y, 1). As´
a ı,
m(E1 ⊕ y) = m(E1 + y) = m(E1 )
m(E2 ⊕ y) = m(E2 + y − 1) = m(E2 )
Adem´s, E ⊕ y = (E1 ⊕ y) ∪ (E2 ⊕ y), de modo que E ⊕ y es
a
medible. Nos preguntamos si esta uni´n es disjunta.
o
Sea x ∈ (E1 ⊕ y) ∩ (E2 ⊕ y), entonces x ∈ E1 + y, y x ∈
E2 + y − 1. As´ existen x1 ∈ E1 y x2 ∈ E2 tales que x =
ı,
x1 + y = x2 + y − 1; esto es, x1 = x2 − 1. Ahora, x2 ∈ E2
entonces x1 = x2 − 1 < 0, lo que contradice el hecho de que
x1 ∈ E1 . Por lo tanto, (E1 ⊕ y) ∩ (E2 ⊕ y) = ∅.
De ah´ ı,
m(E ⊕ y) = m(E1 ⊕ y) + m(E2 ⊕ y)
= m(E1 ) + m(E2 )
= m(E) ♦
Estamos ahora en condiciones de definir un conjunto no medible.
Si x − y es un n´mero racional diremos que x e y son equivalentes, y
u
escribiremos x ∼ y. Es f´cil ver que ´sta es una relaci´n de equivalencia
a e o
y, por tanto, particiona al intervalo [0, 1) en clases de equivalencia; esto es,
en clases tales que dos elementos de la misma clase difieren en un racional
mientras que dos elementos de clases distintas difieren en un irracional.
Por el Axioma de elecci´n existe un conjunto P que contiene exactamente
o
un elemento de cada clase de equivalencia.
Sea ri ∞ una enumeraci´n de los n´meros racionales en [0, 1), con
i=0 o u
r0 = 0. [N´tese que esto es posible puesto que [0, 1) ∩ Q es un conjunto
o
numerable]. Definimos
Pi = P ⊕ ri .
As´ P0 = P .
ı,
∞
Veamos que [0, 1) = Pi (disjunta).
i=0
∞
1. i=0 Pi ⊂ [0, 1), por definici´n.
o
2. Sea x ∈ [0, 1). Entonces x est´ en alguna clase de equivalencia; esto
a
es, es equivalente a alg´n elemento de P . Por tanto, x difiere de un
u
elemento de P en un racional, digamos en ri . Entonces x ∈ Pi , y
as´ x ∈ ∞ Pi . Hemos probado de esta forma que [0, 1) ⊂ ∞ Pi .
ı i=0 i=0

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3. Sea x ∈ Pi ∩ Pj . Entonces existen pi , pj ∈ P tales que
x = pi + ri = pj + rj 1 , con ri , rj ∈ Q.
De aqu´ pi ∼ pj . Como P contiene un elemento de cada clase de
ı,
equivalencia debe ser i = j. As´ i = j implica Pi ∩ Pj = ∅.
ı,
Luego, como cada Pi es la traslaci´n m´dulo 1 de P , cada Pi ser´ medible
o o a
si P lo es. Supongamos que P es medible. Entonces
m([0, 1)) = m ( ∞ Pi )
i=0
∞
= i=0 m(Pi ) (por σ-aditividad)
∞
= i=0 m(P ⊕ ri )
∞
= i=0 m(P )
Luego, el miembro derecho ser´ cero o infinito seg´n sea m(P ) igual a cero o
a u
positivo. Pero esto es imposible, pues m([0, 1)) = l([0, 1)) = 1. Por lo tanto,
P no es medible.
Mientras que esta prueba de la existencia de un conjunto no medible
P es una demostraci´n por el absurdo, es importante notar que (salvo la
o
ultima sentencia) hemos hecho uso de la traslaci´n invariante y la aditividad
´ o
numerable y no de otras propiedades de la medida de Lebesgue. De ah´ ı,
hemos probado el siguiente teorema:
Teorema 1 Si m es una medida invariante por traslaci´n, aditiva nume-
o
rable, y definida en una σ-´lgebra conteniendo al conjunto P , entonces
a
m([0, 1)) es cero ´ infinito.
o
La no medibilidad de P respecto de cualquier medida m aditiva nu-
merable invariante por traslaci´n para la cual m([0, 1)) = 1 se sigue por
o
contraposici´n.
o
Bibliograf´
ıa:
Royden, H. L. (1968) Real Analysis. Second Edition, The Macmillan
Company, New York.
1
ri = ri o bien ri = ri − 1; an´logamente para rj
a