Artículo sobre conjuntos finitos, numerables y no numerables.

1. Universidad Nacional de la Patagonia - Facultad de Ingenier´
ıa 1
Conjuntos finitos, numerables y no
numerables
Ms. Ana Mar´ Teresa Lucca
ıa
Conjuntos finitos, numerables y no numerables by Ana Mar´ Teresa Lucca is licensed
ıa
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Se debe a Cantor el descubrimiento fundamental de diversos tipos de
infinito as´ como el an´lisis de los mismos. Para nuestros prop´sitos nos
ı a o
conformaremos apenas con distinguir, en raz´n del n´mero de elementos,
o u
tres tipos de conjuntos: los finitos, los numerables y los no numerables.
0.1 Conjuntos Finitos e Infinitos
Definici´n: Sea In = {p ∈ N : 1 ≤ p ≤ n}. Un conjunto X se dice finito
o
cuando es vac´ o cuando existe para alg´n n ∈ N una biyecci´n ϕ : In → X.
ıo u o
En el primer caso se dice que X tiene cero elementos, y en el segundo que
n ∈ N es el n´mero de elementos de X.
u
Observaciones:
1. Cada conjunto In es finito y posee n elementos.
2. Si f : X → Y es una biyecci´n, uno de los conjuntos es finito si y s´lo
o o
si el otro lo es.
Intuitivamente, una biyecci´n ϕ : In → X es un conteo de los elementos
o
de X, pues haciendo:
ϕ(1) = x1 , ϕ(2) = x2 , . . . , ϕ(n) = xn ,
tenemos
X = {x1 , x2 , . . . , xn },

2. 2 Ms. Ana Mar´ Teresa Lucca
ıa
que es la representaci´n ordinaria de un conjunto finito.
o
Definici´n: Un conjunto X se dice infinito cuando no es finito. M´s
o a
expl´
ıcitamente, X es infinito cuando no es vac´ y, adem´s, sea cual fuere
ıo a
n ∈ N no existe una biyecci´n ϕ : In → X.
o
Ejemplo 1 El conjunto N de los n´meros naturales es infinito, pues dada
u
cualquier funci´n ϕ : In → N, sea p = ϕ(1) + . . . + ϕ(n). Entonces p > ϕ(x),
o
para todo x ∈ In , de modo que p ∈ ϕ(In ). Luego, ninguna funci´n ϕ : In →
/ o
N es sobre. ♦
Definici´n: Un conjunto X ⊂ N se dice acotado cuando existe p ∈ N
o
tal que p ≥ n, para todo n ∈ X.
Proposici´n 1 Sea X ⊂ N no vac´ Las siguientes condiciones son equiv-
o ıo.
alentes:
a) X es finito;
b) X es acotado;
c) X posee ultimo elemento.
´
Dem:
a) → b)
Sea X = {x1 , x2 , . . . , xn } (finito). Tomemos
p = x1 + x2 + . . . + xn .
As´ p > x, ∀ x ∈ X, por lo que X est´ acotado.
ı, a
b) → c)
Sea X ⊂ N acotado. Sea A = {p ∈ N : p ≥ n, ∀ n ∈ X}.
Como X es acotado, A = ∅, y adem´s A ⊂ N. Entonces, por el
a
Principio de Buena Ordenaci´n, A posee primer elemento. Sea
o
p0 ∈ A dicho elemento. Afirmamos que p0 ∈ X.
Supongamos que p0 ∈ X. Entonces p0 > n, ∀ n ∈ X. Como
/
X = ∅, p0 > 1 lo que implica que p0 = p1 + 1, para alg´n p1 ∈ N.
u
Si existiera n ∈ X tal que p1 < n, entonces p1 + 1 < n + 1 y as´
ı
p0 = p1 + 1 ≤ n, lo cual es absurdo. Por tanto, p1 ≥ n, ∀ n ∈ X,
es decir, p1 ∈ A, lo cual tambi´n es absurdo, pues resultar´
e ıa
p1 > p0 y p0 es el primer elemento de A. Luego p0 ∈ X.
Como p0 ∈ X y verifica p0 ≥ n, ∀ n ∈ X (pues p0 ∈ A),
entonces p0 es el ultimo elemento de X.
´

3. Universidad Nacional de la Patagonia - Facultad de Ingenier´
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c) → a)
Sea p ∈ X el ultimo elemento de X. Entonces X ⊂ Ip , por lo
´
que X es finito (por serlo Ip ).♦
Definici´n: Un conjunto X ⊂ N se dice no acotado cuando no est´
o a
acotado. Esto significa que dado cualquier p ∈ N, existe alg´n n ∈ X tal que
u
n > p.
0.2 Conjuntos Numerables
Definici´n 1: Un conjunto X se dice numerable cuando es finito o cuando
o
existe una biyecci´n f : N → X. En este ultimo caso se dice que X es
o ´
infinito numerable y, haciendo
x1 = f (1), x2 = f (2), . . . , xn = f (n), . . . ,
se tiene
X = {x1 , x2 , . . . , xn , . . .}.
Cada biyecci´n f : N → X es una enumeraci´n (de los elementos) de X.
o o
Definici´n 2: Un conjunto X se dice numerable si es el rango de una
o
sucesi´n.
o
Las definiciones 1 y 2 son equivalentes pues:
i. Def. 1 → Def. 2
Si el conjunto X es finito, existe una funci´n ϕ : In → X
o
biyectiva. Definamos la siguiente sucesi´n:
o
ϕ(m) si m ≤ n
ym =
ϕ(1) en otro caso.
As´ resulta ser X el rango de la sucesi´n yn .
ı o
Si el conjunto X es infinito, existe una funci´n ϕ : N → X
o
biyectiva. Entonces X es el rango de una sucesi´n.
o
ii. Def. 2 → Def. 1
Si X es el rango de una sucesi´n, digamos X = {xn }n∈N ,
o
puede ser finito o infinito.
Si X es finito nada hay que demostrar.
Si X es infinito, veamos que puede ser puesto en correspon-
dencia uno a uno con los naturales.

4. 4 Ms. Ana Mar´ Teresa Lucca
ıa
Intuitivamente los xn podr´ repetirse en la sucesi´n, por
ıan o
lo tanto, si quiero establecer una biyecci´n de N sobre X,
o
deber´ eliminar las repeticiones. Por ejemplo, imaginemos
e
a X como el conjunto de los naturales pares. Este es in-
finito numerable, pues es el rango de la sucesi´n de t´rmino
o e
general xn = 2n. Esta sucesi´n es una biyecci´n, pero X
o o
es tambi´n el rango de la sucesi´n 2, 4, 2, 6, 4, 8, 6, 10, 8, . . .
e o
que no establece una biyecci´n con los naturales. Definamos
o
entonces una nueva sucesi´n de la siguiente forma:
o
y1 = xϕ(1) , ϕ(1) = 1
y2 = xϕ(2) , ϕ(2) = m´ın{n : xn = x1 }
y3 = xϕ(3) , ϕ(3) = m´ın{n : xn = x1 , xϕ(2) }
.
. .
.
. .
yj+1 = xϕ(j+1) , ϕ(j + 1) =
= m´ın{n : xn = x1 , xϕ(2) , . . . , xϕ(j) }
Debemos probar ahora que esta sucesi´n establece una biyecci´n
o o
entre N y X.
• es uno a uno, pues sean n, m ∈ N tales que n = m. A
ellos les corresponder´ (por construcci´n) yn = xϕ(n) y
a o
ym = xϕ(m) . Pero como n = m, xϕ(n) = xϕ(m) , con lo
cual yn = ym .
• es sobre, pues sea x ∈ X. Entonces x es de la forma
xn para alg´n n (por ser X el rango de la sucesi´n
u o
xn ). Consideremos entonces m = m´ ın{n : xn = x}.
Entonces x = xϕ(m) = ym = y(m).
Luego existe una biyecci´n y : N → X.
o
As´ queda demostrada la equivalencia.
ı
Ejemplo 1 La biyecci´n f : N → P, f (n) = 2n, muestra que el conjunto P
o
de los n´meros pares es infinito numerable. An´logamente, g(n) = 2n − 1
u a
define una biyecci´n de N sobre el conjunto de los n´meros impares el cual
o u
es, por tanto, infinito numerable. Tambi´n el conjunto Z de los n´meros
e u
enteros es numerable. Basta notar que h : Z → N definida por h(n) = 2n
cuando n es positivo y h(n) = −2n+1 cuando n es negativo es una biyecci´n.
o
Luego, h−1 : N → Z es una enumeraci´n de Z.♦
o
Proposici´n 1 Todo subconjunto de un conjunto numerable es numerable.
o
Dem: Sea E un conjunto numerable. Entonces es el rango de
una sucesi´n; esto es E = {xn }. Sea A ⊂ E.
o

5. Universidad Nacional de la Patagonia - Facultad de Ingenier´
ıa 5
Si A es vac´ por definici´n resulta ser numerable.
ıo, o
Si A es no vac´ elijamos x0 ∈ A (existe por el Axioma de
ıo,
Elecci´n). Definamos entonces la sucesi´n yn haciendo:
o o
xn para xn ∈ A
yn =
x0 para xn ∈ A
/
Entonces A es el rango de la sucesi´n yn y as´ resulta numerable.♦
o ı
Proposici´n 2 Sea A un conjunto numerable. Entonces el conjunto de to-
o
das las n-uplas de elementos de A es tambi´n numerable.
e
Dem: Puesto que A es numerable, puede ser puesto en cor-
respondencia uno a uno con un subconjunto del conjunto N
de los n´meros naturales. As´ es suficiente probar que el con-
u ı
junto S de todas las n-uplas de n´meros naturales es numerable.
u
Sea 2, 3, 5, 7, 11, . . . , pk , . . . la sucesi´n de n´meros primos. En-
o u
tonces cada n ∈ N tiene una unica factorizaci´n de la forma
´ o
n = 2x1 3x2 . . . pxk ,
k
donde xi ∈ N0 = N ∪ {0}, y xk > 0. Sea f la funci´n en No
que asigna a cada n´mero natural n la k-upla x1 , . . . , xk de
u
elementos de N0 . Esta funci´n es una correspondencia uno a
o
uno, de lo que resulta que el conjunto de todas las n-uplas de
elementos de N0 es numerable. Como S es un subconjunto del
conjunto de todas las n-uplas de elementos de N0 , resulta que S
es numerable (por Proposici´n 0.2.1).♦
o
Proposici´n 3 El conjunto Q de los n´meros racionales es numerable.
o u
La demostraci´n de esta proposici´n se deja como ejercicio.
o o
Proposici´n 4 La uni´n de una colecci´n numerable de conjuntos numer-
o o o
ables es tambi´n numerable.
e
Dem: Sea C una colecci´n numerable de conjuntos numerables.
o
Si todos los conjuntos en C son vac´ la uni´n es vac´ y as´
ıos, o ıa ı
numerable. Podemos entonces asumir que C contiene conjuntos
no vac´ y, puesto que los conjuntos vac´ no contribuyen en
ıos ıos
nada a la uni´n de C, podemos considerar que todos los conjuntos
o
C son no vac´ As´ C (por ser numerable) es el rango de una
ıos. ı
∞
sucesi´n An n=1 , y cada An (por ser numerable) es el rango
o

6. 6 Ms. Ana Mar´ Teresa Lucca
ıa
de una sucesi´n xnm ∞ . Consideremos la aplicaci´n n, m →
o m=1 o
xnm del conjunto de los pares ordenados de n´meros naturales
u
sobre la uni´n de C. Es f´cil ver que es una correspondencia uno a
o a
uno y, puesto que el conjunto de los pares ordenados de n´meros
u
naturales es numerable (por la Proposici´n 0.2.2), resulta que la
o
uni´n de la colecci´n C es tambi´n numerable.♦
o o e
Bibliograf´
ıa:
• Royden, H. L. (1968) Real Analysis. Second Edition, The Macmillan
Company, New York.
• Lima, E. L. (1976) Curso de an´lise. Vol 1, Projeto Euclides, IMPA,
a
Rio de Janeiro.