Este documento presenta 25 ejercicios sobre la resolución de sistemas de ecuaciones mediante el método de la matriz inversa. Los ejercicios involucran la expresión de sistemas en forma matricial, el cálculo de la matriz inversa, y la solución de los sistemas utilizando la matriz inversa. Adicionalmente, algunos ejercicios tratan sobre la compatibilidad de sistemas y su resolución mediante la regla de Cramer.

1. 1
Resolución de sistemas por el
Método de Matriz Inversa
Ejercicio nº 1.-
Expresa y resuelve el siguiente sistema en forma matricial:
Ejercicio nº 2.-
Expresa en forma matricial y resuelve utilizando la matriz inversa:
Ejercicio nº 3.-
Expresa el siguiente sistema en forma matricial y resuélvelo utilizando la matriz inversa:
Ejercicio nº 4.-
Expresa y resuelve en forma matricial el siguiente sistema de ecuaciones:
Ejercicio nº 5.-
Expresa en forma matricial y resuelve, utilizando la matriz inversa:









32
1
624
zyx
zx
zyx








1
423
12
zyx
zyx
zyx









32
02
53
zx
zyx
zyx








72
82
6
zyx
zyx
zyx









02
52
732
zy
zyx
zyx

2. 2
Teorema de Rouché y Regla de Cramer
Ejercicio nº 6.-
Estudia la compatibilidad del siguiente sistema:
Ejercicio nº 7.-
Estudia la compatibilidad de este sistema de ecuaciones:
Ejercicio nº 8.-
Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones:
Ejercicio nº 9.-
Estudia la compatibilidad del sistema:
Ejercicio nº 10.-
Utiliza el teorema de Rouché para estudiar la compatibilidad del siguiente sistema:
Ejercicio nº 11.-
Resuelve estos sistemas, aplicando la regla de Cramer:









1
22
32
tzyx
tzyx
tzyx












5
26
13
32
yx
yx
yx
yx








33
2
132
zyx
zyx
zyx








22
12
3
zyx
zyx
zyx








7
32
143
zx
zyx
zyx













63
332
32b)
732
64a)
zyx
zyx
zyx
yx
yx

3. 3
Ejercicio nº 12.-
Resuelve los siguientes sistemas, aplicando la regla de Cramer:
Ejercicio nº 13.-
Resuelve, aplicando la regla de Cramer, los siguientes sistemas:
Ejercicio nº 14.-
Resuelve, aplicando la regla de Cramer:
Ejercicio nº 15.-
Aplica la regla de Cramer para resolver estos sistemas:
Ejercicio nº 16.-
Estudia, y resuelve si es posible, el sistema:
Ejercicio nº 17.-
Estudia la compatibilidad del siguiente sistema, y resuélvelo si es posible:
Ejercicio nº 18.-
Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones y resuélvelo si es posible:
Ejercicio nº 19.-
Estudia, y resuelve si es posible, el siguiente sistema de ecuaciones:















63
42
2b)
53
02a)
zyx
zyx
zyx
yx
yx













12
33
02b)
1
53a)
zyx
zyx
zyx
yx
yx













323
12
02b)
12
323a)
zyx
zyx
zyx
yx
yx













53
53
12b)
15
523a)
zyx
zyx
zyx
yx
yx








222
1
822
tzyx
tzyx
tzyx








81157
43
52
zyx
zyx
zyx








12
53
62
zyx
zyx
zyx








63
52
343
zyx
zyx
zyx

4. 4
Ejercicio nº 20.-
Estudia la compatibilidad de este sistema y resuélvelo si tiene solución:
Ejercicio nº 21.-
Discute el siguiente sistema, y resuélvelo cuando sea posible, en función del
parámetro a:
Ejercicio nº 22.-
Discute y resuelve el siguiente sistema, según los valores del parámetro m:
Ejercicio nº 23.-
Discute el siguiente sistema homogéneo según los diferentes valores del parámetro .
Resuélvelo en los casos en los que resulte ser compatible indeterminado:
Ejercicio nº 24.-
Estudia el siguiente sistema homogéneo según los valores de  y resuélvelo en los casos en los que resulte
ser compatible indeterminado:
Ejercicio nº 25.-
Discute, y resuelve cuando sea posible, el siguiente sistema de ecuaciones:









5
3222
22
tzyx
tzyx
tzyx
  







azaayx
azax
azy
21
12
1
2








1
1
2
mzmyx
myx
zymx
 
  







01
02
02
zyx
zy
zx











02
02
02
zyx
zyx
zyx
 








22
321
zy
azyxa
ayax

5. 5
Soluciones sistemas por el
Método de Matriz Inversa
Ejercicio nº 1.-
Expresa y resuelve el siguiente sistema en forma matricial:
Solución:
Expresamos el sistema en forma matricial:
Calculamos la inversa de A:
Despejamos X:
Por tanto, la solución del sistema es:
x  1, y  1, x  0









32
1
624
zyx
zx
zyx
CAX
z
y
x
C
z
y
x
XA 




































 






































 

3
1
6
112
101
124
3
1
6
;;
112
101
124
:existesiverparaCalculamos 1
AA
1
Existe03
112
101
124



 AA
     




























201
561
231
252
063
111
t
AAdjAAdj
  














 
201
561
231
3
111 t
AAdj
A
A
CAXCAAXACAX 111 



























































0
1
1
0
3
3
3
1
3
1
6
201
561
231
3
1
X

6. 6
Ejercicio nº 2.-
Expresa en forma matricial y resuelve utilizando la matriz inversa:
Solución:
Expresamos el sistema en forma matricial:
Calculamos la inversa de A:
Despejamos X:
Por tanto, la solución del sistema es:
x  2, y  0, z  1
Ejercicio nº 3.-
Expresa el siguiente sistema en forma matricial y resuélvelo utilizando la matriz inversa:








1
423
12
zyx
zyx
zyx
CAX
z
y
x
C
z
y
x
XA 





















































































1
4
1
111
213
121
1
4
1
;;
111
213
121
:existesiverpara,Calculamos 1
AA
1
Existe01
111
213
121





 AA
     




























512
101
311
513
101
211
t
AAdjAAdj
  












 
512
101
311
11 t
AAdj
A
A
CAXCAAXACAX 111 





































1
0
2
1
4
1
512
101
311
X









32
02
53
zx
zyx
zyx

7. 7
Solución:
Expresamos el sistema en forma matricial:
Calcula la inversa de A:
Despejamos X:
Por tanto, la solución del sistema es:
x  1, y  1, z  1
Ejercicio nº 4.-
Expresa y resuelve en forma matricial el siguiente sistema de ecuaciones:
Solución:
Expresamos el sistema en forma matricial:
CAX
z
y
x
C
z
y
x
XA 




































 






































 

3
0
5
102
121
113
3
0
5
;;
102
121
113
:existesiverparaCalculamos 1
AA
1
Existe01
102
121
113













 
 AA
     




























724
211
312
723
211
412
t
AAdjAAdj
  













 
724
211
312
11 t
AAdj
A
A
CAXCAAXACAX 111 










































1
1
1
3
0
5
724
211
312
X








72
82
6
zyx
zyx
zyx
CAX
z
y
x
C
z
y
x
XA 



















































































7
8
6
121
112
111
7
8
6
;;
121
112
111

8. 8
Calculamos la inversa de A:
Despejamos X:
Por tanto, la solución del sistema es:
x 2, y  1, z  3
Ejercicio nº 5.-
Expresa en forma matricial y resuelve, utilizando la matriz inversa:
Solución:
Expresamos el sistema en forma matricial:
Si llamamos:
:existesiverpara,Calculamos 1
AA
1
Existe01
121
112
111

















 AA
     



























113
101
011
110
101
311
t
AAdjAAdj
  













 
113
101
011
11 t
AAdj
A
A
CAXCAAXACAX 111 










































3
1
2
7
8
6
113
101
011
X









02
52
732
zy
zyx
zyx
CAX
z
y
x
C
z
y
x
XA 













































































0
5
7
210
211
132
0
5
7
;;
210
211
132
:porizquierdalaporndomultiplicadespejamos,resolverloPara 1
AX
CAXCAAXACAX 111 


9. 9
Obtenemos X:
Por tanto la solución del sistema es:
x  1; y  2; z  1
Soluciones Teorema de Rouché y Regla
de Cramer
Ejercicio nº 6.-
Estudia la compatibilidad del siguiente sistema:
Solución:
Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Luego, ran (A)  2.
Además:
:hallamosy03quesComprobamo 1
 AA
     




























121
542
754
157
245
124
t
AAdjAAdj
  













 
121
542
754
3
111 t
AAdj
A
A























































 
1
2
1
3
6
3
3
1
0
5
7
121
542
754
3
11
CAX









1
22
32
tzyx
tzyx
tzyx














1111
11
12
12
11
A
03
12
11
:cerodedistinto2ordendemenorunTomamos 

09
111
112
211





10. 10
Por tanto, ran (A)  3.
Con esto, también deducimos que ran (A') = 3, siendo A' la matriz ampliada.
Así, como ran (A)  ran (A') < no
incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.
Ejercicio nº 7.-
Estudia la compatibilidad de este sistema de ecuaciones:
Solución:
Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Hallamos el rango de la matriz ampliada:
Como ran (A)  ran (A'), el sistema es incompatible.
Ejercicio nº 8.-
Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones:
Solución:
Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
















11111
21112
31211
'A












5
26
13
32
yx
yx
yx
yx
  .201
31
21
11
61
31
21






















 AranA
  3'03
261
131
321
5
2
11
61
1
3
31
21
' 




















 AranA








33
2
132
zyx
zyx
zyx
  201
11
12
0
311
1
3
11
12


















 AranAA

11. 11
Hallamos el rango de la matriz ampliada:
Como ran (A)  ran (A'), el sistema es incompatible.
Ejercicio nº 9.-
Estudia la compatibilidad del sistema:
Solución:
Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
El rango de la matriz ampliada, A', será también 3.
Por tanto, como ran (A)  ran (A')  no
incógnitas, el sistema es compatible determinado.
Ejercicio nº 10.-
Utiliza el teorema de Rouché para estudiar la compatibilidad del siguiente sistema:
Solución:
 Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero:
 Hallamos el rango de la matriz ampliada:
  3'05
311
211
112
3311
21
13
11
12
' 
















 AranA








22
12
3
zyx
zyx
zyx
  30
112
121
111














 AranAA








7
32
143
zx
zyx
zyx














101
121
143
A
2.)(Luego,.02
21
43



Aran
.2)(tanto,Por.0Además,  AranA

12. 12
 Así, como ran (A)  ran (A') < no
incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.
Ejercicio nº 11.-
Resuelve estos sistemas, aplicando la regla de Cramer:
Solución:
La solución del sistema es: x  2, y  1
Ejercicio nº 12.-
Resuelve los siguientes sistemas, aplicando la regla de Cramer:
2.)'(Luego,.0
701
321
143
7
3
1
101
1
1
21
43
' 















 AranA













63
332
32b)
732
64a)
zyx
zyx
zyx
yx
yx
5;
32
41
;
732
641
732
64a)





















AA
yx
yx
1
5
5
5
72
61
;2
5
10
5
37
46












 yx
17
311
132
121
;
6311
3132
3121
63
332
32b)


























A
zyx
zyx
zyx
;
17
45
17
361
132
131
;
17
15
17
316
133
123









 yx
17
54
17
611
332
321



z
17
54
,
17
45
,
17
15
:essistemadelsoluciónLa 

 zyx















63
42
2b)
53
02a)
zyx
zyx
zyx
yx
yx

13. 13
Solución:
La solución del sistema es: x  1, y  2
La solución del sistema es: x  1, y  2, z  1
Ejercicio nº 13.-
Resuelve, aplicando la regla de Cramer, los siguientes sistemas:
Solución:
La solución del sistema es: x  2, y  1
5;
13
12
;
5
0
13
12
53
02a)





 








 





AA
yx
yx
2
5
10
5
53
02
;1
5
5
5
15
10


 yx
12
113
121
111
;
6113
4121
2111
63
42
2b)























A
zyx
zyx
zyx
;2
12
24
12
163
141
121
;1
12
12
12
116
124
112





 yx
1
12
12
12
613
421
211


z













12
33
02b)
1
53a)
zyx
zyx
zyx
yx
yx
4;
11
31
;
111
531
1
53a)











 





AA
yx
yx
1
4
4
4
11
51
;2
4
8
4
11
35











 yx
3
112
131
121
;
1112
3131
0121
12
33
02b)


























A
zyx
zyx
zyx

14. 14
Ejercicio nº 14.-
Resuelve, aplicando la regla de Cramer:
Solución:
La solución del sistema es: x  1, y  3
La solución del sistema es: x  1, y  0, z  2
;3
3
9
3
112
131
101
;
3
4
3
4
3
111
133
120
















 yx
3
14
3
14
3
112
331
021







z
3
14
;3;
3
4
:essistemadelsoluciónLa  xyx













323
12
02b)
12
323a)
zyx
zyx
zyx
yx
yx
1;
12
23
;
112
323
12
323a)





















AA
yx
yx
3
1
3
1
12
33
;1
1
1
1
11
23













 yx
2
231
121
112
;
3231
1121
0112
323
12
02b)


























A
zyx
zyx
zyx
;0
2
0
2
231
111
102
;1
2
2
2
233
121
110














 yx
2
2
4
2
331
121
012








z

15. 15
Ejercicio nº 15.-
Aplica la regla de Cramer para resolver estos sistemas:
Solución:
La solución del sistema es: x  1, y  4
La solución del sistema es: x  2, y  0, z  1
Ejercicio nº 16.-
Estudia, y resuelve si es posible, el sistema:
Solución:
En primer lugar, estudiamos la compatibilidad del sistema. Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:













53
53
12b)
15
523a)
zyx
zyx
zyx
yx
yx
7;
15
23
;
115
523
15
523a)











 





AA
yx
yx
4
7
28
7
15
53
;1
7
7
7
11
25











 yx
22
311
113
121
;
5311
5113
1121
53
53
12b)


























A
zyx
zyx
zyx
0
22
0
22
351
153
111
;2
22
44
22
315
115
121







 yx
1
22
22
22
511
513
121



z








222
1
822
tzyx
tzyx
tzyx














21
11
21
11
1122
A

16. 16
Luego, ran (A)  2.
Además:
Por tanto, ran (A)  3.
Con esto, también deducimos que ran (A)  3, siendo A' la matriz ampliada:
Así, como ran (A)  ran (A') < no
incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.
Para resolverlo, pasamos la t al 2º miembro y aplicamos la regla de Cramer:
Las soluciones del sistema son:
x  2+, y  1, z  2+, t  , con   .
03
21
11
:cerodedistinto2ordendemenorunTomamos 

09
121
111
122

















22121
11111
81122
'A








tzyx
tzyx
tzyx
222
1
822














22121
1111
8122
:Hacemos t
.9
121
111
122
queSabemos 








 2
9
918
9
1222
111
128
x






 1
9
99
9
1221
111
182
y






 2
9
918
9
2221
111
822
z

17. 17
Ejercicio nº 17.-
Estudia la compatibilidad del siguiente sistema, y resuélvelo si es posible:
Solución:
En primer lugar, estudiamos la compatibilidad del sistema. Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Luego, ran (A)  2.
Hallamos el rango de la matriz ampliada:
Sabemos que la 3a
columna depende linealmante de las otras dos primeras. Veamos qué ocurre con la 4a
columna:
Por tanto, ran (A')  2.
Como ran (A)  ran (A') < no
incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.
Para resolverlo, podemos prescindir de la 3a
ecuación pues es combinación lineal de las dos primeras. Pasamos la z
al 2o
miembro y aplicamos la regla de Cramer:








81157
43
52
zyx
zyx
zyx









 

1157
1
2
31
11
A
04
31
11
:cerodedistinto2ordendemenorunTomamos 

  .2rantanto,Por.0AAdemás,  A













81157
41
52
31
11
'A
0
857
431
511







zyx
zyx
43
25









431
2511
:Hacemos z
.4
31
11
queSabemos 









4
7
4
11
4
711
4
34
125
x

18. 18
Las soluciones del sistema son:
Ejercicio nº 18.-
Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones y resuélvelo si es posible:
Solución:
Empezamos estudiando la compatibilidad del sistema. Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
También el rango de la matriz ampliada, A', será 3.
Así, como ran (A)  ran (A')  no
incógnitas, el sistema es compatible determinado.
Lo resolveremos aplicando la regla de Cramer:
La solución del sistema es: x  2, y  2, z  1
Ejercicio nº 19.-
Estudia, y resuelve si es posible, el siguiente sistema de ecuaciones:
Solución:
En primer lugar, estudiamos la compatibilidad del sistema. Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:










4
1
4
9
4
9
4
41
251
y
11 7 9 1
; ; , con .
4 4 4 4
x y z   

      R








12
53
62
zyx
zyx
zyx
  .3tanto,Por.011
121
113
211












 AranAA
1
11
11
11
121
513
611
;2
11
22
11
111
153
261
;2
11
22
11
121
115
216








 zyx








63
52
343
zyx
zyx
zyx
3)(022
311
121
143










 
 AranAA

19. 19
El rango de la matriz ampliada será también 3.
Por tanto, como ran (A)  ran (A')  no
incógnitas, el sistema es compatible determinado.
Lo resolveremos aplicando la regla de Cramer:
La solución al sistema es: x  2, y  1, z  1
Ejercicio nº 20.-
Estudia la compatibilidad de este sistema y resuélvelo si tiene solución:
Solución:
En primer lugar, estudiamos la compatibilidad del sistema. Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Luego, ran (A)  2.
Además:
Por tanto, ran (A)  3.
Con esto, también deducimos que ran (A')  3, siendo A' la matriz ampliada:
Así, como ran (A)  ran (A') < no
incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.
1
22
22
22
361
151
133
;2
22
44
22
316
125
143












 yx
1
22
22
22
611
521
343






z









5
3222
22
tzyx
tzyx
tzyx














1111
22
11
12
21
A
03
12
21
:cerodedistinto2ordendemenorunTomamos 
02
111
212
121

















51111
32212
21121
'A

20. 20
Hacemos t = . Entonces:
Las soluciones del sistema son:
x  16 5, y  13+4, z  82, t  , con   R
Ejercicio nº 21.-
Discute el siguiente sistema, y resuélvelo cuando sea posible, en función del
parámetro a:
Solución:
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Cramer.dereglalaaplicamosymiembro2allapasamos,resolverloPara o
t








tzyx
tzyx
tzyx
5
2322
22













5111
23212
2121
.2
111
212
121
queSabemos 










 516
2
1032
2
115
2123
122
x








 413
2
826
2
151
2232
121
y








 28
2
416
2
511
2312
221
z
  







azaayx
azax
azy
21
12
1
2
 
.devalorcualquierpara0
111
01
10
2 aA
aa
a
a
A 













21. 21
Estudiamos el rango de la matriz ampliada:
Por tanto, ran (A')  2.
Como ran (A)  ran (A') < no
incógnitas, el sistema es compatible indeterminado para cualquier valor de a.
Podemos prescindir de la 3ª ecuación, pues es combinación lineal de las dos primeras.
Lo resolveremos pasando la z al 2º miembro:
Las soluciones del sistema serían:
Ejercicio nº 22.-
Discute y resuelve el siguiente sistema, según los valores del parámetro m:
Solución:
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:
 Si m  0, m  1 y m  1  El sistema es compatible determinado.
Para cada valor de m, distinto de 0, 1 y 1, tenemos un sistema diferente, todos ellos con solución única:
  .devalorcualquierpara2entonces,01
01
10
Como aAran 
 
0
211
1201
10
2
12
1
111
01
10
' 2 















a
a
a
a
a
aa
a
a
A











z
zaax
azy
azax
azy
Hacemos
12
1
12
1
22
.con,;1;12 2
R zayaax








1
1
2
mzmyx
myx
zymx
 




















1
1
0
01
1
01
11
23
m
m
m
mmmmA
mm
m
m
A
 
 
  1
12
1
12
1
1
01
112
222 







m
m
mm
mm
mm
mm
m
x
 
 
  1
2
1
2
1
11
011
12
222 







m
m
mm
mm
mm
m
m
y

22. 22
 Si m  0, queda:
Luego, el sistema es compatible indeterminado.
Las soluciones serían:
 Si m  1, queda:
 Si m  1, queda:
Las ecuaciones 1ª y 3ª son contradictorias. El sistema sería incompatible.
Ejercicio nº 23.-
Discute el siguiente sistema homogéneo según los diferentes valores del parámetro .
Resuélvelo en los casos en los que resulte ser compatible indeterminado:
Solución:
Por tratarse de un sistema homogéneo, siempre tiene la solución trivial (0, 0, 0). Veamos si tiene, en algún caso, más
soluciones.
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:
 
0
1
11
11
21
2



mm
m
m
m
z










0,
1
2
,
1
12
: 22
m
m
m
m
Solución










1
1
2
001
0
1
01
10
.01
01
10
yigualessonfilasúltimasdosLas 
R








con,,2,1:decirEs1
2
zyx
z
x
zy
le.incompatib
seríasistemaElorias.contradictson3y1ecuacionesLas
1111
1011
2111 aa










 


























 
1111
1011
2111
1111
1011
2111
a
a
a
3
2
11
FILAS
 
  







01
02
02
zyx
zy
zx




23. 23
 Para  = 1, queda:
El sistema sería compatible indeterminado.
Para resolverlo, pasamos z al 2o
miembro:
Las soluciones serían: x  2; y  ; z  , con  R
El sistema sería compatible indeterminado.
Para resolverlo, pasamos z al 2o
miembro:






















3
4
1
0473
111
120
20
2
AA
 
4
Para 1 y El sistema solo tiene la solución trivial 0, 0, 0 .
3
    












0
0
0
110
1
2
10
01
    .2',01
10
01
Como 

AranAran











z
zy
zx
zy
zx
Hacemos
2
0
02
4
Para , queda:
3
 












0
0
0
113/1
1
2
3/20
03/4
    .2',0
9
8
3
2
0
0
3
4
Como 



AranAran
zzy
zzx
zy
zx
zy
zx
zy
zx
2
3
2
3
2
3
4
6
32
64
032
064
0
3
2
02
3
4




























3 3
Las soluciones serían: ; ; , con
2 2
x y z

        R

24. 24
Ejercicio nº 24.-
Estudia el siguiente sistema homogéneo según los valores de  y resuélvelo en los casos en los que resulte
ser compatible indeterminado:
Solución:
Por tratarse de un sistema homogéneo, siempre tiene la solución trivial (0, 0, 0).Veamos si tiene, en algún caso, más
soluciones:
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:
 Si   1  el sistema solo tiene la solución trivial (0, 0, 0).
 Si   1, quedaría:
Luego, ran (A)  ran (A')  2 < no
incógnitas.
El sistema sería compatible indeterminado. Para resolverlo, pasamos z al 2o
miembro y aplicamos la regla de
Cramer:
Las soluciones del sistema son:
x  ; y  ; z  , con   R








02
02
02
zyx
zyx
zyx
  1013363
12
21
21
22
















 AA













0
0
0
1
2
12
11
211
.03
12
11
además,y,igualessonfilasprimerasdosLas 













z
zyx
zyx
zyx
zyx
Hacemos
2
2
02
02








12
211
.3
12
11
queSabemos 













3
3
3
2
21
;
3
3
3
1
12
yx

25. 25
Ejercicio nº 25.-
Discute, y resuelve cuando sea posible, el siguiente sistema de ecuaciones:
Solución:
Estudiando el rango de la matriz de los coeficientes:
 Si a  1  ran (A)  ran (A')  3. El sistema es compatible determinado. Para cada valor de a  1, tenemos
un sistema con solución única:
Para cada valor de a  1, tenemos un sistema diferente.
Cada uno de los sistemas tiene solución única:
x  1, y  0, z  2
 Si a  1
Las dos últimas filas son iguales, luego ran (A')  2.
Como ran (A)  ran (A') < no
incógnitas, en este caso el sistema sería compatible indeterminado. Prescindimos de
la 3a
ecuación, pues es idéntica a la 2a
, pasamos z al 2o
miembro y resolvemos el sistema:
 








22
321
zy
azyxa
ayax
    101122
120
121
01











 aaaaaAa
a
A
 
1
1
1
1
122
123
01







a
a
a
a
a
x
 
0
1
120
131
0




a
aa
aa
y
 
 
 
2
1
12
1
220
321
1







a
a
a
aa
aa
z











120
12
01
0
1
A
  .2entonces,01
12
01
Como  Aran









 

2120
21
10
20
11
'A

26. 26
Las soluciones del sistema son:








2
1
1
2
2
Hacemos
22
1
yz
zy
yx

2
1
21
2
1
11yx
R con,;
2
1
1;
2
1
2 zyx