1. 1
Determinantes
Ejercicio nº 1.-
Halla el valor de los siguientes determinantes. En el apartado b), calcula , además, los posibles valores de
t para que el determinante sea cero:
Ejercicio nº 2.-
a) Calcula el valor del determinante:
b) Resuelve la ecuación:
Ejercicio nº 3.-
Calcula el valor de los siguientes determinantes.
Ejercicio nº 4.-
Calcula cuánto vale el primer determinante y halla los valores de t que anulan el segundo determinante:
t
t
t
42
01
111b)
041
211
312a)
113
132
121
0
31
21
31
x
x
x
x
x
x
110
111
011b)
233
102
324a)
tt
t
t
1
02
22b)
124
320
212a)
2. 2
Ejercicio nº 5.-
Calcula el valor del determinante propuesto en a) y resuelve la ecuación propuesta en b):
Ejercicio nº 6.-
Ejercicio nº 7.-
Ejercicio nº 8.-
Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:
Ejercicio nº 9.-
Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:
Ejercicio nº 10.-
0
110
11
1b)
111
201
012a)
a
aa
:tesdeterminansiguienteslosdevalorelcalcula3Si ,
dc
ba
dc
ba
ddc
bba
db
ca
22
22
22
22
;;
:esdeterminatsiguienteslosdevalorelhalla4queSabiendo ,
yx
ba
yx
ba
ba
yx
byax
ba 33c)b)a)
0
b)
22
1122a)
32
2
aa
aa
yxyx
ba
yx
ba
yx
ba
yx
ba
yx
3
33
33b)
22
22a)
:calcula,4y2quetales2,2matricesdossonySi BABA
12
2
AAABAAA t
;;;;;
3. 3
Ejercicio nº 11.-
Averigua cuál es el rango de la siguiente matriz:
Ejercicio nº 12.-
Estudia el rango de la matriz:
Ejercicio nº 13.-
Calcula el rango de la matriz:
Ejercicio nº 14.-
Halla el rango de la siguiente matriz:
Ejercicio nº 15.-
Obtén el rango de esta matriz:
711121
1321
5132
M
355
430
111
132
A
1123
3101
4312
A
3010
2321
0211
M
3010
1121
3212
M
4. 4
Ejercicio nº 16.-
Determina el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:
Ejercicio nº 17.-
Estudia el rango de esta matriz, según los valores de t:
Ejercicio nº 18.-
Estudia el rango de la matriz M según los valores de t:
Ejercicio nº 19.-
Determina cuál es el rango de la matriz A, según los valores de :
Ejercicio nº 20.-
Estudia el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:
014
030
0101
a
aA
231
040
2401
t
tM
23381
231
1321
t
tM
020
200
1111
A
aa
a
a
M
522
121
031
5. 5
Ejercicio nº 21.-
a) Encuentra los valores de a para los que la matriz:
no es inversible.
b) Calcula A1
para a 2.
Ejercicio nº 22.-
Halla una matriz, X, tal que AX B 0, siendo:
Ejercicio nº 23.-
Calcula, si es posible, la inversa de la matriz:
Para los casos en los que a 2 y a 0.
Ejercicio nº 24.-
Halla X tal que AX B, siendo:
Ejercicio nº 25.-
a) Calcula para qué valores de existe la inversa de la matriz:
222
11
11
a
a
a
A
14
44
12
y
111
102
011
BA
aa
a
A
11
111
111
213
105
126
y
111
320
112
BA
21
12
21
A
0.paraCalculab) 1
A
6. 6
Soluciones Determinantes
Ejercicio nº 1.-
Halla el valor de los siguientes determinantes. En el apartado b), calcula , además, los posibles valores de
t para que el determinante sea cero:
Solución:
b) Calculamos el valor del determinante:
Veamos para qué valores de t se anula el determinante:
Ejercicio nº 2.-
a) Calcula el valor del determinante:
b) Resuelve la ecuación:
t
t
t
42
01
111b)
041
211
312a)
1
041
211
312a)
47322441214
42
01
111
2222
tttttttttttt
t
t
t
1
6
6
3
4
6
8
6
17
6
48497
0473 2
t
t
ttt
.1cuandoy
3
4
cuandocerovaletedeterminanEl tt
113
132
121
0
31
21
31
x
x
x
7. 7
Solución:
b) Desarrollamos el determinante y lo igualamos a cero:
Ejercicio nº 3.-
Calcula el valor de los siguientes determinantes.
Solución:
Ejercicio nº 4.-
Calcula cuánto vale el primer determinante y halla los valores de t que anulan el segundo determinante:
7
113
132
121a)
1101
1
1
100
21
31
31
21
31
22
aa
a
a
23
2
1
FILAS
xxx
x
x
x
x
x
x
x
1;1:solucionesdosHay 21 xx
x
x
x
110
111
011b)
233
102
324a)
20
233
102
324a)
211121111
110
111
011b)
233
xxxxxxx
x
x
x
131212211 2322
xxxxxxxxx
tt
t
t
1
02
22b)
124
320
212a)
8. 8
Solución:
Ejercicio nº 5.-
Calcula el valor del determinante propuesto en a) y resuelve la ecuación propuesta en b):
Solución:
b) Desarrollamos el determinante e igualamos a cero el resultado:
(1) Desarrollamos por la 2ª columna
Ejercicio nº 6.-
12
124
320
212a)
022424
1
02
22b)
233
tttttttt
tt
t
t
2202
0
22
ttt
t
2;2;0:solucionestresHay 321 ttt
0
110
11
1b)
111
201
012a)
a
aa
1
111
201
012a)
101
1
1
110
01
10
110
11
1
21
3
12
1
COLUMNAS
a
aa
a
aa
a
a
a
a
a
aa
1;1:solucionesdosHay 21 aa
:tesdeterminansiguienteslosdevalorelcalcula3Si ,
dc
ba
dc
ba
ddc
bba
db
ca
22
22
22
22
;;
9. 9
Solución:
(1) El segundo determinante es 0, pues tiene dos columnas proporcionales.
Ejercicio nº 7.-
Solución:
a) Sumamos la 2ª fila la 1ª.
Ejercicio nº 8.-
Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:
3
dc
ba
db
ca
63202
2
2
2
2
22
22 1
dc
ba
dd
bb
dc
ba
ddc
bba
12342
22
22
2
dc
ba
dc
ba
:esdeterminatsiguienteslosdevalorelhalla4queSabiendo ,
yx
ba
yx
ba
ba
yx
byax
ba 33c)b)a)
4
yx
ba
byax
ba
4
b)
yx
ba
ba
yx
12433
33c)
yx
ba
yx
ba
0
b)
22
1122a)
32
2
aa
aa
yxyx
10. 10
Solución:
Ejercicio nº 9.-
Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:
Solución:
Por tanto, la igualdad es verdadera.
Luego, es falsa.
Ejercicio nº 10.-
Solución:
Sabemos que, si A y B son dos matrices 22, entonces:
Por tanto:
cierta.esigualdadLaigualesSon
22
22
11
22
22a)
xy
yx
xy
yx
igualdad.estaciertaesTambién0
b) 44
32
2
aa
aa
aa
ba
yx
ba
yx
ba
yx
ba
yx
3
33
33b)
22
22a)
ba
yx
yaxb
a
y
b
xba
yx
2
2
2
2
22
22a)
ba
yx
ayxbayxb
ba
yx
9999
33
33b)
:calcula,4y2quetales2,2matricesdossonySi BABA
12
2
AAABAAA t
;;;;;
AAAkAkBABA t
)3)2)1 2
42222
AAAAAA
2111
2
AAAAA
11. 11
Ejercicio nº 11.-
Averigua cuál es el rango de la siguiente matriz:
Solución:
Luego, ran (M) 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.
Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:
Así, la 3ª fila es combinación lineal de las dos primeras.
Por tanto, ran (M) 2.
Ejercicio nº 12.-
Estudia el rango de la matriz:
824422 2
AAA
842 BAAB
2 AAt
,existequeyquecuentaenteneravamos,hallarPara 111
AIAAA
Así:.02Aquepuesto
2
11
1 111
A
AAAIAA
711121
1321
5132
M
07
21
32
:nulono2ordendemenorunTomamos
0
7121
121
532
;0
11121
321
132
355
430
111
132
A
12. 12
Solución:
Luego, ran (A) 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.
Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:
Por tanto, ran (A) 3.
Ejercicio nº 13.-
Calcula el rango de la matriz:
Solución:
Por tanto, ran (A 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.
Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:
Luego, ran (A) 3
Ejercicio nº 14.-
Halla el rango de la siguiente matriz:
05
11
32
:nulono2ordendemenorunTomamos
ntes.independieelinealmentsonfilasprimerastresLas017
430
1
1
11
32
1123
3101
4312
A
01
01
12
:nulono2ordendemenorunTomamos
ntes.independieelinealmentsonfilastresLas014
123
1
3
01
12
3010
2321
0211
M
13. 13
Solución:
Tomamos un menor de orden 2 no nulo:
Las dos primeras filas son linealmente independientes.
Veamos si la 3ª fila depende linealmente de las dos primeras:
Las tres primeras filas son linealmente independientes.
Por tanto, ran (M) 3.
Ejercicio nº 15.-
Obtén el rango de esta matriz:
Solución:
Observamos que la 1ª y la 3ª columna son iguales. Luego podemos prescindir de la 3ª columna para calcular el
rango de M.
Tomamos un menor de orden 2 no nulo:
Por tanto, ran (M) 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes (y las dos primeras columnas).
Veamos si la 4ª columna depende linealmente de las dos primeras:
3010
23
02
21
11
M
204
23
02
Mran
015
31
21
3
300
231
021
3010
1121
3212
M
03
21
12
14. 14
Ejercicio nº 16.-
Determina el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:
Solución:
Podemos prescindir de la 3ª columna, pues no influye en el rango.
Luego, ran (A) 2.
Buscamos los valores de a que hacen cero el determinante formado por las tres primeras columnas:
Si a 1 y a 3 ran(A) 3
Si a 1 o a 3 La 2ª fila depende linealmente de las otras dos ran(A) 2
Ejercicio nº 17.-
Estudia el rango de esta matriz, según los valores de t:
Solución:
3014
310
121
312
Mran
014
030
0101
a
aA
01
14
01
:cerodedistinto2ordendemenorunTomemos
3
1
2
24
2
12164
034
14
30
101
2
a
a
aaa
a
a
231
040
2401
t
tM
15. 15
Observamos que la 4ª columna es el doble de la 1ª. Luego, podemos prescindir de ella para obtener el rango.
Así, ran (M) 2.
Buscamos los valores de t que hacen cero el determinante formado por las tres primeras columnas:
Si t 2 y t 6 ran(M) 3
Si t 2 o t 6 La 2ª columna depende linealmente de la 1ª y 3ª.
Por tanto, ran (M) 2.
Ejercicio nº 18.-
Estudia el rango de la matriz M según los valores de t:
Solución:
Observamos que la 3ª columna es proporcional a la 1ª (es su triple); por tanto, podemos prescindir de ella para
calcular el rango.
Luego, ran (M) 2.
Buscamos los valores de t que hacen que el determinante formado por las columnas 1a
, 2a
y 4a
sea cero:
Por tanto, la 3ª fila depende linealmente de las dos primeras para cualquier valor de t.
Así, ran (M) 2.
04
40
41
:cerodedistinto2ordendemenorunTomamos
6
2
2
84
2
48164
0124
31
40
401
2
t
t
ttt
t
t
23381
231
1321
t
tM
01
21
11
:cerodedistinto2ordendemenorunTomamos
.devalorcualquierpara043824382
2381
21
121
ttttt
t
t
16. 16
Ejercicio nº 19.-
Determina cuál es el rango de la matriz A, según los valores de :
Solución:
Luego, ran (A) 2.
Buscamos los valores de que hacen cero el determinante formado por las columnas 2a
, 3a
y 4a
:
Si 1 La 3ª columna depende linealmente de la 2ª y 4ª. Veamos qué ocurre con la 1ª columna:
Si 2 La 3ª columna depende linealmente de la 2ª y 4ª. Veamos qué ocurre con la 1ª columna:
Por tanto, ran (A) 3 para cualquier valor de .
020
200
1111
A
020
200
1111
A
02
20
11
:cerodedistinto2ordendemenorunTomamos
2
22122
2
11
2
02
200
111
2
1
2
31
2
811
022 2
3ran2y1Si A
3ran01
010
201
111
A
3ran08
020
202
111
A
17. 17
Ejercicio nº 20.-
Estudia el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:
Solución:
Luego, ran (M) 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes para cualquier valor de a.
Buscamos los valores de a que hacen que el determinante formado por las columnas 1a
, 3a
y 4a
sea igual a cero:
Si a 1 Sabemos que la 1ª columna depende linealmente de las dos últimas. Veamos que ocurre con la 2ª
columna:
Por tanto, ran (M) 2.
Si a 3 Sabemos que la 1ª columna depede linealmente de las dos últimas. Veamos que ocurre con la 2ª
columna:
Ejercicio nº 21.-
a) Encuentra los valores de a para los que la matriz:
aa
a
a
M
522
121
031
03
12
03
:cerodedistinto2ordendemenorunTomamos
03403426823562
5
12
03
2
1
2222
aaaaaaaaa
a
a
1
3
2
24
2
12164
a
a
a
últimas.doslasdeelinealmentdependecolumna2La0
15
12
03
2
1
1
a
3rantanto,Por.08
35
12
03
6
3
1
M
222
11
11
a
a
a
A
18. 18
no es inversible.
b) Calcula A1
para a 2.
Solución:
Calculamos el determinante de A:
Ejercicio nº 22.-
Halla una matriz, X, tal que AX B 0, siendo:
Solución:
Despejamos X en la ecuación dada:
1
a) La condición necesaria y suficiente para que exista es que 0 .A A
0253222222
222
11
11
22
aaaaaaa
a
a
a
A
3
2
1
6
15
6
24255
a
a
a
.
3
2
paray1parainversibleesnomatrizlatanto,Por aa
:quedamatrizLa.4quetenemos,2Parab) AAa
342
142
102
311
440
222
220
121
112
t
AAdjAAdjA
342
142
102
4
111 t
AAdj
A
A
14
44
12
y
111
102
011
BA
:existesiverparaCalculamos 1
AA
1
Existe02
111
102
011
AA
BAXBAAXABAXBAX 111
0
19. 19
Hallamos la matriz inversa de A:
Obtenemos la matriz X:
Ejercicio nº 23.-
Calcula, si es posible, la inversa de la matriz:
Para los casos en los que a 2 y a 0.
Solución:
Para a 2, queda:
Para a 0, queda:
202
111
111
211
011
211
t
AAdjAAdj
202
111
111
2
1
202
111
111
2
111 t
AAdj
A
A
02
11
21
04
22
42
2
1
14
44
12
202
111
111
2
11
BAX
aa
a
A
11
111
111
231
111
113
A
:calculamosLa.existesícaso,esteEn.2Entonces, 1
AA
282
251
011
220
851
211
t
AAdjAAdj
141
1
2
5
2
1
0
2
1
2
1
11 t
AAdj
A
A
