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TEORIA DE COLAS (FENOMENOS DE ESPERA) WILFREDO SUAREZ
INTRODUCCION Sistema genérico Sistema multicanal (a) y multietapa (b) Esquematización del sistema formado por la pista y las aeronaves que desean aterrizar
PROCESO DE CONTEO Y PROCESO DE POISSON Realización y media de un proceso de conteo Distribución de Poisson
CURVAS ACUMULATIVAS Instantes de llegadas y salidas y curvas acumulativas correspondientes curvas acumulativas de llegadas, comienzo de servicio y de salidas
TIPOS DE ANALISIS DE LA COLA < 1 cola producida por la aleatoriedad de llegadas y/o servicio Teoría de Colas  da expresiones para el estado estacionario: W, L, W q , L q cola “larga” producida por congestión (r>1) importante. Aproximación determinista  en principio posible: curvas acumulativas como herramienta cola producida por la aleatoriedad de llegadas y/o servicio Estado no estacionario,  las expresiones de la Teoría de Colas no son válidas y la  aleatoriedad   no puede ser despreciada r = coeficiente de utilización   > 1 < 1 ~ 1 intensidad de llegadas capacidad de servicio r =
FORMACION DE LA COLA el cliente que permanece más tiempo es también el que ve la cola “más larga” al llegar Caso particular:  intensidad  de servicio constante  = m En general, si (t) y D(t) son diferenciables:  (t 1 )=  (t 1 ) L es max ó min  (n)=  (n) W es max ó min
FORMACION DE LA COLA Curva de salidas cuando se cierra uno de los mostradores a partir de las 14:30 cola y tiempo de espera máximos llegadas de los pasajeros a los mostradores de facturación
FORMACION DE LA COLA Obtención analítica de las curvas de cuentas acumuladas: elegir    de modo que en   los intervalos [t i ,t i +  ] las intensidades de  llegada y servicio no varíen apreciablemente:   i ,   i A i+1  =  número de clientes llegados al sistema hasta t i+1 L i+1  =  número de clientes en el sistema en el instante t i+1 D i+1   = número de clientes que han salido del sistema hasta t i+1
FORMULA DE LITTLE Tiempo medio de perma-nencia en el sistema W: Supuesto: los N clientes llegados en [0,T] son servidos, entonces l=NT Número medio de clientes en el sistema en el intervalo [0,T] Fórmula  de  Little L=  W Area gris N = Area  gris T =
FORMULA DE LITTLE L 12  = número medio de clientes en el sistema en [t 1 ,t 2 ] si hay clientes en el sistema en los instantes t 1  y t 2  , la  fórmula de Little aproximada  sería: Aproximación : área rayada ~ área azul W 12  = tiempo medio de permanencia en el sistema para los clientes  n 1  a n 2 l 12  = intensidad media de llegada al sistema en [t 1 ,t 2 ] Análogamente : si los N clientes llegados en [0,T] abandonan la cola Fórmula  de Little: L q =  W q
FORMULA DE LITTLE Fórmula de Little: utilidad L=  W  permite  calcular indirectamente  una cantidad media a partir  de la  medición  de la otra, conociendo la intensidad media   Variable medida medición requerida Variable calculada Número medio de clientes en el sistema:  L Medir L(t) en diversos instantes de tiempo y promediar W=L/  tiempo medio de permanencia en el sistema:  W Medir W(n) para diversos clientes y promediar L=  W
REDUCCION DE LA COLA Reducción de la cola situación original:  intensidad de servicio  m 1 para reducir la cola  se aumenta de  m 1   a  m 2  durante  t p encontrar la  asignación mejor  en función de la estructura de costes  solución óptima curva de salidas nueva curva de salidas original Tiempo total ahorrado =  DW
REDUCCION DE LA COLA Reducción de la cola: casos posibles Datos: L max  y m 2  . Se determina el punto P, y el tramo de intensidad  m 1  que  determina  t e  y  t d  y finalmente  t p . Datos:  m 2  y costes  a  = coste por unidad de tiempo de aumentar la intensidad  de servicio, y  b  = coste del tiempo. Se dan valores a  t p , se obtienen gráficamente t d   y  t e  y se evalua el coste total: Datos: L max   y g  = coste por unidad de tiempo e unidad de intensidad. Se  determina el punto P y el tramo de duración  t d , quedan fijado entoces  m 2 ,  t p   y  t e  y se evalua el coste:
SERVICIO EN GRUPO en numerosos sistemas se sirven simultáneamente a un grupo de clientes generalmente hay un tamaño máximo del grupo:  (C) servicio “simultáneo” si:  tiempo en servir a C clientes << tiempo medio que tardan en llegar intensidad infinita cuando se da servicio en   3  se sirven a C clientes (el máximo) D(t):  escalón de altura igual al número de clientes servidos en   4  se sirven a N 4  clientes (los que hay en espera): el servidor no espera a que lleguen C clientes (“gated server”)
SERVICIO EN GRUPO Servicio en grupo: objetivos Minimizar  el tiempo medio de espera de los clientes Maximizar  la utilización del servidor Minimizar suma  coste unitario del servicio + coste tiempo del cliente Solución trivial: esperar a que haya C clientes  en cola para dar el servicio
SERVICIO EN GRUPO Min. tiempo de espera con un número fijo de servicios 1 servicio  en el intervalo [0,T], además del servicio final en T Encontrar  el instante del primer servicio:  t 1  minimizar el área rayada (W) resolución gráfica: solución óptima
SERVICIO EN GRUPO Min. tiempo de espera con un número fijo de servicios n servicios  en el intervalo [0,T], además del servicio final en T Encontrar  los instantes de servicio  t i  i=1,…n, para minimizar el área rayada (W) La  capacidad  de servicio es  ilimitada , o bien, no es superada en ningún servicio
SERVICIO EN GRUPO Min. tiempo de espera con n servicios: resolución dar un valor a  t 1 emplear (*)  para hallar   t i  i=2,…n-1 calcular W con:  resolución gráfica de (*):
SERVICIO EN GRUPO Min. tiempo de espera con n servicios: ejemplo Curva de llegadas A(t) de pasajeros a una estación ferroviaria de un aeropuerto. Ultima salida a las 14:00. Tiempo total de espera en función de  t 1   (1 salida intermedia) solución:   1  = 9:45  W=91 min. A(t) D(t)  1
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SERVICIO EN GRUPO Min. coste servicio + tiempo cliente: frecuencia óptima b:  coste del tiempo del cliente;  a:  coste por servicio;  c:  coste por unidad de tiempo Caso ideal:  llegadas a intensidad constante   l  frecuencia óptima  1/ d La capacidad de servicio es ilimitada, o bien, no es superada en ningún servicio intervalo entre servicios óptimo
SERVICIO EN GRUPO Min. coste servicio + tiempo cliente: frecuencia óptima  :  coste del tiempo del cliente;   coste por servicio;  c:  coste por unidad de tiempo llegadas a intensidad variable    (t) si  la intensidad     varía   lentamente , se puede generalizar el resultado anterior: W i  es el tiempo esperado por los clientes atendidos en el servicio i-ésimo: Interpretación gráfica:  las áreas rayadas deber ser igual a   : 2 1
TEORIA DE COLAS: Notación standard
DISTRIBUCION DE ERLANG Es la distribución de la suma de k variables exponenciales de media 1/l Función de densidad de probabilidad:
COLA M/M/c Longitud de la cola en función de r para diversos valores de c Disposición correspondiente al modelo multiservidor (a) frente al de servidor único (b)
FORMULA DE LA PERDIDA DE ERLANG Probabilidad de encontrar al sistema ocupado cuando los clientes no pueden esperar

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Teoria de colas

  • 1. TEORIA DE COLAS (FENOMENOS DE ESPERA) WILFREDO SUAREZ
  • 2. INTRODUCCION Sistema genérico Sistema multicanal (a) y multietapa (b) Esquematización del sistema formado por la pista y las aeronaves que desean aterrizar
  • 3. PROCESO DE CONTEO Y PROCESO DE POISSON Realización y media de un proceso de conteo Distribución de Poisson
  • 4. CURVAS ACUMULATIVAS Instantes de llegadas y salidas y curvas acumulativas correspondientes curvas acumulativas de llegadas, comienzo de servicio y de salidas
  • 5. TIPOS DE ANALISIS DE LA COLA < 1 cola producida por la aleatoriedad de llegadas y/o servicio Teoría de Colas da expresiones para el estado estacionario: W, L, W q , L q cola “larga” producida por congestión (r>1) importante. Aproximación determinista en principio posible: curvas acumulativas como herramienta cola producida por la aleatoriedad de llegadas y/o servicio Estado no estacionario, las expresiones de la Teoría de Colas no son válidas y la aleatoriedad no puede ser despreciada r = coeficiente de utilización > 1 < 1 ~ 1 intensidad de llegadas capacidad de servicio r =
  • 6. FORMACION DE LA COLA el cliente que permanece más tiempo es también el que ve la cola “más larga” al llegar Caso particular: intensidad de servicio constante = m En general, si (t) y D(t) son diferenciables:  (t 1 )=  (t 1 ) L es max ó min  (n)=  (n) W es max ó min
  • 7. FORMACION DE LA COLA Curva de salidas cuando se cierra uno de los mostradores a partir de las 14:30 cola y tiempo de espera máximos llegadas de los pasajeros a los mostradores de facturación
  • 8. FORMACION DE LA COLA Obtención analítica de las curvas de cuentas acumuladas: elegir  de modo que en los intervalos [t i ,t i +  ] las intensidades de llegada y servicio no varíen apreciablemente:  i ,  i A i+1 = número de clientes llegados al sistema hasta t i+1 L i+1 = número de clientes en el sistema en el instante t i+1 D i+1 = número de clientes que han salido del sistema hasta t i+1
  • 9. FORMULA DE LITTLE Tiempo medio de perma-nencia en el sistema W: Supuesto: los N clientes llegados en [0,T] son servidos, entonces l=NT Número medio de clientes en el sistema en el intervalo [0,T] Fórmula de Little L=  W Area gris N = Area gris T =
  • 10. FORMULA DE LITTLE L 12 = número medio de clientes en el sistema en [t 1 ,t 2 ] si hay clientes en el sistema en los instantes t 1 y t 2 , la fórmula de Little aproximada sería: Aproximación : área rayada ~ área azul W 12 = tiempo medio de permanencia en el sistema para los clientes n 1 a n 2 l 12 = intensidad media de llegada al sistema en [t 1 ,t 2 ] Análogamente : si los N clientes llegados en [0,T] abandonan la cola Fórmula de Little: L q =  W q
  • 11. FORMULA DE LITTLE Fórmula de Little: utilidad L=  W permite calcular indirectamente una cantidad media a partir de la medición de la otra, conociendo la intensidad media  Variable medida medición requerida Variable calculada Número medio de clientes en el sistema: L Medir L(t) en diversos instantes de tiempo y promediar W=L/  tiempo medio de permanencia en el sistema: W Medir W(n) para diversos clientes y promediar L=  W
  • 12. REDUCCION DE LA COLA Reducción de la cola situación original: intensidad de servicio m 1 para reducir la cola se aumenta de m 1 a m 2 durante t p encontrar la asignación mejor en función de la estructura de costes solución óptima curva de salidas nueva curva de salidas original Tiempo total ahorrado = DW
  • 13. REDUCCION DE LA COLA Reducción de la cola: casos posibles Datos: L max y m 2 . Se determina el punto P, y el tramo de intensidad m 1 que determina t e y t d y finalmente t p . Datos: m 2 y costes a = coste por unidad de tiempo de aumentar la intensidad de servicio, y b = coste del tiempo. Se dan valores a t p , se obtienen gráficamente t d y t e y se evalua el coste total: Datos: L max y g = coste por unidad de tiempo e unidad de intensidad. Se determina el punto P y el tramo de duración t d , quedan fijado entoces m 2 , t p y t e y se evalua el coste:
  • 14. SERVICIO EN GRUPO en numerosos sistemas se sirven simultáneamente a un grupo de clientes generalmente hay un tamaño máximo del grupo: (C) servicio “simultáneo” si: tiempo en servir a C clientes << tiempo medio que tardan en llegar intensidad infinita cuando se da servicio en  3 se sirven a C clientes (el máximo) D(t): escalón de altura igual al número de clientes servidos en  4 se sirven a N 4 clientes (los que hay en espera): el servidor no espera a que lleguen C clientes (“gated server”)
  • 15. SERVICIO EN GRUPO Servicio en grupo: objetivos Minimizar el tiempo medio de espera de los clientes Maximizar la utilización del servidor Minimizar suma coste unitario del servicio + coste tiempo del cliente Solución trivial: esperar a que haya C clientes en cola para dar el servicio
  • 16. SERVICIO EN GRUPO Min. tiempo de espera con un número fijo de servicios 1 servicio en el intervalo [0,T], además del servicio final en T Encontrar el instante del primer servicio: t 1 minimizar el área rayada (W) resolución gráfica: solución óptima
  • 17. SERVICIO EN GRUPO Min. tiempo de espera con un número fijo de servicios n servicios en el intervalo [0,T], además del servicio final en T Encontrar los instantes de servicio t i i=1,…n, para minimizar el área rayada (W) La capacidad de servicio es ilimitada , o bien, no es superada en ningún servicio
  • 18. SERVICIO EN GRUPO Min. tiempo de espera con n servicios: resolución dar un valor a t 1 emplear (*) para hallar t i i=2,…n-1 calcular W con: resolución gráfica de (*):
  • 19. SERVICIO EN GRUPO Min. tiempo de espera con n servicios: ejemplo Curva de llegadas A(t) de pasajeros a una estación ferroviaria de un aeropuerto. Ultima salida a las 14:00. Tiempo total de espera en función de t 1 (1 salida intermedia) solución:  1 = 9:45 W=91 min. A(t) D(t)  1
  • 20. SERVICIO EN GRUPO Min. tiempo de espera con n servicios: ejemplo Curva de llegadas A(t) de pasajeros a la estación. Ultima salida a las 14:00. Tiempo total de espera y t 2 en función de t 1 (dos salidas intermedias) solución:  1 =8:52  2 =10:37 W=65 min. A(t) D(t)  1  2
  • 21. SERVICIO EN GRUPO Min. tiempo de espera con n servicios: ejemplo Curva de llegadas A(t) de pasajeros a la estación. Ultima salida a las 14:00. Tiempo total de espera t 2 y t 3 en fun-ción de t 1 (tres salidas intermedias) solución:  1 =8:41  2 =10:06  3 =12:36 W=48 min. A(t) D(t)  1  2  3
  • 22. SERVICIO EN GRUPO Min. coste servicio + tiempo cliente: frecuencia óptima b: coste del tiempo del cliente; a: coste por servicio; c: coste por unidad de tiempo Caso ideal: llegadas a intensidad constante l frecuencia óptima 1/ d La capacidad de servicio es ilimitada, o bien, no es superada en ningún servicio intervalo entre servicios óptimo
  • 23. SERVICIO EN GRUPO Min. coste servicio + tiempo cliente: frecuencia óptima  : coste del tiempo del cliente;  coste por servicio; c: coste por unidad de tiempo llegadas a intensidad variable  (t) si la intensidad  varía lentamente , se puede generalizar el resultado anterior: W i es el tiempo esperado por los clientes atendidos en el servicio i-ésimo: Interpretación gráfica: las áreas rayadas deber ser igual a  : 2 1
  • 24. TEORIA DE COLAS: Notación standard
  • 25. DISTRIBUCION DE ERLANG Es la distribución de la suma de k variables exponenciales de media 1/l Función de densidad de probabilidad:
  • 26. COLA M/M/c Longitud de la cola en función de r para diversos valores de c Disposición correspondiente al modelo multiservidor (a) frente al de servidor único (b)
  • 27. FORMULA DE LA PERDIDA DE ERLANG Probabilidad de encontrar al sistema ocupado cuando los clientes no pueden esperar