El documento presenta una introducción a la teoría de colas, incluyendo sistemas de múltiples canales y etapas, procesos de conteo de Poisson, curvas acumulativas de llegadas y salidas, y análisis de colas con llegadas y servicios aleatorios. Explica cómo se forman las colas y presenta fórmulas como la de Little para calcular medidas como el tiempo medio en el sistema. También cubre temas como la reducción de colas, el servicio en grupo, y distribuciones como Erlang.

1. TEORIA DE COLAS (FENOMENOS DE ESPERA) WILFREDO SUAREZ

2. INTRODUCCION Sistema genérico Sistema multicanal (a) y multietapa (b) Esquematización del sistema formado por la pista y las aeronaves que desean aterrizar

3. PROCESO DE CONTEO Y PROCESO DE POISSON Realización y media de un proceso de conteo Distribución de Poisson

4. CURVAS ACUMULATIVAS Instantes de llegadas y salidas y curvas acumulativas correspondientes curvas acumulativas de llegadas, comienzo de servicio y de salidas

5. TIPOS DE ANALISIS DE LA COLA < 1 cola producida por la aleatoriedad de llegadas y/o servicio Teoría de Colas da expresiones para el estado estacionario: W, L, W q , L q cola “larga” producida por congestión (r>1) importante. Aproximación determinista en principio posible: curvas acumulativas como herramienta cola producida por la aleatoriedad de llegadas y/o servicio Estado no estacionario, las expresiones de la Teoría de Colas no son válidas y la aleatoriedad no puede ser despreciada r = coeficiente de utilización > 1 < 1 ~ 1 intensidad de llegadas capacidad de servicio r =

6. FORMACION DE LA COLA el cliente que permanece más tiempo es también el que ve la cola “más larga” al llegar Caso particular: intensidad de servicio constante = m En general, si (t) y D(t) son diferenciables:  (t 1 )=  (t 1 ) L es max ó min  (n)=  (n) W es max ó min

7. FORMACION DE LA COLA Curva de salidas cuando se cierra uno de los mostradores a partir de las 14:30 cola y tiempo de espera máximos llegadas de los pasajeros a los mostradores de facturación

9. FORMULA DE LITTLE Tiempo medio de perma-nencia en el sistema W: Supuesto: los N clientes llegados en [0,T] son servidos, entonces l=NT Número medio de clientes en el sistema en el intervalo [0,T] Fórmula de Little L=  W Area gris N = Area gris T =

10. FORMULA DE LITTLE L 12 = número medio de clientes en el sistema en [t 1 ,t 2 ] si hay clientes en el sistema en los instantes t 1 y t 2 , la fórmula de Little aproximada sería: Aproximación : área rayada ~ área azul W 12 = tiempo medio de permanencia en el sistema para los clientes n 1 a n 2 l 12 = intensidad media de llegada al sistema en [t 1 ,t 2 ] Análogamente : si los N clientes llegados en [0,T] abandonan la cola Fórmula de Little: L q =  W q

19. SERVICIO EN GRUPO Min. tiempo de espera con n servicios: ejemplo Curva de llegadas A(t) de pasajeros a una estación ferroviaria de un aeropuerto. Ultima salida a las 14:00. Tiempo total de espera en función de t 1 (1 salida intermedia) solución:  1 = 9:45 W=91 min. A(t) D(t)  1

20. SERVICIO EN GRUPO Min. tiempo de espera con n servicios: ejemplo Curva de llegadas A(t) de pasajeros a la estación. Ultima salida a las 14:00. Tiempo total de espera y t 2 en función de t 1 (dos salidas intermedias) solución:  1 =8:52  2 =10:37 W=65 min. A(t) D(t)  1  2

21. SERVICIO EN GRUPO Min. tiempo de espera con n servicios: ejemplo Curva de llegadas A(t) de pasajeros a la estación. Ultima salida a las 14:00. Tiempo total de espera t 2 y t 3 en fun-ción de t 1 (tres salidas intermedias) solución:  1 =8:41  2 =10:06  3 =12:36 W=48 min. A(t) D(t)  1  2  3

24. TEORIA DE COLAS: Notación standard

25. DISTRIBUCION DE ERLANG Es la distribución de la suma de k variables exponenciales de media 1/l Función de densidad de probabilidad:

26. COLA M/M/c Longitud de la cola en función de r para diversos valores de c Disposición correspondiente al modelo multiservidor (a) frente al de servidor único (b)

27. FORMULA DE LA PERDIDA DE ERLANG Probabilidad de encontrar al sistema ocupado cuando los clientes no pueden esperar