Este documento resume los conceptos fundamentales de la teoría de colas, incluyendo su origen, componentes clave como llegadas, servicio, colas y parámetros de rendimiento. La teoría de colas estudia matemáticamente el comportamiento de líneas de espera y provee herramientas para predecir métricas como el tiempo promedio de espera.

1. FENOMENOS DE ESPERAS REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “ SANTIAGO MARIÑO” EXTENSIÓN MATURÍN Autor: Carmen López

2. Historia de la Teoría de Cola El origen de la Teoría de Colas corresponde a Agner Kraup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que un gran número de problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada-salida.

4. Situaciones típica de Colas

5. Conceptos básicos Clientes: Término usado en un sistema de colas para referirse a: ·Gente esperando líneas telefónicas desocupadas. ·Máquinas que esperan ser reparadas. · Aviones esperando aterrizar. Instalaciones de Servicio : Este término se usa para referirse a: · Líneas telefónicas. · Talleres de reparación. · Pistas de aeropuerto. Llegadas: Es el número de clientes que llegan a las instalaciones de servicio. Tasa de Servicio: Este término se usa para designar la capacidad de servicio, Ejemplo: · Un sistema telefónico entre dos ciudades puede manejar 90 llamadas por minuto. Número de servidores de servicio : Es la cantidad de servidores de que disponemos: · Número de conmutadores telefónicos. · Número de puestos de reparación. · Número de pistas de aterrizaje de un aeropuerto.

6. Concepto Teoría de Colas La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre los costos del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado. La teoría de las colas en si no resuelve directamente el problema, pero contribuye con la información vital que se requiere para tomar las decisiones concernientes prediciendo algunas características sobre la línea de espera: probabilidad de que se formen, el tiempo de espera promedio.

8. Estructura Básica UNA LÍNEA Y UN SERVIDOR Llegadas Sistema de colas Cola Servidor Salidas

9. Tipos de Colas Primer sistema : se llama un sistema de un servidor y una cola. Segundo sistema : una línea con múltiples servidores. Tercer sistema: aquél en que cada servidor tiene una línea de separación. Cuarto sistema: es una línea con servidores en serie. Este modelo puede aplicarse a trabajos ordenador que esperan tiempo de procesador.

13. Variables

14. Ecuaciones

16. Componentes del Sistema de Colas Tipos de población: – Finita: λ k disminuye al aumentar k – Infinita: λ k permanece constante al aumentar k 1.- POBLACIÓN DE CLIENTES Ejemplos de tipos de población: – Finita: Sistema con 10 componentes y un servicio de reparación. Cada vez que un componente falla y va al servicio de reparación, la tasa λ k disminuye en un10% – Infinita: Acceso a un servidor de Internet. La población serían los potenciales millones de personas que pueden conectarse al servidor. Aunque alguno de ellos se conecte, la tasa λ k permanece constante .

18. Componentes del Sistema de Colas 2.- LLEGADAS DE CLIENTES Exponencial(λ): Propiedad de falta de memoria: la distribución exponencial es la única distribución continua que verifica: Erlang(n, α) = Gamma(n, α) = Σ Ex(α) Hiperexponencial: Es una combinación lineal de distribuciones exponenciales(αi) independientes Sirve para modelizar situaciones en las que hay distintos tipos de clientes con distintas tasas de llegada y cada llegada es de tipo exponencial

25. Costo asociados a un sistema de colas c) Los costos totales del sistema de servicio La suma de los dos costos anteriores da una función de costos totales del sistema en función de la capacidad, que tendrá una forma similar a la siguiente: ¿Por qué es necesario contar con herramientas de optimización para los problemas de Colas? a) Los costos de espera de los clientes Lo normal es pensar que estos costos de espera decrecen conforme aumenta la capacidad de servicio del sistema. b) Los costos asociados a la capacidad de servicio Es también normal que el costo asociado a incrementar la capacidad de servicio crezca con alguna proporcionalidad en relación a esta capacidad. Normalmente existen dos tipos de costos:

26. EJERCICIOS. Una fotocopiadora de la facultad atiende estudiantes que llevan artículos o notas a fotocopiar. Los estudiantes son atendidos según alguna disciplina en la fotocopiadora. Las siguientes son tablas que corresponden a la observación, en un día cualquiera, del trabajo en la fotocopiadora: Llegadas Servicios Llegada Tiempo (min.) Duración (min.) 0 0 - 1 10 10 2 30 12 3 50 8 4 70 10 5 90 10 Explique todas las consideraciones necesarias para modelar esta cola según lo que conoce hasta ahora. Dé recomendaciones al encargado de la fotocopiadora sobre la base de los cómputos posibles

27. En este caso, la distribución de los tiempos de servicio se supone desconocida (general), sin embargo, es necesario conocer al menos su media (1/ m ) y su varianza ( s 2). Así: Modelo M/G/1 En este caso, se supone que los clientes se forman en la fila y al llegar al final, toman el primer servidor que esté disponible (de los s que existen). Aquí, l < s m Modelo M/M/s EJERCICIOS.

28. Las ecuaciones M/M/s M/M/s Cuando se introducen factores de costo en un modelo de colas, se puede pensar en la necesidad de “optimizar” la función de costos del sistema (generalmente asociados con una cierta unidad de tiempo). EJERCICIOS.

29. OPTIMIZACIÓN. Se puede suponer que se cuenta con dos tipos de costos asociados a los parámetros fundamentales del sistema: Cs : Costo de disponer un servidor, por unidad de tiempo. Cw : Costo, por unidad de tiempo, que representa una persona en el sistema. En primer lugar, es necesario responder a la pregunta: ¿qué unidad de tiempo se debe utilizar como referencia?. Para ello, se podría pensar en utilizar la unidad en que se tengan los costos o trasladar éstos a la unidad en que se computaron las ecuaciones del modelo, sin embargo, esta decisión no es relevante, ya que los resultados del modelo de colas son independientes de la unidad de tiempo escogida para el análisis EJERCICIOS.

30. OPTIMIZACIÓN. La función objetivo La función objetivo debe ser minimizada (¿?), entonces: Sin embargo, en la mayoría de los casos, no existen métodos analíticos para responder a este problema, así que, puede procederse por métodos numéricos (o por pruebas sucesivas OPTIMIZACIÓN. El Problema min CT ( s ) s EJERCICIOS. En vista de los costos propuestos, se podría pensar en la siguiente función objetivo de la optimización Costo Total (función de s ) Número de servidores Número de Clientes Esperados en el Sistema (función de s )