Este documento trata sobre la teoría de la medida. Introduce conceptos como álgebra geométrica, cuadratura del círculo, funciones de variación acotada e integral de Riemann-Stieltjes. Explica el problema de medir subconjuntos de la recta real y cómo Lebesgue y Carathéodory lo abordaron. También presenta teoremas de convergencia para la integral de Lebesgue.
Este documento presenta apuntes sobre la teoría de la medida de Lebesgue. Introduce conceptos clave como σ-álgebras, funciones medibles, medidas y espacios de medida. Explica la definición de integral de Lebesgue para funciones medibles arbitrarias a través de funciones simples y funciones indicatriz. Incluye varios ejemplos y ejercicios para aplicar los conceptos teóricos.
Este documento presenta conceptos preliminares de la teoría de la medida, incluyendo: 1) definiciones de semianillo, -conjunto y álgebra de conjuntos, 2) propiedades de las medidas como aditividad y monotonía, 3) definición de medida de Lebesgue y conjuntos medibles, y 4) teoremas clave sobre cómo una función satisface las propiedades de una medida. El objetivo es establecer una teoría general de medida de conjuntos que generalice conceptos como longitud, área y volumen.
Este documento presenta una muestra de actividades para una unidad sobre conjuntos de números para un curso de álgebra superior. Incluye ejemplos de actividades sobre propiedades de los números naturales, inducción matemática, el principio del buen orden, divisibilidad, congruencia y una evidencia de aprendizaje. El facilitador debe crear nuevos ejercicios para las actividades y no enviar este documento tal cual a los estudiantes.
Este documento presenta la unidad 4 sobre la integral de Lebesgue. Introduce los antecedentes históricos que motivaron el desarrollo de la integral de Lebesgue, incluyendo limitaciones de la integral de Riemann. Define formalmente la integral de Lebesgue para funciones medibles no negativas sobre conjuntos de medida finita y establece algunas de sus propiedades fundamentales como el lema de Fatou. Finalmente, incluye ejemplos y actividades para aplicar el cálculo de la integral de Lebesgue.
Este documento presenta la Unidad 1 de Análisis Matemático II sobre la aproximación de funciones continuas. La unidad cubre series de números, incluyendo criterios de convergencia como el criterio de comparación y el teorema de Leibniz. También introduce el teorema de aproximación de Weierstrass, el cual establece que toda función continua puede aproximarse uniformemente por polinomios. La unidad concluye con actividades para practicar los conceptos aprendidos.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la integral de Lebesgue. Comienza discutiendo las deficiencias de la integral de Riemann y la necesidad de una nueva definición de integral. Luego introduce los principios de Littlewood y la definición formal de la integral de Lebesgue, incluyendo teoremas de convergencia. Finalmente, analiza la derivación e integración de funciones medibles y el cálculo de integrales de funciones integrables.
Este documento presenta el índice general de un libro sobre álgebra homológica y álgebra conmutativa. El libro consta de cinco capítulos que tratan sobre álgebra homológica, incluyendo funtores derivados y sus aplicaciones, así como tres capítulos sobre álgebra conmutativa, incluyendo geometría afín, anillos locales y regularidad. El libro combina estas dos áreas de las matemáticas y proporciona los fundamentos necesarios para la teoría de esquemas.
Este documento presenta apuntes sobre la teoría de la medida de Lebesgue. Introduce conceptos clave como σ-álgebras, funciones medibles, medidas y espacios de medida. Explica la definición de integral de Lebesgue para funciones medibles arbitrarias a través de funciones simples y funciones indicatriz. Incluye varios ejemplos y ejercicios para aplicar los conceptos teóricos.
Este documento presenta conceptos preliminares de la teoría de la medida, incluyendo: 1) definiciones de semianillo, -conjunto y álgebra de conjuntos, 2) propiedades de las medidas como aditividad y monotonía, 3) definición de medida de Lebesgue y conjuntos medibles, y 4) teoremas clave sobre cómo una función satisface las propiedades de una medida. El objetivo es establecer una teoría general de medida de conjuntos que generalice conceptos como longitud, área y volumen.
Este documento presenta una muestra de actividades para una unidad sobre conjuntos de números para un curso de álgebra superior. Incluye ejemplos de actividades sobre propiedades de los números naturales, inducción matemática, el principio del buen orden, divisibilidad, congruencia y una evidencia de aprendizaje. El facilitador debe crear nuevos ejercicios para las actividades y no enviar este documento tal cual a los estudiantes.
Este documento presenta la unidad 4 sobre la integral de Lebesgue. Introduce los antecedentes históricos que motivaron el desarrollo de la integral de Lebesgue, incluyendo limitaciones de la integral de Riemann. Define formalmente la integral de Lebesgue para funciones medibles no negativas sobre conjuntos de medida finita y establece algunas de sus propiedades fundamentales como el lema de Fatou. Finalmente, incluye ejemplos y actividades para aplicar el cálculo de la integral de Lebesgue.
Este documento presenta la Unidad 1 de Análisis Matemático II sobre la aproximación de funciones continuas. La unidad cubre series de números, incluyendo criterios de convergencia como el criterio de comparación y el teorema de Leibniz. También introduce el teorema de aproximación de Weierstrass, el cual establece que toda función continua puede aproximarse uniformemente por polinomios. La unidad concluye con actividades para practicar los conceptos aprendidos.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la integral de Lebesgue. Comienza discutiendo las deficiencias de la integral de Riemann y la necesidad de una nueva definición de integral. Luego introduce los principios de Littlewood y la definición formal de la integral de Lebesgue, incluyendo teoremas de convergencia. Finalmente, analiza la derivación e integración de funciones medibles y el cálculo de integrales de funciones integrables.
Este documento presenta el índice general de un libro sobre álgebra homológica y álgebra conmutativa. El libro consta de cinco capítulos que tratan sobre álgebra homológica, incluyendo funtores derivados y sus aplicaciones, así como tres capítulos sobre álgebra conmutativa, incluyendo geometría afín, anillos locales y regularidad. El libro combina estas dos áreas de las matemáticas y proporciona los fundamentos necesarios para la teoría de esquemas.
Este documento discute la relación entre dos propiedades de los números reales R: ser un cuerpo ordenado completo y ser un espacio métrico completo. Explica que R es un cuerpo ordenado completo debido al axioma de supremo, el cual garantiza que cualquier subconjunto no vacío y acotado superiormente tiene un supremo. También es un espacio métrico completo ya que toda sucesión de Cauchy en R es convergente. Finalmente, analiza cómo estas dos nociones de completitud están relacionadas a través del teorema de Arquímedes y
Ejemplos de las bases para demostraciones matemáticas, usando unas cuantas pr...James Smith
¿Cómo se desarrollan las fórmulas para áreas, etc? Y ¿cómo podemos saber que son correctas? Dudas muy intelligentes y razonables, éstas, a las que intento responder en este documento.
Este documento presenta un capítulo sobre mecánica general y conceptos para su aplicación en biomedicina. Introduce la biomecánica como una combinación de física y biología, y explica que el curso cubrirá conceptos estáticos como sumas y restas de vectores, equilibrio, palancas y centro de masa, así como conceptos dinámicos como las leyes de Newton, roce, trabajo y energía y cantidad de movimiento. También incluye ejemplos de sumas de vectores usando métodos gráficos y analíticos para calc
Este documento trata sobre los primeros momentos de área. Explica que los primeros momentos de área son las distancias desde los ejes X e Y hasta una figura, y provee una fórmula para calcularlos. Los primeros momentos de área son útiles para determinar la ubicación del centroide de una figura. El documento concluye explicando que determinar los primeros momentos de área es el primer paso para encontrar el centroide, y que se necesitan más ejercicios de práctica.
Este documento describe varias curvas planas importantes, incluyendo la bruja de Agnesi, el caracol de Pascal, la cardioide, las cónicas (elipse, parábola e hipérbola), la cisoide, la cicloide, la catenaria y la circunferencia. Proporciona las ecuaciones paramétricas y cartesianas de cada curva así como algunas de sus propiedades geométricas fundamentales.
El documento resume conceptos matemáticos como el teorema de Pitágoras, fórmulas generales de ecuaciones de segundo grado, productos notables, funciones trigonométricas y sus inversas, área y perímetro de figuras geométricas, factorización, y transformaciones geométricas como rotación, traslación, y simetrías axial y central. Incluye enlaces a ejercicios y ejemplos para cada tema.
Este documento presenta una introducción a las funciones vectoriales de una variable real. Explica que una función vectorial mapea números reales a vectores, y que puede escribirse como una función componente. Incluye ejemplos de funciones vectoriales y sus trayectorias. También cubre conceptos como límites, continuidad, derivadas e integrales de funciones vectoriales.
1) El documento introduce el tema de los espacios vectoriales, que proveen un marco teórico para conceptos como matrices y vectores. 2) Explica que un espacio vectorial es un conjunto sobre el cual se definen operaciones de suma y producto escalar que cumplen ciertas propiedades. 3) Enumera las ocho propiedades básicas que debe cumplir una cuádrupla para definir un espacio vectorial.
Este documento introduce los conceptos básicos de haces de matrices y su equivalencia. Un haz de matrices es una matriz polinómica de grado ≤ 1, es decir de la forma λB - A. Se definen la equivalencia y equivalencia estricta de haces. La equivalencia estricta requiere que las matrices de cambio de base sean constantes, mientras que la equivalencia solo requiere que sean polinómicas. Se introduce también el rango normal de un haz. El objetivo del documento es establecer un criterio para determinar la equivalencia estricta de dos haces.
Este capítulo introduce los conceptos básicos de los espacios normados y de Banach. Se define un espacio normado como un espacio vectorial provisto de una norma, generalizando las nociones de valor absoluto y módulo. Los espacios de Banach son espacios normados completos respecto a la métrica inducida por la norma. Se presentan ejemplos clásicos de espacios normados y se estudian las aplicaciones lineales continuas entre ellos. Finalmente, se define el dual de un espacio normado.
Este documento presenta conceptos básicos de logaritmos, trigonometría y ángulos. Define logaritmos, funciones logarítmicas y sus propiedades. Explica el concepto de ángulo, sistemas de medición, clasificación de triángulos y teorema de Pitágoras. También define funciones trigonométricas, razones trigonométricas y resuelve ejercicios aplicando estas nociones.
Este documento describe el método numérico de Runge-Kutta para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y proporciona el código utilizado para implementar el método. Explica que Runge-Kutta extiende la idea geométrica del método de Euler utilizando varias derivadas intermedias en lugar de una sola para aproximar mejor la función desconocida. También muestra resultados obtenidos al aplicar el método a una ecuación diferencial específica y discute la representación de soluciones para diferentes condiciones iniciales.
Este documento presenta un libro de problemas resueltos de geometría diferencial. El libro contiene cinco capítulos que cubren temas como curvas, superficies, curvatura de superficies y el teorema de Gauss-Bonnet. El prefacio explica que el objetivo del libro es servir como texto para un primer curso de geometría diferencial, presentando los temas de manera simple y directa sin demostraciones. La parte más importante son los problemas resueltos, que sirven para fijar ideas y permitir que el lector compruebe sol
Este documento introduce las figuras geométricas más simples como segmentos, triángulos y tetraedros. Explica cómo calcular la longitud de un segmento, el área de un triángulo y el volumen de un tetraedro usando determinantes y coordenadas cartesianas. También establece convenciones para interpretar el signo de estas expresiones analíticas en términos geométricos, como si el área o volumen es positivo o negativo dependiendo del orden de los vértices.
Este documento presenta un libro sobre vectores y matrices. Introduce el concepto de coordenadas cartesianas en el plano y define el espacio vectorial R2. Explica cómo representar vectores geométricamente y calcular su magnitud y dirección. Luego cubre temas como la suma y multiplicación de vectores, producto escalar, ángulo entre vectores, descomposición de vectores, proyecciones ortogonales y área de figuras planas. Finalmente, extiende estos conceptos al espacio tridimensional R3 y presenta matrices y determinantes.
(1) La integral de Riemann-Stieltjes es una generalización de la integral de Cauchy-Riemann que integra una función según otra función utilizando los valores de la segunda función en lugar de las medidas de los subintervalos. (2) Se puede reducir a una integral de Riemann cuando la función según la cual se integra es diferenciable. (3) Para una función escalonada, la integral de Stieltjes es igual a la suma de los valores de la función en los puntos de discontinuidad multiplicados por los saltos.
Este documento presenta un breve resumen de la historia de las ecuaciones diferenciales. Comienza con las primeras soluciones de ecuaciones diferenciales de primer orden a finales del siglo XVII. Luego, describe cómo Leibniz, Huygens y Bernoulli resolvieron de forma independiente la ecuación diferencial que describe la forma de una catenaria a principios del siglo XVIII. Finalmente, resume los avances en el estudio de ecuaciones diferenciales de segundo orden realizados por Bernoulli y Euler en el siglo XVIII.
Este documento presenta tres métodos para aproximar el valor de una integral definida: el método del punto medio, el método del trapecio y el método de Simpson. Explica cada método dividiendo el intervalo en subintervalos y evaluando la función en puntos específicos para aproximar el área bajo la curva representada por la integral. También incluye un ejemplo numérico para ilustrar el método del punto medio.
Aplicación e importancia de las funciones trigonométricas e hiperbólicas y s...dinorkis
1) Las funciones trigonométricas, hiperbólicas, exponenciales y logarítmicas tienen numerosas aplicaciones en la vida cotidiana y en campos como las matemáticas, física, economía y la ingeniería. 2) Las funciones describen las relaciones entre conjuntos de valores y pueden usarse para modelar fenómenos periódicos. 3) El álgebra, la geometría y el cálculo infinitesimal, que incluye el cálculo diferencial e integral, son ramas fundamentales de las matemáticas con amplias aplicaciones
Euclides y Eudoxo introdujeron conceptos básicos de longitud, área y volumen. Arquímedes calculó el área del círculo. Cantor y Peano definieron la medida de conjuntos. Borel estableció una medida aditiva numerable. Los fractales son objetos cuya estructura se repite a diferentes escalas, con detalle a cualquier escala y dimensión fractal distinta de la topológica. Ejemplos son la curva de Koch, el conjunto de Cantor y el triángulo de Sierpinski.
El documento trata sobre la teoría de la medición y sus principios en el contexto educativo. Explica que la medición es una descripción cuantitativa que compara un objeto con un patrón establecido. Las pruebas estandarizadas son instrumentos que miden los logros de los estudiantes de manera objetiva y estadística para determinar el alcance de los aprendizajes y las fortalezas y debilidades. Finalmente, la evaluación educativa es necesaria para garantizar la calidad del proceso educativo y verificar el cumplimiento de los objetivos
Este documento discute la relación entre dos propiedades de los números reales R: ser un cuerpo ordenado completo y ser un espacio métrico completo. Explica que R es un cuerpo ordenado completo debido al axioma de supremo, el cual garantiza que cualquier subconjunto no vacío y acotado superiormente tiene un supremo. También es un espacio métrico completo ya que toda sucesión de Cauchy en R es convergente. Finalmente, analiza cómo estas dos nociones de completitud están relacionadas a través del teorema de Arquímedes y
Ejemplos de las bases para demostraciones matemáticas, usando unas cuantas pr...James Smith
¿Cómo se desarrollan las fórmulas para áreas, etc? Y ¿cómo podemos saber que son correctas? Dudas muy intelligentes y razonables, éstas, a las que intento responder en este documento.
Este documento presenta un capítulo sobre mecánica general y conceptos para su aplicación en biomedicina. Introduce la biomecánica como una combinación de física y biología, y explica que el curso cubrirá conceptos estáticos como sumas y restas de vectores, equilibrio, palancas y centro de masa, así como conceptos dinámicos como las leyes de Newton, roce, trabajo y energía y cantidad de movimiento. También incluye ejemplos de sumas de vectores usando métodos gráficos y analíticos para calc
Este documento trata sobre los primeros momentos de área. Explica que los primeros momentos de área son las distancias desde los ejes X e Y hasta una figura, y provee una fórmula para calcularlos. Los primeros momentos de área son útiles para determinar la ubicación del centroide de una figura. El documento concluye explicando que determinar los primeros momentos de área es el primer paso para encontrar el centroide, y que se necesitan más ejercicios de práctica.
Este documento describe varias curvas planas importantes, incluyendo la bruja de Agnesi, el caracol de Pascal, la cardioide, las cónicas (elipse, parábola e hipérbola), la cisoide, la cicloide, la catenaria y la circunferencia. Proporciona las ecuaciones paramétricas y cartesianas de cada curva así como algunas de sus propiedades geométricas fundamentales.
El documento resume conceptos matemáticos como el teorema de Pitágoras, fórmulas generales de ecuaciones de segundo grado, productos notables, funciones trigonométricas y sus inversas, área y perímetro de figuras geométricas, factorización, y transformaciones geométricas como rotación, traslación, y simetrías axial y central. Incluye enlaces a ejercicios y ejemplos para cada tema.
Este documento presenta una introducción a las funciones vectoriales de una variable real. Explica que una función vectorial mapea números reales a vectores, y que puede escribirse como una función componente. Incluye ejemplos de funciones vectoriales y sus trayectorias. También cubre conceptos como límites, continuidad, derivadas e integrales de funciones vectoriales.
1) El documento introduce el tema de los espacios vectoriales, que proveen un marco teórico para conceptos como matrices y vectores. 2) Explica que un espacio vectorial es un conjunto sobre el cual se definen operaciones de suma y producto escalar que cumplen ciertas propiedades. 3) Enumera las ocho propiedades básicas que debe cumplir una cuádrupla para definir un espacio vectorial.
Este documento introduce los conceptos básicos de haces de matrices y su equivalencia. Un haz de matrices es una matriz polinómica de grado ≤ 1, es decir de la forma λB - A. Se definen la equivalencia y equivalencia estricta de haces. La equivalencia estricta requiere que las matrices de cambio de base sean constantes, mientras que la equivalencia solo requiere que sean polinómicas. Se introduce también el rango normal de un haz. El objetivo del documento es establecer un criterio para determinar la equivalencia estricta de dos haces.
Este capítulo introduce los conceptos básicos de los espacios normados y de Banach. Se define un espacio normado como un espacio vectorial provisto de una norma, generalizando las nociones de valor absoluto y módulo. Los espacios de Banach son espacios normados completos respecto a la métrica inducida por la norma. Se presentan ejemplos clásicos de espacios normados y se estudian las aplicaciones lineales continuas entre ellos. Finalmente, se define el dual de un espacio normado.
Este documento presenta conceptos básicos de logaritmos, trigonometría y ángulos. Define logaritmos, funciones logarítmicas y sus propiedades. Explica el concepto de ángulo, sistemas de medición, clasificación de triángulos y teorema de Pitágoras. También define funciones trigonométricas, razones trigonométricas y resuelve ejercicios aplicando estas nociones.
Este documento describe el método numérico de Runge-Kutta para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y proporciona el código utilizado para implementar el método. Explica que Runge-Kutta extiende la idea geométrica del método de Euler utilizando varias derivadas intermedias en lugar de una sola para aproximar mejor la función desconocida. También muestra resultados obtenidos al aplicar el método a una ecuación diferencial específica y discute la representación de soluciones para diferentes condiciones iniciales.
Este documento presenta un libro de problemas resueltos de geometría diferencial. El libro contiene cinco capítulos que cubren temas como curvas, superficies, curvatura de superficies y el teorema de Gauss-Bonnet. El prefacio explica que el objetivo del libro es servir como texto para un primer curso de geometría diferencial, presentando los temas de manera simple y directa sin demostraciones. La parte más importante son los problemas resueltos, que sirven para fijar ideas y permitir que el lector compruebe sol
Este documento introduce las figuras geométricas más simples como segmentos, triángulos y tetraedros. Explica cómo calcular la longitud de un segmento, el área de un triángulo y el volumen de un tetraedro usando determinantes y coordenadas cartesianas. También establece convenciones para interpretar el signo de estas expresiones analíticas en términos geométricos, como si el área o volumen es positivo o negativo dependiendo del orden de los vértices.
Este documento presenta un libro sobre vectores y matrices. Introduce el concepto de coordenadas cartesianas en el plano y define el espacio vectorial R2. Explica cómo representar vectores geométricamente y calcular su magnitud y dirección. Luego cubre temas como la suma y multiplicación de vectores, producto escalar, ángulo entre vectores, descomposición de vectores, proyecciones ortogonales y área de figuras planas. Finalmente, extiende estos conceptos al espacio tridimensional R3 y presenta matrices y determinantes.
(1) La integral de Riemann-Stieltjes es una generalización de la integral de Cauchy-Riemann que integra una función según otra función utilizando los valores de la segunda función en lugar de las medidas de los subintervalos. (2) Se puede reducir a una integral de Riemann cuando la función según la cual se integra es diferenciable. (3) Para una función escalonada, la integral de Stieltjes es igual a la suma de los valores de la función en los puntos de discontinuidad multiplicados por los saltos.
Este documento presenta un breve resumen de la historia de las ecuaciones diferenciales. Comienza con las primeras soluciones de ecuaciones diferenciales de primer orden a finales del siglo XVII. Luego, describe cómo Leibniz, Huygens y Bernoulli resolvieron de forma independiente la ecuación diferencial que describe la forma de una catenaria a principios del siglo XVIII. Finalmente, resume los avances en el estudio de ecuaciones diferenciales de segundo orden realizados por Bernoulli y Euler en el siglo XVIII.
Este documento presenta tres métodos para aproximar el valor de una integral definida: el método del punto medio, el método del trapecio y el método de Simpson. Explica cada método dividiendo el intervalo en subintervalos y evaluando la función en puntos específicos para aproximar el área bajo la curva representada por la integral. También incluye un ejemplo numérico para ilustrar el método del punto medio.
Aplicación e importancia de las funciones trigonométricas e hiperbólicas y s...dinorkis
1) Las funciones trigonométricas, hiperbólicas, exponenciales y logarítmicas tienen numerosas aplicaciones en la vida cotidiana y en campos como las matemáticas, física, economía y la ingeniería. 2) Las funciones describen las relaciones entre conjuntos de valores y pueden usarse para modelar fenómenos periódicos. 3) El álgebra, la geometría y el cálculo infinitesimal, que incluye el cálculo diferencial e integral, son ramas fundamentales de las matemáticas con amplias aplicaciones
Euclides y Eudoxo introdujeron conceptos básicos de longitud, área y volumen. Arquímedes calculó el área del círculo. Cantor y Peano definieron la medida de conjuntos. Borel estableció una medida aditiva numerable. Los fractales son objetos cuya estructura se repite a diferentes escalas, con detalle a cualquier escala y dimensión fractal distinta de la topológica. Ejemplos son la curva de Koch, el conjunto de Cantor y el triángulo de Sierpinski.
El documento trata sobre la teoría de la medición y sus principios en el contexto educativo. Explica que la medición es una descripción cuantitativa que compara un objeto con un patrón establecido. Las pruebas estandarizadas son instrumentos que miden los logros de los estudiantes de manera objetiva y estadística para determinar el alcance de los aprendizajes y las fortalezas y debilidades. Finalmente, la evaluación educativa es necesaria para garantizar la calidad del proceso educativo y verificar el cumplimiento de los objetivos
Este documento presenta ejemplos resueltos de integrales de línea y de contorno de variables reales y complejas, así como ejercicios propuestos sin resolver. Se explican conceptos como la evaluación de integrales de contorno usando el teorema fundamental del cálculo y se resuelven problemas aplicando técnicas como sustituir la parametrización de la curva en la integral.
1. El documento presenta ejercicios resueltos sobre números complejos, incluyendo la interpretación geométrica de la suma y el producto de números complejos, y la demostración de que si tres puntos forman un triángulo equilátero, su suma es igual al producto de sus coordenadas.
2. Se explica cómo encontrar los vértices de un triángulo equilátero centrado en el origen con un vértice en (1,0).
3. Se muestra cómo expresar la ecuación de una circunferencia en función de las coord
1er Trabajo de Matemática Aplicada II - Numeros Complejos - UNTECSIng. Electrónica xD
Ejercicios resueltos del Capítulo Integrales Complejas del Libro Variable Compleja - Murray Spiegel.
Trabajo hecho por los Alumnos:
Concha Sandoval Marvin Thomas
Cahuana Gomez Gustavo Antonio
Panta Vasquez Luis Miguel
Quintana Peña Emerson
Pocco Taype Alberto
Ing. Electrónica - V ciclo
UNTECS
Este documento es un curso sobre análisis complejo que incluye seis capítulos. Introduce los números complejos y funciones elementales, la teoría de Cauchy elemental, propiedades locales de funciones holomorfas, la forma general del teorema de Cauchy y singularidades aisladas de funciones holomorfas. El documento proporciona definiciones, teoremas, ejemplos resueltos y ejercicios para cada tema.
Este documento presenta la resolución de 6 problemas relacionados con números complejos y ecuaciones. Los problemas incluyen calcular raíces y valores de expresiones complejas, hallar áreas definidas por desigualdades de módulos de números complejos, y determinar el número de soluciones de una ecuación cuadrática. Cada problema contiene los pasos de resolución detallados.
2do Trabajo de Matemática Aplicada II - Limites y continuidad en complejos - ...Ing. Electrónica xD
El documento presenta soluciones a problemas de funciones, límites y continuidad complejos. Incluye gráficas de funciones complejas y cálculos para hallar valores y representaciones gráficas.
Las ecuaciones con números complejos pueden tener una solución compleja o una solución que involucre partes de un número complejo. Para resolver ecuaciones con soluciones que involucren partes de un complejo, generalmente se debe dividir la ecuación en partes reales e imaginarias y tratarlas como un sistema de ecuaciones.
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con números complejos. Introduce conceptos como raíces de números negativos, potencias de i, sumas y multiplicaciones de números complejos, ecuaciones de segundo grado y representaciones gráficas. El documento proporciona ejemplos para practicar operaciones básicas con números complejos como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
1) La transformada de Fourier permite representar funciones en el dominio de la frecuencia obteniendo una expresión matemática conocida como la transformada de Fourier de la función original. 2) Extendiendo las series de Fourier, la transformada de Fourier puede aplicarse también a funciones no periódicas mediante el uso de una integral en lugar de una suma. 3) La transformada de Fourier y su inversa son herramientas matemáticas útiles para resolver problemas al transformarlos a un dominio donde pueden ser más sencillos de resolver.
Este documento explica los sistemas de ecuaciones de primer grado. Define un sistema de ecuaciones como un conjunto de ecuaciones donde se buscan los valores de las incógnitas para satisfacer ambas ecuaciones. Explica tres métodos para resolver sistemas: igualación, sustitución y reducción. Finalmente, proporciona ejercicios de práctica para aplicar estos métodos.
Variable Compleja con Aplicaciones - David Wunch (Capitulo 1)Miguel Macias Rossi
La Unión Europea ha acordado un paquete de sanciones contra Rusia por su invasión de Ucrania. Las sanciones incluyen restricciones a las importaciones de productos rusos clave como el acero y la madera, así como medidas contra bancos y funcionarios rusos. Los líderes de la UE esperan que las sanciones aumenten la presión económica sobre Rusia y la disuadan de continuar su agresión contra Ucrania.
Este documento explica los conceptos básicos de la transformada de Fourier discreta (DFT), incluyendo cómo representa una señal en el dominio de la frecuencia en lugar del tiempo, cómo calcular la DFT de manera directa y por correlación, y cómo representar la salida en notación polar. También describe cómo la DFT se puede usar para analizar espectralmente una señal y caracterizar sistemas a través de su respuesta en frecuencia.
Este documento presenta varias páginas web interesantes sobre las matemáticas, incluyendo enciclopedias, calculadoras, biografías de matemáticos, juegos, problemas y más. Algunos sitios recomendados son Enciclopedia Matemática, Sectormatemática.cl, Tareas-ya.com y Matemalia.tk, los cuales ofrecen recursos educativos sobre diversos temas matemáticos de manera divertida e interactiva. El autor invita al lector a visitar estas páginas para explorar y apre
Resoluciones de "problemas de construcción" geométricos por medio de la geome...James Smith
(Por favor, busquen mis recursos más recientes en SlideShare acerca del álgebra geométrica. Ya tengo soluciones para otros problemas, y he mejorado aquellas que vienen en el presente.) Es impactante, y aleccionador, constrastar cómo los dos métodos usan elementos distintos, de un mismo problema, para resolverlo. UN AVISO: versiones mejoradas de las resoluciones vectoriales se presentan en el documento http://www.slideshare.net/JamesSmith245/rotations-of-vectors-via-geometric-algebra-explanation-and-usage-in-solving-classic-geometric-construction-problems-version-of-11-february-2016 .
Véanse también:
http://www.slideshare.net/JamesSmith245/solution-of-the-special-case-clp-of-the-problem-of-apollonius-via-vector-rotations-using-geometric-algebra
http://www.slideshare.net/JamesSmith245/solution-of-the-ccp-case-of-the-problem-of-apollonius-via-geometric-clifford-algebra
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http://www.slideshare.net/JamesSmith245/a-very-brief-introduction-to-reflections-in-2d-geometric-algebra-and-their-use-in-solving-construction-problems
10 GuíA No 2 Semejanza Y Proporcionalidad Periodo IJuan Galindo
Este documento presenta una guía de aprendizaje sobre semejanza y triángulos rectángulos para estudiantes de décimo grado. La guía incluye información sobre el teorema de Thales, el teorema de Pitágoras, figuras semejantes y la relación entre las áreas de figuras semejantes. También presenta actividades prácticas como medir alturas con espejos y calcular áreas para reforzar los conceptos matemáticos.
Este documento presenta una introducción a la cinemática en una dimensión. Explica conceptos fundamentales como posición, velocidad, aceleración y sus relaciones. Incluye secciones sobre gráficos comunes como rectas y parábolas, y sus ecuaciones. También cubre temas como velocidad constante, media e instantánea, y movimiento con aceleración constante.
Este documento presenta un módulo de aprendizaje sobre vectores. Introduce conceptos clave como magnitudes físicas, coordenadas rectangulares y polares, y transformaciones entre sistemas de coordenadas. Explica cómo representar vectores en coordenadas cartesianas usando pares ordenados o vectores unitarios, y cómo calcular las coordenadas polares de un vector a partir de sus componentes rectangulares usando trigonometría. También cubre sumas y multiplicaciones de vectores.
Exploracion de algunos conceptos geometricos no convencionales en el triang...Eugenio Theran Palacio
Este documento describe una exploración de conceptos geométricos no convencionales como escintor, mescintor y vescintor en triángulos utilizando el software Cabri Geometre. Los autores validan estos conceptos y encuentran soluciones al problema del granjero dividiendo un terreno triangular entre sus hijos de manera equitativa. El documento propone definiciones formales para estos conceptos y técnicas para explorarlos que podrían aplicarse a otros problemas de división óptima.
El documento resume la evolución del Sistema Internacional de Unidades (SI) desde su creación durante la Revolución Francesa hasta su definición actual. Explica que el SI se basa en unidades fundamentales como el metro, el kilogramo y el segundo, y define las unidades derivadas en términos de las fundamentales usando fórmulas dimensionales. También describe las magnitudes escalares y vectoriales en física, y los procedimientos para realizar operaciones con vectores como la suma, resta, producto escalar y producto vectorial.
El documento describe la evolución histórica del cálculo diferencial desde la antigua Grecia hasta el siglo XVIII. Comenzó con los trabajos de Arquímedes y Eudoxio en el cálculo de áreas y volúmenes usando el método de exhausción. En el siglo XVII, matemáticos como Descartes y Fermat desarrollaron los conceptos de tangente, máximo y mínimo. Newton y Leibniz unificaron el cálculo diferencial y integral y establecieron los fundamentos del cálculo. En el siglo XVIII
Este documento presenta la unidad 5 de trigonometría de un curso de matemáticas. Introduce los conceptos básicos de ángulos y razones trigonométricas, y explica cómo calcular los lados de triángulos rectángulos usando las funciones trigonométricas. Incluye ejercicios para practicar la conversión entre grados sexagesimales, centesimales y radianes, y la solución de problemas geométricos usando razones trigonométricas.
El documento trata sobre el análisis dimensional. Explica que las magnitudes físicas se pueden clasificar en fundamentales y derivadas, y que el Sistema Internacional de Unidades establece las unidades de las magnitudes fundamentales. Además, introduce conceptos como la fórmula dimensional, las dimensiones y las reglas dimensionales para relacionar magnitudes. Finalmente, presenta ejemplos de cálculos dimensionales.
Este informe presenta los resultados de un experimento para determinar las ecuaciones empíricas que relacionan el periodo de un péndulo simple con su masa y longitud. Se realizaron mediciones variando la masa y manteniendo constante la longitud, y viceversa, para construir tablas de datos y gráficas. Los análisis por método geométrico y de mínimos cuadrados llevaron a las ecuaciones T=1.75+0.0001M para masa y T=0.197L^0.5 para longitud. El cálculo de la
Este documento presenta una guía de aprendizaje sobre números irracionales para estudiantes de octavo grado. La guía incluye información histórica sobre el descubrimiento de los números irracionales, ejercicios para practicar el teorema de Pitágoras, y direcciones para representar números irracionales en una línea numérica. El objetivo es que los estudiantes aprendan a asociar representaciones gráficas y numéricas de cantidades inconmensurables.
Paso 3- Profundizar y contextualizar el conocimiento de la unidad 2..pptxtatianamonterrosa1
Este documento presenta información sobre álgebra, trigonometría y geometría analítica. Explica conceptos como funciones trigonométricas, dominio, codominio y rango de funciones. También define las funciones seno, coseno y tangente y presenta ejemplos de cálculo de razones trigonométricas utilizando triángulos rectángulos. Finalmente, resume el teorema de Pitágoras y su aplicación para calcular lados desconocidos en triángulos rectos.
Este documento presenta el plan de estudio de la asignatura de Biofísica. Se compone de 6 unidades que cubren temas como medición y vectores, biomecánica, biofísica cardíaca y respiratoria, biofísica de los sentidos, biofísica de los fenómenos bioeléctricos y medicina nuclear con diagnóstico por imágenes. La primera unidad se enfoca en conceptos básicos de medición, errores, unidades del SI, vectores y sus operaciones.
El análisis dimensional es una herramienta conceptual utilizada en física, química e ingeniería para comprender fenómenos que involucran diferentes cantidades físicas. Permite verificar relaciones y construir hipótesis sobre situaciones complejas mediante la identificación de las dimensiones de las magnitudes físicas involucradas. Se usa para simplificar problemas al reducir el número de parámetros mediante la creación de grupos adimensionales.
Este documento presenta información sobre vectores y sus elementos. Define magnitudes escalares y vectoriales, y describe las características de un vector como módulo, dirección y sentido. Explica los tipos de vectores como colineales, concurrentes, coplanares y paralelos. También describe la suma y resta vectorial utilizando métodos como el paralelogramo y poligono. Finalmente, presenta ejemplos de problemas para practicar estos conceptos.
Este documento trata sobre conceptos fundamentales de física e introduce las magnitudes físicas. Explica que la física estudia los fenómenos observables en la naturaleza y se divide en varias ramas como la mecánica y el electromagnetismo. Define las magnitudes físicas como cantidades cuantitativas que se expresan mediante números y unidades de medida. Finalmente, describe los sistemas internacional y CGS de unidades, así como conceptos como magnitudes fundamentales, derivadas, escalares y vectoriales.
Este documento presenta un taller sobre álgebra lineal. Explica cómo hallar el sentido, ángulo y magnitud de un vector, así como el teorema de Pitágoras y cómo medir segmentos y encontrar coordenadas de vectores. Luego, resuelve tres ejercicios para calcular la magnitud de vectores dados sus coordenadas.
¿PUEDE RESPONDERSE A LA PREGUNTA: “¿CÓMO LOS MÉTODOS TRASCENDENTES TRASCIENDE...AndresCardonaForero
El documento presenta una exposición de resultados y enfoques acerca de la trascendencia en matemáticas y su evolución. Introduce conceptos como los números algebraicos, irracionales y trascendentes. Resume los trabajos pioneros de Euler, Liouville, Hermite y Lindemann sobre el número e y π, demostrando que son trascendentes. Explica cómo históricamente se ampliaron los conjuntos de números y operaciones para resolver nuevos problemas, llevando al descubrimiento de números irracionales y trascendentes.
Este documento trata sobre magnitudes físicas y vectores. Explica conceptos como el sistema internacional de unidades, magnitudes escalares y vectoriales, y operaciones con vectores como suma, resta, producto escalar y producto vectorial. También presenta ejemplos del método científico y aplicaciones de vectores en física.
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5. Capítulo 1
INTRODUCCIÓN
1.1 ÁLGEBRA GEOMÉTRICA
Tras el descubrimiento de los incomensurables en la escuela pitagórica del siglo V
a.c., y el consiguiente fracaso de la aritmetización de la geometría, se empieza a hacer
álgebra geométrica.
Dados dos segmentos, pudiera ocurrir que no existiese una unidad de medida
común, como por ejemplo ocurre en:
1. El lado del pentágono y su diagonal.
2. El lado del cuadrado y su diagonal.
6. 6 INTRODUCCIÓN
Lo que pone fin a la Teoría atómica de la extensión geométrica, según la cual,
los segmentos de la geometría están compuestos por puntos extensos.
Si esta Teoría fuera cierta, sería posible encontrar para dos segmentos cua-
lesquiera, AB y CD, una unidad de medida común u a ambos, de tal forma que
AB = nu
CD = mu
para lo cual bastaría con aplicar el algoritmo de Euclides, es decir, hallar el “m.c.d.”
restando geométricamente el segmento pequeño al grande hasta que el resto sea el
segmento nulo,es decir, hasta una división geométrica exacta. Proceso que bajo las
hipótesis de la Teoría atómica de la extensión geométrica sería finito.
Siendo u el último segmento por el que se ha dividido, resultará ser, por
la construcción del mismo, la máxima unidad de medida común a ambos. El cual
permite asociar a cada segmento un número natural, en nuestro caso n y m, que
los mide, en el sentido de contener cada segmento esa cantidad de veces, n y m, el
segmento u.
La existencia del segmento u en las hipotesis de la Teoría atómica de la ¢
¡ exten-
sión geométrica, permite asociar a cada par ordenado de sementos AB, CD cua-
lesquiera, el par ordenado de números(n, m) que obtenemos por el proceso descrito
anteriormente o de resta mutua que los griegos llamarían antiphaieresis. Puesto que
tanto n como m son números naturales y (N, ≤) es un orden total, resuta que en las
hipotesis de la Teoría atómica de la extensión geométrica todo par de segmentos son
comparables, conmensurables, atraves de los números naturales asociados a ellos.
Definición 1 Para expresar lo dicho anteriormente, y no otra cosa, los griegos de
7. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA 7
la época escribian:
AB n
=
CD m
Observación 2 En la definición no se dice si la unidad de medida común a los
segmentos AB y CD tiene que ser la máxima unidad de medida común u, utilizada
anteriormente para hallar n y m, o vale cualquier otra. Esto es así, porque, de
hecho, no importa cual sea la unidad de medida común, a los segmentos AB y CD,
AB
que utilizemos: la relación CD no dependerá de la unidad de medida común a los
segmentos AB y CD, que sabemos que existirá en las hipótesis de la Teoría atómica de
la extensión geométrica. Luego para comparar dos segmentos no es necesario conocer
las veces que contienen, cada uno de ellos, a un segmento que cabe una cantidad
AB
exacta de veces en ambos. Sino que basta con conocer la relación entre ambos CD . Lo
que obliga a desarrollar una Teoría de proporciones para que tenga sentido nuestra
definición. Es decir, como:
nu
AB = n0 u0 =nu ⇒ u0 =
n0
mu
CD = m0 u0 =mu ⇒ u0 =
m0
entonces
n0 AB n0 u0 n0 nu
n0 n
0
= = 0 0 = 0 mu =
m CD mu m m0 m
Esta Teoría de proporciones, que tiene sentido en el contexto de la Teoría
atómica de la extensión geométrica,en la que todo par de segmentos son conmensu-
rables, cae junto con esta a causa del descubrimiento de los incomensurables. En el
libro V de los Elementos de Euclides aparece una revisión de la Teoría de propor-
ciones, original de Eudoxo, que permite saber cuando un par ordenado de segmentos
¡ ¢
(o magnitudes arquimedianas∗ , en general) AB, CD cualesquiera es proporcional
a otro par ordenado de segmentos (o magnitudes arquimedianas, en general) (a, b);
pares ordenados que llamarán razones, sin necesidad que los segmentos (o magni-
tudes arquimedianas, en general) sean conmensurables
El descubrimiento de los incomensurables, y por tanto,de la imposibilidad de
¡ ¢
asociar a cada par ordenado de segmentos AB, CD cualesquiera, un par ordenado
∗
Dos magnitudes se dice que son arquimedianas si al mutiplicar cualquiera de ellas por si misma
un número finito de veces, suficientemente grande, podemos superar a la otra. Los griegos de la
época suponian que dos magnitudes cualesquiera de la misma ”dimensión” eran arquimedianas, y
por supuesto, si eran de distinta dimensión no.
8. 8 INTRODUCCIÓN
de números (n, m), expulsa de la geometria la aritmética. Lo que rompe con la idea
de los Pitagóricos de que todo es número, a la cual habían llegado a traves de sus
viajes a las grandes culturas de la época: la babilonica, que reducía el estudio de los
astros a números, y la egipcia que reducía el estudio del calendario y de la medida de
las tierras a números. Lo que les lleva a pensar que todo esta hecho de números, en
particular la geometría. Es por ello, que el descubrimiento de los incomensurables,
rompe con estas ideas. Distinguiendo, claramente, cantidad de magnitud. Tratando
la geometría de la magnitud, es decir, de lo infinitamente divisible. Y la aritmetica
de la cantidad, es decir, del número.
Al no poderse asociar números a segmentos no puede usarse el orden total
de los números naturales (N, ≤) para compararlos. Se empieza a hacer álgebra geo-
metrica, es decir, para sumar segmentos no se suman los números asociados a ellos,
pues pueden no existir; sino que se suman como segmentos geométicos, Y para la
comparación de segmentos, ya no se comparan los numeros asociados a ellos, pues
pueden no existir, sino que se pone uno encima de otro a partir de un extremo de uno
de ellos, y se comparan como conjuntos con el orden parcial de la inclusión. El orden
parcial de la inclusión de conjuntos restringido a “los segmentos” será un orden total.
¿Cómo se compararón “superficies en el plano”?
Si las queremos comparar como conjuntos de puntos en el plano a traves de la
inclusión de conjuntos, al ser esta relación de inclusión un orden parcial habrá figuras
planas no comparables. Como por ejemplo:
Estas figuras planas no están relacionadas por la inclusión de conjuntos al no
estar ninguna de allas contenida en la otra.
Aun así, ambas son la unión disjunta de cuatro cuadrados iguales. Por una de
las nociones comunes que aparece en el libro I de los Elementos de Euclides, que dice:
Si se añaden cosas iguales a cosas iguales, entonces los totales son también iguales;
como las dos figuras se pueden generar añadiendo magnitudes iguales (los cuadrados)
sucesivamente a figuras iguales, entonces los totales, es decir, las figuras del dibujo,
son iguales. Observese que un razonamiento basado en la aditividad de la medida,es
decir que la medida de la unión disjunta es la suma de los números asociodos, no
valdría, al hacer referencia a números asociados a figuras.
Esta idea junto con la posibilidad de reducir el problema de comparar dos
figuras planas, con la relación parcial de inclusión conjuntista, al problema de com-
parar segmetos con la relación de inclusión conjuntista, lo cual siempre será posible,
9. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA 9
permite resolver teóricamente el problema.
Para esto último, a cada figura plana le tendremos que encontrar otra figura
(por ejemplo un circulo,o un cuadrado) de igual magnitud superficial. En tal caso
la comparación de figuras planas se realiza comparando estas figuras asociadas de
igual magnitud, que por tener una forma especial (bien sea da del circulo o la del
cuadrado) son siempre comparables.
En el caso del circulo, bastaría con comparar sus radios:
Y en el caso del cuadrado, bastaría con comparar sus lados.
Los griegos de la época optarón por está última opción. Por lo cual, para com-
parar figuras planas tubieron la necesidad de encontrar cuadrados de igual magnitud
que las figuras de partida. En particular, si una de las figuras de partida es un circulo
se plantea el problema de encontrar un cuadrado de igual superficie: es el problema
de la cuadratura del circulo.
El desarrollo de la teoría de Galois en el siglo XIX permitirá demostrar que no
es posible construir con los instrumentos platónicos, es decir con la regla y el compás,
10. 10 INTRODUCCIÓN
un cuadrado cuya área coincida con la de un circulo dado. Lo cual no quiere decir
que sea implosible la cuadratura del circulo, siempre que no seamos tan exigentes en
los métodos de construcción, permitiendo la presencia de lineas que no se puedan
trazar con el úncico auxilio de la regla y el compás.
1.2 LA CUADRATURA DEL CIRCULO POR ARQUÍMEDES. EL MÉTO-
DO DE EXAHUSCIÓN DE EUDOXO.
Lema 3 (Principio de exahusción debido a Eudoxo) Dadas dos magnitudes homoge-
neas, es decir, de la misma “dimendión”, que denotaremos por M y ε; con la magnitud
ε tan pequeña como queramos. Si a la magnitud M le quito la mitad o más y a lo
que me queda le vuelvo a quitar la mitad o más, y así sucesivamente
Mn
Mn+1 <
2
M
Mn <
2n
entonces llegará un monento en el cual me quede menos que la magnitud homogenea
dada ²
∃nε : Mnε < ε
Teorema 4 (aparece en La medida del circulo de Arquímedes) El area de un circulo
C, de radio r, es igual al area de un triangulo rectangulo T con catetos: el radio el
circulo r, y la longitud de la circunferencia L
Proof. Demostraremos area (C) = area (T) por doble reducción al absurdo.
Supongamos que area (C) 6= area (T) entonces
area (C) > area (T) y llegaremos a contradicción
o bien ⇒ area (C) = area (T)
area (C) < area (T) y llegaremos a contradicción
11. Capítulo 2
FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA.
Sea I = [a, b] ⊂ < intervalo compacto de la recta real
Definición 5 Una partición de I=[a, b] ⊂ < es un conjunto finito π = {t0 , t1 , . . . , tm−1 , tm } ∈
℘(I) tal que a =t0 ≤ t1 ≤ . . . ≤ tm−1 ≤ tm = b
Sea f : I = [a, b] → < función real en I ⊂ <
y π = {t0 , t1 , . . . , tm−1 , tm } ∈ ℘(I) partición de I
Definición 6 La variación de la función f respecto de la partición π ∈ ℘(I) que
denotamos V(f,π) será:
X
m−1
V (f, π) = |f (ti+1 ) − f (ti )|
i=0
Definición 7 La variación total de la función f en I que denotamos V(f,I) será:
V (f, I) = sup V (f, π)
π∈℘(I)
Definición 8 Si la variación total de la función f en I está acotada,es decir:
V (f, I) < ∞
entonces f se dice que es de variacón acotada.
Proposición 9 Si f es una funcón monótona =⇒f es de variación acotada y
V (f, I) = |f(b) − f(a)|
Proposición 10 Se vericica para todo c ∈ (a, b) lo siguiente:
V (f, [a, b]) = V (f, [a, c]) + V (f, [c, b])
Sea f : I = [a, b] → < función de variación acotada en I = [a, b] se puede
definir la función siguiente:
F(x) =V (f, [a, x]) : [a, b] → [0, ∞]
x → F(x) =V (f, [a, x]) para todo x ∈ [a, b]
que será monótona creciente.
12. 12 FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA.
2.1 EJERCICIOS
Ejercicio 11 Calcula la variación total de las siguientes funciones en I = [0, 1] :
• f :I = [0, 1] → < tal que
½
1 para 0 ≤ x ≤ 1
2
f(x) = χ[0, 1 ] =
2 0 para 1 < x ≤1
2
f es una función monótona decreciente en [0, 1],y por lo visto en la proposicón9
f es una función de variación acotada con
V (f, [0, 1]) = |f(1) − f(0)| = 1
• f :I = [0, 1] → < tal que
0 para 0 ≤ x < 1
3
f(x) = χ[ 1 , 1 ] = 1 para 1 ≤ x ≤ 1
3 2
3 2
0 para 1 < x ≤1
2
£ ¤
sea c ∈ 1 , 1 por la proposición10 tenemosV (f, [0, 1]) = V (f, [0, c])+V (f, [c, 1])
3 2
con f monótona creciente en [0, c] y monótona decreciente en [c, 1] que
por9 resulta:
V (f, [0, c]) = |f(c) − f(0)| = 1
V (f, [c, 1]) = |f(1) − f(c)| = 1
y por tanto:
V (f, [0, 1]) = V (f, [0, c]) + V (f, [c, 1]) = 1 + 1 = 2
• f :I = [0, 1] → < tal que
0 para x =0
f(x) = χ(0, 1 ] = 1 para 0 < x ≤ 1
2
2
0 para 1 < x ≤1
2
¡ ¤
sea c ∈ 0, 1 por la proposición10 tenemosV (f, [0, 1]) = V (f, [0, c])+V (f, [c, 1])
2
con f monótona creciente en [0, c] y monótona decreciente en [c, 1] que
por9 resulta:
V (f, [0, c]) = |f(c) − f(0)| = 1
V (f, [c, 1]) = |f(1) − f(c)| = 1
y por tanto:
V (f, [0, 1]) = V (f, [0, c]) + V (f, [c, 1]) = 1 + 1 = 2
13. EJERCICIOS 13
Ejercicio 12 Calcula la variación total de las siguiente función f :I = [0, 2π] → <
definida por f (x) = sin x
1
0.5
0 1 2 3 4 5 6
x
-0.5
-1
£ ¤ £ ¤ £ ¤
Por la proposición10 tenemosV (f, [0, 1]) = V (f, 0, π )+V£(f, π¤ 3π )+V (f, 3π , 1 )con
£ π¤ 2
,
2 2 2
f monótona creciente en 0, 2 , monótona decreciente en π , 3π y monótona
£ ¤ 2 2
creciente en 3π , 1 que por9 resulta:
2
h πi ¯ π ¯
¯ ¯
V (f, 0, ) = ¯f( ) − f(0)¯ = 1
2 2
· ¸ ¯ ¯
π 3π ¯ 3π π ¯
V (f, , ) = ¯f( ) − f( )¯ = 2
¯ 2
2 2 2 ¯
· ¸ ¯ ¯
3π ¯ 3π ¯
V (f, , 1 ) = ¯f(1) − f( )¯ = 1
¯
2 2 ¯
Por tanto
h · ¸ · ¸
πi π 3π 3π
V (f, [0, 1]) = V (f, 0, ) + V (f, , ) + V (f, ,1 ) = 1 + 2 + 1 = 4
2 2 2 2
Ejercicio 13 Demostrar que la función f :I = [0, 1] → < definida por
½
0 x =o
f(x) = 1
xsen x x ∈ (0, 1]
no es una función de variación acotada
14. 14 FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA.
1
0.5
-1 -0.5 0 0.5 1
x
-0.5
-1
n o
1 1 1 1
Sea la partición de [0, 1] de n+1 subintervalos : π n = 0, π +nπ , π +(n−1)π , · · · , π +2π , π +π , 1
2 2 2 2
La variación de la función f respecto de la partición π n ∈ ℘(I) será:
Xn ¯ ¯ X ¯ ¯
¯ ¯ n−1 ¯ ¯
V (f, π n ) = ¯f ( 1 ) − f (0)¯ +
|f (ti+1 ) − f (ti )| = ¯ π ¯f (1) − f ( 1 )¯ ≥
|f (ti+1 ) − f (ti )| + ¯
+ nπ ¯ π
+π ¯
i=0 2 i=1 2
X
n−1 X¯
n−1
¯ 1 1
¯
¯
≥ |f (ti+1 ) − f (ti )| = ¯f ( ¯
¯ π + (n − i) π ) − f ( π + (n − i + 1) π )¯ =
i=1 i=1 2 2
8X X
n−1 n−1
n−i+1 n−i+1
= 2 ≥ =
π i=1 3 + 8 (n − i) + 4 (n − i) i=1
3 + 8 (n − i) + 4 (n − i)2
Tomo j=n-i
X
n−1
j+1
= → ∞
j=1
3 + 8j + 4j 2 n→∞
Luego la variación total de la función f en [0, 1] será:
V (f, [0, 1]) = sup V (f, π) ≥ V (f, π n ) → ∞
π∈℘(I) n→∞
pues π n ∈ ℘(I)
Por tanto V (f, [0, 1]) ≮ ∞ ,es decir,f no es una función de variación acotada.
Observación 14 f es una función acotada en [0, 1] y no es una función de variación
acotada en [0, 1]
Si f es una función de variación acotada en I=⇒f es una función acotada
en I.
Luego el que f sea una función acotada en I es condición necesaria pero
no condición suficiente para que f sea una función de variación acotada en I.
15. Capítulo 3
LA INTEGRAL DE RIEMANN-STIELJES.
Sea I = [a, b] ⊂ < intervalo compacto de la recta real.
Sean f, α : I = [a, b] → < funciónes reales en I ⊂ <.
Sea π = {t0 , t1 , . . . , tn−1 , tn } ∈ ℘(I) una partición de I = [a, b] como definimos
en 5
Sea c = {c1 , c2 , . . . , cn−1 , cn } con ci ∈ [ti−1 , ti ]
Definición 15 Dada π ∈ ℘(I). La Suma de Riemann-Stieljes de f respecto de α
como
X
n
S(f, α,π) = f(ci ) (α(ti ) − α(ti−1 ))
i=1
Notación 16 Norma de una partición π = {t0 , t1 , . . . , tn−1 , tn } ∈ ℘(I) es la longitud
del mayor de los subintervalos de la partición π.
kπk = max {ti+1 − ti }
0≤i≤n−1
(℘([a, b]), ⊆) es un orden parcial, pero si definimos π ≤ π0 ⇐⇒ kπk ≤ kπ 0 k entonces
(℘([a, b]), ≤) es un orden total
Observación 17
π ⊆ π 0 =⇒ π ≥ π 0
π ⊆ π0 : π ≥ π0
Definición 18 f es Riemann-Stieljes integrable respecto de α en I = [a, b], que
escribiremos ”f ∈ RS (α) en I = [a, b]” si existe lim S(f, α,π) y en tal caso se
kπk→0
define la integral de Riemann-Stieljes de f respecto de α en I como
Z b Z b
not
fdα = f(t)dα(t) = lim S(f, α,π)
a a kπk→0
16. 16 LA INTEGRAL DE RIEMANN-STIELJES.
Notación 19 Se dice que f es el integrando y que α es el integrador.
P
Observación 20 Si α(x) = id(x) = x entonces S(f,id,π) = n f(ci ) (id(ti ) − id(ti−1 )) =
Pn i=1
i=1 f(ci )(ti − ti−1 ) que es la suma de Riemann de f respecto de π ∈ ℘([a, b])
es decir, S(f,π). Y por tanto en el caso en el que el integrador sea la identidad
la integral de Riemann-Stieljes coincide con la integral de Riemann.
Observación 21 Si α es una función de variación acotada en [a, b] y f ∈ RS (α)
en [a, b], entonces f ∈ RS (α) en [a, x] para todo x ∈ [a, b] y tiene sentido definir la
siguiente función F que depende del límite superior de integración:
Z x
F(x) = fdα : [a, b] → <
a
Z x
x → F(x) = f(t)dα(t) para todo x ∈ [a, b]
a
3.1 EJERCICIOS
Ejercicio 22 Sean I = [a, b] ⊂ < y c ∈ (a, b)
f : [a, b] → < una función continua en [a, b] .
g : [a, b] → < definida por:
½
0 para a ≤ x < c
g(x) = χ[c,b] =
1 para c ≤ x ≤ b
Rb
Demostrar que f ∈ RS (g) en [a, b] y a fdg = f(c).
Sean π = {t0 , t1 , . . . , tn−1 , tn } ∈ ℘([a, b]) una partición de [a, b] y x =
{x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn } con xj ∈ [tj−1 , tj ]
Como t0 = a y tn = b existe i ∈ N,1 ≤ i ≤ n con ti ≥ c y ti−1 < c entonces
X
n
S(f, g,π) = f(xj ) (g(tj ) − g(tj−1 )) = f(xi ) (g(ti ) − g(ti−1 )) = f(xi )
j=1
Tenemos:
lim S(f, g,π) = lim f(xi )
kπk→0 kπk→0
Y como se verifica 0 ≤ (ti − ti−1 ) ≤ kπk por 16 entonces si kπk → 0 ⇒
(ti − ti−1 ) → 0
17. EJERCICIOS 17
junto con que si xi ∈ [ti−1 , ti ] y c ∈ [ti−1 , ti ] entonces
0 ≤ |xi − c| ≤ (ti − ti−1 ) → 0
kπk→0
resulta: xi → c y como f es continua en [a, b], lo es en c, y por tanto
kπk→0
f(xi ) → f(c) ⇔ lim f(xi ) = f(c)
xi →c kπk→0
Y por tanto existe
lim S(f, g,π) = lim f(xi ) = f(c)
kπk→0 kπk→0
Siendo f ∈ RS (g) en [a, b] con
Z b
fdg = lim S(f, g,π) = f(c).
a kπk→0
Ejercicio 23 Calcula las siguientes integrales de Riemann-Stieljes:
R1
• −1
xχ[0,1] (x)dχ[0,1] (x)
Sean I = [−1, 1] ⊂ < y 0 ∈ (−1, 1)
f : [−1, 1] → < definida por
½
0 para − 1 ≤ x <0
f(x) =xχ[0,1] =
x para 0 ≤ x ≤1
es una función continua en [−1, 1] .
g : [−1, 1] → < definida por:
½
0 para − 1 ≤ x <0
g(x) = χ[0,1] =
1 para 0 ≤ x ≤1
Por el ejercico anterior tenemos que f ∈ RS (g) en [−1, 1] y
Z b
fdg = f(0) = 0
a
R1
• −1
χ[0,1] (x)dχ[0,1] (x)
Sean I = [−1, 1] ⊂ < y 0 ∈ (−1, 1)
18. 18 LA INTEGRAL DE RIEMANN-STIELJES.
Sea f : [−1, 1] → < una función definida por
½
0 para − 1 ≤ x <0
f(x) = χ[0,1] =
1 para 0 ≤ x ≤1
Sean π = {t0 , t1 , . . . , tn−1 , tn } ∈ ℘([−1, 1]) una partición de [−1, 1] y x =
{x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn } con xj ∈ [tj−1 , tj ]
Como t0 = −1 y tn = 1 existe i ∈ N,1 ≤ i ≤ n con ti ≥ 0 y ti−1 < 0 entonces
X
n
¡ ¢ ¡ ¢
S(χ[0,1] , χ[0,1] ,π) = χ[0,1] (xj ) χ[0,1] (tj ) − χ[0,1] (tj−1 ) = χ[0,1] (xi ) χ[0,1] (ti ) − χ[0,1] (ti−1 ) = χ[0,1]
j=1
Tenemos:
Z 1
χ[0,1] dχ[0,1] = lim S(χ[0,1] , χ[0,1] ,π) = lim χ[0,1] (xi )
−1 kπk→0 kπk→0
con xi ∈ [ti−1 , ti ] y ti−1 < 0 ≤ ti .
Y como se verifica 0 ≤ (ti − ti−1 ) ≤ kπk por 16 entonces si kπk → 0 ⇒
(ti − ti−1 ) → 0
junto con que si xi ∈ [ti−1 , ti ] y 0 ∈ [ti−1 , ti ] entonces
0 ≤ |xi − 0| ≤ (ti − ti−1 ) → 0
kπk→0
resulta: xi → 0
kπk→0
Podemos tomar xi = 0 ∈ [ti−1 , ti ] para toda π ∈ ℘([−1, 1]) resutando:
lim χ[0,1] (xi ) = lim χ[0,1] (0) = lim 1 = 1
kπk→0 kπk→0 kπk→0
También podemos tomar xi ∈ [ti−1 , ti ] para toda π ∈ ℘([−1, 1]) de forma que
xi → 0 y xi < 0, pues xi ∈ [ti−1 , ti ] y ti−1 < 0 ≤ ti , resultando:
kπk→0
lim χ[0,1] (xi ) = 0
kπk→0
Y por tanto no existe lim S(χ[0,1] , χ[0,1] ,π) = lim χ[0,1] (xi )
kπk→0 kπk→0
Es decir, χ[0,1] no es Riemann-Stieljes integrable respecto de χ[0,1] en [−1, 1]
R1
• −1
χ(0,1] (x)dχ[0,1] (x)
Sean I = [−1, 1] ⊂ < y 0 ∈ (−1, 1)
20. 20 LA INTEGRAL DE RIEMANN-STIELJES.
Observación 24 Si en lugar de la definición dada en 18 para la integral de Riemann-
Stieljes consideramos esta otra, como hacen en algunos libros:
Definición 25 f es Riemann-Stieljes integrable respecto de α en I = [a, b], que
escribiremos ”f ∈ RS (α) en I = [a, b]” si existe un número real J con la siguiente
propiedad:∀ε > 0, ∃π ² ∈ ℘([a, b])„∀π ∈ ℘([a, b]) ∀ xπ : elección de puntos en cada
subintervalo de la partición (π ² ⊂ π =⇒ |S(f, α,π) − J| < ²)
Entonces se puede comprobar trivialmente que χ(0,1] si es Riemann-Stieljes
R1
integrable respecto de χ[0,1] en [−1, 1] y −1 χ(0,1] (x)dχ[0,1] (x) = 0,segun la definición
25. Basta tomar π ² = {t0 , t1 , . . . , tn−1 , tn } ∈ ℘([−1, 1]) con un ti = 0. Pues entonces,
para todo π ∈ ℘([−1, 1]) con π ² ⊂ π se tiene (ti = 0) ∈ π y cualquiera que sea la
elección de xi ∈ [ti−1 , ti ] ⇔ ti−1 ≤ xi ≤ ti = 0 tendremos
x ≤0
S(χ(0,1] , χ[0,1] ,π) = S(f, g,π) = χ(0,1] (xi ) i 0
=
verificandose la definición 25:
∀ε > 0, ∃π ² ∈ ℘([a, b]), , ∀π ∈ ℘([a, b])∀ xπ : (π ² ⊂ π =⇒ |S(f, g,π) − 0| < ²)
pues S(f, g,π) = 0, ∀π (π ² ⊂ π) cualquiera que sea la elección de puntos en cada
subimtervalo de π.
Y como χ[0,1] no es Riemann-Stieljes integrable respecto de χ[0,1] en [−1, 1],
observamos que, en la integral de Riemann-Stieljes, al cambiar el valor de la función
integrando en un solo punto la integral puende pasar de existir a no existir. Lo cual
no sucedía con la integral de Riemann de una función, pues podemos cambiar el valor
de ésta en una cantidad finita de puntos sin afectar a la existencia ni al valor de ésta.
21. Capítulo 4
EL PROBLEMA DE LA MEDIDA PARA SUBCONJUNTOS DE LA
RECTA REAL
4.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Sabiendo que la longitud de un intervalo de la recta real es la diferencia, en valor
absoluto, de sus puntos extremos:
long ([a, b]) = long ((a, b)) = long ([a, b)) = long ((a, b]) = |b − a|
Parece natural extender la noción de longitud a conjuntos de puntos de la rec-
ta real más complicados que los intervalos. Si exigimos a esta extención de la noción
de longitud la siguiente propiedad: la longitud de una unión disjunta de sunconjuntos
de la recta es la suma de las longitudes, pudiendo ser esta unión infinita numerable
( lo cual ya no es tan intuitivo). Tendremos, entonces,la longitud de cualquier sub-
conjunto abierto de la recta real. Pues todo subconjunto abierto de la recta real es
unión numerable de intervalos abiertos disjuntos, cuya longitud podemos calcular y,
por tanto, la longitud de todo subconjunto abierto de la recta real es suma de las lon-
gitudes de esos intervalos abiertos que lo componen. Pero la clase de los subconjuntos
abiertos de R no cubre cualquier subconjunto de R.
Se pretende construir una función m de conjunto:
m : ℘(R) → [0, ∞]
con las siguientes propiedades:
1. m ([0, 1]) = 1
2. m invariante por isometrías, que en la recta real son las traslaciones. Es de-
cir,cualqiera que sea el subconjunto de la recta real E, tenemos
m (E + a) = m (E) ∀a ∈ R
siendo E + a = {x + a : x ∈ E}
3. (Aditividad numerable).Si {En }n∈N ⊂ ℘(R) disjuntos dos a dos, entonces:
³ ∞
´ X
∞
m ∪ En = m (En )
n=1
n=1
22. 22 EL PROBLEMA DE LA MEDIDA PARA SUBCONJUNTOS DE LA RECTA REAL
De estas tres propiedades se deduce:
• para cada intervalo I ⊂ ℘(R) resulta m (I) = longitud(I) , luego, utilizando
que m invariante por isometrías, tenemos m ({a}) = 0
• m esta univocamente definida en los subconjuntos abiertos de R.
• m (∅) = 0 , pues, por la aditividad numerable aplicada a la sucesión {∅}n∈N ⊂
℘(R) de conjuntos disjuntos dos a dos,tenemos:
³ ∞
´ X∞
m (∅) = m ∪∅ = m (∅) ⇒ m (∅) = 0 por ser m (∅) ≥ 0
n=1
n=1
• m es función de conjunto monótona, es decir, ∀A, B ∈ ℘(R)
A ⊂ B =⇒ m (A) ≤ m (B)
por ser m (·) ≥ 0, es decir, posituva, y por la propiedad 3.
Definición 26 Las funciones de conjunto µ definidas en una σ-álgebra A de ℘(R)
µ:A→R
se dice que son una medida si verifican:
• µ es σ-aditiva, es decir:
³∞ ´ X ∞
µ ∪ An = µ (An ) ∀ {An }n∈N , con An ∈ A disjuntos dos a dos
n=1
n=1
• µ es positiva, es decir:
µ (A) ≥ 0 ∀A ∈ A
Observación 27 Todas las medidas verifican:
• (monotonía)
Si A, B ∈ A, con A ⊂ B entonces µ (A) ≤ µ (B)
• (σ-subaditividad)
³ ∞
´ X
∞
µ ∪ An ≤ µ (An ) ∀ {An }n∈N , con An ∈ A
n=1
n=1
Observación 28 m es una medida sobre ℘(R) invariante por isometrias,que en la
recta real son traslaciones. Y normalizada, es decir, m ([0, 1]) = 1, o lo que es igual,
m asigna a cada intervalo de R su longitud.
23. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 23
4.1.1 EL AXIOMA DE ELECCIÓN
Hay dos métodos para decir verdades (en un cierto lenguaje) acerca de una estructura
matemática:
Comprobando, directamente en la estructura matemática,que lo que digo es
verdad. Yendo a los objetos matemáticos mismos, haciendolos inmediatamente pre-
sentes a la intuición y comprobando que lo que se dice acerca de ellos es verdad. Los
objetos matemátcos se nos hacen presentes en la visión no sensible, y en la medida
en que las cosas de las que habla una frase pueden verse, la proposición será verdad
evidente. Ya sea en la visión sensual si el objeto es sensual, un color, un sonido, ya
sea en nuestro caso, en la visión no sensual, pues, el objeto es no sensual. Exigimos
la presencia del objeto mismo del que se habla, que por su naturaleza sera insensible,
no sentido por ninguno de los cincos setidos. No confundamos presencia inmediata
de un objeto con su naturaleza sensual o no sensual.
O bien deduciendo unas verdades de otras formalmente, olvidandose de los
objetos de los que se habla.
Experiencias matemáticas como las ocurridas en el ámbito la teoría atómica de
la extensión geométrica de los Pitagoricos,que dice que los segmentos estan formados
por átomos, puntos indivisibles y extensos. Teoría, admitida por el primero de los
dos métodos, de la que se siguen contradicciones:se deduce de esta teoría que todo
par de segmentos son comensurables, es decir, tienen una máxima unidad de medida
común.Antinomias puestas en evidencia seguramente por Hipaso de Metaponto, hacia
mediados del siglo IV a.c.,con el descubrimiento de segmentos incomensurables en el
pentagono estrellado. Segmentos cuya antiphaieresis no parece tener fin. Experiencias
matemáticas, como deciamos, que hacen poco fiable el primer método de busqueda
de verdades, lleva a la matemática a utilizar este primer método de busqueda de
verdades lo menos posible y en sentencias lo má sencillas posibles.Sentencias, estas,
que formaran los axiomas no logicos de la teoría matemática que se trate. Obteniendo
el resto de las verdades por el segundo método, es decir formalmente, a partir de estos
axiomas no logicos.
Supondremos axiomatizada la Teoría de conjuntos con los axiomas no logicos
de Zermelo-Freankel (ZF) más el axioma de Elección, en ingles axiom of Choice(ZF+C).
Puedes consularlos en cualquier libro de Teoría de conjuntos. En particular entre las
sentencias equvatentes al axioma de Elección tenemos
Axioma 29 (axioma de Elección) Para cualquier clase de conjuntos existe una fun-
ción de elección.
Axioma 30 (equivalente al axioma de Elección) Para toda partición de un conjunto
existe un conjunto de representantes, que también llamaremos conjunto de elección.
A continuación vamos a convencernos que el Axioma de Elección es verdadero.
Si nos dan una colección infinita de conjuntos formados cada uno de estos
por un par de zapatos, entonces yo puedo definir una función de elección construti-
vamente, a traves del siguiente criterio: coge de cada conjunto formado por un par
24. 24 EL PROBLEMA DE LA MEDIDA PARA SUBCONJUNTOS DE LA RECTA REAL
de zapatos el zapato correspondiente al pie derecho. Esta contrucción asegura la
existencia de la función de elección.
Si nos dan una colección infinita de conjuntos formados cada uno de estos
por un par de calcetines indistingibles, repito, los elementos de cada conjunto de la
colección son indistingibles, entonces yo no puedo construir una criterio de elección
a traves del cual yo pueda coger de cada conjunto formado por un par de elementos
indistingibles uno de ellos.Sin embargo el axioma de Elección asegura la existencia de
la función de elección, aunque no sea construible por ser la colección infinita. Es decir,
dado un conjunto de la colección yo no tengo ningun criterio para saber que elemento
de dicho conjunto ha sido elegido. Pero el axioma de Elección asegura que existe una
elección de un elemento de cada conjunto de la colección infinita de conjuntos.
Luego el Axioma de Elección asegura la existencia de conjuntos (funciones)
que no tienen porque ser construibles. Es decir, no tiene porque haber un criterio
que me permita saber si un determinado elemento está o no está en el conjunto (ha
sido elegido por la función de elección).
4.1.2 EL TEOREMA DE VITALI (1905)
A continuación vamos aprobar, utilizando el axioma de Elección, que no existe ningu-
na función de conjunto m que sea una medida sobre ℘(R) invariante por isometrías,
y con m ([0, 1]) = 1, o lo que es lo mismo, m (I) = longitud(I) para todo intervalo I
de R
Luego no se puede extender la noción de longitud a cualquier subconjunto de
la recta real, es decir, asiginar valores en [0, ∞] a cualquier subconjunto de la recta
real compatibles con las propiedades 1, 2 y 3 del problema de la medida planteado al
principio de la sección.
Este teorema se debe a Vitali y apareció en el año 1905 en su trabajo Sul
problema della misura dei gruppi di punti di una retta.
Teorema 31 (Vitali, 1905) No existe ninguna medida
m : ℘(R) → [0, ∞]
con las siguientes propiedades:
1. m ([0, 1]) = 1
2. m invariante por isometrías, que en la recta real son las traslaciones. Es decir,
cualqiera que sea el subconjunto de la recta real E, tenemos
m (E + a) = m (E) ∀a ∈ R
siendo E + a = {x + a : x ∈ E}
26. 26 EL PROBLEMA DE LA MEDIDA PARA SUBCONJUNTOS DE LA RECTA REAL
Y definimos
Ak = rk + A
que son conjuntos trasladados, y por tanto isométricos, del conjunto de elección A
Ak ≡ A
Luego por ser Ak congruente por traslación con A, aplicando la propiedad 2 de m,
es decir, m es invariante traslaciones, tenemos:
m (Ak ) = m (rk + A) = m (A) ∀k ∈ N
La sucesión de conjuntos{An }n∈N verifica:
1.
Ai ∩ Aj = ∅ , i 6= j
Por reducción al absurdo: Si Ai ∩ Aj 6= ∅ , i 6= j como Ak = rk + A tenemos:
Ai ∩ Aj 6= ∅ ⇔ (ri + A) ∩ (rj + A) 6= ∅
es decir, existen ai , aj ∈ A tal que ri + ai = rj + aj luego
def
ai − aj = rj − ri ∈ Q ⇔ ai v aj
luego ai = aj pues en A solo hay un representante de cada clase, y como
ai v aj entonces [ai ] = [aj ]
Y si ai = aj ⇒ ri = rj .Por tanto, Ai = Aj lo que implica i = j.contradicción
2.
· ¸ · ¸
1 1 ∞ 3 3
− , ⊂ ∪ Ak ⊂ − ,
2 2 k=1 2 2
2.1.
A⊂[− 1 , 1 ]
· ¸
∞ ∞ 2 2 3 3
∪ Ak = ∪ (rk + A) ⊂ [−1, 1] + A ⊂ − ,
k=1 k=1 2 2
£ ¤
2.2. Si x ∈ − 1 , 1 entonces como A es un conjunto de eleción de
2 2
· ¸ ½ · ¸¾
1 1 1 1
− , = ∪ [x] : x ∈ − ,
2 2 disjunta 2 2
tenemos
∃a ∈ A , [x] = [a] ⇔ ∃a ∈ A , x v a ⇔ ∃a ∈ A , x − a ∈ Q
27. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 27
y
−1 ≤ x − a ≤ 1
Denotamos q = x − a ∈ Q∩ [−1, 1] y tenemos x = a + q con a ∈ A y
q ∈ Q∩ [−1, 1] luego:
∞ ∞
x ∈ A+q ⊂ ∪ (rk + A) = ∪ Ak
k=1 k=1
Es decir:
· ¸
1 1 ∞
− , ⊂ ∪ Ak
2 2 k=1
Tenemos, por tanto, una sucesión de conjuntos{An }n∈N acotados y disjuntos
dos a dos, tal que:
· ¸ · ¸
1 1 ∞ 3 3
− , ⊂ ∪ Ak ⊂ − ,
2 2 k=1 2 2
Veamos que no existe ninguna función de conjunto m que sea una medida
sobre ℘(R) invariante por traslaciones, con m (I) = longitud(I) para todo intervalo
I de R.
Lo demostraremos por reducción al absurdo: supongamos que existe una tal
función m.
Por el axioma de Elección existe la sucesión de conjuntos{An }n∈N acotados y
disjuntos dos a dos, congruentes por traslación con A ,tal que:
· ¸ · ¸
1 1 ∞ 3 3
− , ⊂ ∪ Ak ⊂ − ,
2 2 k=1 2 2
luego
µ· ¸¶ ³∞ ´ µ· ¸¶
1 1 3 3
1=m − , ≤ m ∪ Ak ≤ m − , =3
2 2 k=1 2 2
y por ser la sucesión de conjuntos{An }n∈N disjuntos dos a dos:
X
∞ X
∞
1≤ m (Ak ) ≤ 3 ⇔ 1 ≤ m (A) ≤ 3
k=1 k=1
• Si m (A) = 0 entonces
1 ≤ 0 ≤ 3 contradicción
29. DEBILITAMIENTO DEL PROBLEMA DE LA MEDIDA PARA SUBCONJUNTOS DE LA REC-
TA REAL 29
1. Si nos contentamos con que la función de conjunto m sea una medida, no ya so-
bre ℘(R), sino sobre una clase de subconjuntos de R estrictamente contenida en
℘(R), que tendrá estructura de σ-algebra. Conservando el resto de propiedades,
es decir, invariante por isometrías, y con m ([0, 1]) = 1, o lo que es lo mismo,
m (I) = longitud(I) para todo intervalo I de R. Esto se logra mediante el
llamado proceso de Carathéodory, es decir, restringiendo una cierta medida ex-
terior sobre los elementos de una σ-algebra en la que la medida exterior será
σ-aditiva
2. Si devilitamos la propiedad 3 que exige la aditividad numerable a la función
de conjunto m, por una propiedad más dévil que exija la aditividad finita a la
función de conjunto m, es decir:
³ n ´ X n
m ∪ Ek = m (Ek )
k=1
k=1
para una familia finita {E1, E2,... , En } ⊂ ℘(R) disjuntos dos a dos.
4.2.1 LA IDEA DE LEBESGUE
Si suponemos el problema resuelto, es decir, que existe una función de conjunto m
que sea una medida sobre una clase de subconjuntos de R estrictamente contenida
en ℘(R), que tendrá estructura de σ-algebra y llamaremos M ⊂℘(R), invariante por
isometrías, y con m (I) = longitud(I) para todo intervalo I de R.
En estas condiciones se dice que (R,M, m) es un espacio de medida.
Como m es monótona por ser una medida , tenemos para todo E donde esta
definida m (E), es decir, ∀E ∈ M y cualquiera que sea el recubrimiento de E por
una sucesión infinita {In }n∈N de intervalos de R:
∞ X
∞ X
∞
E ⊂ ∪ In ⇒ m (E) ≤ m (In ) = long (In )
n=1
n=1 n=1
Y si tomamos ínfimo cuando se toman todas las sucesiones infinitas de inter-
valos cuya unión cubrá E tenemos:
(∞ )
X ∞
m (E) ≤ inf long (In ) : {In }n∈N recubrimiento de E ⊂ ∪ In
n=1
n=1
Pero el miembro de la derecha se puede definir para todo E de ℘(R), lo que
da lugar a la definición de la siguiente función de conjunto definida sobre ℘(R):
me : ℘(R) → [0, ∞]
(∞ )
X ∞
E → me (E) = inf long (In ) : {In }n∈N recubrimiento de E ⊂ ∪ In
n=1
n=1
que llamaremos medida exterior de Lebesgue y verifica las siguientes propiedades:
30. 30 EL PROBLEMA DE LA MEDIDA PARA SUBCONJUNTOS DE LA RECTA REAL
1. me (E) = ∅
2. ∀A, B ∈ ℘(R)
A ⊂ B =⇒ me (A) ≤ me (B)
3. (Invariante por traslaciones) Para todo E ∈ ℘(R)
me (E + a) = me (E) ∀a ∈ R
4. (σ-subaditividad)
³ ∞
´ X
∞
e
m ∪ En ≤ me (En ) ∀ {En }n∈N , con En ∈ ℘(R)
n=1
n=1
5.
me (I) = m (I) = long(I)
Pero me no verifica la propiedad de ser σ-aditiva.
Por tanto, si m (E) está definida tenemos:
m (E) ≤ me (E)
Ademas, si suponemos que E está acotado, es decir, E ⊂ [a, b], para cierto
intervalo [a, b] de R podemos definir la medida interior de E
mi (E) = m ([a, b]) − me ([a, b] ∩ E c )
independientemente de [a, b] y de si m (E) está definido.
Si, ademas, m (E) está definida tenemos:
mi (E) = m ([a, b]) − me ([a, b] ∩ E c ) ≤ m ([a, b]) − m ([a, b] ∩ E c ) = m (E)
luego para todo E donde esta definida m (E), es decir, ∀E ∈ M se verifica
mi (E) ≤ m (E) ≤ me (E)
Y si nos restringimos a los E de ℘(R) tales que
mi (E) = me (E)
a los que llameremos conjuntos medibles Lebesgue que colecciono en L ⊂ ℘(R),tendremos
¯
¯
la solución al problema dada por me restringida a L, pues, entonces m = me ¯ ver-
L
ificará las propiedades 1, 2 y 3; la 1 y 2 por ser m = me en L, y la 3 por ser
m = me = mi en L, siendo me σ-subaditividad y mi σ-superaditividad.
31. DEBILITAMIENTO DEL PROBLEMA DE LA MEDIDA PARA SUBCONJUNTOS DE LA REC-
TA REAL 31
Por tanto m (E) está definido para todo ∀E ∈ L, en donde mi (E) = me (E)
y para cualquier otra medida m0 verificando 1, 2, 3 tenemos
mi (E) = m0 (E) = me (E) ⇒ m0 (E) = m (E)
para todo E en L
y, por tanto, tenemos, al menos, existencia y unicidad de solución al prob-
lema de la medida para los conjuntos medibles Lebesgue, siendo
m : L→ [0, ∞]
(∞ )
X ∞
m (E) = me (E) = inf long (In ) : {In }n∈N recubrimiento de E ⊂ ∪ In
n=1
n=1
Se puede demostrar que la clase de los conjuntos medibles Lebesgue L ⊂ ℘(R)
es una σ-algebra.
En particular para los conjuntos J con contenido de Jordan, es decir, con
ci (J) = ce (J)
tenemos
ci (J)=ce (J)
ci (J) ≤ mi (J) ≤ me (J) ≤ ce (J) ⇒ mi (J) = me (J)
y por tanto los conjuntos con contenido de Jordan serán conjuntos medibles Lebesgue,
es decir, vivirán en L y tendran la misma medida m (J) = c (J)
Además, como el subconjunto de R
Q∩ [0, 1]
no tiene contenido, pues
0 = ci (Q∩ [0, 1]) < ce (Q∩ [0, 1]) = 1
pero es medibles Lebesgue, pues
0 ≤ mi (Q∩ [0, 1]) ≤ me (Q∩ [0, 1]) = 0 ⇒ mi (Q∩ [0, 1]) = me (Q∩ [0, 1]) = 0
y, por tanto:
m (Q∩ [0, 1]) = 0
Tenemos, en consecuencia, que el concepto de conjunto medible Lebesgue ex-
tiende al concepto de conjunto con contenido de Jordan.
32. 32 EL PROBLEMA DE LA MEDIDA PARA SUBCONJUNTOS DE LA RECTA REAL
4.2.2 EL PROCESO DE CARATHÉODORY
En su formulación más abstracta el proceso de Carathéodory permite obtener una
medida (σ-aditividad) a partir de una medida exterior (σ-subaditividad) restringiendo
la medida exterior a una clase de subconjuntos de R, que tendrá estructura de σ-
algebra.
Definición 32 Dado un conjunto X, una función me de conjunto:
me : ℘(R) → [0, ∞]
se dice que es una medida exterior si cumple las siguientes propiedades:
• me (∅) = 0
• (monotonía) ∀A, B ∈ ℘(X)A ⊂ B =⇒ me (A) ≤ me (B)
• (σ-subaditividad)
³ ∞
´ X
∞
e
m ∪ An ≤ me (An ) ∀ {An }n∈N , con An ∈ ℘(X).
n=1
n=1
Definición 33 A ∈ ℘(X) se dice me -medible o exteriormente medible si
∀T ∈ ℘(X) me (T ) = me (T ∩ A) ∩ me (T ∩ Ac )
Si colecionamos los conjuntos me -medible en
Mme = {A ∈ ℘(X) : A es me −medible}
verificandose:
• Mme es una σ-álgebra
• me restringida a Mme
me : Mme → [0, ∞]
es una medida (σ-aditividad) completa.
33. Capítulo 5
TEOREMAS DE CONVERGENCIA PARA LA INTEGRAL DE
LEBESGUE
5.1 TEOREMAS
5.1.1 TEOREMA DE LA CONVERGENCIA MONÓTONA
Teorema 34 (TEOREMA DE LA CONVERGENCIA MONÓTONA) Sea (X,A, µ)
un espacio de medida y sean
fn : X → [0, ∞]
con {fn }n∈N una sucesión creciente de funciones medibles Borel no negativas tales
que convergen al límite puntual en X
f (x) = lim fn (x)
n→∞
es decir,
fn % f µ-c.t.p.
Entonces
Z Z
lim fn dµ = lim fn dµ
n→∞ X X n→∞
Z Z
fn dµ % fdµ
X n→∞ X
¿Es cierto el Teorema de la convergencia monótona en su versión para
integrales en el sentido de Riemann?
Pues no, veamoslo con un contraejemplo:
Como Q∩ [0, 1] es un conjunto numerable, consideramos la sucesión (rn )∞
n=1
de los números racionales de [0, 1] y consideremos la sucesión de funciones
fn : [0, 1] → R
34. 34 TEOREMAS DE CONVERGENCIA PARA LA INTEGRAL DE LEBESGUE
½
1 si x ∈ {r1 , r2 , · · · , rn }
x → fn (x) =
0 si x ∈ {r1 , r2 , · · · , rn }
/
fn es Riemann-integrable pues si consideramos el conjunto de puntos de dis-
continuidad de fn
D = {x ∈ R : f n discontinua} = {r1 , r2 , · · · , rn }
que por ser finito tiene medida cero, y por tanto, por el teorema de Lebesgue, fn es
integrable en el sentido de Riemann. Y
Z 1 Z 1
fn = fn = 0
0 0
para todo n ∈ N
{fn }n∈N es, por tanto, una sucesión creciente de funciones Riemann-integrables
no negativas tales que convergen al límite puntual en [0, 1]
½
1 si x ∈ Q∩ [0, 1]
f (x) = lim fn (x) = χQ∩[0,1] =
n→∞ 0 si x ∈ I∩ [0, 1]
con f no es Riemann-integrable pues si consideramos el conjunto de puntos de dis-
continuidad de f
D = {x ∈ R : f discontinua} = [0, 1]
que no tiene medida cero, y por tanto, por el teorema de Lebesgue, fn no es integrable
en el sentido de Riemann.
Además
Z 1
lim fn (x)dx = lim 0 = 0
n→∞ 0 n→∞
Z 1 Z 1
lim fn (x)dx = f(x)dxno existe
0 n→∞ 0
luego no se verifica:
Z 1 Z 1
lim fn (x)dx = lim fn (x)dx
n→∞ 0 0 n→∞
pues ni siquiera existe el segundo miembro.
35. TEOREMAS 35
5.1.2 TEOREMA DE BEPPO-LEVÍ
Teorema 35 (TEOREMA DE BEPPO-LEVÍ) Sea (X,A, µ) un espacio de medida
y sean
fn : X → [0, ∞]
con {fn }n∈N una sucesión de funciones medibles Borel no negativas, es decir,
fn (x) ≥ 0∀x ∈ X
Entonces
Z ÃX !
∞ XZ
∞
fn dµ = fn dµ
X n=1 n=1 X
5.1.3 LEMA DE FATOU
Teorema 36 (LEMA DE FATOU) Sea (X,A, µ) un espacio de medida y sean
fn , f : X → R
con {fn }n∈N una sucesión de funciones medibles Borel, y f una función medible Borel
entonces
R
• Si fn ≥ f∀n siendo X fdµ > −∞, entonces
Z µ ¶ Z
lim fn dµ ≤ lim fn dµ
X n→∞ n→∞ X
R
• Si fn ≤ f∀n siendo X
fdµ < ∞, entonces
Z Z ³ ´
lim fn dµ ≤ lim fn dµ
n→∞ X X n→∞
5.1.4 TEOREMA DE LA CONVERGENCIA DOMINADA
Teorema 37 (TEOREMA DE LA CONVERGENCIA DOMINADA) Sea (X,A, µ)
un espacio de medida y sean
fn , f : X → R
g : X → [0, ∞]
con {fn }n∈N una sucesión de funciones medibles Borel, tales que fn → f
n→∞
µ-c.t.p.
con g una función medible Borel e integrable en el sentido de Lebesgue, o lo
que es igual g ∈L1 (µ), verificando |fn | ≤ g µ-c.t.p. ∀n
Entonces f es integrable en el sentido de Lebesgue y
Z Z Z
lim fn dµ = lim fn dµ = fdµ
n→∞ X X n→∞ X
36. 36 TEOREMAS DE CONVERGENCIA PARA LA INTEGRAL DE LEBESGUE
¿Es cierto el Teorema de la convergencia dominada en su versión para
integrales en el sentido de Riemann?
Pues no, y lo veremos con un contraejemplo:
Como Q∩ [0, 1] es un conjunto numerable, consideramos la sucesión (rn )∞
n=1
de los números racionales de [0, 1] y consideremos la sucesión de funciones
fn : [0, 1] → R
½
1 si x ∈ {r1 , r2 , · · · , rn }
x → fn (x) =
0 si x ∈ {r1 , r2 , · · · , rn }
/
fn es Riemann-integrable. Y
Z 1
fn = 0
0
para todo n ∈ N
{fn }n∈N es, por tanto, una sucesión de funciones Riemann-integrables tales
que convergen al límite puntual en [0, 1]
½
1 si x ∈ Q∩ [0, 1]
f (x) = lim fn (x) = χQ∩[0,1] =
n→∞ 0 si x ∈ I∩ [0, 1]
con f no es Riemann-integrable.
Además
Z 1
lim fn (x)dx = lim 0 = 0
n→∞ 0 n→∞
Z 1 Z 1
lim fn (x)dx = f(x)dxno existe
0 n→∞ 0
luego no se verifica:
Z 1 Z 1
lim fn (x)dx = lim fn (x)dx
n→∞ 0 0 n→∞
pues ni siquiera existe el segundo miembro.
Y sin embargo existe una función
g : [0, 1] → [0, ∞]
x → g (x) = 1
con g una función Riemann-integrable verificando
|fn (x)| ≤ 1 ∀x ∈ [0, 1]
es decir |fn | ≤ g . ∀n
39. EJERCICIOS 39
¾
g≥0
tenemos g es integrable Lebesgue y las in-
g es integrable Riemann impropia
tegrales coinciden
Z Z ∞
gdλ = g(x)dx = 1 < ∞
(0,∞) 0
y por tanto, estamos en las hipotesis del teorema de la convergencia dom-
inada, pues |fn | ≤ g con g medible e integrable Lebesgue en (0, ∞).
Luego podemos intercambiar el límite y la integral resultando:
Z n³ Z ∞ Z ∞
x ´n −x
lim 1− e dx = lim fn (x)dx = lim fn (x)dx =
n→∞ 0 n n→∞ 0 0 n→∞
Z ∞ Z ∞ Z
−2x T.C.M. −2x (∗)
e dx = lim e χ[0,k] dx = lim e−2x dx =
0 k→∞ 0 k→∞
[0,k]
por ser los integrandos de las integrales de la sucesión acotados y Riemann-integrables
en un intervalo cerrado y acotado [0, k], entonces serán integrables-Lebesgue y las
integrales coincidirán, es decir,
Z Z k
−2x −2x 1 − e−2k
e dx = e dx =
[0,k] 0 2
por tanto:
µ ¶
(∗) 1 − e−2k 1
= lim =
k→∞ 2 2
Ejercicio 40 Calcula:
Z ∞
1
lim ¡ ¢ 1 dx
x n n
n→∞ 0 1+ n x
Denotamos la sucesión de integrandos por fn : (0, ∞) → R tales que
1
x → fn (x) = ¡ ¢
x n 1
1 + n xn
Definimos la función límite puntual f : (0, ∞) → R por:
1
x → f(x) = lim fn (x) = lim ¡ ¢ 1
n→∞ n→∞ 1 + x n x n
n
40. 40 TEOREMAS DE CONVERGENCIA PARA LA INTEGRAL DE LEBESGUE
Luego fn (x) → f(x) ∀x ∈ (0, ∞), es decir, f es el limite puntual de fn
n→∞
1 1
f(x) = lim fn (x) = lim ¡ ¢ 1 =
x n n
¡ ¢
x n 1 =
n→∞ n→∞ 1 + x lim 1 + n lim x n
n n→∞ n→∞
Por ser
õ ¶ n !x
³ x ´n 1 x
lim 1 + = lim 1+ n = ex
n→∞ n n→∞
x
Y
1
lim x n = x0 = 1
n→∞
tendremos, al final, que:
1
= e−x
f(x) =
ex
Supongamos que se dan las condiciones para que el cálculo del límite de una suce-
sión de integrales sea lo mismo que el cálculo de la integral del límite puntual de los
integrandos,es decir, que podemos intercambiar límite e integral:
Z ∞ Z ∞
lim fn (x)dx = lim fn (x)dx
n→∞ 0 0 n→∞
Entonces tendríamos:
Z ∞ Z ∞ Z ∞ Z ∞
lim fn (x)dx = lim fn (x)dx = f(x)dx = e−x dx = 1
n→∞ 0 0 n→∞ 0 0
Pues
Z Z
∞
−x
M £ ¤M
e dx = lim e−x dx = lim −e−x 0 = lim (1 − e−M ) = 1
0 M→∞ 0 n→∞ n→∞
R∞
lo que significaría que f(x) = e−x es integrable Riemann impropia en (0, ∞) y 0 e−x dx =
1. Y como f(x) = e−x ≥ 0, x ∈ (0, ∞) entonces f es integrable Lebesgue en (0, ∞)
respecto la medida de longitud extendida a los borelianos de la recta real. Y el valor de
su integral de Lebesgue en (0, ∞) es igual al valor de su integral de Riemann impropia
en (0, ∞),que es 1.
Veamos, pues, que se pueden intercambiar el límite y la integral utilizando el
teorema de la convergencia dominada:
½ ¾
1
fn (x) = x n 1
es una sucesión de funciones medibles e integrables en
(1+ n ) x n
(0, ∞), pues las fn son continuas y positivas en (0, ∞).
Luego para estar en las hipotesis del teorema de la convergencia dominada
solamente necesitamos encontar una función g : (0, ∞) → R medible e integrable tal
que |fn | ≤ g para todo n ≥ 2 en (0, ∞).
41. EJERCICIOS 41
|fn | = fn pues fn ≥ 0 en (0, ∞)
1 def
fn (x) = ¡ ¢ 1χ
x n n (0,∞)
(x) = fn (x)χ(0,1 ] (x) + fn (x)χ(1,∞) (x) ≤ g1 χ(0,1 ] + g2 χ(1,∞) = g ∀n ≥ 2
1+ n x
Tomamos:
• g1 : (0, 1] → R definida por:
1
x → g1 (x) = 1
x2
pues
1 x>0 1 0<x≤1 y n≥2 1
¡ x
¢n 1 ≤ 1 ≤ 1 ∀x ∈ (0, 1] y ∀n ≥ 2
1 + n xn xn x2
• g2 : (1, ∞) → R definida por:
1
x → g2 (x) = ¡ ¢2
1+ x2
pues
1 x>1 1 x≥0 y n≥2 1
¡ x
¢n 1 ≤ ¡ ¢
x n
≤ ¡ ¢2 ∀x ∈ (1, ∞) y ∀n ≥ 2
1 + n xn 1+ n 1+ x2
Definimos la siguiente función:
def
g(x) = g1 χ(0,1 ] (x) + g2 χ(1,∞) (x) es medible pues g1 y g2 son continuas en
(0, ∞)
Solamente nos queda ver que g es integrable Lebesgue en (0, ∞). Es-
to lo comprobaremos viendo que tanto g1 χ(0,1 ] (x) como g2 χ(1,∞) (x) son integrable
Lebesgue en (0, ∞). Pues, entonces, la suma, es decir, g, es integrable Lebesgue
en (0, ∞)
Como tanto g1 como g2 son no negativas en sus respectivos dominios de
definicón, si demostramos que son integrables Riemann impropias en sus respectivos
dominios de definicón, entonces serán integrable Lebesgue. Y estaremos en las
hipótesis del teorema de la convergencia dominada
R1
• Veamos que 0 g1 dx < ∞
Z 1 Z 1 Z 1 h 1 i1
1 1 1
g1 dx = 1 dx = lim x− 2 dx = lim 2x 2 = lim(2 − 2δ 2 ) = 2
0 0 x2 δ→0 δ δ→0 δ δ→0
Por tanto
¾
g1 es integrable Riemann impropia
g1 es integrable Lebesgue
g1 ≥ 0
42. 42 TEOREMAS DE CONVERGENCIA PARA LA INTEGRAL DE LEBESGUE
R∞
• Veamos que 1
g2 dx < ∞
Z ∞ Z ∞
1
g2 dx = ¡ ¢2 dx <
1 1 1+ x2
¡ ¢2 x>1 x2
Como 1 + x = 1 + x + 1 x2 >
2 4 4
con x ∈ (1, ∞)
Z ∞ Z M
1 4 1
< x2
dx = lim dx = 4 lim (1 − ) = 4 < ∞
1 4
M→∞ 1 x2 M→∞ M
• Por tanto
¾
g2 es integrable Riemann impropia
g2 es integrable Lebesgue
g2 ≥ 0
Ejercicio 41 Calcula:
Z ³
n
x ´n x
lim 1− e dx
n→∞ 0 2n
Consideramos la sucesión de funciones fn : (0, ∞) → R tales que
³ x ´n x
x → fn (x) = 1 − e χ[0,n] ≥ 0
2n
Con función límite puntual f : (0, ∞) → R
³ x ´n x x 1
x → f(x) = lim fn (x) = lim 1 − e χ[0,n] = e− 2 ex = e 2 x
n→∞ n→∞ 2n
1
Sinedo f(x) = e 2 x
140
120
100
80
60
40
20
0 2 4 6 8 10
x
43. EJERCICIOS 43
Por tanto,
f = lim fn = lim fn = lim fn
n→∞ n→∞ n→∞
Tenemos
³ Z Z ∞
x ´n x
n
lim 1− e dx = lim fn (x)dx ≥
n→∞ 0 2n n→∞ 0
R∞
Aplicando el lema de Fatou, pues fn ≥ 0 siendo 0 0dx = 0 > −∞
Z ∞ Z ∞ Z ∞
1
≥ lim fn (x)dx = f(x)dx = e 2 x dx = ∞
0 n→∞ 0 0
luego
Z ³ Z n³
n
x ´n x x ´n x
lim 1− e dx = ∞ ⇒ lim 1− e dx = ∞
n→∞ 0 2n n→∞ 0 2n
Ejercicio 42 Si 1 < p < 2
Z 1
nx sin x
lim dx = 0
n→∞ 0 1 + (nx)p
Como 0 < x < 1
¯ ¯
¯ nx sin x ¯ nx nx 1 p−1>0 1
¯ ¯
¯ 1 + (nx)p ¯ ≤ 1 + (nx)p ≤ (nx)p = np−1 xp−1 ≤
xp−1
Si definimos
g : [0, 1] → [0, ∞]
1
x → g (x) =
xp−1
Como g es continua, y por lo tanto, g es una función medible Borel y además
como g es una función Riemann- integrable en [0, 1] pues
Z 1 Z 1
1
g(x)dx = p−1
dx < ∞ para 0 < p − 1 < 1
0 0 x
lo que implica que g es integrable en el sentido de Lebesgue en [0, 1], o lo que es igual
g ∈L1 (µ). Verificandose también |fn | ≤ g µ-c.t.p. ∀n lo que nos pone en las hipotesis
del Teorema de la convergencia dominada.
Que permite intercambiar el límite y la integral
Z 1 Z 1 Z 1
nx sin x nx sin x
lim p dx = lim p dx = 0dx = 0
n→∞ 0 1 + (nx) 0 n→∞ 1 + (nx) 0