Este documento presenta conceptos preliminares de la teoría de la medida, incluyendo: 1) definiciones de semianillo, -conjunto y álgebra de conjuntos, 2) propiedades de las medidas como aditividad y monotonía, 3) definición de medida de Lebesgue y conjuntos medibles, y 4) teoremas clave sobre cómo una función satisface las propiedades de una medida. El objetivo es establecer una teoría general de medida de conjuntos que generalice conceptos como longitud, área y volumen.
Este documento describe la cotorra argentina (Myiopsitta monachus), una especie invasora en España. Proviene originalmente de Sudamérica y se ha convertido en una plaga urbana. Vive en grandes colonias y causa daños a la vegetación y cultivos. Madrid tiene actualmente el mayor número de cotorras en España, unas 13,000, y está implementando un plan de 2 años para reducir la población en un 90% a través de captura y sacrificio, a un costo de 3 millones de euros.
1) Joseph Louis Proust was born in France in 1754 and studied chemistry in his father's apothecary shop.
2) In 1774, he moved to Paris to become an apothecary at a large hospital. He later taught chemistry in Spain.
3) Proust is most known for proposing the law of definite proportions in 1784, which states that a chemical compound always contains the same elements in the same proportion by mass. This laid the foundation for modern chemistry.
Este documento presenta información sobre las especies de coccinélidos más comunes en los cultivos de la región de Tumbes, Perú. Describe las características morfológicas de la familia Coccinellidae y sus subfamilias. Luego proporciona detalles e imágenes de más de 50 especies de coccinélidos encontrados en cultivos como arroz, maíz y soya, incluyendo su tamaño, coloración y las plagas que depredan. El objetivo es dar a conocer estas especies beneficiosas a los agricult
Pierre de Fermat fue un matemático francés del siglo XVII que realizó importantes contribuciones a campos como el cálculo, la teoría de números, y la óptica. Es más conocido por su Último Teorema de Fermat, que afirmaba que no es posible expresar números enteros mayores que el cuadrado como suma de potencias, y que tomó más de 350 años demostrar. Fermat también desarrolló métodos para encontrar máximos y mínimos de curvas, y sentó las bases de la teoría de probabilidad y la teoría
Este documento trata sobre la teoría de la medida. Introduce conceptos como álgebra geométrica, cuadratura del círculo, funciones de variación acotada e integral de Riemann-Stieltjes. Explica el problema de medir subconjuntos de la recta real y cómo Lebesgue y Carathéodory lo abordaron. También presenta teoremas de convergencia para la integral de Lebesgue.
Euclides y Eudoxo introdujeron conceptos básicos de longitud, área y volumen. Arquímedes calculó el área del círculo. Cantor y Peano definieron la medida de conjuntos. Borel estableció una medida aditiva numerable. Los fractales son objetos cuya estructura se repite a diferentes escalas, con detalle a cualquier escala y dimensión fractal distinta de la topológica. Ejemplos son la curva de Koch, el conjunto de Cantor y el triángulo de Sierpinski.
El documento trata sobre la teoría de la medición y sus principios en el contexto educativo. Explica que la medición es una descripción cuantitativa que compara un objeto con un patrón establecido. Las pruebas estandarizadas son instrumentos que miden los logros de los estudiantes de manera objetiva y estadística para determinar el alcance de los aprendizajes y las fortalezas y debilidades. Finalmente, la evaluación educativa es necesaria para garantizar la calidad del proceso educativo y verificar el cumplimiento de los objetivos
Este documento describe la cotorra argentina (Myiopsitta monachus), una especie invasora en España. Proviene originalmente de Sudamérica y se ha convertido en una plaga urbana. Vive en grandes colonias y causa daños a la vegetación y cultivos. Madrid tiene actualmente el mayor número de cotorras en España, unas 13,000, y está implementando un plan de 2 años para reducir la población en un 90% a través de captura y sacrificio, a un costo de 3 millones de euros.
1) Joseph Louis Proust was born in France in 1754 and studied chemistry in his father's apothecary shop.
2) In 1774, he moved to Paris to become an apothecary at a large hospital. He later taught chemistry in Spain.
3) Proust is most known for proposing the law of definite proportions in 1784, which states that a chemical compound always contains the same elements in the same proportion by mass. This laid the foundation for modern chemistry.
Este documento presenta información sobre las especies de coccinélidos más comunes en los cultivos de la región de Tumbes, Perú. Describe las características morfológicas de la familia Coccinellidae y sus subfamilias. Luego proporciona detalles e imágenes de más de 50 especies de coccinélidos encontrados en cultivos como arroz, maíz y soya, incluyendo su tamaño, coloración y las plagas que depredan. El objetivo es dar a conocer estas especies beneficiosas a los agricult
Pierre de Fermat fue un matemático francés del siglo XVII que realizó importantes contribuciones a campos como el cálculo, la teoría de números, y la óptica. Es más conocido por su Último Teorema de Fermat, que afirmaba que no es posible expresar números enteros mayores que el cuadrado como suma de potencias, y que tomó más de 350 años demostrar. Fermat también desarrolló métodos para encontrar máximos y mínimos de curvas, y sentó las bases de la teoría de probabilidad y la teoría
Este documento trata sobre la teoría de la medida. Introduce conceptos como álgebra geométrica, cuadratura del círculo, funciones de variación acotada e integral de Riemann-Stieltjes. Explica el problema de medir subconjuntos de la recta real y cómo Lebesgue y Carathéodory lo abordaron. También presenta teoremas de convergencia para la integral de Lebesgue.
Euclides y Eudoxo introdujeron conceptos básicos de longitud, área y volumen. Arquímedes calculó el área del círculo. Cantor y Peano definieron la medida de conjuntos. Borel estableció una medida aditiva numerable. Los fractales son objetos cuya estructura se repite a diferentes escalas, con detalle a cualquier escala y dimensión fractal distinta de la topológica. Ejemplos son la curva de Koch, el conjunto de Cantor y el triángulo de Sierpinski.
El documento trata sobre la teoría de la medición y sus principios en el contexto educativo. Explica que la medición es una descripción cuantitativa que compara un objeto con un patrón establecido. Las pruebas estandarizadas son instrumentos que miden los logros de los estudiantes de manera objetiva y estadística para determinar el alcance de los aprendizajes y las fortalezas y debilidades. Finalmente, la evaluación educativa es necesaria para garantizar la calidad del proceso educativo y verificar el cumplimiento de los objetivos
Este documento presenta un enfoque matemático para las medidas de riesgo VaR y CVaR y su aplicación al Índice General de la Bolsa de Valores de Lima (IGBVL). Primero define los conceptos teóricos de riesgo y las propiedades de las medidas de riesgo coherentes. Luego aplica métodos paramétricos y no paramétricos para estimar el VaR y CVaR del IGBVL con datos históricos y concluye que el CVaR es una medida más conservadora al considerar solo las pérdidas en
Este documento presenta una tabla de evaluación para problemas de razonamiento matemático. La tabla incluye cinco aspectos a evaluar: comprensión del problema, identificación de cantidades desconocidas, razonamiento matemático, terminología y notación matemáticas, y procedimientos algebraicos. Se asignan puntajes de 8 a 0 dependiendo del nivel de desempeño en cada categoría.
Este documento presenta la unidad 4 sobre la integral de Lebesgue. Introduce los antecedentes históricos que motivaron el desarrollo de la integral de Lebesgue, incluyendo limitaciones de la integral de Riemann. Define formalmente la integral de Lebesgue para funciones medibles no negativas sobre conjuntos de medida finita y establece algunas de sus propiedades fundamentales como el lema de Fatou. Finalmente, incluye ejemplos y actividades para aplicar el cálculo de la integral de Lebesgue.
Este documento presenta ejemplos resueltos de integrales de línea y de contorno de variables reales y complejas, así como ejercicios propuestos sin resolver. Se explican conceptos como la evaluación de integrales de contorno usando el teorema fundamental del cálculo y se resuelven problemas aplicando técnicas como sustituir la parametrización de la curva en la integral.
1. El documento presenta ejercicios resueltos sobre números complejos, incluyendo la interpretación geométrica de la suma y el producto de números complejos, y la demostración de que si tres puntos forman un triángulo equilátero, su suma es igual al producto de sus coordenadas.
2. Se explica cómo encontrar los vértices de un triángulo equilátero centrado en el origen con un vértice en (1,0).
3. Se muestra cómo expresar la ecuación de una circunferencia en función de las coord
1er Trabajo de Matemática Aplicada II - Numeros Complejos - UNTECSIng. Electrónica xD
Ejercicios resueltos del Capítulo Integrales Complejas del Libro Variable Compleja - Murray Spiegel.
Trabajo hecho por los Alumnos:
Concha Sandoval Marvin Thomas
Cahuana Gomez Gustavo Antonio
Panta Vasquez Luis Miguel
Quintana Peña Emerson
Pocco Taype Alberto
Ing. Electrónica - V ciclo
UNTECS
Este documento es un curso sobre análisis complejo que incluye seis capítulos. Introduce los números complejos y funciones elementales, la teoría de Cauchy elemental, propiedades locales de funciones holomorfas, la forma general del teorema de Cauchy y singularidades aisladas de funciones holomorfas. El documento proporciona definiciones, teoremas, ejemplos resueltos y ejercicios para cada tema.
Este documento presenta la resolución de 6 problemas relacionados con números complejos y ecuaciones. Los problemas incluyen calcular raíces y valores de expresiones complejas, hallar áreas definidas por desigualdades de módulos de números complejos, y determinar el número de soluciones de una ecuación cuadrática. Cada problema contiene los pasos de resolución detallados.
2do Trabajo de Matemática Aplicada II - Limites y continuidad en complejos - ...Ing. Electrónica xD
El documento presenta soluciones a problemas de funciones, límites y continuidad complejos. Incluye gráficas de funciones complejas y cálculos para hallar valores y representaciones gráficas.
Las ecuaciones con números complejos pueden tener una solución compleja o una solución que involucre partes de un número complejo. Para resolver ecuaciones con soluciones que involucren partes de un complejo, generalmente se debe dividir la ecuación en partes reales e imaginarias y tratarlas como un sistema de ecuaciones.
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con números complejos. Introduce conceptos como raíces de números negativos, potencias de i, sumas y multiplicaciones de números complejos, ecuaciones de segundo grado y representaciones gráficas. El documento proporciona ejemplos para practicar operaciones básicas con números complejos como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
1) La transformada de Fourier permite representar funciones en el dominio de la frecuencia obteniendo una expresión matemática conocida como la transformada de Fourier de la función original. 2) Extendiendo las series de Fourier, la transformada de Fourier puede aplicarse también a funciones no periódicas mediante el uso de una integral en lugar de una suma. 3) La transformada de Fourier y su inversa son herramientas matemáticas útiles para resolver problemas al transformarlos a un dominio donde pueden ser más sencillos de resolver.
Este documento explica los sistemas de ecuaciones de primer grado. Define un sistema de ecuaciones como un conjunto de ecuaciones donde se buscan los valores de las incógnitas para satisfacer ambas ecuaciones. Explica tres métodos para resolver sistemas: igualación, sustitución y reducción. Finalmente, proporciona ejercicios de práctica para aplicar estos métodos.
Variable Compleja con Aplicaciones - David Wunch (Capitulo 1)Miguel Macias Rossi
La Unión Europea ha acordado un paquete de sanciones contra Rusia por su invasión de Ucrania. Las sanciones incluyen restricciones a las importaciones de productos rusos clave como el acero y la madera, así como medidas contra bancos y funcionarios rusos. Los líderes de la UE esperan que las sanciones aumenten la presión económica sobre Rusia y la disuadan de continuar su agresión contra Ucrania.
Este documento explica los conceptos básicos de la transformada de Fourier discreta (DFT), incluyendo cómo representa una señal en el dominio de la frecuencia en lugar del tiempo, cómo calcular la DFT de manera directa y por correlación, y cómo representar la salida en notación polar. También describe cómo la DFT se puede usar para analizar espectralmente una señal y caracterizar sistemas a través de su respuesta en frecuencia.
Este documento presenta varias páginas web interesantes sobre las matemáticas, incluyendo enciclopedias, calculadoras, biografías de matemáticos, juegos, problemas y más. Algunos sitios recomendados son Enciclopedia Matemática, Sectormatemática.cl, Tareas-ya.com y Matemalia.tk, los cuales ofrecen recursos educativos sobre diversos temas matemáticos de manera divertida e interactiva. El autor invita al lector a visitar estas páginas para explorar y apre
Este documento presenta la Unidad 1 de Análisis Matemático II sobre la aproximación de funciones continuas. La unidad cubre series de números, incluyendo criterios de convergencia como el criterio de comparación y el teorema de Leibniz. También introduce el teorema de aproximación de Weierstrass, el cual establece que toda función continua puede aproximarse uniformemente por polinomios. La unidad concluye con actividades para practicar los conceptos aprendidos.
Este documento presenta una muestra de actividades para una unidad sobre conjuntos de números para un curso de álgebra superior. Incluye ejemplos de actividades sobre propiedades de los números naturales, inducción matemática, el principio del buen orden, divisibilidad, congruencia y una evidencia de aprendizaje. El facilitador debe crear nuevos ejercicios para las actividades y no enviar este documento tal cual a los estudiantes.
El documento describe el álgebra de conjuntos y algunos de sus teoremas fundamentales. Introduce conceptos como unión, intersección y complemento de conjuntos, y establece las leyes algebraicas que satisfacen estas operaciones, formando un álgebra de Boole. Luego generaliza estas operaciones a familias de conjuntos con índices arbitrarios y define sucesiones finitas e infinitas, con énfasis en sucesiones definidas recursivamente que son importantes en computación.
Este documento presenta un enfoque matemático para las medidas de riesgo VaR y CVaR y su aplicación al Índice General de la Bolsa de Valores de Lima (IGBVL). Primero define los conceptos teóricos de riesgo y las propiedades de las medidas de riesgo coherentes. Luego aplica métodos paramétricos y no paramétricos para estimar el VaR y CVaR del IGBVL con datos históricos y concluye que el CVaR es una medida más conservadora al considerar solo las pérdidas en
Este documento presenta una tabla de evaluación para problemas de razonamiento matemático. La tabla incluye cinco aspectos a evaluar: comprensión del problema, identificación de cantidades desconocidas, razonamiento matemático, terminología y notación matemáticas, y procedimientos algebraicos. Se asignan puntajes de 8 a 0 dependiendo del nivel de desempeño en cada categoría.
Este documento presenta la unidad 4 sobre la integral de Lebesgue. Introduce los antecedentes históricos que motivaron el desarrollo de la integral de Lebesgue, incluyendo limitaciones de la integral de Riemann. Define formalmente la integral de Lebesgue para funciones medibles no negativas sobre conjuntos de medida finita y establece algunas de sus propiedades fundamentales como el lema de Fatou. Finalmente, incluye ejemplos y actividades para aplicar el cálculo de la integral de Lebesgue.
Este documento presenta ejemplos resueltos de integrales de línea y de contorno de variables reales y complejas, así como ejercicios propuestos sin resolver. Se explican conceptos como la evaluación de integrales de contorno usando el teorema fundamental del cálculo y se resuelven problemas aplicando técnicas como sustituir la parametrización de la curva en la integral.
1. El documento presenta ejercicios resueltos sobre números complejos, incluyendo la interpretación geométrica de la suma y el producto de números complejos, y la demostración de que si tres puntos forman un triángulo equilátero, su suma es igual al producto de sus coordenadas.
2. Se explica cómo encontrar los vértices de un triángulo equilátero centrado en el origen con un vértice en (1,0).
3. Se muestra cómo expresar la ecuación de una circunferencia en función de las coord
1er Trabajo de Matemática Aplicada II - Numeros Complejos - UNTECSIng. Electrónica xD
Ejercicios resueltos del Capítulo Integrales Complejas del Libro Variable Compleja - Murray Spiegel.
Trabajo hecho por los Alumnos:
Concha Sandoval Marvin Thomas
Cahuana Gomez Gustavo Antonio
Panta Vasquez Luis Miguel
Quintana Peña Emerson
Pocco Taype Alberto
Ing. Electrónica - V ciclo
UNTECS
Este documento es un curso sobre análisis complejo que incluye seis capítulos. Introduce los números complejos y funciones elementales, la teoría de Cauchy elemental, propiedades locales de funciones holomorfas, la forma general del teorema de Cauchy y singularidades aisladas de funciones holomorfas. El documento proporciona definiciones, teoremas, ejemplos resueltos y ejercicios para cada tema.
Este documento presenta la resolución de 6 problemas relacionados con números complejos y ecuaciones. Los problemas incluyen calcular raíces y valores de expresiones complejas, hallar áreas definidas por desigualdades de módulos de números complejos, y determinar el número de soluciones de una ecuación cuadrática. Cada problema contiene los pasos de resolución detallados.
2do Trabajo de Matemática Aplicada II - Limites y continuidad en complejos - ...Ing. Electrónica xD
El documento presenta soluciones a problemas de funciones, límites y continuidad complejos. Incluye gráficas de funciones complejas y cálculos para hallar valores y representaciones gráficas.
Las ecuaciones con números complejos pueden tener una solución compleja o una solución que involucre partes de un número complejo. Para resolver ecuaciones con soluciones que involucren partes de un complejo, generalmente se debe dividir la ecuación en partes reales e imaginarias y tratarlas como un sistema de ecuaciones.
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con números complejos. Introduce conceptos como raíces de números negativos, potencias de i, sumas y multiplicaciones de números complejos, ecuaciones de segundo grado y representaciones gráficas. El documento proporciona ejemplos para practicar operaciones básicas con números complejos como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
1) La transformada de Fourier permite representar funciones en el dominio de la frecuencia obteniendo una expresión matemática conocida como la transformada de Fourier de la función original. 2) Extendiendo las series de Fourier, la transformada de Fourier puede aplicarse también a funciones no periódicas mediante el uso de una integral en lugar de una suma. 3) La transformada de Fourier y su inversa son herramientas matemáticas útiles para resolver problemas al transformarlos a un dominio donde pueden ser más sencillos de resolver.
Este documento explica los sistemas de ecuaciones de primer grado. Define un sistema de ecuaciones como un conjunto de ecuaciones donde se buscan los valores de las incógnitas para satisfacer ambas ecuaciones. Explica tres métodos para resolver sistemas: igualación, sustitución y reducción. Finalmente, proporciona ejercicios de práctica para aplicar estos métodos.
Variable Compleja con Aplicaciones - David Wunch (Capitulo 1)Miguel Macias Rossi
La Unión Europea ha acordado un paquete de sanciones contra Rusia por su invasión de Ucrania. Las sanciones incluyen restricciones a las importaciones de productos rusos clave como el acero y la madera, así como medidas contra bancos y funcionarios rusos. Los líderes de la UE esperan que las sanciones aumenten la presión económica sobre Rusia y la disuadan de continuar su agresión contra Ucrania.
Este documento explica los conceptos básicos de la transformada de Fourier discreta (DFT), incluyendo cómo representa una señal en el dominio de la frecuencia en lugar del tiempo, cómo calcular la DFT de manera directa y por correlación, y cómo representar la salida en notación polar. También describe cómo la DFT se puede usar para analizar espectralmente una señal y caracterizar sistemas a través de su respuesta en frecuencia.
Este documento presenta varias páginas web interesantes sobre las matemáticas, incluyendo enciclopedias, calculadoras, biografías de matemáticos, juegos, problemas y más. Algunos sitios recomendados son Enciclopedia Matemática, Sectormatemática.cl, Tareas-ya.com y Matemalia.tk, los cuales ofrecen recursos educativos sobre diversos temas matemáticos de manera divertida e interactiva. El autor invita al lector a visitar estas páginas para explorar y apre
Este documento presenta la Unidad 1 de Análisis Matemático II sobre la aproximación de funciones continuas. La unidad cubre series de números, incluyendo criterios de convergencia como el criterio de comparación y el teorema de Leibniz. También introduce el teorema de aproximación de Weierstrass, el cual establece que toda función continua puede aproximarse uniformemente por polinomios. La unidad concluye con actividades para practicar los conceptos aprendidos.
Este documento presenta una muestra de actividades para una unidad sobre conjuntos de números para un curso de álgebra superior. Incluye ejemplos de actividades sobre propiedades de los números naturales, inducción matemática, el principio del buen orden, divisibilidad, congruencia y una evidencia de aprendizaje. El facilitador debe crear nuevos ejercicios para las actividades y no enviar este documento tal cual a los estudiantes.
El documento describe el álgebra de conjuntos y algunos de sus teoremas fundamentales. Introduce conceptos como unión, intersección y complemento de conjuntos, y establece las leyes algebraicas que satisfacen estas operaciones, formando un álgebra de Boole. Luego generaliza estas operaciones a familias de conjuntos con índices arbitrarios y define sucesiones finitas e infinitas, con énfasis en sucesiones definidas recursivamente que son importantes en computación.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos. Introduce definiciones como conjunto, elemento de un conjunto, conjunto vacío y operaciones básicas entre conjuntos como unión, intersección y diferencia. Explica las relaciones de igualdad, contención e inclusión entre conjuntos y cómo representar conjuntos y sus relaciones mediante diagramas de Venn.
Este documento presenta un índice general de un libro sobre álgebra conmutativa. El índice incluye tres capítulos principales que cubren los módulos, dominios de ideales principales y módulos, y el producto tensorial, módulos proyectivos e inyectivos. Cada capítulo contiene secciones detalladas sobre diferentes temas algebraicos como anillos, ideales, módulos, dominios de ideales principales, y productos tensoriales. El documento proporciona una visión general de los temas cubiertos en el
La topología tiene sus orígenes en los trabajos de Euler, Cantor y Möbius. En 1895, Poincaré publicó su libro Análisis Situs, que es considerado como el punto decisivo en el desarrollo de la topología como disciplina matemática. En 1914, Hausdorff creó la teoría de espacios topológicos abstractos usando la noción de vecindario, lo que estableció formalmente la topología conjuntista.
La topología tiene sus orígenes en los trabajos de Euler, Cantor y Möbius. En 1895, Poincaré publicó su obra Análisis Situs, que marcó un punto decisivo en el desarrollo de la topología. En 1914, Hausdorff creó una teoría de espacios abstractos usando la noción de vecindario, definiendo un espacio topológico como un conjunto de puntos junto con una familia de vecindarios asociados. Con el trabajo de Hausdorff, la topología conjuntista se afirmó como una disciplina
La topología tiene sus orígenes en los trabajos de Euler, Cantor y Möbius. Fue Poincaré quien publicó en 1895 el trabajo Análisis Situs que es considerado como el punto decisivo en el desarrollo de la topología. Hausdorff creó en 1914 la teoría de espacios abstractos usando la noción de vecindario y estableció las bases de la topología conjuntista como disciplina matemática propia.
Este documento presenta un laboratorio sobre cálculo integral realizado por varios estudiantes. El laboratorio analiza diferentes métodos para calcular integrales como sustitución, partes y sustitución trigonométrica. También aplica integrales a problemas de física como el movimiento de una pelota y el área entre curvas. Los estudiantes comparan los métodos manuales con el software Wolfram Alpha y concluyen que cada método es útil para diferentes tipos de problemas.
1) El documento explica el concepto de sumatoria y sus propiedades, así como la integral de Riemann y sus conceptos fundamentales como partición, suma inferior y suma superior. 2) Describe las propiedades de las funciones integrales y los teoremas fundamentales del cálculo integral. 3) Explica conceptos como integral indefinida, funciones primitivas y métodos para calcular integrales como descomposición y cambio de variable.
1) El documento introduce el tema de los espacios vectoriales, que proveen un marco teórico para conceptos como matrices y vectores. 2) Explica que un espacio vectorial es un conjunto sobre el cual se definen operaciones de suma y producto escalar que cumplen ciertas propiedades. 3) Enumera las ocho propiedades básicas que debe cumplir una cuádrupla para definir un espacio vectorial.
Este documento presenta definiciones y conceptos básicos sobre teoría de conjuntos. Introduce la noción de conjunto, subconjunto, unión e intersección de conjuntos, conjunto vacío y conjunto potencia. Explica las propiedades de la inclusión, igualdad, diferencia y complemento de conjuntos.
El documento describe el método de la bisección para encontrar las raíces de una función continua. El método se basa en el Teorema de Bolzano, el cual establece que si una función continua cambia de signo entre dos puntos, debe tener al menos una raíz en el intervalo. El método divide repetidamente el intervalo en mitades hasta alcanzar la precisión deseada. Se incluyen cuatro ejemplos de aplicación del método para encontrar raíces de diferentes funciones.
Este documento presenta una introducción a los conjuntos y subconjuntos. Explica conceptos básicos como elementos de un conjunto, determinación de conjuntos por extensión y comprensión, el conjunto universal y el conjunto vacío. También cubre la inclusión de conjuntos, subconjuntos, igualdad de conjuntos y diagramas de Venn.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de conjuntos y subconjuntos. Explica que un conjunto puede definirse ya sea por extensión, enumerando todos sus elementos, o por comprensión, mediante una propiedad que caracterice a sus elementos. También introduce conceptos como el conjunto universal, el conjunto vacío y el axioma de extensión para determinar la igualdad entre conjuntos.
La teoría de conjuntos estudia las propiedades de las colecciones abstractas de objetos llamados conjuntos. Fue desarrollada en el siglo XIX por Georg Cantor y provee las bases para formalizar conceptos matemáticos como el infinito. Sin embargo, la teoría condujo a paradojas como la paradoja de Russell, lo que llevó al desarrollo de axiomas como la teoría de Zermelo-Fraenkel para evitar contradicciones. La teoría de conjuntos es fundamental en matemáticas pues permite formalizar otras ramas
Este documento presenta apuntes sobre la teoría de la medida de Lebesgue. Introduce conceptos clave como σ-álgebras, funciones medibles, medidas y espacios de medida. Explica la definición de integral de Lebesgue para funciones medibles arbitrarias a través de funciones simples y funciones indicatriz. Incluye varios ejemplos y ejercicios para aplicar los conceptos teóricos.
Este documento describe los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo elementos, conjuntos, relaciones de pertenencia, conjuntos universales, diagramas de Venn, subconjuntos, uniones, intersecciones, diferencias, complementos, conjuntos potencia, productos cartesianos y operaciones generalizadas. También define conceptos como particiones, cardinalidad y enumera las leyes del álgebra de conjuntos.
Este capítulo introduce los conjuntos de Borel y las σ-álgebras. Los conjuntos de Borel son aquellos que pueden formarse a partir de los abiertos de Rn mediante operaciones como complementarios, uniones e intersecciones numerables. Una σ-álgebra es una familia de subconjuntos cerrada bajo complementarios, uniones numerables e intersecciones numerables. La σ-álgebra generada por los abiertos de un espacio topológico se denomina σ-álgebra de Borel. Finalmente, se demuestra que los conjuntos medibles de Rn quedan completamente determin
Este documento describe los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo elementos, conjuntos, relaciones de pertenencia, conjuntos universales, diagramas de Venn, subconjuntos, uniones, intersecciones, diferencias, complementos, conjuntos potencia, igualdad de conjuntos, productos cartesianos y operaciones generalizadas. También define conceptos como cardinalidad, particiones y propiedades de las operaciones entre conjuntos.
Similar a Unidad 3.conceptos preliminares de teoría de la medida (20)
El documento presenta una crítica del programa de estudios vigente de la asignatura Álgebra para la Licenciatura en Ingeniería Civil. Se identifican algunas fortalezas como su enfoque interdisciplinario y las herramientas brindadas para el estudio, pero también se señalan problemas como carencias en el tiempo de estudio requerido y la secuencia lógica. Luego, se explican conceptos básicos de estructuras algebraicas como grupos y anillos, definiéndolos y mencionando algunos de sus tipos.
Este documento presenta información sobre sucesiones y series matemáticas. Define sucesiones finitas e infinitas, y describe los tipos de sucesiones infinitas como convergentes, monótonas y acotadas. También define series finitas e infinitas y clasifica las series infinitas como divergentes o convergentes. Explica diferentes tipos de series infinitas y criterios para determinar su convergencia.
1) Establecer una Correspondencia Biunívoca entre los Números Reales y los Términos que pueden ser Objetos de cualquier Cantidad, Tipo o Naturaleza.
2) Desarrollar los Conceptos Matemáticos que permitan calcular el valor exacto de sumas, o por lo menos saber si existe tal valor.
3) Proporcionar la Idea Intuitiva, Consecutiva y Ordenada que puede presentar los Datos o Eventos que Introduce el Estudio de Fenómenos en las Ciencias Ingenieriles.
La reseña crítica del programa de estudios de la asignatura álgebra, ofrece un análisis evaluativo de los objetivos, contenidos y metodologías que se pretenden enseñar en el aula, para que así, se obtenga una propuesta viable que promueva la innovación continua en el desarrollo docente de impartir su cátedra académica con asertividad a las y los estudiantes que cursan la carrera de Ingeniería Civil, en un panorama que le ofrezca el gran aprendizaje significativo en su formación profesional.
La presente Exposición Escrita del Tema VII Estructuras Algebraicas, que pertenece al contenido programático de la asignatura Álgebra del Plan de Estudios Vigente en Ingeniería Civil (U.N.A.M.-D.G.A.E., 2007), representa una Guía Metodológica, para:
a) Apoyar a la y al Estudiante en su Proceso de Aprendizaje Metacognitivo.
b) Orientar a la y al Docente en su Labor e Intervención Didáctica.
Este documento presenta un análisis estadístico y probabilístico de la deserción escolar en una dependencia educativa mediante el método de regresión por mínimos cuadrados. Se utilizan datos históricos de deserción para predecir las tasas futuras y determinar el mejor modelo de ajuste polinomial. El modelo cuadrático tuvo el mejor ajuste y se usó para calcular coeficientes y predecir tasas de deserción con intervalos de confianza.
Este documento presenta un análisis estadístico y probabilístico del abandono escolar en una dependencia educativa mediante el método de regresión por mínimos cuadrados. El objetivo es realizar predicciones del abandono estudiantil para los años 2013 y 2014. La metodología incluye el uso de datos históricos de matrícula y egreso, y el ajuste de una función cuadrática a los datos para estimar intervalos de predicción.
Este documento presenta un análisis estadístico y probabilístico del abandono escolar en una escuela mediante el método de regresión por mínimos cuadrados. Se realiza un ajuste cuadrático de los datos para determinar los coeficientes de la función de regresión. Estos coeficientes permiten predecir intervalos de confianza para la deserción escolar futura.
Este documento presenta el primer avance de un proyecto que analiza la deserción escolar en el IEMSDF mediante el método de regresión por mínimos cuadrados. Se tomaron datos de ingreso y egreso de estudiantes por generación de 2001 a 2012 de varios planteles. Se calculó el porcentaje de deserción por generación y se construyó una tabla de datos. El análisis preliminar sugiere que un ajuste polinomial cuadrático podría ser el más adecuado.
Análisis Estadístico y Probabilístico de la Deserción Escolar del IEMSDF mediante el método de regresión por mínimos cuadrados. Tesina para obtener el título de la Licenciatura en Matemáticas presenta:
El Sustentante: Pte. Mat. Pedro Daniel Lara Maldonado Asesorado: Mat. Beatriz Carrasco Torres
Evaluado: Dra. Marlen Hernández Ortiz
Análisis Estadístico y Probabilístico de la Deserción Escolar del IEMSDF mediante el método de regresión por mínimos cuadrados.
Tesina para obtener el título de la Licenciatura en Matemáticas presenta:
El Sustentante: Pte. Mat. Pedro Daniel Lara Maldonado Asesorado: Mat. Beatriz Carrasco Torres
Evaluado: Dra. Marlen Hernández Ortiz
Análisis Estadístico y Probabilístico de la Deserción Escolar de los planteles del IEMSDF mediante el método de regresión por mínimos cuadrados.
Tesina para obtener la titulación de la Licenciatura en Matemáticas presenta
El Sustentante: Pte. Mat. Pedro Daniel Lara Maldonado
Asesorado: Mat. Beatriz Carrasco Torres
Evaluado: Dra. Marlen Hernández Ortiz
Análisis Estadístico y Probabilístico de la Deserción Escolar de los planteles del IEMSDF mediante el método de regresión por mínimos cuadrados.
Tesina para obtener la titulación de la Licenciatura en Matemáticas presenta
El Sustentante: Pte. Mat. Pedro Daniel Lara Maldonado
Asesorado: Mat. Beatriz Carrasco Torres
Evaluado: Dra. Marlen Hernández Ortiz
Análisis Estadístico y Probabilístico de la Deserción Escolar del IEMSDF mediante el método de regresión por mínimos cuadrados.
Tesina para obtener el título de la Licenciatura en Matemáticas presenta:
El Sustentante: Pte. Mat. Pedro Daniel Lara Maldonado Asesorado: Mat. Beatriz Carrasco Torres
Evaluado: Dra. Marlen Hernández Ortiz
El tema de este proyecto se circunscribe a los datos registrados en el Sistema de Información Mexicana del Distrito Federal (INFOMEXDF) dentro de la dependencia paraestatal del Instituto de Educación Media Superior del Distrito Federal por parte de la Dirección Estudiantil; a través del conducto de la Subdirección de Administración Escolar. El objetivo de este proyecto es hacer predicciones de la deserción estudiantil en las últimas generaciones que comprenden del año 2013 hasta el año 2014, considerado para toda la dependencia; se aplicaron los modelos de ajuste de funciones polinomiales mediante el método regresión por mínimos cuadrados para encontrar una función polinomial de ajuste a los datos. Este ajuste se centró en el cálculo del error que define su desviación estándar con distribución 푡−student para poder construir un intervalo de predicción que representa una estimación muestral de estudiantes desertores para las generaciones venideras, cuya incidencia, se ha incrementado de manera gradual, debido a que dejan sus estudios inconclusos no suelen retomarlos posteriormente, por lo que este diagnóstico es una cuestión alarmante de riesgo en su credibilidad condicional, que aseveró la importancia de atender esta problemática, que implica una concientización de desempeño escolar, en relación a la eficiencia terminal.
El tema de este proyecto se circunscribe a los datos registrados en el Sistema de Información Mexicana del Distrito Federal (INFOMEXDF) dentro de la dependencia paraestatal del Instituto de Educación Media Superior del Distrito Federal por parte de la Dirección Estudiantil; a través del conducto de la Subdirección de Administración Escolar. El objetivo de este proyecto es hacer predicciones de la deserción estudiantil en las últimas generaciones que comprenden del año 2013 hasta el año 2014, considerado para los 16 planteles con amplio histórico; se aplicaron los modelos de ajuste de funciones polinomiales mediante el método regresión por mínimos cuadrados para encontrar una función polinomial de ajuste a los datos. Este ajuste se centró en el cálculo del error que define su desviación estándar con distribución 푡−student para poder construir un intervalo de predicción que representa una estimación muestral de estudiantes desertores para las generaciones venideras, cuya incidencia, se ha incrementado de manera gradual, debido a que dejan sus estudios inconclusos no suelen retomarlos posteriormente, por lo que este diagnóstico es una cuestión alarmante de riesgo en su credibilidad condicional, que aseveró la importancia de atender esta problemática, que implica una concientización de desempeño escolar, en relación a la eficiencia terminal.
Unidad 1. determinación del tipo de distribución que presenta un proceso esto...PEDRO LARA MALDONADO
Este documento presenta la Unidad 1 de un curso sobre modelación estocástica. La unidad se enfoca en determinar el tipo de distribución de probabilidad que mejor describe un proceso estocástico dado. Incluye una introducción al tema y comentarios iniciales, así como dos actividades para los estudiantes. También cubre pruebas estadísticas como chi cuadrada y Kolmogorov-Smirnov para determinar si un proceso se ajusta a una distribución propuesta.
Este documento presenta la unidad sobre la integral de Riemann-Stieltjes. Introduce los antecedentes de la integral, incluyendo su definición, propiedades como la linealidad y aditividad, y teoremas como la integración por partes y el cambio de variable. También incluye ejemplos y actividades para que los estudiantes apliquen los conceptos.
El documento describe los pasos para demostrar una inducción matemática. Verifica que la expresión es válida para n=1 y supone que es válida para un número natural k. Luego muestra que si esto es cierto, la expresión también es válida para k+1, por lo que se cumple para todo número natural n.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
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Unidad 3.conceptos preliminares de teoría de la medida
1. Análisis matemático II
Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías
1
Universidad Abierta y a Distancia de México
Licenciatura en Matemáticas
8° cuatrimestre
Análisis Matemático II
Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida
Clave:
050930829
2. Análisis matemático II
Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías
2
Índice
Unidad 3. Conceptos Preliminares de Teoría de la Medida ...................................................3
Presentación de la unidad........................................................................................................3
Propósitos de la unidad ...........................................................................................................3
Competencia específica de la unidad......................................................................................3
3.1. Antecedentes .....................................................................................................................3
3.1.1. Medidas y conjuntos medibles........................................................................................................ 3
3.1.2. Definición de Medida de Lebesgue. Propiedades ......................................................................... 11
3.1.3. Conjuntos Lebesgue medibles....................................................................................................... 15
Actividad 1.Preliminares de Teoría de la Medida..................................................................19
3.2. Funciones medibles.........................................................................................................20
3.2.1. Algunas Aplicaciones ..................................................................................................................... 20
Actividad 2. Medida de Lebesgue..........................................................................................24
Autoevaluación .......................................................................................................................24
Evidencia de aprendizaje. Espacios métricos, conjuntos medibles y medida de Lebesgue
25
Autorreflexiones .....................................................................................................................25
Cierre de la unidad..................................................................................................................25
Para saber más: ......................................................................................................................26
Referencias Bibliográficas .....................................................................................................26
3. Análisis matemático II
Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías
3
Unidad 3. Conceptos Preliminares de Teoría de la Medida
Presentación de la unidad
La integral de Riemann-Stieltjes que se introdujo en el en la unidad anterior generaliza la
integral de Riemann, la función integrante introducida en la integral de Riemann-Stieltjes
adquiere un significado más particular cuando le asigna una “medida” a los conjuntos sobre los
cuales se va a integrar. El uso de esta función nos permite generalizar el concepto de integral,
incluso de funciones con “muchas” discontinuidades. En esta unidad se introduce el concepto
de medida de un conjunto y más específicamente el de “medida de Lebesgue”.
Propósitos de la unidad
Identificar las propiedades de la medida de Lebesgue.
Clasificar conjuntos en .
Competencia específica de la unidad
Analizar el concepto de medida para clasificar conjuntos en mediante la utilización de sus
propiedades
3.1. Antecedentes
Emile Borel en 1898 fue el primero en establecer una teoría de la medida sobre los
subconjuntos de los números reales conocidos ahora como conjuntos de Borel. En 1902 H.
Lebesgue presentó su trabajo pionero sobre medida de Lebesgue y en 1918 C. Carathéodory
introdujo y estudió las propiedades de medidas exteriores.
3.1.1. Medidas y conjuntos medibles
El concepto general de medida de un conjunto constituye una generalización natural de los
siguientes conceptos:
longitud de un segmento ,
área de una figura plana F,
volumen de una figura G del espacio,
del incremento ( ) ( ) de una función no decreciente ( ) en el segmento semiabierto
, ),
4. Análisis matemático II
Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida
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4
de la integral de una función no negativa en una región lineal, plana, etc.
Un interés general es establecer una medida sobre la recta real, por el cual introduciremos un
concepto de medida sobre ciertos conjuntos de una manera general.
La teoría de integración de Riemann presentada en adaptación de la teoría de Cauchy
debilitando las hipótesis necesarias para que una función sea integrable. Mientras Cauchy
restringía la integrabilidad a funciones continuas, Riemann dio una condición necesaria y
suficiente para la integrabilidad de una función:
Una función acotada ( ) es integrable en , - si y sólo si la suma de Cauchy
∑ ( )( )
donde y [ ], se aproxima valor límite cuando el tamaño de
la partición del se aproxima a 0. Este único valor límite es por definición es por definición
∫ ( ) .
Definición 1 [Semianillo] Sea un conjunto no vacío. Una colección de subconjuntos de
es llamado un semianillo si esta satisface las siguientes propiedades.
a) El conjunto vacío pertenece a , es decir .
b) Si ; entonces ; esto es, es cerrado bajo intercesiones finitas.
c) El conjunto diferencia de cuales quiera dos conjuntos de pueden ser escritos como la
unión finita de un par de conjuntos disjuntos de . Esto es, para cada ; entonces
existe (dependiendo de y ) tal que ⋃ y si .
Definición 2 [ -conjunto] Sea un semianillo de subconjuntos, subconjuntos de . Un
subconjunto de es llamado un -conjunto con respecto a (simplemente un -conjunto)
si existe una sucesión disjunta * + de (esto quiere decir, si ) tal que
⋃ .
Observación 1. Si ⋃ , con y para , entonces es un -
conjunto.
Algunas propiedades de los -conjuntos están incluidas en el siguiente teorema.
Teorema 1. Para algún semianillo , se tiene las siguientes propiedades.
a) Si y , entonces ⋃ puede ser escrito como la unión finita de
conjuntos ajenos de (entonces, este es un -conjunto).
b) Para cada sucesión * + de , el conjunto ⋃ es un -conjunto.
5. Análisis matemático II
Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida
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5
c) Uniones numerables e intersecciones finitas de -conjuntos son -conjuntos.
Demostración. La prueba se hace por inducción sobre . Para , el teorema es válido por
la definición de semianillo. Ahora se asume que el teorema es válido para alguna . Sea ,
y sean . Por hipótesis de inducción, existen tal que
⋃ y si , entonces
⋃ ⋃( )
Por la propiedad c) de semianillo, cada puede ser escrito como la unión finita de
conjuntos disjuntos de . Donde si , esto se sigue de ⋃ puede ser
escrito como la unión finta de conjuntos disjuntos de . Esto completa la inducción y la prueba.
Sea * + . Donde ⋃ , entonces se escribe ⋃ tal que y
⋃ para . Observamos que si , y por la propiedad a) cada
es un -conjunto. Ahora se sigue que es en sí mismo un -conjunto.
Para la prueba de c) se sigue de b), y de la propiedad b) de semianillo.
Lema 1. Si * + es una sucesión de conjuntos de un semianillo , entonces existe una sucesión
disjunta * + de tal que ⋃ ⋃ y para entonces existe algún con .
Definición 3 [Álgebra de conjuntos] Un conjunto no vacío de subconjuntos de tal que es
cerrado bajo intersecciones finitas y su complemento es llamado álgebra de conjuntos(o
simplemente un álgebra). Esto es, es un álgebra si satisface las siguientes propiedades:
a) Si , entonces .
b) Si , entonces .
Teorema 2. Para un álgebra de conjuntos , las siguientes propiedades se cumplen:
a) Los conjuntos .
b) El álgebra es cerrada bajo uniones e intersecciones finitas.
c) El álgebra es un semianillo.
Demostración.
a) Dado que es no vacío existe algún . Ahora, por hipótesis así,
. Más aún, .
b) Sea . Entonces ( ) , el resto de la prueba se sigue por
inducción.
6. Análisis matemático II
Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida
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6
c) Solo se tiene que verificar para la propiedad 3) de la definición de semianillo, pero esto
se observa de la identidad .
Ejemplo
Para algún conjunto no vacío , la colección * + es un álgebra de conjuntos.
Sea una familia de subconjuntos disjuntos y distintos del vacíos de un conjunto .
Entonces ( ) es un semianillo de subconjuntos de . Para ver esto, se observa que
primero . Ahora, si , entonces es vacío o igual a . Del mismo modo, es o
bien vacío o igual a . Por lo tanto, implica que pertenece a , y así, es un
semianillo.
Definición 4 [Anillo de conjuntos] Un anillo de conjuntos (o simplemente un anillo) es un
conjunto no vacío de subconjuntos de un conjunto satisfacer las siguientes propiedades:
a) Si entonces
b) Si , .
Cada anillo contiene el conjunto vacío. En efecto, dado que es no vacío, entonces existe
, por lo que . Cada álgebra de conjuntos es un anillo de conjuntos. Además,
un anillo es necesariamente un semianillo. En efecto, si , entonces la relación
( ) muestra que .
Definición 5 [ -Anillo] Un álgebra de subconjuntos de un conjunto se llama -álgebra si
cada unión de una colección numerable de miembros de esta nuevamente en . Es decir,
además es un álgebra, ⋃ esta para cada sucesión * +, de .
En virtud de ⋂ (⋃ ) , esto se sigue de que todas -álgebra de conjuntos es
cerrado bajo intercesiones finitas. Cada colección de subconjuntos: de un conjunto no vacío
está contenido en una -álgebra más pequeña (con respecto a la relación de inclusión). Esta
-álgebra es la intersección de todas las -álgebras que contienen a (nótese que ( ) es
uno de ellos), que se llama la -álgebra generada por .
Definición 6 [Conjuntos de Borel] Los conjuntos de Borel de un espacio topológico (X, r)
son conjuntos de la -álgebra generada por los conjuntos abiertos.
La -álgebra de todos los conjuntos de Borel de ( ) se denotan por .
Se introduce la noción de medida sobre una -álgebra y se consideran el concepto de medida
cero.
Definición 7 [Medida] Sea ( ) un espacio medible. Una medida en ( ) es una función
con las siguientes propiedades:
a) ( ) .
b) para todo .
7. Análisis matemático II
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7
c) es -aditiva, i.e. Si ( ) es una sucesión de elementos disjuntos entre sí de S, entonces:
(⋃ ) ∑ ( )
Definición 8 [Medida Finita] Sea una medida en ( ). Se dice que es finita si no toma el
valor extendido .
Si es posible hallar una sucesión ( ) de elementos de tal que ⋃ para todo
, entonces se dice que es -finita. Se observa que toda medida finita es
automáticamente -finita.
Las siguientes propiedades son consecuencias de la definición.
Proposición 1. Sea una medida en ( ) entonces
a) es aditiva, esto quiere decir ( ) ( ) ( ) si , ( ) .
b) es monótona; es decir, si , con , entonces se tiene: ( ) ( ).
c) es sustractiva; es decir, si , con y ( ) , entonces ( )
( ) ( ).
Demostración.
Para a), sean , entonces ( ) es una sucesión de elementos de y por la
Proposición 1 inciso a) y b) obtenemos:
( ) (⋃ ) ∑ ( ) ( ) ( )
La aditivita puede extenderse por inducción a cualquier número finito de elementos ajenos.
a) De la identidad ( ) (unión disjunta de elementos de ), se obtiene del inciso
anterior que: ( ) ( ) ( ), así se tiene que ( ) ( ) por (Proposición 1 b).
b) De la identidad ( ) ( ) ( ), obtenemos al restar ( ) que:
( ) ( ) ( ). Nótese que la valida aún si ( ) .
Ejemplo.
1. Sean ( ) es un espacio medible arbitrario y fijo definimos * + como
sigue:
( ) {
La medida es una medida finita, llamada la medida unitaria concentrada en .
8. Análisis matemático II
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8
2. Sean ( ) un espacio medible, ̅ medidas y entonces
̅,
es una medida.
Teorema 3. Sea un semianillo, y sea , - una función. Entonces es una medida
sobre si y sólo si satisface las siguientes condiciones.
a) ( ) .
b) Si , y satisface ⋃ y para , entonces
∑ ( ) ( ) se satisface.
c) Si y * + satisface ⋃ , entonces ( ) ∑ ( ), entonces es -
subaditiva.
Demostración.
Supóngase es una medida sobre . Entonces por definición, ( ) . Para b) supongamos
que , y los conjuntos satisfacen ⋃ . Entonces conjuntos disjuntos
de tal que ⋃ ⋃ . Sea , y para
. Entonces los conjuntos son disjuntos y ⋃ . Por la propiedad de aditivita
finita de , se tiene
( ) ∑ ( ) ∑ ( )
Por la -subaditividad de , se asume que ⋃ tal que y * + . Sea y
⋃ para . Entonces ⋃ ⋃ y para cada .
También, para sucesión * + es disjunta, y para cada existe un par de conjuntos disjuntos
en tal que ⋃ . Obsérvese que por b) y por ⋃ para cada , se
sigue que ∑ ( ) ( ). (Para n=1, hacemos y .)
Ahora, observemos que ⋃ ( ) ⋃ ⋃ ( ), es una unión disjunta. Por lo
tanto la -aditividad de se obtiene
( ) ∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ( ) ∑ ( )
A la inversa, si el conjunto de funciones , - satisface las tres condiciones anteriores,
es -aditiva por la combinación de los incisos b) y c). Por lo tanto, es una medida.
Definición 9 [Conjunto nulo] Un conjunto es llamado un conjunto nulo si ( ) .
Denotamos a este por ( ), es decir:
( ) * ( ) +
9. Análisis matemático II
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A partir de la propiedad de un -subaditividad de que una unión numerable de conjuntos nulos
es de nuevo un conjunto vacío. Los conjuntos nulos jugarán un papel importante en la teoría de
la integración.
Teorema 4. Cada conjunto nulo es medible.
Demostración. Sea con ( ) . Entonces la monotonía de implica ( )
para cada Por consiguiente, para cada subconjunto de se tienen
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
donde la primera desigualdad se cumple en virtud de la -subaditividad de . Por lo tanto, es
medible.
Lema 1. Sean los conjuntos los conjuntos y medibles. Entonces
(⋃( )) ∑ ( )
esto se cumple para cada conjunto de .
Demostración. La prueba es por inducción sobre . Obviamente, el resultado es cierto para
. Supongamos ahora es cierto para algún , y sean que los conjuntos ,
conjuntos disjuntos y medibles. Si , entonces
[⋃ ]
[⋃ ] ( ) [⋃ ]
Por lo tanto, usando la medida de , vemos que
(⋃( ) ) ( [⋃ ])
( ([⋃ ]) ) ( [⋃ ] ( ) )
( ) ( [⋃ ]) ∑ ( )
donde la última igualdad se cumple por la hipótesis de inducción. La inducción es ahora
completar, y la prueba está terminada.
10. Análisis matemático II
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10
Definición 10 [Completo] Un espacio de medida ( ) se llama completo, si siempre que
( ) y , entonces , en cuyo caso también se tiene que ( ). También
decimos que en este caso es una medida completa.
Teorema 4. Sea una medida definida sobre el espacio medible ( ).
a) Si ( ) es una sucesión creciente de elementos , entonces
(⋃ ) ( )
Donde ( ) significa que el límite es el de una sucesión creciente.
b) Si ( ) es una sucesión decreciente de elementos de , entonces
(⋂ ) ( )
Si además ( ) para alguna entonces se tiene la igualdad.
Demostración.
a) Si ( ) para alguna , entonces ambos miembros de la expresión son iguales
. Así supondremos que ( ) para todo .
Sea y ( ); entonces ( ) es una sucesión de elementos ajenos en
tal que:
⋃
Y por tanto
⋃ ⋃
Usando la -aditividad y la sustractividad de obtenemos:
(⋃ ) ( ⋃ ) ∑ ( ) ∑ ( )
∑( ( ) ( )) ( )
Finalmente, se observa que por la monotonía de , el límite es una sucesión creciente.
b) Si ⋃ para todo , entonces,
(⋂ ) ( )
11. Análisis matemático II
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y como la sucesión es decreciente, entonces:
(⋂ ) ( )
Supongamos que ( ) para algún , sea el primero natural con dicha propiedad.
Definimos , entonces ( ) es una sucesión creciente de elementos de con
⋃ ⋂ . Se sigue del inciso a) y de sustracción de que:
( ) (⋃ ) (⋃ ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Pero ( ) es finito porque se puede restar y concluir que:
(⋂ ) ( )
Ejemplo.
Supóngase que la función es no decreciente y continua; esto es,
( ) ( ) para cada . Consideremos el semianillo
*, ) y +
Ahora se define , ) por (, )) ( ) ( ) si y ( ) . Observamos que
esta función es una medida.
3.1.2. Definición de medida de Lebesgue. Propiedades
En esta sección se presenta una forma de construir medidas con distintas propiedades a partir
de conceptos más primitivos, se demuestra la unicidad de la medida obtenida y dando como
caso particular la medida de Lebesgue en .
Definición 11 [Casi-medida].
Sea ; y ( ) un álgebra. Una casi-medida es una función conjuntista ̅ tal
que:
1) ( )
2) ( ) , para toda .
12. Análisis matemático II
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3) Si ( ) es una sucesión de elementos disjuntos de tal que ⋃ , entonces:
(⋃ ) ∑ ( )
Observamos de la definición que como ( ) , entonces es aditiva y además monótona.
Consideremos ahora ( ) una sucesión de elementos no necesariamente disjuntos de tal
que ⋃ , se tiene que:
(⋃ ) ∑ ( )
Si ( ) entonces decimos que es finita y si ⋃ con ( ) , entonces la casi-
medida se llama -finita.
El siguiente concepto es el de media exterior, será usado para construir una medida.
Definición 12 [Medida exterior].
Una medida exterior es una función conjuntista ( ) ̅ tal que:
1) ( ) .
2) ( ) para todo ( ).
3) ( ) ( ) si . (Monotonía)
4) (⋃ ) ∑ ( ) para toda sucesión ( ) de subconjuntos de . ( -subaditividad)
Notamos que por la propiedad 1), también es subaditiva y de forma análoga al caso de las
casi-medidas, si ( ) se llama finita y si ⋃ con ( ) , se denomina -finita.
Una manera muy común dentro del análisis para obtener funciones que son medidas es
extender funciones para que estas tengan un dominio más grande y cumplan las condiciones
para ser medidas. Asociada a cada casi-medida tenemos una medida exterior, que resulta de
extender la casi-medida, el método que se dará es “aproximar desde afuera” a los subconjuntos
de , por medio de cubiertas numerables de elementos de .
Ejemplo. Medida exterior.
Considera con la topología dada por la métrica usual, para este ejemplo se considera
cualquier espacio métrico separable, los cuales son segundo numerables, es decir tienen una
base numerable para su topología. Sea
* + Una base numerable para la topología de . Definimos ( ) , - de la
siguiente manera:
13. Análisis matemático II
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13
( ) ∑
( )
en donde:
( ) { para todo
Entonces es una medida exterior y tiene la siguiente propiedad:
( ) ( ̅)
para todo , donde ̅ es la cerradura de .
La siguiente es la definición de la medida exterior generada por una casi-medida .
Definición 13 [Medida exterior generada por una casi-medida].
Sea ̅ una casi-medida. Definimos ( ) ̅ de la siguiente forma:
( ) {∑ ( ) ⋃ ( )}
para todo .
Una sucesión ( ) de elementos de tal que ⋃ es llamada una -cubierta de ,
se denomina la medida exterior generada por a continuación se demuestra que esta función
está bien definida y que en efecto es una medida exterior.
Observación 2. Dada una casi-medida , la función definida antes siempre existe pues para
todo ya que , se tiene que el conjunto de -cubiertas es no vacío, por lo tanto el
conjunto de sumas a las que obtenemos el ínfimo también es no vacío y es acotado
inferiormente por cero, ahora por propiedades vistas en cursos anteriores de Cálculo, el ínfimo
existe. Notemos que con las definiciones presentadas para este curso, tanto ( ), como ( )
pueden tener el valor para algún .
Teorema 5. La función ( ) ̅ de la definición anterior es una medida exterior y además
es una extensión de , es decir:
|
Demostración. De la definición se tiene que como ( ) para cada , entonces
∑ ( ) para cualquier sucesión ( ) de elementos de , así dado tienes que
cero es cota inferior del conjunto *∑ ( ) ⋃ ( )+, por lo que
( ).
Considera la -cubierta de dada por entonces ( ) ya que es una casi-medida
y junto a la conclusión anterior tenemos que ( ) .
Sean Como toda -cubierta de F es -cubierta de entonces, de la definición
tenemos que:
( ) ( )
14. Análisis matemático II
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14
Observa ahora la -subaditividad de . Sea ( ) una sucesión de subconjuntos de . Si
( ) para algún , entonces por la monotonía se tiene:
( ) (⋃ )
así que
(⋃ ) ∑ ( )
Ahora supón que ( ) para todo .
Sea , para cada tomamos una -cubierta numerable .
( )
/ de tal que:
∑ .
( )
/ ( )
Como ⋃ ⋃ (⋃ ) tenemos que el conjunto *
( )
( ) + es una -
cubierta de ⋃ y por lo tanto se verifica que:
(⋃ ) ∑ .
( )
/
( )
∑ (∑ .
( )
/) (∑ ( ))
Esto pasa para cualquier arbitraria así tenemos que (⋃ ) ∑ ( ), lo que prueba
que la función es -subaditiva, por lo tanto constituye una medida exterior.
Sea , se tiene que ( ) ( ), sean ( ) una -cubierta de y , entonces
⋃ y además ( ) ( ) para toda por lo que ∑ ( ) ∑ ( ),
entonces por las propiedades de tenemos que:
( ) ∑ ( )
por lo tanto
( ) ( )
así que extiende a .
Por otra parte, es -finita si y sólo si es -finita.
La noción de medida de Lebesgue es una extensión natural de los conceptos de longitud, área
y volumen. En particular, la medida de Lebesgue alguna figura geométrica en resulta ser su
área mientras que en es su volumen.
15. Análisis matemático II
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15
Sea un semianillo que contiene el conjunto vacío y todos los conjuntos de la forma
∏ , ), donde para cada , se observa que la función , )
definida por ( ) y (∏ , )) ∏ ( ) es -aditiva.
Teorema 6. La función , ) definida anteriormente es una medida, llamada la medida
de Lebesgue sobre .
Demostración. La prueba es por inducción sobre la dimensión de . Sea que denota el
semianillo sobre , y sus corresponde funciones por . Para resulta de un ejemplo
anterior. Ahora supóngase que es una medida para alguna Observamos que es
-aditiva sobre . Para terminar, sea , ) ⋃ , , )-, con ,
para cada , y la sucesión * , )+ son pares disjuntos. Se deduce que , )
∑ , ). Ahora para ( ) y se tiene
( ) , )( ) ∑ ( ) , )( )
Fijemos ( ) , y sea ( ) ∑ ( ) , )( ). Entonces cada es una
función para ( ) tal que ( ) ( ) , )( ) para cada , así que se tiene que
∑ ( ) ( ) ( ) ( ) para cada ( ) . Como por hipótesis de inducción
( ) es un espacio de medida puede verse que:
∑( ) ( ) ( ) ( )
Esto es,
∑ ( , )) ( , ))
Por lo tanto es es -aditiva.
Un intervalo de es un conjunto de la forma ∏ donde cada , es un intervalo de . Si
cada ; es además un intervalo abierto y acotado de , entonces ∏ ; es llamado un
intervalo abierto de . Además se observa que cada intervalo de esta forma es una medida de
Lebesgue.
Una fórmula útil para la medida de Lebesgue exterior es la siguiente:
( ) {∑ ( ) ⋃ }
3.1.3. Conjuntos Lebesgue medibles
16. Análisis matemático II
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16
En general puedes ver que no todas las medidas exteriores son medidas, esto suele ocurrir
porque el ( ) es un dominio “muy grande”. La manera en que procede es elegir algunos
subconjuntos de en donde la medida exterior sea aditiva.
La definición que se utilizará fue dada por K. Carathéodory en 1918.
Definición 13 [Lebesgue-medible].
Sea ( ) ̅ una medida exterior. Decimos que es Lebesgue-medible (o -
medible) si:
( ) ( ) ( )
Para todo . Es decir si y dividen aditivamente a cualquier subconjunto de .
Se Denota * + y en el caso de una medida exterior
generada por una casi-medida , denotaremos * +.
Observación 3. Nota que como toda medida exterior es subaditiva, basta pedir:
( ) ( ) ( )
para todo .
La proposición siguiente es para identificar algunos de los elementos de .
Proposición 2. Sea ( ) ̅ una medida exterior, entonces:
a) .
b) ( ) .
Demostración.
a) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( ) ( ) .
b) Como es no-negativa y monótona se tiene que:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Por la Observación 2 se tiene que .
Teorema 6. (De extensión de K. Carathéodory – E. Hopf (1918)).
Sea ( ) ̅ una medida exterior, entonces:
a) es una -álgebra.
b) ̅ | ̅ es una medida completa. En caso de que sea la medida
exterior generada por una casi-medida ̅, entonces:
c) ( )
Demostración.
17. Análisis matemático II
Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida
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17
a) Por la proposición 1, se tiene que es cerrado bajo complementos y ( ) ,
entonces ; basta demostrar que es cerrado bajo uniones numerables.
Sean , de la definición de conjuntos Lebesgue-medibles se tiene que para todo
el conjunto cumple:
( ) (( ) ) (( ) ) ( 1 )
( ) (( ) ) (( ) ) ( 2 )
Sumando (1) y (2), como :
( ) ( ) ( ) ( ) (( ) )
(( ) ) ( ( ))
( 3 )
Esto es válido para cualquier y podemos sustituir por ( ) en la ecuación (3):
( ( )) ( ) (( ) ) (( ) ) ( 4 )
Despejando ( ) de (4) y sustituyendo en (3) tenemos que:
( ) ( ( )) ( ( ))
para todo , por lo tanto . Se sigue por inducción que ⋃ .
Sea ( ) una sucesión de elementos de , a partir de ella es posible construir una sucesión
( ) tal que:
para todo ,
si y
⋃ ⋃ .
Esto es un ejercicio sencillo de teoría de conjuntos así que se dará por hecho. Si tomamos una
sucesión cualquiera, la unión de los elementos de esta sucesión puede ser sustituida por la
unión de elementos disjuntos de elementos también de , así que basta probar que
⋃ , donde ( ) es una sucesión de elementos ajenos de .
Si son disjuntos la ecuación (4) se convierte:
( ( )) ( ) ( ) para todo ( 5 )
Nuevamente procediendo por inducción se tiene que para todo se cumple:
( (⋃ )) ∑ ( ) ( 6 )
para todo con subconjuntos ajenos en .
Sea ( ) una sucesión de conjuntos ajenos, denota:
⋃ ( ) ⋃
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entonces y como se sigue de (6), y de lo obtenido a partir de (3) y (4)
que:
( ) (∑ ( )) ( )
para todos y , por lo que:
( ) (∑ ( )) ( )
y como es -subaditiva entonces ( (⋃ )) (⋃ ) ∑ ( ), por lo
tanto:
( ) ( ) ( ) ( 7 )
para todo , así que , por lo tanto, es una -álgebra.
b) Por la definición de la ̅ ̅, ésta es no-negativa y ̅( ) . Así que basta probar
que ̅ es -aditiva.
Para facilitar la nomenclatura decimos que una sucesión de subconjuntos es disjunta si:
cuando .
Sean ( ) una sucesión disjunta de elementos en y ⋃ por el inciso (a) , así
̅( ) ( ). Si ponemos en (7) tenemos que:
̅( ) ∑ ̅( )
y como es -subaditiva, ̅ es -subaditiva, por lo que:
̅( ) ∑ ̅( )
por lo tanto ̅ es subaditiva. Por lo tanto es medida.
Sean con ̅( ) y dados, entonces ( ) y por Proposición 1.b) tenemos
que , eso prueba que ̅ es completa.
c) Sea ̅ una casi-medida y la medida exterior generada. Como es una
-álgebra basta probar que . Sean y , si ( ) , entonces
( ) ( ) ( ), esto de manera trivial. Ahora supongamos ( ) .
Para dada, hallemos una -cubierta numerable ( ) de tal que:
∑ ( ) ( )
19. Análisis matemático II
Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida
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Como | , por la monotonía y la -subaditividad de y la aditividad de obtenemos:
( ) ( ) ∑( ) ∑( ) ∑ ( ) ( )
Esto ocurre para cualquier , así que .
Nuevamente para facilitar notación denotaremos ̅ | .
Hasta ahora se ha dado una forma de construir una medida para una -álgebra a partir de una
medida exterior, o más general, de una casi-medida; podemos preguntarnos las propiedades
que esta medida tiene con respecto a la función que tomamos como base para construirla, el
siguiente teorema da una información muy importante a este respecto para un tipo especial de
casi-medida, nos dice que la medida ̅ que construimos sobre la -algebra es única con las
propiedades que se expusieron, esto se verá con más claridad en el enunciado siguiente.
Teorema 7. (H. Hahn (1921))
Sean ̅ una casi-medida -finita, ( ) una -álgebra que contiene a y
̅ una medida tal que: ( ) ( ) para todo , entonces ̅( ) ( ) para todo
.
Esta unicidad es importante en el momento en que deseamos plantearnos la construcción de
medidas distintas a las que ya tenemos, pues con esas propiedades sólo tenemos una
posibilidad de extender a la casi medida .
Teorema 8. Un subconjunto de es Lebesgue medible si y sólo si para cada , existe
un conjunto abierto , tal que , y ( ) .
El teorema expresa que aquellos conjuntos que son Lebesgue medibles en pueden ser
aproximados “desde afuera” por abiertos del espacio, esta condición es bastante útil para
caracterizar los conjuntos medibles, pues de inicio nos dice que todos los conjuntos abiertos de
son Lebesgue medibles, más aún el siguiente resultado hace ver que la categoría de los
Lebesgue medibles incluye a todos los conjuntos de Borel.
Teorema 9. Si es un conjunto de Borel sobre , entonces es Lebesgue medible
Actividad 1.Preliminares de Teoría de la Medida
A través de esta actividad compararás los conceptos previos de Teoría de la medida con la
medida de Lebesgue.
Instrucciones:
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1. Descarga el documento llamado “Act. 1. Tabla de medidas”
2. Compara las dos listas que se te proporcionan. Una de conceptos intuitivos y otra de
conceptos formales de la medida.
3. Ingresa al foro y tomando en cuenta la comparación de los dos listas. redacta las
definiciones formales de la teoría de la medida.
4. Revisa aportaciones de tres de tus compañeros, aceptando o rechazando sus
respuestas.
Nota: Antes de participar en el foro, recuerda consultar la Rúbrica general de participación en
foros que se encuentra en la sección Material de apoyo.
3.2. Funciones medibles
El concepto de función medible es importante porque permite construir un conjunto de funciones
que contiene a otras funciones definidas en cursos anteriores tales como las continuas, las
Riemann-Integrables, y cómo estas satisfacen ciertas propiedades algebraicas, además las
variables aleatorias definidas en Probabilidad son un ejemplo de función de medida, la
definición de función medible es casi copia de la de continua, lo que nos recuerda la manera en
que la matemática se generaliza.
3.2.1. Algunas Aplicaciones
Ya que existe la posibilidad de que algún conjunto tenga medida infinita, se trabaja con el
sistema de números reales ampliado al que se denota por es decir se agregarán los
símbolos * + que cumpla ciertas propiedades.
Definición 14. El sistema de los reales extendido está formado por los números reales y los
símbolos tal que las operaciones entre reales son las ya definidas, , , para
todo real , , para real o ; ( ); ( ); ;
, se dan definiciones similares para y finalmente , no está definido.
Una propiedad se satisface casi en todas partes (c.t.p.), si se satisface en todo punto excepto
un conjunto de medida cero, es decir si A es el conjunto en que falla la condición, entonces
( ) ) ( y se denota que la propiedad se
cumple c.t.p.
21. Análisis matemático II
Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida
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Definición 15. Un espacio de medida es una terna ( ) formada por un conjunto
( ),un , y una medida sobre .
Las propiedades más usadas serán las siguientes:
1. (* | ( ) ( )+) .
2. (* | ( ) ( )+) .
3. . (* | ( ) ( )+) .
4. . si p.c.t. para toda n y p.c.t.
5. . si p.c.t. para toda n y p.c.t
Definición 16. Sea una función. Si ( ) es medible para todo abierto ,
entonces se dice que es una función medible.
Un primer teorema nos caracteriza a las funciones medibles.
Teorema 9. Para cada función , las siguientes proposiciones son equivalentes.
1. es medible.
2. (( )) es medible para cada intervalo abierto acotado ( ) de .
3. ( ) es medible para todo subconjunto cerrado .
4. (, )) es medible para todo .
5. (( -) es medible para todo .
6. ( ) es medible para todo subconjunto de Borel .
Ejemplos.
Si f es medible entonces * ( ) + * ( ) + * ( ) + * ( )
+ para real finito, para , se tiene * ( ) + ⋂ * ( ) +, de manera similar
para .
Las funciones constantes son medibles ya que (, ))= que es medible para todo
real.
La función característica sobre cualquier conjunto es medible, si y sólo si es un conjunto
medible ya que * ( ) + , dependiendo del valor de .
22. Análisis matemático II
Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida
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22
Las funciones continuas son medibles, ya que (( )) es abierto para todo y por tanto
medible.
Se define la igualdad p.c.t. (para casi todo) lo que nos da una forma de equivalencia entre
funciones medibles.
Teorema 10. Si es una función medible y satisface p.c.t., entonces es una
función medible.
Demostración.
Si * ( ) ( )+, entonces de la hipótesis ( ) , y así es medible. Ahora, sea
un subconjunto abierto de . Ya que es medible, ( ) es medible, de aquí que
( ) ( ) es un conjunto medible. Ya que ( ) tiene medida exterior cero, es
medible. De aquí,
( ) , ( )- , ( )-
Es un conjunto medible, así que g es una función medible.
Otras propiedades de las funciones medibles se enuncian en el siguiente teorema.
Teorema 11. Si son funciones medibles, entonces los siguientes conjuntos
a) * ( ) ( )+.
b) * ( ) ( )+.
c) * ( ) ( )+.
Son todos medibles.
Demostración.
Demostraremos a) y los otros se deducen de este.
Sea un enumeración de los números racionales de , entonces
* ( ) ( )+ ⋃ ,* ( ) + * ( ) +- es medible ya que es unión
numerable de conjuntos medibles.
El siguiente teorema establece que la medibilidad es preservada por operaciones algebraicas
entre funciones.
Teorema 12. Sean funciones medibles, entonces las siguientes proposiciones son váildas:
1. es una función medible.
2. es una función medible.
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3. | | son funciones medibles.
4. y son funciones medibles.
Demostración.
1) Si es un número constante, entonces es medible, ya que si , entonces
* ( ) + * ( ) + es un conjunto medible, ahora si ,
entonces el conjunto ( ) (, )) * ( ) ( ) + * ( )
( )+ es medible por el teorema anterior, por tanto es medible.
2) Nota que es medible, ya que si , entonces se tiene * ( ) + si
y * ( ) + ([ √ √ ]) si . Por tanto es medible, también
es una función medible para c constante, ya que si * ( ) +, entonces
* ( ) + para c>0 y * ( ) + para , combinando 1) y la
relación ,( ) -.
3) La medibilidad de | | se sigue de las relaciones * | ( )| + si , y
* | ( )| + * ( ) + * ( ) + si .
Para usa las identidades (| | ) y (| | ).
4) Las identidades ( )( ) * ( ) ( )+ ( | |) y ( )( )
* ( ) ( )+ ( | |) nos dan los resultados junto con (1).
La medibilidad de funciones con la condición c.p.t (casi para todo). se preserva en sucesiones
convergentes como queda establecido en el siguiente teorema.
Teorema 13. Para una sucesión * + de funciones medibles, las siguientes proposiciones son
válidas:
1) Si c.p.t., entonces f es una función medible.
2) Si * ( )+ es una sucesión acotada para cada x, entonces y son
ambas funciones medibles.
Demostración.
1) Sea * ( ) ( )+ ya que c.p.t. se sigue que ( ) . Por tanto
y son medibles. Ahora mostraremos que f es medible. Sea y observemos la
igualdad (( )) 0⋂ ⋂ (. /)1 y la medibilidad de cada
muestra que (( )) es un conjunto medible. También (( )) es
medible por ser subconjunto de un conjunto de medida cero, así (( ))
[ (( ))] , (( ))- es un conjunto medible y por tanto f es una
función medible.
24. Análisis matemático II
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2) Sea * ( )+ sucesión acotada para cada x. Mostraremos que es una función
medible. La medibilidad de se sigue de la identidad ( ).
Ahora notemos que =⋀ ⋁ , fijemos natural, y sea
⋁ ⋁ ⋁ es medible para cada , y ya que ⋁ (en todo),
se sigue de (1) que es una función medible. Ya que (en todo lado) se
sigue de (1) que es una función medible.
El último teorema de este tema relaciona la convergencia uniforme con la convergencia en
medida, este teorema se atribuye al matemático ruso Dimitry Fedorovich Egorov(1864-1931).
Teorema 14 (Egorov). Sea * + una sucesión de funciones medibles tal que p.c.t., y sea
un subconjunto medible de tal que ( ) . Entonces para todo , existe un
subconjunto medible con ( ) , y con * + convergiendo uniformemente a .
Actividad 2. Medida de Lebesgue
A través de esta actividad, resolverás ejercicios sobre los conceptos fundamentales de la
teoría de la Medida y Medida de Lebesgue. Para ello:
1. Descarga el archivo llamado “Act. 2. Medida de Lebesgue”
2. Analiza cada problema, identificando la estrategia por el cual se deberá resolver
3. Resuelve cada uno de los ejercicios, con las definiciones formales de Teoría de la medida.
4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MAMT2_U3_A2_XXYZ.
5. Envía tu documento a tu facilitador y espera su retroalimentación.
*Recuerda consultar la Escala de evaluación de la actividad para saber qué aspectos se
tomarán en cuenta para su revisión.
Autoevaluación
Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta unidad
del curso, es necesario que resuelvas la autoevaluación.
Ingresa al Aula virtual para realizar tu actividad.
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Unidad 3. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías
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Evidencia de aprendizaje. Espacios métricos, conjuntos medibles y medida
de Lebesgue
Es momento de realizar tu evidencia de aprendizaje, donde tendrás que aplicar tus
conocimientos sobre aproximación de funciones continuas.
Instrucciones:
1. Descarga el documento “EA. Conceptos preliminares de Teoría de la Medida”
2. Lee las instrucciones y resuelve los problemas que se plantean, tomando en cuenta el
contenido de la unidad.
3. .Guarda y envía tu reporte al portafolio de evidencias con la nomenclatura
MAMT2_U3_EA_XXYZ.
4. Envía tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu
Facilitador(a). Una vez que la tengas, atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión
de tu evidencia.
Nota: No olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será
evaluado tu trabajo.
Autorreflexiones
Como parte de cada unidad, es importante que ingreses al foro Preguntas de autorreflexión y
leas los cuestionamientos que formuló tu Facilitador(a), ya que a partir de ellos debes elaborar
tu Autorreflexión y enviarla mediante la herramienta Autorreflexiones. No olvides que también
se toman en cuenta para la calificación final.
Cierre de la unidad
La medida de Lebesgue es de alguna forma una generalización del concepto de conjunto
abierto, ya que todos los conjuntos abiertos son medibles. La generalización natural del
concepto de función continua es la función medible con los conjuntos medibles haciendo el
papel de los abiertos, también toda función continua es medible. Una ventaja de las funciones
medibles queda manifiesta en el Teorema de Egorov: la cerradura bajo sucesiones de
funciones convergentes es algo que no se da en las funciones continuas, esta convergencia es
tan fuerte que la convergencia es uniforme.
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El contenido de esta unidad es necesario para la siguiente en la que se definirá la Integral de
Lebesgue, un paso más en la generalización del concepto de integral, que permitirá tener una
mayor cantidad de funciones integrables.
Para saber más:
Un resumen histórico de la Teoría de la medida de 1887 a 1990:
http://www.lps.uci.edu/~johnsonk/CLASSES/FoundationsOfMeasurement/Diez.AnHistoricalIntro
ductionToMeasurementTheoryPartOne.pdf
El blog de Terence Tao, uno de los matemáticos más notables de nuestra época, entre otras
secciones presenta: libros, resúmenes de artículos, apps, etc. sobre Matemáticas en general
en particular en Teoría de la Medida
http://terrytao.wordpress.com/
Interesante artículo sobre la aplicación de la Teoría de la Medida a la ingeniería de software.
http://www.cin.ufpe.br/~ssj/on_the_application_of_measurement_theory_825427.pdf
Referencias Bibliográficas
Charalambos, D. (1998). Principles of Real Analysis. USA. Academic Press.
De Barra, G. (2000). Measure Theory and Integration. India. New Age International.
Folland, G. B. (1999). Real Analysis: Modern Techniques and their Applications. USA. Wiley.
Galaz, F. (2002). Medida e Integral de Lebesgue en .México. University Press.
Grabisnky, G. (2011). Teoría de la Medida. México. Facultad de Ciencias UNAM.
Halmos, P. R.. (1991). Measure Theory. USA. Springer Verlag.
Royden, H; Fitzpatrick, P.. (2010). Real Analysis. USA. Pearson.
Sánchez, C; Valdés, C.. (2004). De los Bernoulli a los Bourbaki. España. Nivola.
Schram, M. (1996). Introduction to Real Analysis. USA. Prentice Hall.