Este documento presenta la unidad 4 sobre la integral de Lebesgue. Introduce los antecedentes históricos que motivaron el desarrollo de la integral de Lebesgue, incluyendo limitaciones de la integral de Riemann. Define formalmente la integral de Lebesgue para funciones medibles no negativas sobre conjuntos de medida finita y establece algunas de sus propiedades fundamentales como el lema de Fatou. Finalmente, incluye ejemplos y actividades para aplicar el cálculo de la integral de Lebesgue.
El documento define el producto interno como una función que asigna un número real al par ordenado de vectores en un espacio vectorial. Se describen varios productos internos comunes como el producto escalar y el producto vectorial. La norma o longitud de un vector se define como la raíz cuadrada del producto interno de ese vector consigo mismo. Vectores ortogonales son aquellos cuyo producto interno es cero, y una base ortonormal es una base de vectores ortogonales cuya norma es uno.
Este documento describe los pasos para configurar una nueva red inalámbrica. Explica que primero se debe instalar el hardware como el enrutador y las tarjetas de red inalámbricas. Luego se debe configurar el enrutador asignando una dirección IP, una máscara de subred y un nombre de red. Finalmente, se deben configurar las estaciones de trabajo para que se conecten a la red inalámbrica recién creada.
Solucionario de dennis g zill ecuaciones diferencialesScreenMedia
Este documento contiene una serie de ejercicios de ecuaciones diferenciales organizados en varias secciones. Los ejercicios van desde verificar si una función es solución de una ecuación diferencial hasta resolver ecuaciones diferenciales exactas, homogéneas y de orden superior usando diferentes métodos como separación de variables, sustituciones apropiadas y condiciones iniciales. El documento provee instrucciones detalladas para cada tipo de ejercicio.
El wronskiano es un determinante utilizado para determinar si un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo dado. Se construye colocando las funciones y sus derivadas sucesivas en las filas de una matriz. Si el wronskiano es distinto de cero en algún punto del intervalo, las funciones son linealmente independientes en ese intervalo, mientras que si es cero uniformemente, podrían ser dependientes o no. El wronskiano es útil para verificar la independencia de soluciones de ecuaciones diferenciales.
Este documento trata sobre funciones vectoriales y sus propiedades. Explica que una función vectorial está compuesta de funciones paramétricas y vectores unitarios. Describe cómo calcular derivadas de funciones vectoriales como la velocidad y aceleración, así como integrales de funciones vectoriales. También cubre el cálculo de la longitud de una curva y la parametrización de una función en términos de la longitud de arco.
Este documento presenta un libro de problemas resueltos de álgebra lineal. Contiene 8 capítulos que cubren temas como polinomios, espacios vectoriales, sistemas de ecuaciones, aplicaciones lineales, determinantes, diagonalización de endomorfismos, forma reducida de Jordan y análisis matricial. Además incluye 2 apéndices sobre grupos y anillos de clases de resto. El autor es M. Isabel García Planas y presenta soluciones detalladas a problemas comunes que los estudiantes encuent
Matriz asociada a una transformacion linealalgebra
Una transformación lineal f entre espacios vectoriales de dimensiones finitas n y m se puede asociar a una matriz A de dimensión m x n. La matriz representa la transformación y su rango es igual a la dimensión de la imagen de f. Cambiar la base de un vector equivale a multiplicar sus coordenadas por una matriz de cambio de base.
NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEALVERITO
Este documento describe el núcleo y la imagen de una transformación lineal. El núcleo de una transformación lineal f consiste en los vectores u en el espacio vectorial de salida tales que f(u) es el vector nulo en el espacio vectorial de llegada. La imagen de una transformación lineal f consiste en los vectores w en el espacio vectorial de llegada que son las imágenes de algún vector u en el espacio vectorial de salida bajo la aplicación de f.
El documento define el producto interno como una función que asigna un número real al par ordenado de vectores en un espacio vectorial. Se describen varios productos internos comunes como el producto escalar y el producto vectorial. La norma o longitud de un vector se define como la raíz cuadrada del producto interno de ese vector consigo mismo. Vectores ortogonales son aquellos cuyo producto interno es cero, y una base ortonormal es una base de vectores ortogonales cuya norma es uno.
Este documento describe los pasos para configurar una nueva red inalámbrica. Explica que primero se debe instalar el hardware como el enrutador y las tarjetas de red inalámbricas. Luego se debe configurar el enrutador asignando una dirección IP, una máscara de subred y un nombre de red. Finalmente, se deben configurar las estaciones de trabajo para que se conecten a la red inalámbrica recién creada.
Solucionario de dennis g zill ecuaciones diferencialesScreenMedia
Este documento contiene una serie de ejercicios de ecuaciones diferenciales organizados en varias secciones. Los ejercicios van desde verificar si una función es solución de una ecuación diferencial hasta resolver ecuaciones diferenciales exactas, homogéneas y de orden superior usando diferentes métodos como separación de variables, sustituciones apropiadas y condiciones iniciales. El documento provee instrucciones detalladas para cada tipo de ejercicio.
El wronskiano es un determinante utilizado para determinar si un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo dado. Se construye colocando las funciones y sus derivadas sucesivas en las filas de una matriz. Si el wronskiano es distinto de cero en algún punto del intervalo, las funciones son linealmente independientes en ese intervalo, mientras que si es cero uniformemente, podrían ser dependientes o no. El wronskiano es útil para verificar la independencia de soluciones de ecuaciones diferenciales.
Este documento trata sobre funciones vectoriales y sus propiedades. Explica que una función vectorial está compuesta de funciones paramétricas y vectores unitarios. Describe cómo calcular derivadas de funciones vectoriales como la velocidad y aceleración, así como integrales de funciones vectoriales. También cubre el cálculo de la longitud de una curva y la parametrización de una función en términos de la longitud de arco.
Este documento presenta un libro de problemas resueltos de álgebra lineal. Contiene 8 capítulos que cubren temas como polinomios, espacios vectoriales, sistemas de ecuaciones, aplicaciones lineales, determinantes, diagonalización de endomorfismos, forma reducida de Jordan y análisis matricial. Además incluye 2 apéndices sobre grupos y anillos de clases de resto. El autor es M. Isabel García Planas y presenta soluciones detalladas a problemas comunes que los estudiantes encuent
Matriz asociada a una transformacion linealalgebra
Una transformación lineal f entre espacios vectoriales de dimensiones finitas n y m se puede asociar a una matriz A de dimensión m x n. La matriz representa la transformación y su rango es igual a la dimensión de la imagen de f. Cambiar la base de un vector equivale a multiplicar sus coordenadas por una matriz de cambio de base.
NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEALVERITO
Este documento describe el núcleo y la imagen de una transformación lineal. El núcleo de una transformación lineal f consiste en los vectores u en el espacio vectorial de salida tales que f(u) es el vector nulo en el espacio vectorial de llegada. La imagen de una transformación lineal f consiste en los vectores w en el espacio vectorial de llegada que son las imágenes de algún vector u en el espacio vectorial de salida bajo la aplicación de f.
5 funciones logaritmicas y exponencialesHenry Romero
Este documento trata sobre la derivación de funciones exponenciales, logarítmicas e hiperbólicas. Explica las propiedades y reglas de derivación de estas funciones, así como aplicaciones de la derivada como determinar funciones crecientes, decrecientes, máximos y mínimos relativos y absolutos usando el criterio de la primera y segunda derivada.
Teoria electromagnetica (reitz milford - christy) - 4º ediciónOmar Corazza
La pandemia de COVID-19 ha tenido un impacto significativo en la economía mundial. Muchos países experimentaron fuertes caídas en el PIB y aumentos en el desempleo debido a los cierres. Aunque las vacunas han permitido la reapertura de muchas economías, los efectos a largo plazo en sectores como el turismo y los viajes aún no están claros.
(1) El documento describe conceptos básicos de conjuntos de puntos en el plano complejo, incluyendo conjuntos abiertos, cerrados, interiores y fronteras. (2) También introduce funciones complejas y lugares geométricos descritos por ecuaciones complejas como círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. (3) Finalmente, discute conjuntos de Julia y el conjunto de Mandelbrot formado por valores de c que producen conjuntos de Julia conexos.
El documento describe la matriz jacobiana, que consiste en las derivadas parciales de primer orden de una función. Se usa para aproximar linealmente una función multivariable en un punto y representa su derivada. El determinante jacobiano indica si una función es localmente invertible. Se proveen ejemplos de cálculo de matrices y determinantes jacobianos.
Los vectores son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que todos los coeficientes sean cero. Dos vectores son dependientes si son paralelos o si uno puede expresarse como combinación lineal del otro. En R2, dos vectores (u1,u2) y (v1,v2) son dependientes si sus componentes son proporcionales.
El documento define el producto interno como una aplicación bilineal que asigna a cada par de vectores de un espacio vectorial un escalar. Describe productos internos usuales como el producto punto en Rn y Pn(x). También cubre vectores ortogonales, cuyo producto interno es cero, y la proyección ortogonal de un vector sobre otro.
Este documento describe curvas en el espacio tridimensional y su parametrización. Define una curva como una función vectorial de tres funciones de una variable real. Explica cómo graficar una curva obteniendo puntos (x, y, z) a través de funciones paramétricas f1(t), f2(t), f3(t). También cubre casos como curvas en planos xy, yz y xz y cómo parametrizar superficies como conos y arcos de parábola.
1. Se define el plano tangente a una superficie en un punto como el plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por ese punto. La recta normal es perpendicular al plano tangente.
2. Para calcular el plano tangente y la recta normal, se utilizan las ecuaciones de las derivadas parciales evaluadas en el punto.
3. Los máximos, mínimos y puntos silla de una función de varias variables se determinan igualando sus derivadas parciales a cero y analizando el signo de
Demostraciones de teoremas acerca de límitesJames Smith
Los teoremas acerca de límites de funciones básicas nos proporcionan una estucha de herramientas con las que podemos encontrar límites de funciones compuestas y complejos. En este documento, se demuestran seis de los teoremas más útiles, para luego usarlos en la resolución, paso a paso, de un problema un poco complicado.
Este documento presenta ejercicios resueltos relacionados con funciones vectoriales y curvas en el espacio. El primer ejercicio analiza si se intersectan dos curvas definidas por vectores posición y en qué puntos ocurre. El segundo ejercicio describe gráficamente una curva y prueba que su vector tangente es unitario cuando se usa la longitud de arco como parámetro. El tercer ejercicio calcula la velocidad de una partícula y determina el tiempo para recorrer una distancia dada.
Este documento presenta la unidad 3 sobre ecuaciones de un curso de álgebra superior. Explica conceptos clave como las raíces de una ecuación, la solución gráfica, el teorema fundamental del álgebra y el teorema de la descomposición factorial. También cubre temas como las raíces múltiples, la multiplicidad de raíces, y métodos para determinar y clasificar las raíces de una ecuación. El documento proporciona ejemplos y ejercicios prácticos relacionados con estas ideas fundamentales sobre e
Este documento presenta definiciones y propiedades relacionadas con los límites de funciones. Define el límite de una función cuando x tiende a un valor a y presenta propiedades como que el límite de una función constante es la constante, el límite de una función identidad es el valor al que tiende x, y el límite de la suma o diferencia de funciones es la suma o diferencia de sus límites individuales. También incluye ejemplos de cálculo de límites usando estas propiedades.
Este documento presenta una guía sobre integrales de superficie y sus aplicaciones. Incluye una breve introducción a superficies paramétricas, planos tangentes, áreas de superficies y diferentes tipos de integrales de superficie. Contiene ejemplos resueltos y propuestos, así como teoremas importantes como el de Stokes y el de Gauss. El autor ofrece esta guía para apoyar la enseñanza del cálculo vectorial en ingeniería.
Este documento contiene una serie de ejercicios de ecuaciones diferenciales organizados en varias secciones. Los ejercicios van desde verificar si una función es solución de una ecuación diferencial hasta resolver ecuaciones diferenciales exactas, homogéneas y de orden superior usando diferentes métodos como separación de variables, sustituciones apropiadas y condiciones iniciales. El documento provee instrucciones detalladas para cada tipo de ejercicio.
Este documento describe funciones de varias variables. Explica que una función de varias variables asigna un único valor a cada par ordenado de sus variables y que su dominio es el conjunto de pares ordenados. También describe cómo graficar funciones de dos variables en 3D y mediante curvas de nivel, las cuales son conjuntos de puntos donde la función es constante.
El documento describe diferentes métodos para representar superficies geométricas, incluyendo la representación implícita, explícita y paramétrica. Explica que la representación paramétrica expresa las coordenadas x, y, z en función de dos parámetros u y v, lo que resulta útil para estudiar las superficies. A continuación, proporciona ejemplos de representaciones paramétricas para superficies como la esfera, el cono, el cilindro, el paraboloide, el plano y el elipsoide.
1) El documento explica la continuidad de funciones de dos variables y cómo determinar si una función es continua en un punto. 2) También describe propiedades de funciones continuas como sumas, productos y cocientes. 3) Explica que las derivadas parciales indican cómo cambia una función respecto a cada variable independientemente.
Este documento presenta información sobre las aplicaciones de las integrales dobles e integrales triples. Incluye capítulos sobre integrales iteradas, el concepto de integral doble, propiedades de la integral doble, teorema de Fubini, aplicaciones como el área de una región plana, volumen de un sólido, y la integral triple, incluyendo el teorema de la divergencia y aplicaciones como valores promedios. El objetivo es comprender estas integrales y sus aplicaciones para facilitar el aprendizaje y desarrollar problemas de ingeniería.
Este documento trata sobre la teoría de la medida. Introduce conceptos como álgebra geométrica, cuadratura del círculo, funciones de variación acotada e integral de Riemann-Stieltjes. Explica el problema de medir subconjuntos de la recta real y cómo Lebesgue y Carathéodory lo abordaron. También presenta teoremas de convergencia para la integral de Lebesgue.
Este documento explica los conceptos básicos de la transformada de Fourier discreta (DFT), incluyendo cómo representa una señal en el dominio de la frecuencia en lugar del tiempo, cómo calcular la DFT de manera directa y por correlación, y cómo representar la salida en notación polar. También describe cómo la DFT se puede usar para analizar espectralmente una señal y caracterizar sistemas a través de su respuesta en frecuencia.
5 funciones logaritmicas y exponencialesHenry Romero
Este documento trata sobre la derivación de funciones exponenciales, logarítmicas e hiperbólicas. Explica las propiedades y reglas de derivación de estas funciones, así como aplicaciones de la derivada como determinar funciones crecientes, decrecientes, máximos y mínimos relativos y absolutos usando el criterio de la primera y segunda derivada.
Teoria electromagnetica (reitz milford - christy) - 4º ediciónOmar Corazza
La pandemia de COVID-19 ha tenido un impacto significativo en la economía mundial. Muchos países experimentaron fuertes caídas en el PIB y aumentos en el desempleo debido a los cierres. Aunque las vacunas han permitido la reapertura de muchas economías, los efectos a largo plazo en sectores como el turismo y los viajes aún no están claros.
(1) El documento describe conceptos básicos de conjuntos de puntos en el plano complejo, incluyendo conjuntos abiertos, cerrados, interiores y fronteras. (2) También introduce funciones complejas y lugares geométricos descritos por ecuaciones complejas como círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. (3) Finalmente, discute conjuntos de Julia y el conjunto de Mandelbrot formado por valores de c que producen conjuntos de Julia conexos.
El documento describe la matriz jacobiana, que consiste en las derivadas parciales de primer orden de una función. Se usa para aproximar linealmente una función multivariable en un punto y representa su derivada. El determinante jacobiano indica si una función es localmente invertible. Se proveen ejemplos de cálculo de matrices y determinantes jacobianos.
Los vectores son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que todos los coeficientes sean cero. Dos vectores son dependientes si son paralelos o si uno puede expresarse como combinación lineal del otro. En R2, dos vectores (u1,u2) y (v1,v2) son dependientes si sus componentes son proporcionales.
El documento define el producto interno como una aplicación bilineal que asigna a cada par de vectores de un espacio vectorial un escalar. Describe productos internos usuales como el producto punto en Rn y Pn(x). También cubre vectores ortogonales, cuyo producto interno es cero, y la proyección ortogonal de un vector sobre otro.
Este documento describe curvas en el espacio tridimensional y su parametrización. Define una curva como una función vectorial de tres funciones de una variable real. Explica cómo graficar una curva obteniendo puntos (x, y, z) a través de funciones paramétricas f1(t), f2(t), f3(t). También cubre casos como curvas en planos xy, yz y xz y cómo parametrizar superficies como conos y arcos de parábola.
1. Se define el plano tangente a una superficie en un punto como el plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por ese punto. La recta normal es perpendicular al plano tangente.
2. Para calcular el plano tangente y la recta normal, se utilizan las ecuaciones de las derivadas parciales evaluadas en el punto.
3. Los máximos, mínimos y puntos silla de una función de varias variables se determinan igualando sus derivadas parciales a cero y analizando el signo de
Demostraciones de teoremas acerca de límitesJames Smith
Los teoremas acerca de límites de funciones básicas nos proporcionan una estucha de herramientas con las que podemos encontrar límites de funciones compuestas y complejos. En este documento, se demuestran seis de los teoremas más útiles, para luego usarlos en la resolución, paso a paso, de un problema un poco complicado.
Este documento presenta ejercicios resueltos relacionados con funciones vectoriales y curvas en el espacio. El primer ejercicio analiza si se intersectan dos curvas definidas por vectores posición y en qué puntos ocurre. El segundo ejercicio describe gráficamente una curva y prueba que su vector tangente es unitario cuando se usa la longitud de arco como parámetro. El tercer ejercicio calcula la velocidad de una partícula y determina el tiempo para recorrer una distancia dada.
Este documento presenta la unidad 3 sobre ecuaciones de un curso de álgebra superior. Explica conceptos clave como las raíces de una ecuación, la solución gráfica, el teorema fundamental del álgebra y el teorema de la descomposición factorial. También cubre temas como las raíces múltiples, la multiplicidad de raíces, y métodos para determinar y clasificar las raíces de una ecuación. El documento proporciona ejemplos y ejercicios prácticos relacionados con estas ideas fundamentales sobre e
Este documento presenta definiciones y propiedades relacionadas con los límites de funciones. Define el límite de una función cuando x tiende a un valor a y presenta propiedades como que el límite de una función constante es la constante, el límite de una función identidad es el valor al que tiende x, y el límite de la suma o diferencia de funciones es la suma o diferencia de sus límites individuales. También incluye ejemplos de cálculo de límites usando estas propiedades.
Este documento presenta una guía sobre integrales de superficie y sus aplicaciones. Incluye una breve introducción a superficies paramétricas, planos tangentes, áreas de superficies y diferentes tipos de integrales de superficie. Contiene ejemplos resueltos y propuestos, así como teoremas importantes como el de Stokes y el de Gauss. El autor ofrece esta guía para apoyar la enseñanza del cálculo vectorial en ingeniería.
Este documento contiene una serie de ejercicios de ecuaciones diferenciales organizados en varias secciones. Los ejercicios van desde verificar si una función es solución de una ecuación diferencial hasta resolver ecuaciones diferenciales exactas, homogéneas y de orden superior usando diferentes métodos como separación de variables, sustituciones apropiadas y condiciones iniciales. El documento provee instrucciones detalladas para cada tipo de ejercicio.
Este documento describe funciones de varias variables. Explica que una función de varias variables asigna un único valor a cada par ordenado de sus variables y que su dominio es el conjunto de pares ordenados. También describe cómo graficar funciones de dos variables en 3D y mediante curvas de nivel, las cuales son conjuntos de puntos donde la función es constante.
El documento describe diferentes métodos para representar superficies geométricas, incluyendo la representación implícita, explícita y paramétrica. Explica que la representación paramétrica expresa las coordenadas x, y, z en función de dos parámetros u y v, lo que resulta útil para estudiar las superficies. A continuación, proporciona ejemplos de representaciones paramétricas para superficies como la esfera, el cono, el cilindro, el paraboloide, el plano y el elipsoide.
1) El documento explica la continuidad de funciones de dos variables y cómo determinar si una función es continua en un punto. 2) También describe propiedades de funciones continuas como sumas, productos y cocientes. 3) Explica que las derivadas parciales indican cómo cambia una función respecto a cada variable independientemente.
Este documento presenta información sobre las aplicaciones de las integrales dobles e integrales triples. Incluye capítulos sobre integrales iteradas, el concepto de integral doble, propiedades de la integral doble, teorema de Fubini, aplicaciones como el área de una región plana, volumen de un sólido, y la integral triple, incluyendo el teorema de la divergencia y aplicaciones como valores promedios. El objetivo es comprender estas integrales y sus aplicaciones para facilitar el aprendizaje y desarrollar problemas de ingeniería.
Este documento trata sobre la teoría de la medida. Introduce conceptos como álgebra geométrica, cuadratura del círculo, funciones de variación acotada e integral de Riemann-Stieltjes. Explica el problema de medir subconjuntos de la recta real y cómo Lebesgue y Carathéodory lo abordaron. También presenta teoremas de convergencia para la integral de Lebesgue.
Este documento explica los conceptos básicos de la transformada de Fourier discreta (DFT), incluyendo cómo representa una señal en el dominio de la frecuencia en lugar del tiempo, cómo calcular la DFT de manera directa y por correlación, y cómo representar la salida en notación polar. También describe cómo la DFT se puede usar para analizar espectralmente una señal y caracterizar sistemas a través de su respuesta en frecuencia.
(1) La integral de Riemann-Stieltjes es una generalización de la integral de Cauchy-Riemann que integra una función según otra función utilizando los valores de la segunda función en lugar de las medidas de los subintervalos. (2) Se puede reducir a una integral de Riemann cuando la función según la cual se integra es diferenciable. (3) Para una función escalonada, la integral de Stieltjes es igual a la suma de los valores de la función en los puntos de discontinuidad multiplicados por los saltos.
Este documento presenta conceptos preliminares de la teoría de la medida, incluyendo: 1) definiciones de semianillo, -conjunto y álgebra de conjuntos, 2) propiedades de las medidas como aditividad y monotonía, 3) definición de medida de Lebesgue y conjuntos medibles, y 4) teoremas clave sobre cómo una función satisface las propiedades de una medida. El objetivo es establecer una teoría general de medida de conjuntos que generalice conceptos como longitud, área y volumen.
Euclides y Eudoxo introdujeron conceptos básicos de longitud, área y volumen. Arquímedes calculó el área del círculo. Cantor y Peano definieron la medida de conjuntos. Borel estableció una medida aditiva numerable. Los fractales son objetos cuya estructura se repite a diferentes escalas, con detalle a cualquier escala y dimensión fractal distinta de la topológica. Ejemplos son la curva de Koch, el conjunto de Cantor y el triángulo de Sierpinski.
El documento trata sobre la teoría de la medición y sus principios en el contexto educativo. Explica que la medición es una descripción cuantitativa que compara un objeto con un patrón establecido. Las pruebas estandarizadas son instrumentos que miden los logros de los estudiantes de manera objetiva y estadística para determinar el alcance de los aprendizajes y las fortalezas y debilidades. Finalmente, la evaluación educativa es necesaria para garantizar la calidad del proceso educativo y verificar el cumplimiento de los objetivos
Este documento introduce la transformada de Fourier. Explica que Jean Baptiste Fourier desarrolló la serie y transformada de Fourier mientras estudiaba la transferencia de calor y vibraciones. Describe cómo Fourier llegó a su transformada a través de la serie de Fourier, relaciones de ortogonalidad, y transformadas de Fourier para funciones periódicas como coseno y seno. El documento provee una introducción a la transformada de Fourier y sus interpretaciones y aplicaciones.
Este documento describe el método de las sumas de Riemann para calcular el área bajo una curva. Dividimos el área en rectángulos de anchura uniforme y calculamos el área de cada rectángulo usando la altura de la función en los puntos medios de cada intervalo. La suma de estas áreas de los rectángulos aproxima el área total bajo la curva a medida que aumentamos el número de subdivisiones. El Teorema Fundamental del Cálculo establece que esta aproximación converge al valor de la integral definida cuando el ancho máximo
Este documento presenta ejemplos resueltos de integrales de línea y de contorno de variables reales y complejas, así como ejercicios propuestos sin resolver. Se explican conceptos como la evaluación de integrales de contorno usando el teorema fundamental del cálculo y se resuelven problemas aplicando técnicas como sustituir la parametrización de la curva en la integral.
1. El documento presenta ejercicios resueltos sobre números complejos, incluyendo la interpretación geométrica de la suma y el producto de números complejos, y la demostración de que si tres puntos forman un triángulo equilátero, su suma es igual al producto de sus coordenadas.
2. Se explica cómo encontrar los vértices de un triángulo equilátero centrado en el origen con un vértice en (1,0).
3. Se muestra cómo expresar la ecuación de una circunferencia en función de las coord
1er Trabajo de Matemática Aplicada II - Numeros Complejos - UNTECSIng. Electrónica xD
Ejercicios resueltos del Capítulo Integrales Complejas del Libro Variable Compleja - Murray Spiegel.
Trabajo hecho por los Alumnos:
Concha Sandoval Marvin Thomas
Cahuana Gomez Gustavo Antonio
Panta Vasquez Luis Miguel
Quintana Peña Emerson
Pocco Taype Alberto
Ing. Electrónica - V ciclo
UNTECS
Este documento es un curso sobre análisis complejo que incluye seis capítulos. Introduce los números complejos y funciones elementales, la teoría de Cauchy elemental, propiedades locales de funciones holomorfas, la forma general del teorema de Cauchy y singularidades aisladas de funciones holomorfas. El documento proporciona definiciones, teoremas, ejemplos resueltos y ejercicios para cada tema.
Este documento presenta la resolución de 6 problemas relacionados con números complejos y ecuaciones. Los problemas incluyen calcular raíces y valores de expresiones complejas, hallar áreas definidas por desigualdades de módulos de números complejos, y determinar el número de soluciones de una ecuación cuadrática. Cada problema contiene los pasos de resolución detallados.
Este documento presenta 6 problemas resueltos relacionados con series de Fourier. Cada problema involucra desarrollar una función dada en una serie de Fourier, calcular coeficientes de Fourier, y estudiar la convergencia de la serie. Los problemas cubren temas como funciones periódicas, puntos de discontinuidad, y aplicaciones de series de Fourier como demostrar identidades trigonométricas.
2do Trabajo de Matemática Aplicada II - Limites y continuidad en complejos - ...Ing. Electrónica xD
El documento presenta soluciones a problemas de funciones, límites y continuidad complejos. Incluye gráficas de funciones complejas y cálculos para hallar valores y representaciones gráficas.
Las ecuaciones con números complejos pueden tener una solución compleja o una solución que involucre partes de un número complejo. Para resolver ecuaciones con soluciones que involucren partes de un complejo, generalmente se debe dividir la ecuación en partes reales e imaginarias y tratarlas como un sistema de ecuaciones.
Este documento presenta una breve reseña histórica sobre el descubrimiento del conjunto de Cantor y la función de Cantor. Explica que aunque Cantor no fue el primero en descubrir conjuntos similares, sus descubrimientos fueron cruciales para el desarrollo de la teoría de medida y topología. Menciona que el matemático inglés H.J.S. Smith construyó uno de los primeros conjuntos de Cantor en 1875, aunque su trabajo pasó desapercibido. Finalmente, describe cómo Cantor llegó a estudiar la
Este documento describe la historia y desarrollo del concepto matemático de integral. Explica que la primera definición formal de integral fue dada por Cauchy en el siglo XIX, aunque el cálculo integral se había estado utilizando antes para calcular áreas y volúmenes de forma intuitiva. También introduce el concepto de integral de Riemann, que aproxima el área de una región dividiéndola en rectángulos, y define la suma de Riemann como la suma de las áreas de estos rectángulos.
El documento describe la evolución del concepto matemático de función a través de la historia. Comenzó como una idea intuitiva de cantidades interdependientes en la antigua Grecia. Con el tiempo, los matemáticos desarrollaron definiciones más precisas, considerando funciones no geométricas y dependencias no expresadas por fórmulas. La definición moderna de Dirichlet define una función como una correspondencia única entre valores de un conjunto. Esto permitió funciones con propiedades inesperadas como discontinuidades o infinitos máximos en intervalos finitos.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de las integrales. Explica que las integrales son la operación inversa de la derivación y que fueron desarrolladas por matemáticos como Newton y Leibniz. También resume las propiedades clave de las integrales definidas e indefinidas, incluyendo los teoremas fundamentales del cálculo y cómo se pueden usar las integrales para calcular áreas y volúmenes. Finalmente, proporciona algunos ejemplos ilustrativos de cálculo de integrales.
Este documento presenta un resumen de tres oraciones del trabajo de fin de grado titulado "Computabilidad y los Teoremas de Incompletitud de Godel". En primer lugar, introduce brevemente los teoremas de incompletitud de Godel y su relación con la teoría de la recursión. A continuación, establece los objetivos del trabajo, que son proporcionar una prueba de dichos teoremas haciendo hincapié en sus aspectos computacionales. Por último, detalla la estructura del trabajo, que consta de siete capítulos dedicados
El cálculo integral se remonta a Arquímedes en el siglo III a.C. y fue desarrollado más adelante por Newton, Leibniz, Barrow y otros en el siglo XVII. El teorema fundamental del cálculo establece que la derivación e integración son operaciones inversas. Hoy en día, el cálculo integral se utiliza ampliamente en aplicaciones como el cálculo de áreas, volúmenes y en otras ramas de las matemáticas y la física.
Este documento introduce los conceptos fundamentales de los espacios vectoriales, incluyendo su definición, propiedades y ejemplos. Explica qué es un espacio vectorial, subespacio vectorial y combinación lineal, y proporciona ejemplos como los vectores libres del plano, polinomios y matrices. El objetivo es establecer la estructura abstracta de los espacios vectoriales que se aplicará a diferentes dominios matemáticos.
El documento presenta una introducción al álgebra, incluyendo sus principales ramas como el álgebra lineal, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, matrices y determinantes. Explica conceptos clave del álgebra como la factorización de polinomios y los objetos básicos estudiados en álgebra lineal como vectores, operaciones entre vectores, y sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento presenta un libro de cálculo avanzado que introduce conceptos matemáticos como límites, continuidad, derivadas e integrales. El libro está dividido en tres partes que cubren cálculo de una variable, cálculo vectorial y análisis. El autor explica su objetivo de presentar demostraciones analíticas intuitivas y minimizar el uso de argumentos geométricos, a excepción de un capítulo. También describe la estructura y contenido de cada parte y capítulo del libro.
Este documento trata sobre la derivada y el cálculo integral. Explica brevemente la historia del cálculo integral desde Arquímedes hasta su desarrollo completo en el siglo XVIII. También define conceptos como la derivada, integral definida e indefinida, y métodos para calcular la integral como la suma de Riemann e integración por partes.
Este documento presenta la unidad sobre la integral de Riemann-Stieltjes. Introduce los antecedentes de la integral, incluyendo su definición, propiedades como la linealidad y aditividad, y teoremas como la integración por partes y el cambio de variable. También incluye ejemplos y actividades para que los estudiantes apliquen los conceptos.
1. El documento presenta las ecuaciones básicas que rigen los problemas de elasticidad bidimensional mediante el método de elementos finitos. 2. Se define el problema continuo y discreto, dividiendo el dominio en elementos finitos y aproximando los campos desconocidos en los nodos. 3. El método permite resolver problemas de forma numérica obteniendo las respuestas en desplazamientos, tensiones y deformaciones en puntos discretos de la malla.
El documento describe los problemas resueltos por el cálculo integral, incluyendo calcular velocidades y aceleraciones a partir de distancias, tangentes a curvas, valores máximos y mínimos de funciones, áreas, volúmenes y centros de gravedad. También resume las contribuciones de figuras históricas como Newton, Leibniz, Cavalieri y otros al desarrollo del cálculo integral.
Este documento presenta un resumen de un libro sobre lógica, conjuntos, relaciones y funciones. El libro comienza con un capítulo introductorio sobre lógica que define conceptos como proposiciones, variables lógicas y razonamiento lógico. Luego, los capítulos siguientes desarrollan la teoría de conjuntos, relaciones y funciones de manera axiomática y rigurosa. El objetivo del libro es presentar estos fundamentos matemáticos de manera elemental para estudiantes de primer año.
Este documento discute la relación entre dos propiedades de los números reales R: ser un cuerpo ordenado completo y ser un espacio métrico completo. Explica que R es un cuerpo ordenado completo debido al axioma de supremo, el cual garantiza que cualquier subconjunto no vacío y acotado superiormente tiene un supremo. También es un espacio métrico completo ya que toda sucesión de Cauchy en R es convergente. Finalmente, analiza cómo estas dos nociones de completitud están relacionadas a través del teorema de Arquímedes y
Este documento introduce los conceptos fundamentales de los espacios vectoriales. Primero define qué es un espacio vectorial y proporciona ejemplos como los vectores en un plano o espacio, polinomios y matrices. Luego explica las combinaciones lineales y subespacios vectoriales. El objetivo general es establecer la estructura abstracta de espacio vectorial que se aplicará a diferentes dominios matemáticos.
Este documento presenta un libro sobre geometría vectorial. Introduce el estudio de la geometría sintética utilizando propiedades de vectores, llamado geometría vectorial. Explica conceptos básicos de vectores como suma, resta, multiplicación por escalares y dependencia lineal. Luego aplica estos conceptos para estudiar teoremas geométricos como Ceva, Menelao y Desargues de forma novedosa utilizando vectores. Finalmente realiza un breve estudio de geometría analítica aplicando análisis vectorial en el plan
Las derivadas son el resultado de realizar un proceso de diferenciación sobre una función o una expresión. En matemáticas, La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño.
La derivada es el ritmo de cambio de cualquier función en un determinado instante, pero que también puede representar el ritmo o velocidad de cambio de cualquier cosa.
Teorema de Role y del Valor Medio [Calculo 2]Cloud Rodriguez
Este documento presenta una investigación sobre el Teorema de Rolle y el Teorema del Valor Medio. Explica el Teorema de Valor Extremo, define el Teorema de Rolle y lo demuestra usando el Teorema de Valor Extremo. Luego define el Teorema del Valor Medio, lo interpreta geométricamente y lo demuestra como una generalización del Teorema de Rolle. Concluye que estos teoremas son importantes para determinar números críticos en el cálculo diferencial.
El documento presenta un cuadernillo de apuntes sobre cálculo integral. Introduce el teorema fundamental del cálculo, el cual establece que la derivación e integración son operaciones inversas. Explica cómo aproximar el área bajo una curva mediante sumas de Riemann y define la integral definida. Finalmente, describe propiedades clave como la existencia de funciones primitivas y cómo calcular integrales definidas mediante el teorema fundamental.
El documento presenta una crítica del programa de estudios vigente de la asignatura Álgebra para la Licenciatura en Ingeniería Civil. Se identifican algunas fortalezas como su enfoque interdisciplinario y las herramientas brindadas para el estudio, pero también se señalan problemas como carencias en el tiempo de estudio requerido y la secuencia lógica. Luego, se explican conceptos básicos de estructuras algebraicas como grupos y anillos, definiéndolos y mencionando algunos de sus tipos.
Este documento presenta información sobre sucesiones y series matemáticas. Define sucesiones finitas e infinitas, y describe los tipos de sucesiones infinitas como convergentes, monótonas y acotadas. También define series finitas e infinitas y clasifica las series infinitas como divergentes o convergentes. Explica diferentes tipos de series infinitas y criterios para determinar su convergencia.
1) Establecer una Correspondencia Biunívoca entre los Números Reales y los Términos que pueden ser Objetos de cualquier Cantidad, Tipo o Naturaleza.
2) Desarrollar los Conceptos Matemáticos que permitan calcular el valor exacto de sumas, o por lo menos saber si existe tal valor.
3) Proporcionar la Idea Intuitiva, Consecutiva y Ordenada que puede presentar los Datos o Eventos que Introduce el Estudio de Fenómenos en las Ciencias Ingenieriles.
La reseña crítica del programa de estudios de la asignatura álgebra, ofrece un análisis evaluativo de los objetivos, contenidos y metodologías que se pretenden enseñar en el aula, para que así, se obtenga una propuesta viable que promueva la innovación continua en el desarrollo docente de impartir su cátedra académica con asertividad a las y los estudiantes que cursan la carrera de Ingeniería Civil, en un panorama que le ofrezca el gran aprendizaje significativo en su formación profesional.
La presente Exposición Escrita del Tema VII Estructuras Algebraicas, que pertenece al contenido programático de la asignatura Álgebra del Plan de Estudios Vigente en Ingeniería Civil (U.N.A.M.-D.G.A.E., 2007), representa una Guía Metodológica, para:
a) Apoyar a la y al Estudiante en su Proceso de Aprendizaje Metacognitivo.
b) Orientar a la y al Docente en su Labor e Intervención Didáctica.
Este documento presenta un análisis estadístico y probabilístico de la deserción escolar en una dependencia educativa mediante el método de regresión por mínimos cuadrados. Se utilizan datos históricos de deserción para predecir las tasas futuras y determinar el mejor modelo de ajuste polinomial. El modelo cuadrático tuvo el mejor ajuste y se usó para calcular coeficientes y predecir tasas de deserción con intervalos de confianza.
Este documento presenta un análisis estadístico y probabilístico del abandono escolar en una dependencia educativa mediante el método de regresión por mínimos cuadrados. El objetivo es realizar predicciones del abandono estudiantil para los años 2013 y 2014. La metodología incluye el uso de datos históricos de matrícula y egreso, y el ajuste de una función cuadrática a los datos para estimar intervalos de predicción.
Este documento presenta un análisis estadístico y probabilístico del abandono escolar en una escuela mediante el método de regresión por mínimos cuadrados. Se realiza un ajuste cuadrático de los datos para determinar los coeficientes de la función de regresión. Estos coeficientes permiten predecir intervalos de confianza para la deserción escolar futura.
Este documento presenta el primer avance de un proyecto que analiza la deserción escolar en el IEMSDF mediante el método de regresión por mínimos cuadrados. Se tomaron datos de ingreso y egreso de estudiantes por generación de 2001 a 2012 de varios planteles. Se calculó el porcentaje de deserción por generación y se construyó una tabla de datos. El análisis preliminar sugiere que un ajuste polinomial cuadrático podría ser el más adecuado.
Análisis Estadístico y Probabilístico de la Deserción Escolar del IEMSDF mediante el método de regresión por mínimos cuadrados. Tesina para obtener el título de la Licenciatura en Matemáticas presenta:
El Sustentante: Pte. Mat. Pedro Daniel Lara Maldonado Asesorado: Mat. Beatriz Carrasco Torres
Evaluado: Dra. Marlen Hernández Ortiz
Análisis Estadístico y Probabilístico de la Deserción Escolar del IEMSDF mediante el método de regresión por mínimos cuadrados.
Tesina para obtener el título de la Licenciatura en Matemáticas presenta:
El Sustentante: Pte. Mat. Pedro Daniel Lara Maldonado Asesorado: Mat. Beatriz Carrasco Torres
Evaluado: Dra. Marlen Hernández Ortiz
Análisis Estadístico y Probabilístico de la Deserción Escolar de los planteles del IEMSDF mediante el método de regresión por mínimos cuadrados.
Tesina para obtener la titulación de la Licenciatura en Matemáticas presenta
El Sustentante: Pte. Mat. Pedro Daniel Lara Maldonado
Asesorado: Mat. Beatriz Carrasco Torres
Evaluado: Dra. Marlen Hernández Ortiz
Análisis Estadístico y Probabilístico de la Deserción Escolar de los planteles del IEMSDF mediante el método de regresión por mínimos cuadrados.
Tesina para obtener la titulación de la Licenciatura en Matemáticas presenta
El Sustentante: Pte. Mat. Pedro Daniel Lara Maldonado
Asesorado: Mat. Beatriz Carrasco Torres
Evaluado: Dra. Marlen Hernández Ortiz
Análisis Estadístico y Probabilístico de la Deserción Escolar del IEMSDF mediante el método de regresión por mínimos cuadrados.
Tesina para obtener el título de la Licenciatura en Matemáticas presenta:
El Sustentante: Pte. Mat. Pedro Daniel Lara Maldonado Asesorado: Mat. Beatriz Carrasco Torres
Evaluado: Dra. Marlen Hernández Ortiz
El tema de este proyecto se circunscribe a los datos registrados en el Sistema de Información Mexicana del Distrito Federal (INFOMEXDF) dentro de la dependencia paraestatal del Instituto de Educación Media Superior del Distrito Federal por parte de la Dirección Estudiantil; a través del conducto de la Subdirección de Administración Escolar. El objetivo de este proyecto es hacer predicciones de la deserción estudiantil en las últimas generaciones que comprenden del año 2013 hasta el año 2014, considerado para toda la dependencia; se aplicaron los modelos de ajuste de funciones polinomiales mediante el método regresión por mínimos cuadrados para encontrar una función polinomial de ajuste a los datos. Este ajuste se centró en el cálculo del error que define su desviación estándar con distribución 푡−student para poder construir un intervalo de predicción que representa una estimación muestral de estudiantes desertores para las generaciones venideras, cuya incidencia, se ha incrementado de manera gradual, debido a que dejan sus estudios inconclusos no suelen retomarlos posteriormente, por lo que este diagnóstico es una cuestión alarmante de riesgo en su credibilidad condicional, que aseveró la importancia de atender esta problemática, que implica una concientización de desempeño escolar, en relación a la eficiencia terminal.
El tema de este proyecto se circunscribe a los datos registrados en el Sistema de Información Mexicana del Distrito Federal (INFOMEXDF) dentro de la dependencia paraestatal del Instituto de Educación Media Superior del Distrito Federal por parte de la Dirección Estudiantil; a través del conducto de la Subdirección de Administración Escolar. El objetivo de este proyecto es hacer predicciones de la deserción estudiantil en las últimas generaciones que comprenden del año 2013 hasta el año 2014, considerado para los 16 planteles con amplio histórico; se aplicaron los modelos de ajuste de funciones polinomiales mediante el método regresión por mínimos cuadrados para encontrar una función polinomial de ajuste a los datos. Este ajuste se centró en el cálculo del error que define su desviación estándar con distribución 푡−student para poder construir un intervalo de predicción que representa una estimación muestral de estudiantes desertores para las generaciones venideras, cuya incidencia, se ha incrementado de manera gradual, debido a que dejan sus estudios inconclusos no suelen retomarlos posteriormente, por lo que este diagnóstico es una cuestión alarmante de riesgo en su credibilidad condicional, que aseveró la importancia de atender esta problemática, que implica una concientización de desempeño escolar, en relación a la eficiencia terminal.
Unidad 1. determinación del tipo de distribución que presenta un proceso esto...PEDRO LARA MALDONADO
Este documento presenta la Unidad 1 de un curso sobre modelación estocástica. La unidad se enfoca en determinar el tipo de distribución de probabilidad que mejor describe un proceso estocástico dado. Incluye una introducción al tema y comentarios iniciales, así como dos actividades para los estudiantes. También cubre pruebas estadísticas como chi cuadrada y Kolmogorov-Smirnov para determinar si un proceso se ajusta a una distribución propuesta.
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El documento describe los pasos para demostrar una inducción matemática. Verifica que la expresión es válida para n=1 y supone que es válida para un número natural k. Luego muestra que si esto es cierto, la expresión también es válida para k+1, por lo que se cumple para todo número natural n.
Este documento presenta una muestra de actividades para una unidad sobre conjuntos de números para un curso de álgebra superior. Incluye ejemplos de actividades sobre propiedades de los números naturales, inducción matemática, el principio del buen orden, divisibilidad, congruencia y una evidencia de aprendizaje. El facilitador debe crear nuevos ejercicios para las actividades y no enviar este documento tal cual a los estudiantes.
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Unidad 4. integral de lebesgue
1. Análisis matemático II
Unidad 4. Integral de Lebesgue
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías
1
Universidad Abierta y a Distancia de México
Licenciatura en Matemáticas
8° cuatrimestre
Análisis Matemático II
Unidad 4. Integral de Lebesgue
Clave:
050930829
2. Análisis matemático II
Unidad 4. Integral de Lebesgue
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías
2
Índice
Unidad 4. Integral de Lebesgue ...............................................................................................3
Presentación de la unidad........................................................................................................3
Propósitos de la unidad ...........................................................................................................3
Competencia especifica de la unidad......................................................................................3
4.1. Antecedentes .....................................................................................................................3
4.1.1. Definición de la integral de Lebesgue........................................................................ 6
4.1.2. Propiedades............................................................................................................... 10
4.1.3. Comparación contra la integral de Riemann ........................................................... 12
Actividad 1. Integral de Lebesgue. ........................................................................................15
4.2. Integral de Lebesgue de una función acotada sobre un conjunto de medida finita ...16
4.2.1. Lema de Fatou ........................................................................................................... 16
Actividad 2. Cálculo de Integrales. ........................................................................................22
Autoevaluación .......................................................................................................................22
Evidencia de Aprendizaje. Aplicaciones de la integral de Lebesgue..................................22
Autorreflexiones .....................................................................................................................23
Cierre de la unidad..................................................................................................................23
Para saber más: ......................................................................................................................23
Referencias Bibliográficas .....................................................................................................23
3. Análisis matemático II
Unidad 4. Integral de Lebesgue
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías
3
Unidad 4. Integral de Lebesgue
Presentación de la unidad
Para desarrollar la teoría de integrabilidad es indispensable definir la integral de Lebesgue para
funciones medible no negativas, así como establecer unas de sus propiedades fundamentales.
Además de hacer la comparación con la integral de Riemann. Observarás que la colección de
funciones semicontinuas superiormente es un espacio de funciones y este conjunto son las
funciones Lebesgue integrables.
Propósitos de la unidad
Definirás la integral de Lebesgue
Compararás la integral de Lebesgue con los conceptos previos de medida y de integral
de Riemann
Establecerás propiedades básicas de la integral de Lebesgue
Competencia especifica
Aplicar el concepto de integral de Lebesgue para calcular integrales sobre dominios no
tradicionales mediante la identificación de sus características
4.1. Antecedentes
Para poder explicarte las ideas que motivaron la teoría de integración será necesario que
conozcas algunos conceptos, los cuales serán tomados en gran parte del libro Lebesgue theory
of integration. Its origins and development.
Se puede decir que Lebesgue creo la primera teoría de la integración. Hay varias definiciones,
teoremas y ejemplos que existían antes de su trabajo, pero carecían de la estructura y
sistematización de una verdadera teoría, por ejemplo, la noción de integración introducida por
Bernhard Riemann en 1854 se deriva de las ideas presentadas por Cauchy (1760-1848); en
ésta Riemann define la condición de integrabilidad para una función sobre un intervalo de
la siguiente manera:
La función es integrable en si y sólo si las sumas de Cauchy
4. Análisis matemático II
Unidad 4. Integral de Lebesgue
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías
4
∑
donde y , se aproximan a un único valor límite cuando
el tamaño de la partición del intervalo se aproxima a . Este único valor es por definición
∫ .
Históricamente esto represento una gran innovación, ya que se involucraba el concepto de
función como una asignación diferente a la idea que se tenía en esos días. A
continuación se definen algunos conceptos que permiten dar un breve panorama histórico de la
integral de Lebesgue
Sea un conjunto acotado de números reales. Sean un conjunto finito de intervalos
que cubren . El contenido externo de , , es el ínfimo de números reales de la forma
∑ , donde cubre a , y es la longitud del intervalo . Análogamente, el
contenido interno de , , se define como el supremo de ∑ , donde y
⋃ . Se dice que un conjunto es Jordan-medible si .
Estas nociones sugirieron dos nuevas caracterizaciones de la condición de integrabilidad de
Riemann. La primera de ellas adopta una visión geométrica, considerando la integral de una
función en términos del área delimitada por su gráfica. Dada una función definida y acotada
en el intervalo , sea el conjunto de puntos del plano delimitado por la gráfica de , el eje
de abcisas y las rectas y . Entonces es Riemann-integrable si y sólo si el
conjunto es Jordan-medible, y
∫| | ∫
donde denotan el semiplano positivo y negativo, la segunda caracterización de la
condición de integrabilidad de Riemann consiste en que las integrales superior e inferior de f
sean iguales, esto es,
∫ ∫
siendo el supremo ∫ ∫ el supremo y ínfimo, de
∑ ∑
donde denotan una partición de , y denotan, el infimo y
el supremo de en .
Las dos caracterizaciones expuestas anteriormente hacen ver que una generalización de los
conceptos de medida y medible permitiría una extensión de los conceptos de integral e
5. Análisis matemático II
Unidad 4. Integral de Lebesgue
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías
5
integrabilidad. En otras palabras, supon que denota la clase de conjuntos medibles que
contiene la clase de conjuntos Jordan-medibles, y que una medida, , ha sido definida para
todos los elementos de de tal manera que coincide con cuando es Jordan-
medible. Con estas dos caracterizaciones surgen conceptos más amplios sobre medida, que
representan la generalización de la integral de Riemann; cuando denota la clase de
conjuntos Lebesgue-medibles, las definiciones resultan ser la de la integral de Lebesgue para
funciones acotadas. Fue a través de estas consideraciones que Lebesgue obtiene su
generalización para la integral.
Con el nacimiento de medida atribuido a Emile Borel, el cual seguiré las propiedades que una
medida debía tener, con lo que Borel da la definición de premedida, nombre que más adelante
asignaría Lebesgue. Borel no probó la existencia y unicidad de dicha definición, sin embargo,
gracias a las aportaciones de Lebesgue al trabajo de Borel, es que queda incluido en la integral
de Lebesgue. A los conjuntos que se refería Borel, Lebesgue los llamó borelianos.
Dos de los problemas más importantes que motivaron una nueva definición de integral son las
series trigonométricas y el teorema fundamental del cálculo. El primero de estos problemas lo
presento Fourier en 1822: si una función se puede representar como una serie trigonométrica.
Es decir cuando es cierto que:
∫ (∑ ) ∑ ∫
Fourier asumió que la respuesta es „siempre‟. Hacia finales del siglo se demostró que no se
podía integrar término a término ya que ∑ no tiene por qué ser Riemann
integrable. Otro gran problema fue el teorema fundamental del cálculo:
∫
El trabajo de Ulisse Dini y Vito Volterra mostró que existen funciones con derivadas acotadas
pero no integrables. Más adelante se encontraron nuevas funciones, como las monótonas
integrables, tales funciones sirvieron como ejemplo para probar que el teorema a tales
funciones no es aplicable. El trabajo de Lebesgue en el teorema fundamental del cálculo fue
muy importante en el descubrimiento de que una función continua con variación acotada posee
una derivada finita salvo quizás en un conjunto de medida cero.
Hoy en día todavía se siguen generando consecuencias de la teoría de Lebesgue, y enumerar
las consecuencias sería muy difícil, tan solo se puede decir que los dos campos donde ha
tenido mayor repercusión, son el cálculo y la probabilidad.
6. Análisis matemático II
Unidad 4. Integral de Lebesgue
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4.1.1. Definición de la integral de Lebesgue
En el capítulo 3.2 se describen conceptos y algunas aplicaciones para las funciones medibles,
sin embargo se retomaron los conceptos y teoremas más relevantes para este capítulo, ya que
son fundamentales y además son de gran importancia para el desarrollo de esta unidad.
Definición 1. [Espacio medible] Un espacio medible es una pareja en la que es un
conjunto no vacío y es una - álgebra de subconjuntos de .
Definición 2. [Función medible] Sean y dos espacios medibles. Una función
se llama función medible relativa a las -álgebras y si , esto quiere
decir , para todo . Si y (donde es el álgebra de Borel en ),
entonces diremos que es medible si .
Proposición 1. Sean y dos espacios medibles y una función.
Supongamos que existe tal que
Demostración. Si es una función y una -álgebra, entonces:
es una -álgebra de subconjuntos de . Ahora sea es una -álgebra
que por hipótesis contiene a . Así , por lo tanto
∎
Notación. Si es un espacio de medida, entonces se dice que una relación se mantiene
casi en donde quiera (abreviado c.d.q.), cuando la relación se mantiene en casi todas partes
con respecto a la medida exterior generada por . Las relaciones que se van a utilizar en
esta sección se resumen a continuación. Suponemos que es un espacio de medida
dada y que y denotan funciones reales definida en .
a) c.d.q. si
b) c.d.q. si
c) c.d.q. si
d) c.d.q. si c.d.q. para toda y c.d.q.
e) c.d.q. si c.d.q. para toda y c.d.q.
Para el especial en el que y se obtiene:
Corolario 1. Sean un espacio medible y una función. Entonces las siguientes
afirmaciones son equivalentes:
a) es -medible.
b) ( ) pertenece a para todo .
7. Análisis matemático II
Unidad 4. Integral de Lebesgue
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7
c) ( ) pertenece a para todo .
d) ( ) pertenece a para todo .
e) ( ) pertenece a para todo .
Demostración.
a) .
b) c) ( ) pertenece a , para todo .
c) d) ( ) ⋃ pertenece a , para todo .
d) e) ( ) pertenece a , para todo .
e) a) Sea , entonces existe una -álgebra tal que .
Entonces es una -álgebra, y además se cumple que . ∎
Teorema 1. Si es una función medible y satisface c.d.q., entonces es una
función medible.
Demostración.
Si , entonces por hipótesis (recuerda que es la medida
exterior), por lo que es medible. Ahora, sea un subconjunto abierto de . Como es una
función medible, es medible, y por lo tanto, es un conjunto
medible. Además, dado que tiene medida exterior cero, es medible. Por lo tanto,
es un conjunto medible, por lo tanto es una función medible.
∎
Se continuará con más propiedades de las funciones medibles.
Teorema 2. Si y son funciones medibles, entonces los tres conjuntos
a) ,
b) y
c)
son todos medibles.
Demostración.
a) Si es una enumeración de los números racionales de , entonces
⋃
que es medible, ya que es una unión numerable de conjuntos medibles.
b) Se nota que , el cual es un conjunto medible por
el inciso anterior (a).
8. Análisis matemático II
Unidad 4. Integral de Lebesgue
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8
c) Se observa que
los cuales son medibles por el inciso anterior (b).
∎
Definición 3. [Parte positiva y parte negativa] Sea una función , se definen los
conjuntos
| |
La función es llamado la parte positiva, a se le llama la parte negativa, y a | | el valor
absoluto de .
El siguiente teorema recordara algunas propiedades de funciones medibles, estudiadas
anteriormente, con el fin de observar que la combinación de funciones medibles produce
funciones medibles.
Teorema 3. Para dos funciones medibles y las siguientes afirmaciones son validas
a) es una función medible.
b) es una función medible.
c) | |, y son funciones medibles.
Recordar que dada una sucesión acotada de , el límite superior de se define como
[ ]
y el límite inferior de por
[ ]
Por lo tanto y ambos existen en . Por consiguiente, y
, de la sucesión de funciones esta definido para cada como
y
Teorema 4. Para una sucesión de funciones medibles, la siguiente afirmación es válida:
Si , entonces es una función medible.
Demostración.
Sea . Dado que c.d.q., se sigue que . Entonces
es medible y por lo tanto, también lo es el conjunto . Ahora sea . Se observa la
siguiente igualdad:
9. Análisis matemático II
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9
( ) [⋃ ⋂ (( ))]
y como cada es medible se tiene que es un conjunto medible. Además,
( ) es un conjunto medible ya que es un subconjunto de un conjunto de medida
cero. Por lo tanto,
( ) [ ( )]
es un conjunto medible. Esto se sigue directamente del teorema 1, por lo tanto es una función
medible.
∎
Definición 4. [Conjuntos de -medibles] Sea es un espacio de medida fijo.
Denotamos por
y
al conjunto de funciones reales que son -medibles y al subconjunto de éste consiste
de las funciones no-negativas, respectivamente. De manera análoga definimos
̅ y ̅
para funciones extendidas que son -medibles.
Definición 5. [ -simple] Sea un espacio medible. Una función se llama -simple si
toma solamente un número finito de valores y es -medible.
A continuación se describe a estas funciones. Sea una función -simple y
todos los valores (diferentes) tomados por ; si
entonces
⋃ ∑ 3.1
Inversamente, si es una combinación lineal de funciones características de conjuntos ajenos
en , entonces es -medible. Concretamente si ∑ entonces para todo :
{
⋃
por lo tanto es - medible. Así, es -simple si y sólo si es una combinación lineal de funciones
características de conjuntos ajenos en . A la descripción de como en 3.1 con los
diferentes y con los ajenos, la llamaremos canónica.
10. Análisis matemático II
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10
Definición 6. [Integral de funciones simples no negativas] Sea una función simple
y no negativa. Sea ∑ su descripción canónica. Definimos la integral de con
respecto a la medida , denotada por ∫ como el número real, dado por:
∫ ∑
La definición anterior tiene la desventaja de requerir la descripción canónica de , sin embargo
será posible eliminar esta restricción en cuanto se establezcan las siguientes propiedades.
Definición 7.[Función escalonada] Una función es llamada función escalonada si tiene
una representación de la forma ∑ , donde cada es un conjunto que tiene medida
finita, esto quiere decir que ( ) .
Definición 8.[Función superior] Una función es llamada función superior si existe
una sucesión de funciones escalonadas tal que:
a) c.d.q. y,
b) ∫
La colección de todas las funciones superiores se denota por .
Definición 9.[Integral de Lebesgue ] Sea una función función semicontinua superiormente
tal que es convergente. Entonces la integral de Lebesgue (o simplemente integral) de
se define por
∫ ∫
Una vez más, se hace hincapié en el hecho de que el valor de la integral de Lebesgue de
función superior es independiente de la sucesión de funciones escalonadas.
4.1.2. Propiedades
Proposición 2. Sean y dodos, entonces:
a) ∫ ∫
b) ∫ ∫ ∫
Demostración.
1) Si , entonces , así que ∫ ∫
Si y ∑ es la descripción canónica de , entonces
∑
11. Análisis matemático II
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11
es la descripción canónica de , así que:
∫ ∑ ( ) ∑ ( ) ∫
2) Se escribe a y en su forma canónica:
∑ ∑
luego entonces admite la siguiente representación:
∑ ∑( )
la cual podría ser no ser la canónica. Sean los distintos números reales del conjunto
y
⋃
Se observa que ∑ , en donde la notación ∑ significa que la suma se
extiende sobre las parejas tales que . En estos términos, la descripción
canónica de esta dada por:
∑
por lo que
∫ ∑ ∑ ∑
∑ ∑( ) ( ) ∑ ∑( ) ( )
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ( ) ∑ ∫ ∫
Por inducción, es posible generalizar a proposición 2 b) para cualquier numero finito. ∎
12. Análisis matemático II
Unidad 4. Integral de Lebesgue
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12
Teorema 5. Si y son funciones superiores tales que c.d.q., entonces ∫ ∫ .
En particular si y satisface c.d.q., entonces ∫ .
Demostración.
Sea y sucesiones para y , respectivamente, entonces min c.d.q., y así ,
min es una sucesión que genera a . Entonces se tiene ∫ ∫
| | para cada Por lo tanto,
∫ ∫ ∫ | | ∫
con lo que se obtiene la desigualdad. ∎
Teorema 6. Sea una función. Si existe una sucesión de funciones superiores tal
que , c.d.q. y el ∫ , entonces es una función superior y ∫
∫ .
Demostración.
Para cada se elige una sucesión de funciones superiores, tal que c.d.q. Ahora
para cada sea, , y hay que notar cada es una función escalonada tal
que c.d.q. Además, observar que para cada , y en consecuencia, ∫
∫ Ahora, dada cualquier se tiene para toda , se sigue que
∫ ∫ ∫ para todo .
∫ ∫ ∫ ∎
4.1.3. Comparación contra la integral de Riemann
Se revisa la relación que existe entre la integral de Lebesgue y la integral de Riemann,
limitándonos al caso más sencillo de la medida lineal de Lebesgue en la recta.
Teorema. Si existe la integral de Riemann
∫
entonces es integrable según Lebesgue y
∫
Demostración. Para cada se considera la partición del segmento en
intervalos mediante los puntos
13. Análisis matemático II
Unidad 4. Integral de Lebesgue
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13
Para el cálculo de la integral de Riemann se toman:
La sumas inferior y superior de para esta partición del intervalo están dadas
respectivamente por:
∑
∑
Como es Riemann integrable, se cumple que:
Se eligen
En el punto las funciones y pueden ser definidas arbitrariamente. Se deja como
practica el ejercicio de probar que las integrales de Riemann son:
∫
∫
Como la sucesión { } es no creciente y la sucesión { } no decreciente, se tiene que en casi
todos los puntos
Esto ocurre por las propiedades de las sucesiones.
Por las propiedades de la integral de Lebesgue tenemos que:
∫ ∫ ∫ ∫
De manera que:
∫ | | ∫ [ ]
y por consiguiente en casi todos los puntos de se cumple que:
14. Análisis matemático II
Unidad 4. Integral de Lebesgue
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14
es decir,
y por lo tanto
∫
∎
Las siguientes observaciones se darán para mostrar algunas diferencias respecto a estos dos
tipos de integrales.
Existen funciones acotas que son integrables según Lebesgue, pero no integrables según
Riemann, como se verá en el siguiente ejemplo.
Ejemplo.
La función de Dirichlet dada por:
{
Es Lebesgue integrable, pero no integrable según Riemann;
Las funciones no acotadas no son integrables según Riemann, pero muchas de ellas son
integrables según Lebesgue. En particular cualquier función para la cual la integral de
Riemann
∫
existe para cada y tiene un límite finito cuando , es integrable en según
Lebesgue y
∫ ∫
Se puede ver las integrales impropias
∫ ∫
en el caso en que
∫ | |
no existen en el sentido de Lebesgue, ya que la integrabilidad de implica la integrabilidad
de | |. Por ejemplo, la integral
15. Análisis matemático II
Unidad 4. Integral de Lebesgue
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15
∫
existe como integral impropia de Riemann (convencionalmente convergente), pero no existe
como integral de Lebesgue.
Si una función se considera en toda la recta (o en una semirrecta), su integral de Riemann
puede existir solamente en el sentido impropio. Si esta integral converge absolutamente,
también existirá en este caso la correspondiente integral de Lebesgue teniendo el mismo valor.
En cambio, si esta integral converge convencionalmente, la función no será integrable en el
sentido de Lebesgue. Por ejemplo, la función
no es integrable según Lebesgue en toda la recta ya que
∫ | |
Sin embargo, como se sabe, la integral impropia
∫ | |
existe y es igual a .
Actividad 1. Integral de Lebesgue.
La finalidad de esta actividad es comparar la integral de Riemann, con la integral de
Lebesgue, e Identificar las diferencias y similitudes entre las dos definiciones. Para ello.
1. Revisa la definición de las Integrales de Riemann y de Lebesgue , a partir de ello,
primeramente contesta la siguiente pregunta:
¿Qué relación se puede establecer entre las funciones Riemann integrables y las funciones
Lebesgue integrables?
2. A partir de las definiciones y tu respuesta, realiza un análisis sobre el impacto que
tienen los refinamientos sobre las particiones en el dominio en cada Integral la de
Riemann y la de Lebesgue. El análisis debe incluir la condición de medibilidad en el
caso de la Integral de Lebesgue.
3. Establece y analiza las condiciones de integrabilidad en cada caso para funciones
acotadas e integrabilidad de sucesiones de funciones monótonamente crecientes
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4. Ingresa al foro y tomando en cuenta las definiciones, condiciones de integrabilidad,
anota tus conclusiones.
5. Revisa aportaciones de tres de tus compañeros, aceptando o rechazando sus
respuestas.
Nota: Antes de participar en el foro, recuerda consultar la Rúbrica general de participación en
foros que se encuentra en la sección Material de apoyo.
4.2. Integral de Lebesgue de una función acotada sobre un conjunto de
medida finita
El teorema de convergencia monótona tiene la desventaja de ser aplicable sólo bajo
condiciones muy restrictivas, sin embargo un color ario de éste, conocido como el Lema de P.
Fatou (1878-1929), puede ser usado con sucesiones de funciones no necesariamente
convergentes. Es interesante hacer notar que este resultado fue probado por Fatou en el
contexto de series trigonométricas.
4.2.1. Lema de Fatou
Definición 1. [Lebesgue integrable] Una función es llamada Lebesgue integrable (o
simplemente integrable) si existen dos funciones superiores y tales que . La
integral de Lebesgue se define por
∫ ∫ ∫
Cabe señalar que el valor de la integral es independiente de la representación como una
diferencia de dos funciones superiores. De hecho, si c.d.q. tal que las
funciones y son funciones superiores, entonces c.d.q. y por las
propiedades de la integral se tiene ∫ ∫ ∫ ∫
Teorema 1. La colección de todas las funciones Lebesgue integrable es un espacio de
funciones.
Demostración.
Sea y dos funciones integrables con representación c.d.q. y c.d.q.
Entonces se cumplen las siguientes igualdades
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expresar las funciones anteriores como las diferencias de dos funciones superiores. Esto
demuestra que la colección de todas las funciones integrables es un espacio de funciones.
∎
Teorema 2. Si y son dos funciones integrables, entonces
∫ ∫ ∫
para toda
Teorema 3. Sea una función de medida que satisface c.d.q. para toda .
Entonces existe una sucesión de funciones simples tal que y para
toda .
Demostración.
Para cada sea para cada , y
obsérvese que si . Dado que es medible, todas las son conjuntos
medibles.
Ahora, para cada defínase ∑ , y nota que es una sucesión de
funciones simples. Además, se verifica que se cumple para todo y
toda . Más aún, si es fijo, entonces la igualdad vale para aquellas
sufientemente grandes. Por lo tanto, se cumple para todo , y prueba del teorema
ésta terminado. ∎
da finalizado el teorema.
Teorema 4. Si una función integrable satisface c.d.q., entonces es una función
superior.
Demostración.
Sean y funciones superiores tales que c.d.q. Así como y son límites de una
sucesión de funciones escalonadas c.d.q., existe una sucesión de funciones escalonadas
tal que c.d.q. Dado que c.d.q., se sigue que c.d.q.
Por el teorema 3, existe una sucesión de funciones simples que satisfacen que
c.d.q. Ahora, para cada sea , entonces es una sucesión
de funciones escalonadas tales que c.d.q. Basta mostrar que ∫ es acotado.
En efecto, de c.d.q. y de la monotonía y la linealidad de la integral se sigue
que ∫ ∫ ∫ , y además ∫ ∫ ∫ para toda . La prueba
del teorema está completa. ∎
18. Análisis matemático II
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Si es una función integrable, entonces por el teorema pasado y son ambas funciones
superiores, y también es una descomposición de como una diferencia de dos
funciones superiores positivas. En particular,
∫ ∫ ∫
Usualmente esta fórmula es usada por algunos autores para definir la integral de Lebesgue.
Teorema 5. Sea una función medible. Si existen dos funciones integrables y tal que
c.d.q., entonces es también una función integrable.
Demostración.
Se escribe la desigualdad en la forma c.d.q., se puede suponer sin pérdida
de generalidad que casi donde quiera.
Por el teorema 4, es una función superior. Entonces existe una sucesión de funciones
escalonadas tal que c.d.q. Por el teorema 3 existe una sucesión de funciones
simples tales que c.d.q. Pero entonces es una sucesión de funciones
escalonadas tal que c.d.q. y ∫ ∫ ∫ para
toda . Así , por lo tanto es una función integrable. ∎
Teorema 6. [Levi] Supón que una sucesión de funciones integrables satisface c.d.q.
para cada y ∫ . Entonces existe una función tal que c.d.q. (i por lo tanto
∫ ∫ es válido).
Demostración.
Sustituyendo por si es necesario. Se asume sin pérdida de generalidad que
c.d.q para cada Además, se asume que para toda . Sea
∫ . Para cada sea , se considera el conjunto
Entonces, , y entonces es un conjunto medible. Así, se
observa que . Nota que cada función es una función superior. Así, para cada
existe una sucesión de funciones escalonadas tal que c.d.q.
Para cada sea , y nótese que es una sucesión de funciones escalonadas
tal que c.d.q. y el ∫ ∫ . En particular, para cada la sucesión de
funciones escalonadas satisface c.d.q esto se sigue que
y ∫ para cada Entonces .
Partiendo de la definición por si y si . Entonces
c.d.q. y el resultado se sigue de teorema 6 de la sección de propiedades. ∎
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Teorema 7. Sea una secuencia de funciones integrables no negativas tal que
∑ ∫ . Entonces ∑ define una función integrable y
∫ (∑ ) ∑ ∫
Demostración.
Para cada sea ∑ , y nótese que es una función tal que ∑ c.d.q. Ahora,
por el Teorema de Levi, ∑ define una función integrable, y
∑ ∫ ∫ ∫ (∑ )
con lo que termina la prueba. ∎
Teorema 8. [Lema de Fatou] Sea una sucesión de funciones integrables tal que
c.d.q. para cada y ∫ . Entonces define una función integrable, y
∫ ∫
Demostración.
Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que para toda y y toda . Dada una
, defínase para cada . Entonces cada es una función medible, y
para toda . Entonces por el teorema 5 existe una función integrable tal que
c.d.q. Se deduce que c.d.q., entonces el limite define una función
integrable. Más aún
∫ ∫ ∫ ∫
y la prueba termina. ∎
Ahora estás en condiciones de afirmar y probar la convergencia dominada de Lebesgue uno
de los teoremas más importantes de la teoría de la integración.
Teorema 9. [Convergencia dominada de Lebesgue] Sea sea una sucesión de funciones
integrables que satisfacen | | c.d.q. para toda y alguna función fija e integrable . Si
c.d.q. entonces define una función integrable y
∫ ∫ ∫
Demostración. Nota que | | c.d.q. y la integrabilidad de se sigue del teorema 5. Observa
que la sucesión satisface las hipótesis del Lema de Fatou y por otra parte,
c.d.q. Así,
∫ ∫ ∫ ∫
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∫ ∫ ∫
y por lo tanto,
∫ ∫
Del mismo modo, el Lema de Fatou aplica a la sucesión produce
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
y así
∫ ∫
Entonces el límite existe en , y el ∫ ∫ es válido. ∎
El siguiente teorema caracteriza las funciones Lebesgue integrables en términos de alguna
propiedad dada. Se emplea generalmente para demostrar que todas las funciones Lebesgue
integrables poseen una propiedad determinada.
Teorema 10. Sea un espacio de medida y sea una propiedad que puede o no tener
una función integrable. Asúmase que:
a) Si y son funciones integrables con la propiedad , entonces y para toda
tienen la propiedad .
b) Si es una función integrable de manera que para cada existe una función
integrable con la propiedad satisface ∫ | | , entonces tiene la
propiedad .
c) Para cada tal que , la función característica tiene la propiedad .
Entonces, cada función integrable tiene la propiedad .
Demostración.
Supón primero que es una -álgebra tal que . Así, existe una sucesión de conjuntos
disjuntos de tal que ⋃ . Hacer ⋃ para cada y nótese que .
De ∑ y de los incisos (c) y (a), puedes ver que tiene la propiedad para
cada . Dada ∫ | | , se deduce a partir de (b) que tiene a la
propiedad .
Después, supón que es un conjunto medible de medida finita y sea . Entonces Existe
una -álgebra de medida finita tal que y . Esto implica ∫ |
| . De lo anterior y de , se infiere que satisface la propiedad .
Ahora, de observa que cada función escalonada satisface la propiedad . Pero entonces,
se sigue de que toda función superior satisface la propiedad . Dado que cada función
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integrable es la diferencia de dos funciones superiores, usando , se infiere que en efecto
cada función integrable satisface la propiedad .
∎
Teorema 11. Cada función integrable es integrable sobre cada subconjunto medible de .
Además,
∫ ∫ ∫
para cada subconjunto medible de .
El resto de esta sección trata de una observación relativa a las integrales de Lebesgue infinitas.
Si ∑ es la representación estándar de una función positiva simple, entonces la
suma ∑ tiene sentido como un número real extendido no-negativo. Si ∑
, entonces se acostumbra escribir ∫ y se dice que la integral de Lebesgue de es
infinita.
Supón ahora que es una función donde existe una sucesión de funciones
positivas simples tal que c.d.q. Entonces ∫ existe como un número real
extendido, y puedes ver que ∫ es independiente de la sucesión elegida. En caso
de que ∫ , escribimos ∫ y se dice que la integral de Lebesgue de es
infinita, pero no puede decirse que es una función integrable. En este sentido cada función
positiva medible tiene una integral de Lebesgue (finita o infinita) simplemente porque, por el
teorema 3, existe una sucesión de funciones positivas simples tal que c.d.q.
Además, si define una función medible, entonces se puede escribir y por
lo anterior, ambas integrales ∫ y ∫ existe como números reales extendidos (no-
negativos). Si una de estas integrales es un número real, entonces la integral de se define
como el número real extendido
∫ ∫ ∫
De esta manera, es posible asignar una “integral” a una clase mucho más grande de funciones
medibles de valores reales extendidos.
Una ventaja de la extensión por arriba de la integral es que una serie de teoremas puedes
expresarla sin asumir la integrabilidad de Lebesgue en las funciones. Por ejemplo, el lema de
Fatou puede ser escrito como sigue:
Si es una sucesión de funciones medibles tales que c.d.q. para cada n, entonces:
∫ ∫
donde, por lo anterior, uno o ambos lados de la desigualdad puede ser infinito.
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Actividad 2. Cálculo de Integrales.
A través de esta actividad, podrás resolver ejercicios de integrales de Lebesgue y la
aplicación del Lema de Fatou. Para ello:
1. Descarga el documento “Act. 2. Cálculo de integrales”
2. De acuerdo al planteamiento, resuelve las integrales de Lebesgue y los ejercicios
relacionados con la aplicación de Fatou.
3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MAMT2_U4_A2_XXYZ.
4. Envía tu documento a tu facilitador y espera su retroalimentación.
*Recuerda consultar la Escala de evaluación de la actividad para saber qué aspectos se
tomarán en cuenta para su revisión.
Autoevaluación
Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta unidad
del curso, es necesario que resuelvas la autoevaluación.
Ingresa al Aula virtual para realizar tu actividad.
Evidencia de Aprendizaje. Aplicaciones de la integral de Lebesgue
Es momento de realizar tu evidencia de aprendizaje, donde tendrás que aplicar tus
conocimientos sobre aproximación de funciones continuas.
Instrucciones:
1. Descarga el documento “ EA. Aplicaciones de la integral de Lebesgue”
2. Lee las instrucciones y resuelve los problemas que se plantean, tomando en cuenta se
debes presentar su demostración o resultado.
3. .Guarda y envía tu reporte al portafolio de evidencias con la nomenclatura
MAMT2_U4_EA_XXYZ.
4. Envía tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu
Facilitador(a). Una vez que la tengas, atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión
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de tu evidencia.
Nota: No olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será
evaluado tu trabajo.
Autorreflexiones
Como parte de cada unidad, es importante que ingreses al foro Preguntas de autorreflexión y
leas los cuestionamientos que formuló tu Facilitador(a), ya que a partir de ellos debes elaborar
tu Autorreflexión y enviarla mediante la herramienta Autorreflexiones. No olvides que también se
toman en cuenta para la calificación final.
Cierre de la unidad
La integral de Lebesgue es de alguna forma la generalización natural del concepto de integral
de funciones medibles en los conjuntos medibles. Una importancia fundamental es la que se
manifiesta en Lema de Fatou: que argumenta la monotonía de la integral bajo sucesiones de
funciones medibles. El contenido de esta unidad es fundamental para el desarrollo de la Teoría
de Integración que es una de las ramas más importantes de la matemática con una aplicación
directa en la estadística y probabilidad. El dominio esta materia permitirá al alumno la resolución
de problemas planteados en ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales con un
entendimiento profundo de las propiedades y teoremas involucrados en la obtención de tales
resultados.
Para saber más:
Un resumen histórico de la Teoría de la medida de 1887 a 1990:
http://www.lps.uci.edu/~johnsonk/CLASSES/FoundationsOfMeasurement/Diez.AnHistoricalIntro
ductionToMeasurementTheoryPartOne.pdf
El blog de Terence Tao, uno de los matemáticos más notables de nuestra época, entre otras
secciones presenta: libros, resúmenes de artículos, apps, etc. sobre Matemáticas en general
en particular en Teoría de la Medida
http://terrytao.wordpress.com/
Referencias Bibliográficas
Charalambos A.D. (1998). Principles of Real Analysis. USA. Academic Press.
De Barra, G. (2000). Measure Theory and Integration. India. New Age International.
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Unidad 4. Integral de Lebesgue
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Folland, G. (1999). Real Analysis: Modern Techniques and their Applications. USA. Wiley.
Galaz, F. (2002). Medida e Integral de Lebesgue en .México. University Press.
Grabisnky, G. (2011). Teoría de la Medida. México. Facultad de Ciencias UNAM.
Halmos, P. (1991). Measure Theory. USA. Springer Verlag.
Hawkins T. Lebesgue theory of integration. Its origins and development, 1970, Chelsea
Publishing Company.
Royden, H; Fitzpatrick, P. (2010). Real Analysis. USA. Pearson.
Sánchez, C. C. (2004). De los Bernoulli a los Bourbaki. España. Nivola.
Schram, M. (1996). Introduction to Real Analysis. USA. Prentice Hall.