Teoria Integrales Dobles

1. Integrales Indefinidas
Si conocemos la derivada parcial de f con respecto a y, se
podrá conocer la función que la generó?
xy
y
x
fy 4
)
,
( 
Integrar en y
Mantener x constante

 dy
y
x
f
y
x
f y )
,
(
)
,
(
Una primitiva de 2y es y2
La “constante” es función de x
dy
xy

 4
)
(
2
2
2
2
x
C
y
x
dy
y
x


 

2. Integrales definidas
Manteniendo una variable constante, se aplica el teorema
fundamental del cálculo al integrar en forma definida con
respecto a la otra variable.

x
dy
xy
2
1
4
Integrar en y, x es fija
El resultado es una función de x

2
2
2
1
y
x
x

2
2
1
2
)
2
(
2 x
x
x 
 x
x 2
8 3


Sustituimos y por los
límites de integración

3. Integrales definidas
Análogamente, podemos integrar en x manteniendo la otra
variable constante.
   
y
y
h
f
y
y
h
f
dx
y
x
f
y
h
y
h
x
),
(
),
(
)
,
(
1
2
)
(
)
(
2
1


 Con respecto a x
   
)
(
,
)
(
,
)
,
(
1
2
)
(
)
(
2
1
x
g
x
f
x
g
x
f
dy
y
x
f
x
g
x
g
y


 Con respecto a y

4. Integrales iteradas: La integral de una integral
Calcular
  dy
dx
y
x
y
y
  




 

2
0
2
2
2
2
2
10
∫
𝑦
2 𝑦
(10+2 𝑥
2
+2 𝑦
2
)𝑑𝑥=
[10 𝑥+
2
3
𝑥
3
+2 𝑦
2
𝑥
]2 𝑦
𝑦
Resolviendo la integral más interna
¿
[20 𝑦+
2
3
8 𝑦
3
+2 𝑦
2
2 𝑥
]
−
[10 𝑦 +
2
3
𝑦
3
+2 𝑦
2
𝑦
]
¿ 10 𝑦 +
20
3
𝑦
3

5. Asi
  





 

  dy
dx
y
x
y
y
2
0
2
2
2
2
2
10
∫
0
2
(10 𝑦+
20
3
𝑦
3
)𝑑𝑦=¿¿
¿
[5 𝑦2
+
5
3
𝑦4
]0
2
=
140
3

6. Integrales iteradas: La integral de una integral
Calcular
  dy
dx
y
x
I
y
y
  




 


2
0
2
2
2
2
2
10
2
0 
y
y
x
y 2


Región de
integración
    
 





7. Calcular   dy
dx
y
x
I
y
y
  




 


2
0
2
2
2
2
2
10
2
0 
x
x
y
x


2
Región I
2
0 
x
2
2

y
x
Región II
  








  dx
dy
y
x
I
x
x
2
0
2
2
2
2
2
10
  dx
dy
y
x
x
  







4
2
2
2
2
2
2
2
10

8. Integrales iteradas: La integral de una
integral
dx
dy
y
x
f
b
a
x
g
x
g
  




 )
(
)
(
2
1
)
,
(
Los limites interiores de integración pueden ser
variables con respecto a la variable exterior de
integración.
dy
dx
y
x
f
d
c
y
h
y
h
  




 )
(
)
(
2
1
)
,
(
Los limites exteriores de integración han de ser
constantes con respecto a las dos variables de
integración.

9. Área de una región en el plano
a b
Dx
g2
g1
b
x
a 

)
(
)
( 2
1 x
g
y
x
g 

Verticalmente simple
 dx
x
g
x
g
A
b
a
 
 )
(
)
( 1
2



)
(
)
(
1
2
2
1
)
(
)
(
x
g
x
g
dy
x
g
x
g
dx
dy
A
b
a
x
g
x
g


)
(
)
(
2
1

10. Área de una región en el plano
d
c
h1
h2
Dy
Horizontalmente simple
d
y
c 

)
(
)
( 2
1 y
h
x
y
h 

 dy
y
h
y
h
A
d
c
 
 )
(
)
( 1
2



)
(
)
(
1
2
2
1
)
(
)
(
y
h
y
h
dx
y
h
y
h
dy
dx
A
d
c
y
h
y
h


)
(
)
(
2
1

11. Integral doble y volumen de sólidos
Sea f una función continua definida en una región R del
plano xy tal que: 0
)
,
( 
y
x
f
)
,
( y
x
f
z  Superficie por encima del plano xy
 
d
y
c
b
x
a
y
x
R 



 ;
/
)
,
(
Consideremos primero una región rectangular:

12. Partición de la Región R:
x
y
d
c
a b

Norma de la
partición


13. Partición de la Región R
x
y
d
c
a b
Xi-1 Xi
Yj-1
Yj
i
A
 Área del i-ésimo
rectángulo
i
i
i y
x
A 


 *

14. Volumen del i-ésimo prisma
i
i
i A
y
x
f 
)
,
(

15. Volumen aproximado



p
i
i
i
i A
y
x
f
1
)
,
( Suma de Riemann

16. Al tomar particiones mas finas se logran
aproximaciones más precisas para el volumen.
Volumen exacto
i
i
p
i
i A
y
x
f 
 



)
,
(
lim
Volumen
1
0
ij
n
j
m
i
A
y
x
f j
i

 
 



)
,
(
lim
Volumen *
1
*
1
0

22. Volumen sobre una región cualquiera
Sea f una función continua definida en una región R del
plano xy tal que: 0
)
,
( 
y
x
f
)
,
( y
x
f
z  Superficie por encima del plano xy
 
d
y
c
b
x
a
y
x
T 



 ;
/
)
,
(
Consideremos un rectángulo :
que contiene a R.

23. Partición de la Región R:
x
y
d
c
a b

)
,
( y
x
f
0









R
T
y
x
si
R
y
x
si
y
x
f
y
x
F
)
,
(
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(

24. Partición de la Región R:
x
y
d
c
a b

i
i
n
i
i A
y
x
F 
 



)
,
(
lim
Volumen
1
0
i
i
n
i
i A
y
x
f 
 



)
,
(
lim
Volumen
1
0

25. Definición de Integral Doble
Si f está definida en una región cerrada y acotada R del
plano xy, la integral doble de f sobre R viene dada por:


 




n
i
i
i
i
R A
y
x
f
A
d
y
x
f
1
0
)
,
(
)
,
( lim
Siempre que exista este limite. Si el limite existe, se dice
que f es integrable sobre R.

26. Definición de Integral Doble
Si f está definida en una región cerrada y acotada R del
plano xy, la integral doble de f sobre R viene dada por:
Siempre que exista este limite. Si el limite existe, se dice
que f es integrable sobre R.
ij
n
j
m
i
R
A
y
x
f
dA
y
x
f j
i

 

 



)
,
(
lim
)
,
( *
1
*
1
0
  ij
n
j
m
i
R
A
y
x
f
dA
y
x
f j
i

 

 




)
,
(
lim
)
,
( *
1
*
1
0
,
0
)
,
( 2
1

27. Volumen de una Región Sólida


R
dA
y
x
f
V )
,
(
Si f es integrable sobre una región plana R y 0
)
,
( 
y
x
f
para todo (x, y) en R, el volumen de la región sólida
acotada inferiormente por R y superiormente por la grafica
de f se define como:

28. Propiedades de las integrales dobles
Sean f y g continuas en una región cerrada y acotada R
del plano, y sea c una constante.
1
 

R R
dA
y
x
f
c
dA
y
x
cf )
,
(
)
,
(
2
  
  


R
R R
dA
y
x
g
dA
y
x
f
dA
y
x
g
y
x
f )
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
3
 
R
dA
y
x
f ,
0
)
,
( si 0
)
,
( 
y
x
f

29. Propiedades de las integrales dobles
4
 

R R
dA
y
x
g
dA
y
x
f ,
)
,
(
)
,
(
5

  

2
1
)
,
(
)
,
(
)
,
(
R
R R
dA
y
x
f
dA
y
x
f
dA
y
x
f
si
)
,
(
)
,
( y
x
g
y
x
f 
Donde R es la
unión de dos
regiones R1 y
R2 que no
solapan entre
sí.
R1 R2