El documento trata sobre la integral definida y su relación con la derivada. Explica cómo determinar la antiderivada más general de una función, y cómo calcular áreas de regiones limitadas en el plano mediante la integral definida. Define la integral definida y describe su interpretación geométrica como el límite de sumas de áreas de rectángulos de aproximación.
En estas notas, revisamos el teorema fundamental del cálculo, el cuál relaciona los conceptos de antiderivada (integral indefinida) con área bajo la curva (integral definida).
En esta sección, repasamos el concepto integral definida, motivada por áreas bajo curvas y algunas de las propiedades. Definimos de manera rigurosa la integra como el límite de una suma de Riemann.
En estas notas, revisamos el teorema fundamental del cálculo, el cuál relaciona los conceptos de antiderivada (integral indefinida) con área bajo la curva (integral definida).
En esta sección, repasamos el concepto integral definida, motivada por áreas bajo curvas y algunas de las propiedades. Definimos de manera rigurosa la integra como el límite de una suma de Riemann.
Libro de calculo de varias variables con aplicaciones de integrales dobles y triples para la ingenierias industrial civil mecanicos, con aplicaciones sencillas que permitan se de facil comprecion para el estudiante, aqui les dejo una parte de los ejercicios donde consta las integrales triples y dobles y sus aplicaciones, espero que sea de su agrado
1. La integral
Determina la
antiderivada más
general.
Interpreta la integral y
su relación con la
derivada.
Define la integral
definida.
Calcula áreas de
regiones limitadas en el
plano.
1
2. Antiderivadas
Definición: Una función F se llama
antiderivada de una función f en un
intervalo I si la derivada de F es f,
esto es F´(x) = f(x) para todo x en I.
Observación:
Observación:
De la definición se ve que F no es única.
De la definición se ve que F no es única.
Para que F´(x) exista la función F(x) debe ser
Para que F´(x) exista la función F(x) debe ser
continua.
continua.
2
3. Teorema:
Si F es una antiderivada de f en un
intervalo I, la antiderivada más
general de f en I es F(x)+c, donde c es
una constante arbitraria.
Teorema:
Si dos funciones P y Q son antiderivadas
de una función f en un intervalo I ,
entonces P(x) = Q(x) + C, ( C constante)
para todo x en I.
3
8. Ejemplo 1
Encuentre la antiderivada más general
de cada una de las siguientes
funciones.
a) f ( x) = e
1
b) f(x) =
x
c) f ( x) = x n
x
8
9. Funció
n
c f ( x)
f ( x) + g ( x)
x n ( n ≠ −1)
1
x
ex
cos x
sen x
Antiderivada
particular
cF ( x)
F ( x) + G ( x)
x n +1 ( n + 1)
ln x
ex
sen x
− cos x
9
12. f (x) = e + 1
x
∆x
Definición : El área de la región S que se
encuentra debajo de la gráfica de la función
continua f es el límite de la suma de las áreas
de los rectángulos de aproximación:
n
[( )
( )
( ) ]
A = lim ∑ Ai = lim f x ∆ x + f x2 ∆ x + ... + f xn ∆ x
n→ ∞
i =1
n→ ∞
*
1
*
*
12
13. b
n
f ( x )dx = lim ∑ f ( x *i )∆x i
∫
n →∞
a
Limite
superior
i =1
b
f ( x )dx
∫
a
Limite Inferior
No tiene
significado,
indica respecto a
que variable se
integra.
Integrando
El procedimiento para calcular
integrales se llama por si mismo
integración.
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14. 2° Teorema Fundamental del Cálculo
Si f es una función continua en [a, b]
y F una antiderivada de f en [a, b], entonces:
∫
b
a
b
f ( x) dx = F ( x) = F (b) − F (a)
a
Esta regla convierte al cálculo de integrales
definidas en un problema de búsqueda de
antiderivadas y evaluación.
14
15. PROPIEDADES DE LA
INTEGRAL DEFINIDA
1. Si f y g son funciones integrables
en [a, b] y α y β son constantes, se
tiene:
∫
b
a
(α f (x ) + β g ( x )) dx = α
∫
b
a
f (x ) dx + β
∫
b
a
g (x ) dx
Propiedad de linealidad
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16. Si existen las integrales de la
izquierda, también existe la integral de
c ∈ a, b
la derecha:
2.
∫
c
a
f (x ) dx +
∫
b
c
f (x ) dx =
∫
b
a
f (x ) dx
Propiedad aditiva respecto
al intervalo de integración
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17. La propiedad anterior es aplicada cuando la
función está definida por partes y cuando es
seccionalmente continua.
Ejemplo:
Si
x 2
f ( x) =
x - 1
0 ≤ x ≤1
1< x ≤ 3
y se quiere hallar:
3
∫ f ( x ) dx
0
3
∫ f (x)dx
0
1
=
∫ x dx
2
0
3
+
∫ (x − 1) dx
1
17
18. 3.
∫
b
a
h dx = h ( b − a )
Y representa el área de un rectángulo de altura
h y longitud de base (b – a).
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19. DEFINICIONES:
Sea f una función integrable en
[a, b], entonces:
1.
2.
∫
a
∫
b
a
a
f (x ) dx = 0
f (x ) dx = −
∫
a
b
f (x ) dx
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20. Definición:
Sea f una función contínua tal que:
• f(x) ≥0 en [a, b] y
• S={(x, y)/ a≤x≤b, 0≤y≤f(x)}
Se denota por A(S) y se llama área de
la región definida por S al número
dado por:
A(S) =
b
∫ f (x) dx
a
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