Este documento trata sobre integrales dobles. Explica que las integrales dobles se pueden calcular variando los límites interiores o exteriores de integración y que al realizar las integraciones sucesivas se obtiene un número real. También define regiones de tipo I y II para calcular el área entre curvas, y explica cómo usar coordenadas polares para evaluar integrales dobles en regiones circulares.
Este documento describe cómo calcular integrales dobles en coordenadas polares. Explica que existen tres tipos de regiones para integrales dobles polares: regiones rectangulares polares, regiones tipo 1 donde se integra primero r, y regiones tipo 2 donde se integra primero θ. Proporciona ejemplos numéricos de cómo calcular el área, volumen y otras integrales dobles y triples utilizando coordenadas polares.
Este documento explica el concepto de integrales triples. 1) Define una integral triple como el límite de sumas triples de Riemann cuando la partición tiende a cero. 2) Explica que una función debe ser continua y tener discontinuidades confinadas para ser integrable. 3) Enumera propiedades como linealidad y descomposición de regiones. El documento también cubre cálculo de integrales triples mediante iteración y coordenadas cilíndricas.
Este documento presenta una introducción a las coordenadas polares, incluyendo su definición, cómo graficar puntos, la relación entre coordenadas polares y rectangulares, y cómo convertir entre los dos sistemas de coordenadas. También explica cómo expresar ecuaciones dadas en coordenadas rectangulares en forma polar, y viceversa. El documento contiene ejemplos y ejercicios para practicar estas conversiones.
Este documento describe las funciones vectoriales de una variable real, incluyendo su definición, dominio, representación gráfica, límites, continuidad, derivación, integración, longitud de arco, vectores tangente y normal, y curvatura. Explica que una función vectorial mapea números reales a vectores, y que sus propiedades dependen de las funciones componentes.
Este documento define y explica las funciones vectoriales de una variable real. Define una función vectorial como una función que asigna vectores a números reales mediante funciones componentes continuas. Explica cómo las funciones vectoriales pueden usarse para describir el movimiento a lo largo de una curva o trazar la gráfica de una curva paramétrica. Proporciona ejemplos de funciones vectoriales que representan curvas en el plano y en el espacio tridimensional.
1. El documento describe el cálculo de volúmenes utilizando integrales triples. Define la integral triple como una suma de Riemann que mide el volumen de una región sólida cuando tiende a cero.
2. Explica que existen seis órdenes posibles de integración y cómo determinar los límites de integración de acuerdo a la región definida.
3. Proporciona ejemplos numéricos para calcular volúmenes utilizando la fórmula de la integral triple.
Este documento presenta fórmulas y conceptos relacionados con cálculo vectorial, incluyendo normas y vectores unitarios de vectores, productos escalares y vectoriales, ángulos y componentes de vectores, derivadas parciales, gradientes, reglas de la cadena, coordenadas cilíndricas y esféricas, cambio de variables, curvatura de curvas y superficies. El documento proporciona detalles matemáticos sobre estas ideas fundamentales del cálculo vectorial.
Este documento trata sobre la derivada de una función dada paramétricamente. Explica que una función paramétrica representa una curva a través de dos ecuaciones que dependen de una tercera variable común llamada parámetro. También describe cómo calcular la derivada de una función paramétrica usando la regla de la cadena, la cual relaciona la derivada de y con respecto a t con las derivadas parciales de x e y.
Este documento describe cómo calcular integrales dobles en coordenadas polares. Explica que existen tres tipos de regiones para integrales dobles polares: regiones rectangulares polares, regiones tipo 1 donde se integra primero r, y regiones tipo 2 donde se integra primero θ. Proporciona ejemplos numéricos de cómo calcular el área, volumen y otras integrales dobles y triples utilizando coordenadas polares.
Este documento explica el concepto de integrales triples. 1) Define una integral triple como el límite de sumas triples de Riemann cuando la partición tiende a cero. 2) Explica que una función debe ser continua y tener discontinuidades confinadas para ser integrable. 3) Enumera propiedades como linealidad y descomposición de regiones. El documento también cubre cálculo de integrales triples mediante iteración y coordenadas cilíndricas.
Este documento presenta una introducción a las coordenadas polares, incluyendo su definición, cómo graficar puntos, la relación entre coordenadas polares y rectangulares, y cómo convertir entre los dos sistemas de coordenadas. También explica cómo expresar ecuaciones dadas en coordenadas rectangulares en forma polar, y viceversa. El documento contiene ejemplos y ejercicios para practicar estas conversiones.
Este documento describe las funciones vectoriales de una variable real, incluyendo su definición, dominio, representación gráfica, límites, continuidad, derivación, integración, longitud de arco, vectores tangente y normal, y curvatura. Explica que una función vectorial mapea números reales a vectores, y que sus propiedades dependen de las funciones componentes.
Este documento define y explica las funciones vectoriales de una variable real. Define una función vectorial como una función que asigna vectores a números reales mediante funciones componentes continuas. Explica cómo las funciones vectoriales pueden usarse para describir el movimiento a lo largo de una curva o trazar la gráfica de una curva paramétrica. Proporciona ejemplos de funciones vectoriales que representan curvas en el plano y en el espacio tridimensional.
1. El documento describe el cálculo de volúmenes utilizando integrales triples. Define la integral triple como una suma de Riemann que mide el volumen de una región sólida cuando tiende a cero.
2. Explica que existen seis órdenes posibles de integración y cómo determinar los límites de integración de acuerdo a la región definida.
3. Proporciona ejemplos numéricos para calcular volúmenes utilizando la fórmula de la integral triple.
Este documento presenta fórmulas y conceptos relacionados con cálculo vectorial, incluyendo normas y vectores unitarios de vectores, productos escalares y vectoriales, ángulos y componentes de vectores, derivadas parciales, gradientes, reglas de la cadena, coordenadas cilíndricas y esféricas, cambio de variables, curvatura de curvas y superficies. El documento proporciona detalles matemáticos sobre estas ideas fundamentales del cálculo vectorial.
Este documento trata sobre la derivada de una función dada paramétricamente. Explica que una función paramétrica representa una curva a través de dos ecuaciones que dependen de una tercera variable común llamada parámetro. También describe cómo calcular la derivada de una función paramétrica usando la regla de la cadena, la cual relaciona la derivada de y con respecto a t con las derivadas parciales de x e y.
Este documento describe el cálculo de integrales dobles. Explica que una integral doble integra una función de dos variables sobre una región del plano, manteniendo una variable fija e integrando respecto a la otra. También cubre temas como los límites de integración, el teorema de Fubini y el uso del determinante jacobiano para realizar cambios de variable en integrales dobles.
Este documento resume los subtemas de la unidad 2 de cálculo vectorial sobre curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares. Explica conceptos como ecuaciones paramétricas de curvas planas, derivadas de curvas paramétricas, tangentes a curvas, área y longitud de arco bajo curvas, y graficación de curvas en coordenadas polares. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos de cada subtema.
El documento explica cómo calcular el área de un triángulo usando determinantes. Primero se divide el triángulo en tres trapecios y se calcula el área de cada uno. Luego, el área total del triángulo es igual a la suma de las áreas de dos trapecios menos el área del tercer trapecio. Esto lleva a la fórmula del área de un triángulo como la mitad del valor absoluto del determinante formado por las coordenadas de los vértices.
Este documento describe el sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales, incluyendo cómo localizar puntos en el espacio tridimensional utilizando coordenadas (x, y, z) y calcular distancias entre puntos. También explica cómo representar y calcular vectores en tres dimensiones usando ternas ordenadas y sus componentes.
(1) El documento describe las funciones complejas de variable real, sus derivadas e integrales. Las reglas del cálculo son análogas a las funciones reales.
(2) También define curvas y contornos en el plano complejo y establece la integral de contorno como la integral de una función a lo largo de una curva.
(3) Explica que las integrales de contorno son independientes del camino cuando la función tiene una primitiva en el dominio, es decir, cuando la integral a lo largo de cualquier contorno cerrado es cero.
La derivada direccional de una función de varias variables representa la tasa de cambio de la función en una dirección dada. Se define como el límite de la variación de la función dividida por el cambio en la dirección. El gradiente de una función es un vector que apunta en la dirección de mayor aumento y su magnitud es igual a la derivada direccional máxima.
El documento explica los conceptos básicos de las integrales triples. Introduce la definición formal de la integral triple como el límite de la suma de productos de volúmenes elementales y valores de la función cuando la partición tiende a cero. También describe cómo calcular integrales triples mediante el uso de coordenadas cilíndricas y esféricas, y algunas aplicaciones como el cálculo de volumen, masa y centro de masa.
Unidad 4 funciones reales de varias variablesTezca8723
Este documento presenta conceptos sobre funciones de varias variables, incluyendo: (1) la definición de funciones de dos o más variables, (2) cómo graficar funciones de varias variables usando ejes x, y, z, (3) curvas y superficies de nivel que representan conjuntos de puntos con valores constantes de la función, y (4) ejemplos de funciones de varias variables comunes y cómo graficarlas.
Este documento explica la serie trigonométrica de Fourier, la cual expresa funciones periódicas como una suma infinita de funciones seno y coseno. Explica que las funciones seno y coseno son ortogonales, y cómo calcular los coeficientes de la serie usando esta propiedad de ortogonalidad. También incluye un ejemplo numérico de cómo reconstruir una señal cuadrada usando su serie de Fourier truncada.
Parte teórica y práctica del Tema 2.4: Área y Longitud de Arco, contenido perteneciente a la Unidad 2: Curvas Planas, Ecuaciones Parametricas y Coordenadas Polares.
Este documento presenta las aplicaciones de las integrales dobles en el cálculo de áreas, volúmenes, masas, momentos estáticos e inertias de regiones planas y sólidos. Explica que las integrales dobles permiten calcular estas cantidades para figuras más complejas que se acercan más a la realidad, como regiones delimitadas por más de una curva o con densidades variables. Además, concluye que las integrales dobles son una herramienta fundamental en física y geometría para analizar sistemas bidimensionales y tridimensionales de man
Este documento presenta información sobre integración. Explica conceptos como la integral de línea, integrales iteradas dobles y triples, y aplicaciones como el cálculo de áreas y volúmenes. También cubre temas como la descomposición y composición de vectores, y el uso de coordenadas polares para calcular integrales dobles.
1) El documento describe el cálculo del volumen de sólidos de revolución mediante el método del disco. 2) Explica cómo determinar el volumen sumando los volúmenes de cilindros circulares rectos de corta altura (discos) que forman el sólido al girar una región plana alrededor de un eje. 3) También cubre cómo calcular el volumen cuando la región gira alrededor de un eje paralelo al eje x pero distinto, así como el cálculo para sólidos huecos.
Este documento presenta diferentes métodos para la derivación e integración numérica. Explica cómo calcular la primera y segunda derivada de una función utilizando aproximaciones de diferencias finitas con 2 y 3 puntos. También describe cómo aplicar la extrapolación de Richardson para mejorar la precisión de los cálculos de derivadas numéricas. Finalmente, introduce un método para calcular derivadas en puntos no equiespaciados usando interpolación polinómica.
Este documento presenta información sobre los máximos y mínimos de funciones de varias variables. Define los conceptos de máximo y mínimo absoluto y relativo. Explica que los puntos donde una función puede tener extremos son aquellos donde sus derivadas parciales son cero, llamados puntos críticos. Además, introduce conceptos como la matriz hessiana y el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar máximos y mínimos.
Este documento explica las derivadas parciales de una función de dos variables. Define las derivadas parciales de primer orden f_x y f_y y cómo se calculan. También cubre derivadas parciales de orden superior, notación, igualdad de derivadas parciales cruzadas, y la interpretación geométrica de las derivadas parciales como pendientes.
Aplicaciones de calculo de integrales dobles y tripleswalterabel03
2
0
2
∫
−2 x + 20
4x
2
dydx
x) dx + ∫ (20 − 2x) dx = 36
Este documento presenta aplicaciones de las integrales múltiples, incluyendo el cálculo del área de figuras planas mediante integrales dobles. Se explica que el área de una región D se obtiene como la integral doble de la función constante 1 sobre D. Además, se resuelven dos ejemplos de cálculo de áreas de regiones mediante integrales dob
Problemas resueltos integrales dobles y triplesortari2014
Este documento presenta 30 problemas resueltos y 30 problemas propuestos sobre integración múltiple. La primera parte explica métodos y soluciones de problemas tipo sobre este tema, mientras que la segunda parte incluye problemas para que el lector pruebe sus conocimientos y algunas soluciones. El documento está dirigido a estudiantes de cálculo en varias variables pero puede ser útil para cualquier persona interesada en el tema.
Este documento trata sobre integrales de línea o de contorno en el plano complejo. Explica cómo calcular estas integrales parametrizando el camino con una función compleja y evaluando la integral resultante. También describe propiedades básicas como que el valor de la integral depende del sentido de recorrido del camino.
El documento explica el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual establece que la derivación e integración son operaciones inversas. Específicamente, dice que para toda función continua integrable, la derivada de su integral es igual a la función original. También introduce conceptos como la integral definida, la suma de Riemann y el límite de la suma como definición de la integral.
El documento explica cómo calcular el área de una región plana limitada por una curva mediante las sumas inferior y superior. La suma inferior usa la altura máxima en cada subintervalo y subestimará el área, mientras que la suma superior usa la altura mínima y la sobreestimará. Ambas sumas convergen al área real cuando los subintervalos son más pequeños, lo que lleva al concepto de integral definida.
Este documento describe el cálculo de integrales dobles. Explica que una integral doble integra una función de dos variables sobre una región del plano, manteniendo una variable fija e integrando respecto a la otra. También cubre temas como los límites de integración, el teorema de Fubini y el uso del determinante jacobiano para realizar cambios de variable en integrales dobles.
Este documento resume los subtemas de la unidad 2 de cálculo vectorial sobre curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares. Explica conceptos como ecuaciones paramétricas de curvas planas, derivadas de curvas paramétricas, tangentes a curvas, área y longitud de arco bajo curvas, y graficación de curvas en coordenadas polares. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos de cada subtema.
El documento explica cómo calcular el área de un triángulo usando determinantes. Primero se divide el triángulo en tres trapecios y se calcula el área de cada uno. Luego, el área total del triángulo es igual a la suma de las áreas de dos trapecios menos el área del tercer trapecio. Esto lleva a la fórmula del área de un triángulo como la mitad del valor absoluto del determinante formado por las coordenadas de los vértices.
Este documento describe el sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales, incluyendo cómo localizar puntos en el espacio tridimensional utilizando coordenadas (x, y, z) y calcular distancias entre puntos. También explica cómo representar y calcular vectores en tres dimensiones usando ternas ordenadas y sus componentes.
(1) El documento describe las funciones complejas de variable real, sus derivadas e integrales. Las reglas del cálculo son análogas a las funciones reales.
(2) También define curvas y contornos en el plano complejo y establece la integral de contorno como la integral de una función a lo largo de una curva.
(3) Explica que las integrales de contorno son independientes del camino cuando la función tiene una primitiva en el dominio, es decir, cuando la integral a lo largo de cualquier contorno cerrado es cero.
La derivada direccional de una función de varias variables representa la tasa de cambio de la función en una dirección dada. Se define como el límite de la variación de la función dividida por el cambio en la dirección. El gradiente de una función es un vector que apunta en la dirección de mayor aumento y su magnitud es igual a la derivada direccional máxima.
El documento explica los conceptos básicos de las integrales triples. Introduce la definición formal de la integral triple como el límite de la suma de productos de volúmenes elementales y valores de la función cuando la partición tiende a cero. También describe cómo calcular integrales triples mediante el uso de coordenadas cilíndricas y esféricas, y algunas aplicaciones como el cálculo de volumen, masa y centro de masa.
Unidad 4 funciones reales de varias variablesTezca8723
Este documento presenta conceptos sobre funciones de varias variables, incluyendo: (1) la definición de funciones de dos o más variables, (2) cómo graficar funciones de varias variables usando ejes x, y, z, (3) curvas y superficies de nivel que representan conjuntos de puntos con valores constantes de la función, y (4) ejemplos de funciones de varias variables comunes y cómo graficarlas.
Este documento explica la serie trigonométrica de Fourier, la cual expresa funciones periódicas como una suma infinita de funciones seno y coseno. Explica que las funciones seno y coseno son ortogonales, y cómo calcular los coeficientes de la serie usando esta propiedad de ortogonalidad. También incluye un ejemplo numérico de cómo reconstruir una señal cuadrada usando su serie de Fourier truncada.
Parte teórica y práctica del Tema 2.4: Área y Longitud de Arco, contenido perteneciente a la Unidad 2: Curvas Planas, Ecuaciones Parametricas y Coordenadas Polares.
Este documento presenta las aplicaciones de las integrales dobles en el cálculo de áreas, volúmenes, masas, momentos estáticos e inertias de regiones planas y sólidos. Explica que las integrales dobles permiten calcular estas cantidades para figuras más complejas que se acercan más a la realidad, como regiones delimitadas por más de una curva o con densidades variables. Además, concluye que las integrales dobles son una herramienta fundamental en física y geometría para analizar sistemas bidimensionales y tridimensionales de man
Este documento presenta información sobre integración. Explica conceptos como la integral de línea, integrales iteradas dobles y triples, y aplicaciones como el cálculo de áreas y volúmenes. También cubre temas como la descomposición y composición de vectores, y el uso de coordenadas polares para calcular integrales dobles.
1) El documento describe el cálculo del volumen de sólidos de revolución mediante el método del disco. 2) Explica cómo determinar el volumen sumando los volúmenes de cilindros circulares rectos de corta altura (discos) que forman el sólido al girar una región plana alrededor de un eje. 3) También cubre cómo calcular el volumen cuando la región gira alrededor de un eje paralelo al eje x pero distinto, así como el cálculo para sólidos huecos.
Este documento presenta diferentes métodos para la derivación e integración numérica. Explica cómo calcular la primera y segunda derivada de una función utilizando aproximaciones de diferencias finitas con 2 y 3 puntos. También describe cómo aplicar la extrapolación de Richardson para mejorar la precisión de los cálculos de derivadas numéricas. Finalmente, introduce un método para calcular derivadas en puntos no equiespaciados usando interpolación polinómica.
Este documento presenta información sobre los máximos y mínimos de funciones de varias variables. Define los conceptos de máximo y mínimo absoluto y relativo. Explica que los puntos donde una función puede tener extremos son aquellos donde sus derivadas parciales son cero, llamados puntos críticos. Además, introduce conceptos como la matriz hessiana y el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar máximos y mínimos.
Este documento explica las derivadas parciales de una función de dos variables. Define las derivadas parciales de primer orden f_x y f_y y cómo se calculan. También cubre derivadas parciales de orden superior, notación, igualdad de derivadas parciales cruzadas, y la interpretación geométrica de las derivadas parciales como pendientes.
Aplicaciones de calculo de integrales dobles y tripleswalterabel03
2
0
2
∫
−2 x + 20
4x
2
dydx
x) dx + ∫ (20 − 2x) dx = 36
Este documento presenta aplicaciones de las integrales múltiples, incluyendo el cálculo del área de figuras planas mediante integrales dobles. Se explica que el área de una región D se obtiene como la integral doble de la función constante 1 sobre D. Además, se resuelven dos ejemplos de cálculo de áreas de regiones mediante integrales dob
Problemas resueltos integrales dobles y triplesortari2014
Este documento presenta 30 problemas resueltos y 30 problemas propuestos sobre integración múltiple. La primera parte explica métodos y soluciones de problemas tipo sobre este tema, mientras que la segunda parte incluye problemas para que el lector pruebe sus conocimientos y algunas soluciones. El documento está dirigido a estudiantes de cálculo en varias variables pero puede ser útil para cualquier persona interesada en el tema.
Este documento trata sobre integrales de línea o de contorno en el plano complejo. Explica cómo calcular estas integrales parametrizando el camino con una función compleja y evaluando la integral resultante. También describe propiedades básicas como que el valor de la integral depende del sentido de recorrido del camino.
El documento explica el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual establece que la derivación e integración son operaciones inversas. Específicamente, dice que para toda función continua integrable, la derivada de su integral es igual a la función original. También introduce conceptos como la integral definida, la suma de Riemann y el límite de la suma como definición de la integral.
El documento explica cómo calcular el área de una región plana limitada por una curva mediante las sumas inferior y superior. La suma inferior usa la altura máxima en cada subintervalo y subestimará el área, mientras que la suma superior usa la altura mínima y la sobreestimará. Ambas sumas convergen al área real cuando los subintervalos son más pequeños, lo que lleva al concepto de integral definida.
El documento trata sobre las integrales definidas. Explica que una integral definida representa el área delimitada entre la gráfica de una función, el eje x y las líneas verticales x=a y x=b. Define los elementos de una integral definida como la función a integrar f(x), los límites a y b, y la variable de integración dx. Además, menciona que una integral definida representa el límite de la suma de Riemann de una función.
El documento explica conceptos fundamentales de cálculo integral, incluyendo el cálculo de áreas limitadas por funciones, la interpretación geométrica de la integral como cálculo de área, y técnicas para calcular volúmenes y longitudes generados por la revolución de funciones.
El documento describe los conceptos fundamentales de las sumas de Riemann. Explica que las sumas de Riemann permiten calcular el área bajo una curva dividiendo el intervalo en subintervalos y sumando el área de los rectángulos formados. También define formalmente las sumas de Riemann y explica que al aumentar el número de subintervalos, las sumas superior e inferior convergen al valor real del área.
El documento describe cómo calcular el área de una región plana limitada por una curva mediante la suma inferior y superior de Riemann. La suma inferior aproxima el área usando rectángulos con altura igual al valor mínimo de la función, mientras que la suma superior usa el valor máximo. Ambas sumas convergen al área real cuando los intervalos son más pequeños.
Este documento explica conceptos clave sobre el cálculo de integrales definidas, incluyendo:
1) La definición de integral definida para funciones escalonadas como la suma de áreas de rectángulos.
2) La definición general de integral definida para funciones acotadas usando particiones.
3) El teorema fundamental del cálculo que relaciona la derivación e integración.
Este documento trata sobre las coordenadas polares y su uso para graficar funciones y calcular áreas. Explica que las coordenadas polares usan un ángulo y una distancia para especificar cada punto, en lugar de coordenadas x e y. Luego describe cómo graficar funciones dadas en forma polar y calcular el área de una región delimitada por funciones polares, usando la integral definida.
Este documento explica el concepto de integral definida y sus propiedades. Introduce la integral definida como el límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Explica cómo la integral definida puede usarse para calcular áreas delimitadas por curvas y líneas rectas. También resume métodos como las reglas del trapecio y Simpson para aproximar valores de integrales definidas.
Trabajo de Matematica II Universidad Fermin Toro UFTvarsz
La notación sigma indica la suma de una serie de términos algebraicos entre un intervalo especificado por los índices inferior y superior. Se representa mediante la letra griega sigma con los índices debajo y arriba, y la expresión dentro del símbolo contiene la variable de la suma. Las propiedades de la sumatoria incluyen once propiedades demostradas mediante inducción completa.
Este documento presenta un resumen de conceptos clave sobre cálculo integral. Explica que las integrales se desarrollaron originalmente para calcular áreas bajo curvas. Define la integral definida como un límite de suma que representa un número, y la integral indefinida como el conjunto de primitivas de una función. También establece el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual vincula la derivada de una función área con la función original. Finalmente, aplica estas ideas para calcular el área de una región delimitada por una curva y una recta tangente.
Este documento explica el concepto de integral definida y sus propiedades. Introduce la integral definida como el límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Explica que la integral definida puede usarse para calcular áreas delimitadas por curvas y rectas. Además, presenta métodos como el de trapecios y Simpson para aproximar el valor de integrales definidas.
Este documento introduce el concepto de integral definida y describe su aplicación para calcular áreas bajo curvas. Explica que la integral definida surge del límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito. También describe métodos como las reglas del trapecio y Simpson para aproximar el valor de una integral definida.
Este documento explica el concepto de integral definida y sus propiedades. Introduce la integral definida como el límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Explica cómo la integral definida puede usarse para calcular áreas delimitadas por curvas y líneas rectas. También resume métodos como las reglas del trapecio y Simpson para aproximar valores de integrales definidas.
Este documento explica los conceptos de integrales dobles y sus propiedades. Una integral doble consiste en realizar dos integrales simultáneas, primero en función de x considerando y como constante, y luego en función de y. Las integrales dobles pueden realizarse sobre rectángulos u otras regiones y cumplen propiedades como linealidad y monotonía. También se explican integrales dobles en coordenadas polares.
1) El documento describe los conceptos básicos del cálculo integral, incluyendo las sumas de Riemann superior e inferior, las integrales de Riemann superior e inferior, y las condiciones para que una función sea Riemann-integrable. 2) También presenta el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual relaciona el cálculo integral y diferencial. 3) Finalmente, introduce la Regla de Barrow para evaluar la integral definida de una función a partir de una primitiva.
Este documento explica el concepto de integral definida y su cálculo. Introduce la noción de integral de Riemann como el límite de sumas de áreas de rectángulos en particiones cada vez más finas de un intervalo. Explica cómo usar la regla de Barrow para calcular integrales definidas mediante el cálculo de primitivas. Finalmente, presenta algunas aplicaciones como calcular el área bajo una curva.
Este documento explica el símbolo de la sumatoria y sus elementos. La sumatoria permite representar sumas de múltiples sumandos y se expresa como la suma desde un límite inferior m hasta un límite superior n de un valor x sub-i. Se usa para calcular áreas mediante la suma inferior y superior, que aproximan el área total dividiendo un intervalo en subintervalos. La integral definida establece el límite de la suma de Riemann para representar el área bajo una curva.
Este documento describe el símbolo de la sumatoria y sus propiedades. La sumatoria permite representar sumas de múltiples sumandos y se define como la suma desde un límite inferior m hasta un límite superior n de un valor x sub-i. Debe cumplirse que m sea menor o igual que n. El documento también explica cómo usar la sumatoria y la integral definida para calcular el área bajo una curva.
Este documento describe el símbolo de la sumatoria y sus elementos. La sumatoria permite representar sumas de múltiples sumandos y se expresa como la suma desde un límite inferior m hasta un límite superior n de un valor x sub-i. Se usa para calcular áreas mediante la suma de áreas de rectángulos inscritos y circunscritos en una región delimitada por una curva y los ejes x. El límite de la suma de Riemann cuando los subintervalos tienden a cero es igual a la integral definida de la función sobre el intervalo.
Similar a Integrales dobles en coordenadas polares (20)
LINEA DE TIEMPO Y PERIODO INTERTESTAMENTARIOAaronPleitez
linea de tiempo del antiguo testamento donde se detalla la cronología de todos los eventos, personas, sucesos, etc. Además se incluye una parte del periodo intertestamentario en orden cronológico donde se detalla todo lo que sucede en los 400 años del periodo del silencio. Basicamente es un resumen de todos los sucesos desde Abraham hasta Cristo
El Observatorio ciudadano Irapuato ¿Cómo vamos?, presenta el
Reporte hemerográfico al mes de mayo de 2024
Este reporte contiene información registrada por Irapuato ¿cómo vamos? analizando los medios de comunicación tanto impresos como digitales y algunas fuentes de información como la Secretaría de Seguridad ciudadana.
Este documento ha sido elaborado por el Observatorio Ciudadano de Seguridad Justicia y Legalidad de Irapuato siendo nuestro propósito conocer datos sociodemográficos en conjunto con información de incidencia delictiva de las 10 colonias y/o comunidades que del año 2020 a la fecha han tenido mayor incidencia.
Existen muchas más colonias que presentan cifras y datos en materia de seguridad, sin embargo, en este primer acercamiento lo que se prevées darle al lector una idea de como se encuentran las colonias analizadas, tomando como referencia los datos del INEGI 2020, datos del Secretariado Ejecutivo del Sistema Nacional de Seguridad Pública del 2020 al 2023 y las bases de datos propias que desde el 2017 el Observatorio Ciudadano ha recopilado de manera puntual con datos de las vıć timas de homicidio doloso, accidentes de tránsito, personas lesionadas por arma de fuego, entre otros indicadores.
1. Integrales dobles
Z b a Z g2(x) g1(x) f(x, y) dydx ó Z d c Z h2(y) h1(y) f(x, y) dxdy
Los límites interiores de integración pueden ser variables respecto a la variable
exterior de integración, pero los límites exteriores de integración han de ser
constantes con respecto a las dos variables de integración.
Una vez realizada la primera integración, se llega a una integral definida ordinaria
y al integrar por segunda vez se obtiene un número real. Los límites de integración
determinan la región de integración. Integrales dobles El concepto de integral
doble Consideramos una función continua
f tal que f(x, y) ≥ 0 ∀(x, y) ∈ dom(f)
Deseamos hallar el volumen de la región sólida comprendida entre la superficie
z = f(x, y) y el plano XY.
Suponemos que la función f está definida sobre un rectángulo cerrado
R = [a, b] × [c, d] = n (x, y) ∈ R 2 /a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d
o Tomamos una partición P de R en subrectángulos que obtenemos realizando el
producto cartesiano de una partición de [a, b] por una de [c, d]:
a = x0 < x1 < · · · < xi−1 < xi < · · · < xm = b c = y0 < y1 < · · · < yj−1 < yj < · · · <
yn = d
P = [xi−1, xi ] × [yj−1, yj ], i = 1, · · · , m, j = 1, · · · , n
Denotamos por ∆xi = xi − xi−1, ∆yj = yj − yj−1
Área de cada subrectángulo Rij = [xi−1, xi ] × [yj−1, yj ]: Aij = ∆xi∆yj
Llamamos mij = mín f(x, y),(x, y) ∈ Rij Mij = máx f(x, y),(x, y) ∈ Rij
Consideramos los prismas que tienen por base un rectángulo de la partición y por
altura o el mínimo o el máximo de f sobre ese rectángulo: V =área de la base ·
altura
Se llama suma inferior de Riemann de f en P a L(f ,P) = s(f ,P) = X 1≤i≤m,1≤j≤n
mij Aij .
Se llama suma superior de Riemann de f en P a U(f ,P) = S(f ,P) = X 1≤i≤m,1≤j≤n
Mij Aij Si se consideran particiones más finas la aproximaciones mejoran. Se
cumple: L(f ,P) ≤ U(f , Q) siendo P, Q dos particiones de R. Si se refina la partición,
las sumas inferior y superior se aproximan. Integrales dobles Definición de integral
doble .
2. Se llama integral inferior de Riemann de f en R a Z R f = sup {L(f ,P),P ∈ P(R)}
DEF. Se llama integral superior de Riemann de f en R a Z R f = ínf {U(f ,P),P ∈
P(R)} DEF. Diremos que f es integrable sobre R si coinciden sus integrales
superior e inferior. A ese valor lo llamamos integral de f y lo representamos por: Z
R f = Z Z R f dx dy Integrales dobles Propiedades de integral doble Teorema. Sea
R un rectángulo de R 2 y f : R → R una función. Si f es continua en R salvo, a lo
sumo, en los puntos que forman una unión finita de líneas, f es integrable. Sea A
una región plana acotada y f : A → R. Por ser A acotada, existe un rectángulo R
que la encierra. Se puede construir la función: F(x, y) = f(x, y) si (x, y) ∈ A 0 si (x,
y) ∈ R − A Si F es integrable sobre R, entonces f es integrable sobre A. Z Z a f = Z
Z R F
Se dice que A ⊂ R 2 es una región regular en la dirección del eje Y si
A = n (x, y) ∈ R 2 /a ≤ x ≤ b,ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x) o donde ϕ1,ϕ2 son continuas y ϕ1 ≤
ϕ2 en [a, b].
A es una región regular en la dirección del eje X si A = n (x, y) ∈ R 2 /c ≤ y ≤
d,ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y) o donde ψ1,ψ2 son continuas y ψ1 ≤ ψ2 en [c, d]. Si A es una
región regular en la dirección de ambos ejes se dice que es regular.
Cálculo de áreas planas
Te recuerdo que si es una función continua, representamos
por la región del plano comprendida entre la curva , el eje de
abscisas y las rectas , . Como sabes, el área de dicha región viene dada
por (no suponemos que sea positiva). Es interesante
interpretar la integral que proporciona el área de la siguiente forma. Observa
que es la longitud del segmento intersección de con la recta
vertical que pasa por , es decir, es la longitud de la sección
vertical de por el punto , y el área de la región es igual a la
integral de las longitudes de sus secciones. Intuitivamente: integrando longitudes
obtenemos áreas. Como el área es invariante por rotaciones, este resultado es
también válido si consideramos secciones por rectas paralelas a una recta
cualquiera dada. Deducimos así el siguiente resultado.
Principio de Cavalieri. El área de una región plana es igual a la integral de las
longitudes de sus secciones por rectas paralelas a una recta dada.
Veamos cómo se aplica este principio en algunos casos concretos.
Área entre dos curvas
Regiones de tipo I
3. Supongamos que son funciones continuas y llamemos Ω a la
región del plano comprendida entre las curvas e para . Se
dice que Ω es una región de tipo I. Puedes representar gráficamente dicha región
con la orden "tipo1[{f,g},{x,a,b},opts]" (que admite opciones como "Plot").
Experimenta con distintas funciones. Aquí tienes unos ejemplos.
Es evidente que las longitudes de las secciones verticales de Ω son iguales
a por lo que su área viene dada por . Observa que
esta integral expresa el área de Ω como límite de las sumas de
Riemann , lo que tiene una sencilla interpretación que
puedes visualizar con la orden "tipo1sup[{f,g},{x,a,b,n},opts]" (admite opciones
como "Plot") que representa aproximaciones superiores al área de Ω
dividiendo en subintervalos y eligiendo en cada uno de ellos el
punto en el que la función alcanza su máximo absoluto en dicho
subintervalo. Significado análogo tiene el comando "tipo1inf[{f,g},{x,a,b,n},opts]".
Prueba con distintas funciones. Los siguientes ejemplos son ilustrativos.
4. En la práctica, es frecuente describir una región de tipo I como "la región
comprendida entre las curvas e " sin precisar el intervalo de la
variable . En estos casos, se entiende que se trata de la región
acotadacomprendidad entre las dos gráficas; la cual debe determinarse calculando
los puntos de intersección de las mismas, es decir, resolviendo la
ecuación lo que también nos proporciona los límites de integración y .
Cuando la función no tiene signo constante en el intervalo , para calcular
la integral se descompone dicho intervalo en intervalos en los que
la función es siempre positiva o siempre negativa, lo que permite quitar el
valor absoluto en el integrando.
A veces interesa expresar una región de tipo I como unión de dos o más regiones
de tipo I disjuntas y más sencillas, entonces su área es la suma de las áreas de
cada una de dichas regiones.
Ejemplo 1
Calcular el área de la region Ω comprendida entre la parábola y la
recta .
Calculamos primero las intersecciones de la parábola con la recta lo que nos
proporcionará los límites de integración.
Representaremos ahora la región Ω. Puedes usar para ello la orden "Plot" o mejor,
si conoces los límites de integración, el comando "FilledPlot".
5. Es claro que para la parábola está por encima de la recta.
Por tanto, el área de Ω viene dada por
Regiones de tipo II
Supongamos que son funciones continuas y llamemos Ω a la
región del plano comprendida entre las curvas y para . Se
dice que Ω es una región de tipo II. Puedes representar gráficamente una región
de tipo II con la orden "tipo2[{f,g},{y,a,b},opts]" (que admite opciones como
"Show"). Experimenta con distintas funciones. Observa que las regiones de tipo II
son las simétricas de las regiones de tipo I respecto de la recta . Es decir, una
región de tipo II es una región de tipo I vista desde el eje de ordenadas. Aquí
tienes unos ejemplos.
Es evidente que las longitudes de las secciones horizontales de Ω son iguales
a por lo que su área viene dada por . Observa que
esta integral expresa el área de Ω como límite de las sumas de
Riemann , lo que tiene una sencilla interpretación que
puedes visualizar con la orden "tipo2sup[{f,g},{y,a,b,n},opts]" (admite opciones
como "Show") que representa aproximaciones superiores al área de Ω dividiendo
el intervalo del eje de ordenadas en subintervalos y eligiendo en
cada uno de ellos el punto en el que la función alcanza su
máximo absoluto en dicho subintervalo. Significado análogo tiene el comando
"tipo1inf[{f,g},{y,a,b,n},opts]". Prueba con distintas funciones. Los siguientes
ejemplos son ilustrativos.
6. Es importante advertir que la distinción entre regiones de tipo I y de tipo II es tan
sólo una cuestión de conveniencia. No son conjuntos de distinta naturaleza sino
formas distintas de describir un conjunto. En la prática te vas a encontrar siempre
con regiones que puedes considerar tanto de tipo I como de tipo II y deberás elegir
la descripción que más facilite el cálculo de la correspondiente integral. De todas
formas, no debes olvidar que basta cambiar la variable por la variable para
convertir una región de tipo II en otra de tipo I; por tanto, si en un ejercicio resulta
conveniente considerar la región cuya área quieres calcular como una región de
tipo II y te encuentras más cómodo trabajando con regiones de tipo I, ya sabes lo
que tienes que hacer.
Integrales dobles en coordenadas polares
integrales dobles las cuales se van a evaluar en regiones circulares o regiones
comprendidas entre dos círculos o una parte de estos círculos.
Cuando se calcula una integral doble:
∬R f dA
sí deseas expresar la función f y los límites de integración de la región R en
coordenadas polares (r,θ), la forma de desarrollar el pequeño pedazo de área es
dA=rdθdr
(Presta atención al hecho de que la variable r es parte de esta expresión).
Más allá de esta única regla, trabajar con estas integrales dobles implica en mayor
medida cuidar que los límites de integración describan apropiadamente la
región R.
Integrar por medio de coordenadas polares es útil siempre que tu función o tu
región cuenten con alguna clase de simetría radial. Por ejemplo, las coordenadas
7. polares son adecuadas para integrar sobre discos o para integrar funciones que
incluyen la expresión x^2 + y^2.
Ejemplo:
Supongamos que tenemos una función multivariable definida en las coordenadas
polares r y θ
f(r,θ) = r^2
Y digamos que queremos encontrar la integral doble de esta función en la región
donde
r ≤2
Este es un disco de radio 2, centrado en el origen.
Escrita de forma abstracta, así es como podría verse la integral:
∬r≤2r2dA
Podrías interpretarla como el volumen bajo un paraboloide (el análogo
tridimensional de una parábola), como se muestra a continuación:
8. La pregunta es, ¿qué hacer con el término dA?
Recuerda lo que hace la integral doble: corta la región que queremos integrar en
pedacitos, y dA representa el área de cada uno de estos pedacitos. Por ejemplo,
cortar nuestro disco de radio 2 podría verse así:
9. ¿Por qué escogí cortarlo en un patrón de telaraña, en vez de usar rectas verticales
y horizontales? Puesto que estamos en coordenadas polares, será más sencillo
pensar en los pedacitos si sus fronteras están dadas por valores constantes de r o
valores constantes de θ.
Concentrémonos en uno de estos pedacitos:
Aún cuando este pedacito está curvado, si hacemos cortes más y más pequeños,
básicamente podemos tratarlo como un rectángulo. Podemos pensar la longitud
de un lado de este "rectángulo" como dr,, un pequeño cambio en la coordenada r.
10. Usar la diferencial dr para describir esta longitud enfatiza el hecho de que no
estamos considerando un pedacito específico, sino que lo que nos importa es qué
pasa conforme su tamaño se aproxima a 0.
¿Pero qué tan largo es el otro lado?
No es dθ un pequeño cambio en el ángulo, pues los radianes no son unidades de
longitud. Para transformar los radianes en segmentos de longitud de arco,
debemos multiplicarlos por r.
11. Por lo tanto, si tratamos este pequeño pedazo como un rectángulo, y dado que el
pedacito básicamente es un rectángulo conforme dr y dθ se aproximan a 0 su área
es:
dA=(rdθ)(dr)
Al sustituir este resultado en nuestra integral original, obtenemos
∬r≤2r2dA=∬r≤2r2(rdθ)(dr)=∬r≤2r3dθdr
Colocar límites en esta región es relativamente sencillo en este ejemplo, pues las
coordenadas polares describen los círculos de forma natural. Ya que
escribimos dθ antes de dr la integral interior es con respecto a θ Los límites de
integración de esta integral reflejarán el rango completo de θ conforme recorre una
vez el círculo mientras va de 0 a 2π . La integral exterior es con respecto a r que
va de 0 a 2.
Ejemplo: evalúa esta integral doble.