El documento describe los pasos para calcular el volumen de un sólido cerrado definido por dos superficies. Primero se determinan los límites de integración en x e y resolviendo la intersección de las ecuaciones de las superficies. Luego se analizan gráficamente los límites en z. Finalmente, se escribe la integral triple que permite calcular el volumen, integrando entre los límites encontrados.

1. Consigna: Plantear la integral que permite calcular el
volumen del sólido cerrado por…
𝑧 = 4 − 𝑦2
𝑦 𝑧 = 3𝑥2
+ 𝑦2

2. Extremos de Integración de Y
• Intersección entre las dos superficies:
4 − 𝑦2
= 3𝑥2
+ 𝑦2
2𝑦2
= 4 − 3𝑥2
𝑦 = + 2 −
3
2
𝑥2 ∨ 𝑦 = − 2 −
3
2
𝑥2

3. Extremos de Integración de X
• Reemplazar la variable y por cero:
𝑦 = + 2 −
3
2
𝑥2
0 = + 2 −
3
2
𝑥2
+
2
3
3 = 𝑥
𝑦 = − 2 −
3
2
𝑥2
0 = − 2 −
3
2
𝑥2
−
2
3
3 = 𝑥
∨

4. Extremos de Integración de Z
• Analizar techo y piso gráficamente:
Si trazamos un rayo desde el origen podemos interpretar que función
cumplirá el rol de piso y cual de techo en los extremos de integración

5. Extremos de Integración
• Resumen:
Obtuvimos los extremos de integración que serían…
−
2
3
3 ≤ 𝑥 ≤ +
2
3
3; − 2 −
3
2
𝑥2 ≤ 𝑦 ≤ + 2 −
3
2
𝑥2; 3𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 4 − 𝑦2

6. Volumen
• Para poder calcular el volumen, debemos interpretar a 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1:
𝑉 =
−
2
3 3
2
3 3
− 2−
3
2𝑥2
2−
3
2𝑥2
3𝑥2+𝑦2
4−𝑦2
𝑑z 𝑑y 𝑑x