El área de la región limitada por las funciones y = x^3 - 3x + 2 y y = x + 2 entre x = 0 y x = 2 es 8 unidades cuadradas. El volumen del sólido de revolución generado al rotar esta región alrededor del eje x es 53.62 unidades cúbicas.

1. Encuentre el área de la región limitada por las gráficas de 23)( 3
 xxxf y
.2)(  xxg Elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio y considere
el área en unidades cuadradas
Para hallar el area se realiza una integral de la funcion superior menos la funcion inferior y
se evalua en los puntos (0,-2) y (0,2)
∫ (𝑥30
−2
− 3𝑥 + 2) − (𝑥 + 2) + ∫ (𝑥 + 2
2
0
) − (𝑥3
+ 3𝑥 + 2)
∫ 𝑥3
− 4𝑥 + ∫ (−𝑥3
+ 4𝑥)
2
0
0
−2
se procede a integrar
∫
𝑥4
4
−
4𝑥2
2
+ ∫−
𝑥4
4
+
4𝑥2
2

2. Se evalúan la primer integral en 0 y en -2, y la segunda en 2 y 0
04
4
−
4(0)2
2
− [
(−2)4
4
−
4(−2)2
2
] + [
(2)4
4
−
4(2)2
2
] −
04
4
−
4(0)2
2
−
16
4
+
16
2
−
16
4
+
16
2
−4 + 8 − 4 + 8
8 𝑈2
El área de la región limitada por las gráficas de 23)( 3
 xxxf y
.2)(  xxg es de 8 𝑈2
Determine el volumen del sólido de revolución al rotar la región encerrada por la función
2
4)( xxf  entre x = 0 y x = 2, alrededor del eje x. Elabore la respectiva gráfica y
considere el volumen en unidades cúbicas

3. Para hallar el volumen de un sólido de revolución se utiliza la siguiente formula
𝑣 = 𝞹 ∫ 𝒇(𝒙) 𝟐
𝒅𝒙
Se reemplaza la formula
𝑣 = 𝞹 ∫(𝟒 − 𝒙 𝟐
) 𝟐
𝒅𝒙
𝑣 = 𝞹∫ 𝟏𝟔 − 𝟖𝒙 𝟐
+ 𝒙 𝟒
𝒅𝒙
𝑣 = 𝞹∫ 𝟏𝟔𝒙 −
𝟖𝒙 𝟑
𝟑
+
𝒙 𝟓
𝟓
+ 𝒄
Se evalua la ecuación solo en 2 ya que en 0 el resultado es 0
𝑣 = 𝞹[𝟏𝟔(𝟐) −
𝟖(𝟐) 𝟑
𝟑
+
(𝟐) 𝟓
𝟓
]
𝑣 = 𝞹[𝟑𝟐 −
𝟔𝟒
𝟑
+
𝟑𝟐
𝟓
]
𝑣 = 𝞹[ 𝟑𝟐 − 𝟐𝟏, 𝟑 + 𝟔, 𝟒]
𝑣 = 𝞹[ 𝟏𝟎, 𝟕 + 𝟔, 𝟒]
𝑣 = 𝞹[ 𝟏𝟕, 𝟏]
𝑣 = 𝟓𝟑, 𝟔𝟐𝑼 𝟑

4. El volumen del sólido de revolución al rotar la región encerrada por la función
2
4)( xxf  entre x = 0 y x = 2, alrededor del eje x es de
𝟓𝟑, 𝟔𝟐𝑼 𝟑