1. El documento presenta 26 ejercicios de cálculo multivariable que incluyen determinar dominios, rangos y gráficas de funciones, aproximar valores, calcular derivadas parciales y direccionales, encontrar ecuaciones de planos tangentes y superficies normales, y maximizar y minimizar funciones sujetas a restricciones.

1. EJERCICIOS PROPUESTOS No
02
V´ıctor Pocoy Y./Escuela de Ingenier´ıa Civil
11 de octubre de 2015
1. Determinar el dominio de las siguientes funciones
a) f(x, y) =
x3
+ y2
+ xy
[|x|] + [|y|] − 1
b) f(x, y) =
√
y − x2
|x| + |y| − 1
2. Sea la funci´on dada por
f(x, y) =



2 −
1
x2 + y2
; 0 < x2
+ y2
≤ 1
[
x2
+ y2
]
; 1 < x2
+ y2
< 3
√
x2 + y2 − 1 ; x2
+ y2
≥ 5
Determinar el dominio, rango y gr´afica de f.
3. Caracterizar todas las curvas de nivel asociadas a la funci´on f dada por
f(x, y) =
√
25 − x2 − y2
x
4. Sea la funci´on dada por
f(x, y, z) = −
√
x2 + y2 − 4z − 2x
a) Determinar el dominio y rango de f
b) Grafique las superficies de nivel de f con k = 0, ±1 si existen.
5. Sea la funci´on dada por:
f(x, y) =
{
(y + x)2
sen
(
1
x+y
)
; y ̸= −x
0 ; y = −x
demostrar que f es diferenciable en R2
6. Calcular los siguientes limites si existen
a) l´ım
(x,y)→(1,2)
xy − 2x − y + 2
x2 + y2 − 2x − 4y + 5
b) l´ım
(x,y,z)→(0,0,0)
x + y + z
x + z
7. Sea la funci´on dada por:
f(x, y) =



sen(y − x2
)
y − x2
; y ̸= x2
1 ; y = x2
Determinar la regi´on de continuidad de f.
8. Sea la funci´on dada por:
f(x, y) =



(x + y)4
sen
(
1
x + y
)
; y ̸= −x
0 ; y = −x
a) Verificar que f es diferenciable en R2
b) Determine la ecuaci´on del plano tangente en (
√
13, −
√
13)
1

2. 9. Si z =
u3
+ v5
uv
, u = ax − y, v = xy y
∂z
∂x
(1, 1) +
∂z
∂y
(1, 1) = 1. Hallar el valor de a.
10. Dada la ecuaci´on
A
∂2
z
∂x2
+ 2B
∂2
z
∂x∂y
+ C
∂2
z
∂y2
= 0
Hallar M y N tal que al hacer el cambio de variable u = x+My y v = x+Ny resulta una expresi´on de la forma:
∂2
z
∂u∂v
= 0
11. Verificar que la ecuaci´on de Laplace
∂2
u
∂x2
+
∂2
u
∂y2
= 0
en coordenadas polares es
∂2
u
∂r2
+
1
r
∂u
∂r
+
1
r2
∂2
u
∂θ2
= 0
12. Aproximar usando diferenciales el valor de:
a) 1,042,02
b) ln(
√
1,0052 + 0,0072 + 1,012)
13. Los radios de la base de un cono truncado miden 30cm y 20cm, la altura 40cm. ¿C´omo var´ıa el volumen del cono
si aumentamos el radio mayor en 3mm, el radio menor en 4mm y la altura en 2mm ?
14. Supongamos que la ecuaci´on
xz + 3x2
− eyz
= 0
tal que z es diferenciable en x y y. Si A(1, 0, 1)
a) Encontrar la direcci´on u en el cual z crece m´as r´apidamente en A. ¿Cu´al es la derivada de z en esa direcci´on?.
b) Encontrar la direcci´on u en el cual z decrece m´as r´apidamente en A. ¿Cu´al es la derivada de z en esa
direcci´on?.
c) Encontrar todas las direcciones u en el cual la derivada de z en A en la direcci´on u es igual a cero.
15. Hallar la ecuaci´on del plano tangente a la superficie
z cos(xy) − xy sen(z) + 5π = 0
en el punto (2, π, π/2).
16. Demostrar que los planos tangentes al cono z = xf
(y
x
)
pasan por el v´ertice.
17. Determinar los puntos de la superficie (y + z)2
+ (z − x)2
= 16 donde la normal sea paralela al plano Y Z.
18. Determinar los extremos de la funci´on dada por
a) f(x, y) = x2
+ xy + y2
− 2x − y b) f(x, y, z) = x2
+ y2
+ z2
− xy + x − 2z
19. Determinar los extremos de la funci´on f(x, y) = cos2
x + cos2
y, si y − x = π
4
20. Determinar el m´aximo y m´ınimo absoluto de la funci´on f(x, y) = x3
+ y3
− 3xy en la regi´on D = [0, 2] × [−1, 2]
21. Entre todos los tri´angulos de per´ımetro igual a 2p, hallar el que tiene mayor ´area.
22. Hallar el paralelep´ıpedo rectangular de area S dada que tenga el mayor ´area.
23. Hallar la distancia m´as corta del punto M(1, 2, 3) a la recta x = y
−3 = z
2
24. En una esfera dada, inscribir el cilindro cuya superficie total sea m´axima
25. Determine las dimensiones del paralelep´ıpedo de volumen m´aximo, con los lados paralelos a los ejes coordenados,
inscritos en el elipsoide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
26. Halle el m´aximo de f(x, y, z) = xy + xz sujeta a 2x + 3y = 5 y xy = 4.
2