Este documento presenta el análisis del movimiento parabólico de un cuerpo lanzado al aire, como una pelota de fútbol. Explica conceptos como posición, velocidad, aceleración y movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. También resume los estudios de Galileo Galilei sobre la caída libre y la constante aceleración debida a la gravedad. Finalmente, analiza el caso específico de una pelota lanzada por un portero y calcula su trayectoria parabólica usando coordenadas cartesianas.

1. TRABAJO DE
INVESTIGACIÓN
CURSO: MATEMÁTICA BÁSICA
ANÁLISIS DE UN CUERPO CON
MOVIMIENTO PARABÓLICO

2. - Cieza Reyes, Carlos Alberto
- Chiuche Canales, Gerson Alberto
- Espíritu Esteban
- Giraldo Carranza, Diana Marleni
- Valle Iliquin, Franco
INTEGRANTES
2

3. INTRODUCCIÓN
En el siguiente trabajo se presentarán
los conceptos básicos que se necesitan
para analizar el movimiento parabólico
que describe un cuerpo lanzado al aire.
Para el ejemplo describiremos el
movimiento de una pelota lanzada al
aire como muestra la Imagen 01
(Imagen 01)

4. (Imagen 01)
Es el movimiento que describe un cuerpo a
causa únicamente de la gravedad, lo que
es distinto cuando se trata de un
paracaidista que se lanza de un avión, ya
que en este caso su velocidad se verá
reducida por efectos de la resistencia del
aire. El movimiento de caída libre es un
movimiento rectilíneo uniformemente
variado (MRUV).
La verdadera “caída libre” solo es posible
en el vacío y bajo efecto de la fuerza de
gravedad. Actualmente un entorno con
estas características se puede encontrar en
centros de investigación como el Glen
Research Center en la NASA o en otros
centros de investigación.
Caída libre Cleveland, Ohio

5. GALILEO GALILEIY EL
ESTUDIO DE LA CAÍDA
LIBRE
Desde los estudios de Aristóteles se pensaba que los
objetos más pesados caían más rápido, luego de
aproximadamente 2000 años, a fines del siglo XVI, el
matemático italiano Galileo Galilei demostraría que no
importaba el peso de los objetos, cualquier objeto soltado
en caída libre bajo efectos solo de la gravedad, caerían al
mismo tiempo.2
En ese tiempo era difícil calcular el tiempo en que demoraba un
cuerpo en caer, por lo que hizo sus experimentos usando un
plano inclinado y midió el tiempo que demoraban en caer dos
esferas de distinto peso usando un reloj de agua, usó el plano
inclinado porque su superficie hacía que los objetos cayeran más
lentamente lo que hacía que se midiera mejor su tiempo de
caída.

6. Mediciones de Galileo Galilei
Si notamos en los números de la distancia, son impares y por aritmética
sabemos que la suma de los “n” números impares es igual al cuadrado de
“n”, en este caso “n=t”, por lo tanto la medida de los recorridos es igual a
t2, , de lo cual, por proporciones sabemos que la división es una
constante.
Esta división formaba una constante, la cual para el caso de un cuerpo en
caída libre, esta constante se relaciona a la gravedad posteriormente
descubierta por Newton.
Veamos cómo la ecuación a la que llega Galileo se relaciona con la
gravedad. En un experimento se deja caer una bola de acero con las
medidas siguientes del recuadro verde:
La gráfica en el plano cartesiano nos muestra que el desplazamiento es
proporcional al tiempo al cuadrado, como en el experimento de Galilei, la
división de desplazamiento entre tiempo al cuadrado nos da una
constante:

7. cuadrado nos da una constante:

8. 3.1.3. Cinemática
Es la parte de la Física que se dedica al
estudio del movimiento de los cuerpos y
partículas sin tomar en cuenta sus causas.
La cinemática está definida por tres
elementos: la posición, la velocidad y la
aceleración.

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Es el cambio de posición de un cuerpo en un
determinado tiempo. Los elementos del movimiento
son:
-Longitud de la trayectoria .
-Desplazamiento.
-Trayectoria.
-Relación entre el desplazamiento y el tiempo que
tarda en ir de un punto a otro.
3.1.4. Movimiento.

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3.1.5. Elementos del movimiento

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Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya
trayectoria es una línea recta.
En la recta situamos un origen O, donde estará un
observador que medirá la posición del móvil x en el
instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil
está a la derecha del origen y negativas si está a la
izquierda del origen.
3.1.6. Movimiento rectilíneo

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• Es aquel donde la velocidad siempre
es la misma, es decir, la distancia
recorrida en un determinado tiempo
es constante.
3.1.7. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU).

13. 3.1.8. Movimiento rectilíneo uniformemente variado o uniformemente
acelerado. (MRUV)
Es el que ocurre en una recta y que mantiene
una aceleración constante, es decir que su
velocidad varía de manera uniforme.

14. 3.1.9. Aceleración.
La aceleración mide los cambios de velocidad a
través del tiempo. Es una magnitud vectorial ya que
resulta de la división de la velocidad (vectorial), entre
una magnitud escalar (tiempo).

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3.1.10. Aceleración de la gravedad.
.
Es la que surge por efecto de la atracción de la Tierra sobre los cuerpos junto
con la fuerza centrífuga por efecto de la rotación del planeta. Su valor medio es
9.8m/s2, pero para propósitos explicativos tomaremos 10m/s2.
La aceleración de la gravedad actúa de la misma forma que en caída libre o tiro
vertical, cuando el cuerpo asciende por su trayectoria parabólica, la
aceleración de la gravedad hace que su velocidad vertical, en dirección del eje
Y positivo disminuya, esto significa que el cuerpo ha desacelerado, por lo que
la aceleración es negativa, por lo tanto se toma g=-10m/s2.

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Es el lugar donde se encuentra el objeto de estudio o también llamado
móvil, en un determinado tiempo. Se representa mediante el vector
posición r
r (t) : Se lee Posición del móvil en un tiempo “t”.
POSICIÓN
VELOCIDAD
Es el cambio de posición con respecto al tiempo. Se expresa
dividiendo el cambio de posición entre el tiempo transcurrido.
El resultado de la división será una magnitud vectorial, por lo que se
infiere que la velocidad está representada por un vector.

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Es aquel movimiento bidimensional que se da por efecto del campo
gravitatorio de la Tierra, también es llamado “tiro parabólico”. Al ser
bidimensional se puede descomponer vectorialmente en el eje “x”
y el eje “y”, como en la imagen.
MOVIMIENTO PARABÓLICO

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Este movimiento se caracteriza porque la velocidad descompuesta
en el eje X se mantiene constante, en cambio en el eje y aumenta
proporcionalmente a la aceleración.
Si el movimiento está compuesto de velocidad y tiempo, veamos
cómo se expresan estos en el eje “x” e “y” del móvil de la figura:

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La altura máxima que alcanza un cuerpo lanzado hacia arriba llega
cuando se detiene y cae, es decir cuando la velocidad final es igual
a cero Vy = 0. Su análisis en el eje vertical es independiente del eje
horizontal.
ALTURA MÁXIMA

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De la tarea propuesta nos pidieron analizar un caso, elegimos como grupo el primer caso

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1. ¿Si la trayectoria del balón lanzado por el portero
puede ser descrita empleando coordenadas
cartesianas, ¿Cuáles son las posibilidades de
despeje que tenemos considerando el origen del
plano cartesiano como el punto inicial del
recorrido?
3.3 RESOLUCION DE LAS PREGUNTAS
PROPUESTAS

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Si expresamos el problema planteado en el plano cartesiano, con el origen en el punto de lanzamiento
tendríamos la siguiente gráfica:

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3. Para el caso anterior ¿Cuál es la distancia horizontal máximas que alcanza el balón antes
de tocar el piso?

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