El documento presenta métodos numéricos implementados en MatLab, incluyendo interpolación polinómica, cálculo de raíces, derivadas, integrales y ecuaciones diferenciales. Describe los métodos de interpolación de Lagrange y Hermite, así como métodos para encontrar raíces como bisección, secante, falsa posición y Newton. Explica cómo implementar estas técnicas numéricas usando funciones en MatLab.
Este documento discute métodos para calcular derivadas de datos que no están espaciados de manera uniforme. Explica que los métodos tradicionales como diferencias finitas y extrapolación de Richardson requieren datos igualmente espaciados. Luego introduce un método que ajusta un polinomio de Lagrange de segundo grado a grupos de tres puntos adyacentes, permitiendo estimar derivadas incluso cuando los puntos no están igualmente espaciados. Finalmente, presenta un ejemplo de cómo usar este método para calcular el flujo de calor en el suelo a partir de
Este documento explica el método de variables separables para resolver ecuaciones diferenciales. Primero define el concepto de variables separables como aquellas ecuaciones donde las variables (x, y) y sus diferenciales están separadas. Luego ilustra el método con un ejemplo, mostrando cómo ordenar la ecuación para separar las variables y luego integrar cada parte. Finalmente, concluye que este método funciona para ciertos tipos de ecuaciones diferenciales pero a veces puede ser complicado y se requieren otros métodos.
1) El documento trata sobre un curso de Investigación de Operaciones I en la Universidad Nacional José Faustino Sánchez Carrión. 2) Dos alumnas, Geraldine Marleni Bellon Pacheco y Ayda Maribel Ramírez Montalvo, presentan un proyecto sobre el "Año del Centenario de Machu Picchu para el Mundo". 3) El proyecto analiza la optimización de recursos para la gestión del Santuario Histórico de Machu Picchu.
Este documento define ecuaciones diferenciales homogéneas y explica cómo resolverlas. Una ecuación diferencial es homogénea si sus funciones M y N son homogéneas del mismo grado. Para resolver una ecuación homogénea, se sustituye y = xv o x = yv para reducirla a una ecuación separable. Esto permite integrar y obtener la solución implícita.
Este documento describe la distribución geométrica y proporciona ejemplos de su aplicación. La distribución geométrica modela procesos de prueba repetitiva donde se busca el primer éxito. Se define mediante la probabilidad p de éxito y q de fracaso, siendo la probabilidad de x ensayos para el primer éxito q^(x-1)p. Se resuelven seis ejemplos calculando estas probabilidades para procesos como lanzar una moneda o inspeccionar productos.
Este documento presenta información sobre funciones matemáticas y cómo graficarlas y encontrar sus raíces en MATLAB. Explica conceptos como dominio, codominio e imagen de una función, así como tipos de funciones como suprayectivas, inyectivas y biyectivas. Luego proporciona ejemplos de cómo graficar funciones cuadráticas y encontrar sus raíces numérica y gráficamente en MATLAB usando comandos como plot, ezplot, solve y zooming.
Este documento introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo su definición, interpretación geométrica, clasificación y métodos para resolver diferentes tipos como ecuaciones de variables separadas, homogéneas, exactas y lineales. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas y es común en física, ingeniería, química y biología para modelar procesos de cambio.
Este documento discute métodos para calcular derivadas de datos que no están espaciados de manera uniforme. Explica que los métodos tradicionales como diferencias finitas y extrapolación de Richardson requieren datos igualmente espaciados. Luego introduce un método que ajusta un polinomio de Lagrange de segundo grado a grupos de tres puntos adyacentes, permitiendo estimar derivadas incluso cuando los puntos no están igualmente espaciados. Finalmente, presenta un ejemplo de cómo usar este método para calcular el flujo de calor en el suelo a partir de
Este documento explica el método de variables separables para resolver ecuaciones diferenciales. Primero define el concepto de variables separables como aquellas ecuaciones donde las variables (x, y) y sus diferenciales están separadas. Luego ilustra el método con un ejemplo, mostrando cómo ordenar la ecuación para separar las variables y luego integrar cada parte. Finalmente, concluye que este método funciona para ciertos tipos de ecuaciones diferenciales pero a veces puede ser complicado y se requieren otros métodos.
1) El documento trata sobre un curso de Investigación de Operaciones I en la Universidad Nacional José Faustino Sánchez Carrión. 2) Dos alumnas, Geraldine Marleni Bellon Pacheco y Ayda Maribel Ramírez Montalvo, presentan un proyecto sobre el "Año del Centenario de Machu Picchu para el Mundo". 3) El proyecto analiza la optimización de recursos para la gestión del Santuario Histórico de Machu Picchu.
Este documento define ecuaciones diferenciales homogéneas y explica cómo resolverlas. Una ecuación diferencial es homogénea si sus funciones M y N son homogéneas del mismo grado. Para resolver una ecuación homogénea, se sustituye y = xv o x = yv para reducirla a una ecuación separable. Esto permite integrar y obtener la solución implícita.
Este documento describe la distribución geométrica y proporciona ejemplos de su aplicación. La distribución geométrica modela procesos de prueba repetitiva donde se busca el primer éxito. Se define mediante la probabilidad p de éxito y q de fracaso, siendo la probabilidad de x ensayos para el primer éxito q^(x-1)p. Se resuelven seis ejemplos calculando estas probabilidades para procesos como lanzar una moneda o inspeccionar productos.
Este documento presenta información sobre funciones matemáticas y cómo graficarlas y encontrar sus raíces en MATLAB. Explica conceptos como dominio, codominio e imagen de una función, así como tipos de funciones como suprayectivas, inyectivas y biyectivas. Luego proporciona ejemplos de cómo graficar funciones cuadráticas y encontrar sus raíces numérica y gráficamente en MATLAB usando comandos como plot, ezplot, solve y zooming.
Este documento introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo su definición, interpretación geométrica, clasificación y métodos para resolver diferentes tipos como ecuaciones de variables separadas, homogéneas, exactas y lineales. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas y es común en física, ingeniería, química y biología para modelar procesos de cambio.
Este documento describe el método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Explica que si una ecuación diferencial de primer orden puede expresarse en una forma donde las variables independientes están separadas, entonces se puede resolver mediante integración directa. A continuación, presenta 25 ejemplos resueltos que ilustran cómo aplicar este método para separar variables y encontrar la solución de la ecuación diferencial.
Este documento describe la regla de Simpson 3/8, un método numérico para aproximar el área bajo una curva. Explica que usa un polinomio cúbico para conectar 4 puntos e integrar la función entre esos puntos. Proporciona la fórmula de Simpson 3/8 y un ejemplo completo de cómo calcular la integral de 1/x entre 2 y 7 usando este método.
Este documento explica las ecuaciones diferenciales exactas. Para que una ecuación diferencial sea exacta, las derivadas parciales de sus funciones con respecto a cada variable deben ser iguales. Esto permite usar una fórmula básica para resolverla mediante integración. El documento también presenta un ejemplo paso a paso de cómo determinar si una ecuación es exacta y resolverla usando la fórmula general.
El documento presenta información sobre el Teorema de Green, el cual vincula una integral doble sobre una región plana R con una integral de línea con respecto a una curva C que es la frontera de R. Explica que una curva es cerrada y simple si el punto inicial y final coinciden y no se corta consigo misma, y es suave a trozos si puede dividirse en subintervalos donde es suave. Finalmente, enuncia el Teorema de Green y presenta una demostración del mismo.
Solución Numérica de Ecuaciones no Lineales:Métodos cerradosPervys Rengifo
Este documento describe los métodos cerrados para resolver ecuaciones no lineales. Estos métodos se basan en el teorema de Bolzano, el cual establece que si una función continua cambia de signo en un intervalo, entonces existe al menos una raíz en ese intervalo. Los métodos cerrados iterativos, como el método de bisección y regla falsa, reducen sistemáticamente un intervalo hasta encontrar una raíz con la precisión deseada, siempre que la función sea continua y cambie de signo en el intervalo inicial.
1) El documento introduce el concepto de ecuaciones diferenciales exactas y explica cómo resolverlas mediante el método de diferencial total. 2) Se definen las ecuaciones diferenciales exactas y se presenta el criterio de exactitud para verificar si una ecuación lo es. 3) Se explican los pasos para resolver ecuaciones diferenciales exactas mediante la integración.
Los métodos multipaso utilizan la información de varios puntos previos para calcular el siguiente punto, aproximando la función mediante un polinomio interpolante. Los métodos de Adams son métodos multipaso que usan polinomios de interpolación de diferentes grados. Los métodos predictor-corrector combinan un método explícito como predictor con uno implícito como corrector para mejorar la aproximación.
Este documento presenta información sobre un curso de Matemáticas II dictado en la Universidad de Cartagena para el programa de Administración de Empresas durante el segundo semestre del año 2010. El tutor del curso es José Felipe Rhenals Almanza y el documento contiene apuntes sobre integración por partes e integración de funciones trigonométricas.
Este documento describe el método de interpolación por diferencias divididas de Newton. Explica cómo construir un polinomio de interpolación de grado n que pasa por n+1 puntos de datos no colineales utilizando las diferencias divididas de Newton. Luego, muestra un ejemplo completo de cómo aplicar el método para construir un polinomio cúbico de interpolación y estimar el valor de una función en un punto dado.
Este documento presenta una introducción a los números, incluyendo su clasificación, propiedades y operaciones. Se divide los números en enteros, racionales, irracionales y reales. Explica cómo convertir números decimales periódicos a fracciones y representar números reales en una recta numérica. También describe las propiedades de las operaciones de suma, multiplicación, y define qué es una operación binaria.
El documento explica las ecuaciones diferenciales parciales (E.D.P.), que son expresiones matemáticas que contienen una o más variables dependientes y dos o más variables independientes. Las E.D.P. se pueden clasificar según su orden, linealidad y tipo de condiciones de frontera. Se proveen ejemplos para ilustrar el concepto y orígenes comunes de las E.D.P., como problemas de física.
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, y los métodos iterativos de Gauss-Seidel y Jacobi. Estos métodos se utilizan comúnmente en aplicaciones como procesamiento de señales, análisis estructural y programación lineal.
Este documento introduce los conceptos de métrica y espacio métrico. Define una métrica como una función distancia que cumple tres axiomas de positividad, simetría y desigualdad triangular. Un espacio métrico es un par formado por un conjunto y una métrica definida sobre él. Presenta ejemplos de métricas como la distancia euclidiana y demuestra que ciertas funciones cumplen los axiomas para ser consideradas métricas.
TEOREMAS DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LAS ECUACIONESedvinogo
El documento resume los teoremas de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales. El teorema de Picard-Lindelöf garantiza una solución única si las funciones son continuas. El teorema local de existencia y unicidad requiere que la función sea continua para garantizar una solución única expresada como una integral. La condición de Lipschitz también garantiza una solución única.
Este documento presenta ejercicios resueltos relacionados con funciones vectoriales y curvas en el espacio. El primer ejercicio analiza si se intersectan dos curvas definidas por vectores posición y en qué puntos ocurre. El segundo ejercicio describe gráficamente una curva y prueba que su vector tangente es unitario cuando se usa la longitud de arco como parámetro. El tercer ejercicio calcula la velocidad de una partícula y determina el tiempo para recorrer una distancia dada.
Este documento describe la distribución normal o gaussiana, la distribución de probabilidad continua más importante debido a su frecuencia y aplicaciones. Fue descubierta por primera vez por De Moivre en 1733 y luego estudiada de forma independiente por Laplace y Gauss en relación con la teoría de errores. Caracteriza variables aleatorias continuas a través de sus parámetros de media y desviación típica.
Método gráfico, Método de bisección y Método de la regla falsa deberesautomotriz
Este documento describe diferentes métodos para resolver ecuaciones, incluyendo el método gráfico, bisección, y regla falsa. Explica que el método gráfico usa una representación gráfica de la función para aproximar donde cruza el eje x, mientras que los métodos de bisección y regla falsa iterativamente reducen el intervalo donde podría estar la raíz basado en si la función cambia de signo.
La transformada de Laplace y su transformada inversa son herramientas útiles para el análisis de sistemas dinámicos lineales. Algunas de sus propiedades clave incluyen que es lineal, preserva operaciones como derivación e integración, y tiene propiedades de traslación que permiten desplazar funciones en el dominio del tiempo o la frecuencia. Juntas, la transformada de Laplace y su inversa proporcionan un método poderoso para resolver ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta nueve problemas resueltos que involucran sistemas de ecuaciones. Cada problema se resume en tres pasos: 1) elegir las incógnitas, 2) plantear las ecuaciones, 3) resolver el sistema. Los problemas abarcan diversas situaciones como aparcamientos, precios de productos, animales en un corral y más.
++Circuitos combinacionales -clase p repaso del examen-- 2sxm7
El documento describe los mapas de Karnaugh y su uso para simplificar funciones booleanas. Explica cómo representar funciones de hasta 5 variables con mapas de Karnaugh y cómo numerar las celdas. Además, muestra ejemplos de cómo agrupar términos para simplificar funciones mediante la extracción de factores comunes.
Guia rapida de matlab (comandos basicos, graficacion y programacion)morones.om
Este documento presenta una guía rápida de MATLAB. Explica cómo iniciar y finalizar una sesión con MATLAB, describe el entorno gráfico bajo Windows y Linux, e introduce conceptos básicos de programación en MATLAB como entrada/salida de datos, asignaciones, estructuras de control, funciones y gráficos.
Este documento presenta una introducción al uso de programación visual basic (VBA) en Excel para propósitos de análisis numérico. Explica cómo evaluar funciones definidas por el usuario, incluyendo funciones predeterminadas de Excel. También describe elementos básicos de programación en VBA como flujos secuenciales, condicionales y repetitivos, y el manejo de rangos y matrices dinámicas. Finalmente, muestra ejemplos de cómo evaluar expresiones matemáticas escritas en lenguaje común y aplicar métodos numéricos como solución
Este documento describe el método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Explica que si una ecuación diferencial de primer orden puede expresarse en una forma donde las variables independientes están separadas, entonces se puede resolver mediante integración directa. A continuación, presenta 25 ejemplos resueltos que ilustran cómo aplicar este método para separar variables y encontrar la solución de la ecuación diferencial.
Este documento describe la regla de Simpson 3/8, un método numérico para aproximar el área bajo una curva. Explica que usa un polinomio cúbico para conectar 4 puntos e integrar la función entre esos puntos. Proporciona la fórmula de Simpson 3/8 y un ejemplo completo de cómo calcular la integral de 1/x entre 2 y 7 usando este método.
Este documento explica las ecuaciones diferenciales exactas. Para que una ecuación diferencial sea exacta, las derivadas parciales de sus funciones con respecto a cada variable deben ser iguales. Esto permite usar una fórmula básica para resolverla mediante integración. El documento también presenta un ejemplo paso a paso de cómo determinar si una ecuación es exacta y resolverla usando la fórmula general.
El documento presenta información sobre el Teorema de Green, el cual vincula una integral doble sobre una región plana R con una integral de línea con respecto a una curva C que es la frontera de R. Explica que una curva es cerrada y simple si el punto inicial y final coinciden y no se corta consigo misma, y es suave a trozos si puede dividirse en subintervalos donde es suave. Finalmente, enuncia el Teorema de Green y presenta una demostración del mismo.
Solución Numérica de Ecuaciones no Lineales:Métodos cerradosPervys Rengifo
Este documento describe los métodos cerrados para resolver ecuaciones no lineales. Estos métodos se basan en el teorema de Bolzano, el cual establece que si una función continua cambia de signo en un intervalo, entonces existe al menos una raíz en ese intervalo. Los métodos cerrados iterativos, como el método de bisección y regla falsa, reducen sistemáticamente un intervalo hasta encontrar una raíz con la precisión deseada, siempre que la función sea continua y cambie de signo en el intervalo inicial.
1) El documento introduce el concepto de ecuaciones diferenciales exactas y explica cómo resolverlas mediante el método de diferencial total. 2) Se definen las ecuaciones diferenciales exactas y se presenta el criterio de exactitud para verificar si una ecuación lo es. 3) Se explican los pasos para resolver ecuaciones diferenciales exactas mediante la integración.
Los métodos multipaso utilizan la información de varios puntos previos para calcular el siguiente punto, aproximando la función mediante un polinomio interpolante. Los métodos de Adams son métodos multipaso que usan polinomios de interpolación de diferentes grados. Los métodos predictor-corrector combinan un método explícito como predictor con uno implícito como corrector para mejorar la aproximación.
Este documento presenta información sobre un curso de Matemáticas II dictado en la Universidad de Cartagena para el programa de Administración de Empresas durante el segundo semestre del año 2010. El tutor del curso es José Felipe Rhenals Almanza y el documento contiene apuntes sobre integración por partes e integración de funciones trigonométricas.
Este documento describe el método de interpolación por diferencias divididas de Newton. Explica cómo construir un polinomio de interpolación de grado n que pasa por n+1 puntos de datos no colineales utilizando las diferencias divididas de Newton. Luego, muestra un ejemplo completo de cómo aplicar el método para construir un polinomio cúbico de interpolación y estimar el valor de una función en un punto dado.
Este documento presenta una introducción a los números, incluyendo su clasificación, propiedades y operaciones. Se divide los números en enteros, racionales, irracionales y reales. Explica cómo convertir números decimales periódicos a fracciones y representar números reales en una recta numérica. También describe las propiedades de las operaciones de suma, multiplicación, y define qué es una operación binaria.
El documento explica las ecuaciones diferenciales parciales (E.D.P.), que son expresiones matemáticas que contienen una o más variables dependientes y dos o más variables independientes. Las E.D.P. se pueden clasificar según su orden, linealidad y tipo de condiciones de frontera. Se proveen ejemplos para ilustrar el concepto y orígenes comunes de las E.D.P., como problemas de física.
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, y los métodos iterativos de Gauss-Seidel y Jacobi. Estos métodos se utilizan comúnmente en aplicaciones como procesamiento de señales, análisis estructural y programación lineal.
Este documento introduce los conceptos de métrica y espacio métrico. Define una métrica como una función distancia que cumple tres axiomas de positividad, simetría y desigualdad triangular. Un espacio métrico es un par formado por un conjunto y una métrica definida sobre él. Presenta ejemplos de métricas como la distancia euclidiana y demuestra que ciertas funciones cumplen los axiomas para ser consideradas métricas.
TEOREMAS DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LAS ECUACIONESedvinogo
El documento resume los teoremas de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales. El teorema de Picard-Lindelöf garantiza una solución única si las funciones son continuas. El teorema local de existencia y unicidad requiere que la función sea continua para garantizar una solución única expresada como una integral. La condición de Lipschitz también garantiza una solución única.
Este documento presenta ejercicios resueltos relacionados con funciones vectoriales y curvas en el espacio. El primer ejercicio analiza si se intersectan dos curvas definidas por vectores posición y en qué puntos ocurre. El segundo ejercicio describe gráficamente una curva y prueba que su vector tangente es unitario cuando se usa la longitud de arco como parámetro. El tercer ejercicio calcula la velocidad de una partícula y determina el tiempo para recorrer una distancia dada.
Este documento describe la distribución normal o gaussiana, la distribución de probabilidad continua más importante debido a su frecuencia y aplicaciones. Fue descubierta por primera vez por De Moivre en 1733 y luego estudiada de forma independiente por Laplace y Gauss en relación con la teoría de errores. Caracteriza variables aleatorias continuas a través de sus parámetros de media y desviación típica.
Método gráfico, Método de bisección y Método de la regla falsa deberesautomotriz
Este documento describe diferentes métodos para resolver ecuaciones, incluyendo el método gráfico, bisección, y regla falsa. Explica que el método gráfico usa una representación gráfica de la función para aproximar donde cruza el eje x, mientras que los métodos de bisección y regla falsa iterativamente reducen el intervalo donde podría estar la raíz basado en si la función cambia de signo.
La transformada de Laplace y su transformada inversa son herramientas útiles para el análisis de sistemas dinámicos lineales. Algunas de sus propiedades clave incluyen que es lineal, preserva operaciones como derivación e integración, y tiene propiedades de traslación que permiten desplazar funciones en el dominio del tiempo o la frecuencia. Juntas, la transformada de Laplace y su inversa proporcionan un método poderoso para resolver ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta nueve problemas resueltos que involucran sistemas de ecuaciones. Cada problema se resume en tres pasos: 1) elegir las incógnitas, 2) plantear las ecuaciones, 3) resolver el sistema. Los problemas abarcan diversas situaciones como aparcamientos, precios de productos, animales en un corral y más.
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Este documento presenta una introducción al uso de programación visual basic (VBA) en Excel para propósitos de análisis numérico. Explica cómo evaluar funciones definidas por el usuario, incluyendo funciones predeterminadas de Excel. También describe elementos básicos de programación en VBA como flujos secuenciales, condicionales y repetitivos, y el manejo de rangos y matrices dinámicas. Finalmente, muestra ejemplos de cómo evaluar expresiones matemáticas escritas en lenguaje común y aplicar métodos numéricos como solución
Este documento presenta una introducción a la programación visual basic (VBA) para Excel y elementos de análisis numérico. Explica cómo evaluar funciones, crear gráficas, programar macros, y usar elementos de programación como flujos secuenciales, condicionales y repetitivos. También cubre temas como la solución de ecuaciones, integración, y problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias usando métodos numéricos. El objetivo es mostrar el gran potencial de Excel para análisis científico y enseñanza de
Este documento presenta una introducción a la programación visual basic (VBA) para Excel y elementos de análisis numérico. Explica cómo evaluar funciones, crear gráficas, programar macros, y usar elementos de programación como flujos secuenciales, condicionales y repetitivos. También cubre temas como la solución de ecuaciones, integración, y problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias usando métodos numéricos. El objetivo es mostrar el gran potencial de Excel para ciencias e ingeniería, y su utilidad para la en
Este documento presenta un manual de uso de MATLAB. Explica conceptos básicos como variables, vectores, matrices, operaciones matemáticas, bucles y condicionales. También cubre cálculo simbólico, gráficos, ecuaciones diferenciales y funciones numéricas. El manual proporciona instrucciones detalladas sobre cómo utilizar estas herramientas en MATLAB.
Cálculo Numérico Asistido con el Software Matemático MatLab.WALTER YSIQUE
Este documento presenta una breve guía para encontrar soluciones numéricas a problemas matemáticos usando el software MatLab. Explica funciones aritméticas y predefinidas, cómo representar polinomios, hallar ceros de funciones, operaciones con matrices, y resolver sistemas de ecuaciones lineales y no lineales.
Este documento introduce Matlab y Octave. Explica que Matlab es un lenguaje de programación interpretado y dinámico, principalmente utilizado para cálculo numérico. Describe la interfaz gráfica de Matlab y cómo escribir los primeros programas en Matlab y Octave. También introduce conceptos básicos como variables, operadores, vectores y matrices.
Este manual presenta las funciones básicas de MATLAB para trabajar con variables, matrices, bucles, cálculo simbólico, ecuaciones y gráficos. Incluye instrucciones sobre la creación y ejecución de ficheros, y define conceptos como vectores, matrices, operaciones matriciales y funciones.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la resolución de problemas, programas, estructuras y algoritmos. Explica que la resolución de problemas implica varias etapas como el análisis del problema, el diseño de una solución, la implementación y verificación. Además, introduce los conceptos de estructuras de datos y algoritmos, y cómo ambos son elementos esenciales en el desarrollo de programas. Finalmente, proporciona una guía sobre buenas prácticas de programación.
Este documento presenta un libro introductorio sobre programación en C. El libro explica conceptos básicos como variables, constantes, operadores aritméticos y lógicos, y estructuras de control como if/else y bucles while y for. El libro está dirigido a estudiantes que deseen aprender el lenguaje de programación C.
Este documento analiza los modelos de regresión lineal y regresión logística mediante un enfoque matemático riguroso. Primero, examina las hipótesis estadísticas subyacentes y los problemas de optimización derivados. Luego, cubre técnicas de regularización y el uso del descenso del gradiente para obtener los parámetros óptimos. Finalmente, explica métricas de evaluación de modelos y una metodología para encontrar modelos que generalicen bien con nuevos datos. El autor desarrolló un repositorio
Es un estudio de excel estudio para el uso de los macros y las herramientas de visual basic nos funciona para aprender acerca de programacion en excel realizar macros y hacer botenes que faciliten el uso de la excel que estoy seguro que con esta video podran aprender hacer el uso de excel avanzado
Este documento presenta una introducción a la matemática discreta. Explica brevemente que la matemática discreta estudia objetos discretos como los números naturales, en contraste con los números reales que son continuos. Luego proporciona una lista de los temas que se cubrirán en el curso, incluida la lógica, los algoritmos, la aritmética modular, la combinatoria y los grafos. Finalmente, describe la estructura del curso y cómo está organizado el material de aprendizaje.
Este documento presenta una introducción a la matemática discreta. Explica brevemente que la matemática discreta estudia objetos discretos como los números naturales, en contraste con los números reales que son continuos. Luego proporciona un índice general de los temas que se cubrirán en el curso, incluyendo lógica, algoritmos, aritmética modular, combinatoria y grafos. Finalmente, describe la estructura del curso y cómo está organizado el material.
Este documento presenta una introducción a la matemática discreta. Explica brevemente que la matemática discreta estudia objetos discretos como los números naturales, en contraste con los números reales que son continuos. Luego proporciona una lista de los temas que se cubrirán en el curso, incluida la lógica, los algoritmos, la aritmética modular, la combinatoria y los grafos. Finalmente, describe la estructura del curso y cómo está organizado el material de aprendizaje.
Este documento presenta un resumen de la introducción a un curso de Matemática Discreta. Explica brevemente que la Matemática Discreta estudia objetos discretos como los números naturales, que están separados entre sí a diferencia de los números reales que son continuos. También resume los temas que se cubrirán en el curso como lógica, algoritmos, combinatoria y grafos. Finalmente, indica que el curso está estructurado en 6 temas con introducciones, conceptos, ejemplos y ejercicios para cada uno.
Este documento presenta un análisis de dos algoritmos para medir la similitud entre secuencias mitocondriales: el algoritmo de Needleman-Wunsch y el algoritmo de Weiner. El autor implementa estos algoritmos en MATLAB y los evalúa en términos de eficiencia espacial y de tiempo, usando una base de datos de ADN mitocondrial. El objetivo es determinar cuál algoritmo es más adecuado para este tipo de análisis genético.
Este documento presenta un resumen de los principales métodos numéricos para la solución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones, derivadas numéricas, integrales numéricas y ecuaciones diferenciales. Explica conceptos como precisión, error y convergencia, así como métodos iterativos, de interpolación y de diferenciación/integración numérica. El documento provee una introducción general a estos temas y métodos a través de ejemplos expresados en lenguaje Scheme.
Este documento presenta una breve introducción a C++. Explica la estructura básica de un programa en C++, incluyendo la definición de funciones, nombres de variables, tipos de variables, entrada y salida de datos, operadores aritméticos y relacionales. También cubre temas como control de flujo, funciones, matrices, clases, sobrecarga y herencia.
Este documento presenta un libro de texto sobre algoritmos y programación estructurada en Pascal. Se divide en temas que cubren algoritmos e introducción a Pascal, elementos básicos del lenguaje Pascal, programación estructurada con instrucciones como if-then-else y bucles, y aspectos teóricos de la programación estructurada. Cada tema contiene capítulos que explican conceptos clave y proporcionan ejemplos de código.
Similar a TÓPICOS DE MATLAB: APLICACIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS. (20)
TÓPICOS DE MATLAB: APLICACIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS.
1. Lima - 2010
T´picos de Matlab: Aplicaciones a M´todos Num´ricos
o e e
1
Jos´ Walter Ysique Quesqu´n
e e
jwysiqueq@pucp.edu.pe
Resumen
Uso del paquete de software matem´tico MatLab para el c´lculo de algunos m´todos num´ri-
a a e e
cos. Se definen funciones en las que se implementan m´todos conocidos para calcular,por ejemplo
e
el polinomio interpolador, ra´ıces,derivada e integral de una funci´n. Adem´s se aborda algunas
o a
nociones con respecto a la soluci´n de ecuaciones diferenciales ordinarias.
o
Palabras clave: MatLab,interpolador,derivada,integral,ecuaciones diferenciales.
Abstract
Use of the mathematical software package MatLab for the calculation of some numerical
methods. Functions are defined in which known methods are implemented to calculate, for
example the interpolador polynomial, roots, derived and integral of a function. In addition one
approaches some slight knowledge with respect to the solution of ordinary differential equations.
Keywords: MatLab, interpolador, derived,integral,differential equations.
————————————————————————————————————————
1
Magister en Matem´ticas .
a
2. Introducci´n
o
Las t´cnicas computacionales permiten abordar problemas de manera num´rica, anal´
e e ıtica o
gr´fica, por ejemplo los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, las soluciones de ecuaciones
a
diferenciales ordinarias y parciales, la evaluaci´n num´rica de derivadas, de integrales, el procesamien-
o e
to de datos experimentales, etc.
MATLAB (MATatrix LABoratory) es un lenguaje de alto nivel y un ambiente interactivo creado
por MathWorks. MATLAB est´ dise˜ ado para realizar r´pida y eficientemente tareas matem´ticas
a n a a
computacionalmente intensivas. El programa cuenta con muchas funciones que permiten hacer todas
las operaciones matem´ticas elementales. Los gr´ficos generados por el computador usando Mat-
a a
lab son utiles para mostrar la evoluci´n de diversos sistemas, como la formaci´n de patrones, el
´ o o
procesamiento de im´genes, etc.
a
Se espera incentivar al lector en el estudio y aplicaci´n de los conceptos fundamentales de las t´cni-
o e
cas num´ricas usando el desarrollo de algoritmos matem´ticos. Asimismo, realizar la implementaci´n
e a o
del programa correspondiente usando el entorno integrado del Matlab.
i
4. 1 Interpolaci´n.
o
Sea P = {(xi , yi = f (xi )) : i = 1, · · ·, n, n ∈ N} un conjunto de puntos dado. Se denomina “funci´n
o
interpolante” a una funci´n cuya gr´fica pasa por todos los puntos del conjunto P .
o a
Figura 1:
• Las funciones m´s usadas para interpolar son las polinomiales debido a que ´stas son m´s f´ciles
a e a a
de derivar e integrar.
• Se dispone de dos m´todos generales de interpolaci´n polin´mica: Interpolaci´n de Lagrange e
e o o o
Interpolaci´n de Hermite.
o
1.1 Interpolaci´n de Lagrange.
o
Sea f la funci´n a interpolar, sean P = {(xi , yi = f (xi )) : i = 1, · · ·, n, n ∈ N} los puntos
o
conocidos,donde f (xi ) es la funci´n evaluada en cada punto xi . El polinomio interpolador de
o
grado m de Lagrange es definido por:
n
Pn = f (xi )Li (x) , n ≤ m . (1)
i=0
donde los Li (x) son llamados polinomios de Lagrange y est´n definidos por:
a
n
x − xj
Li (x) = , i = 0, 1, · · ·, n . (2)
j=0j=i xi − xj
-Propiedades de los Polinomios de Lagrange:
0, si i = j;
• Li (xj ) =
1, i=j.
• El grado de Li (x) es igual a n cualquiera que sea i, donde 0 ≤ i ≤ n .
1
5. -Implementaci´n del m´todo usando MatLab
o e
%Algoritmo de Lagrange
%Ingresar los valores conocidos de x
%Ingresar los valores conocidos de y
%Ingresar los valores a interpolar xi
%muestra el polinomio de lagrange y los valores yi
function Lagrange(x,y,xi);
p=0;
syms t;
n=length(x);
yi=zeros(size(xi));
for i=1:n
z=ones(size(xi));
L=1;
for j=1:n
if i~=j
L=L*(t-x(j))/(x(i)-x(j));
z=z.*(xi-x(j))/(x(i)-x(j));
end
end
yi=yi+z*y(i);
p=p+L*y(i);
p=simplify(p);
end
polinomio=p
yi
Ejemplo 1. Sea f (x) = x21 +1
una funci´n tal que x0 = −2, f (x0 ) = 1/5, x1 = −1, f (x1 ) =
o
1/2, x2 = 0, f (x2 ) = 1 . Su polinomio interpolador de Lagrange es:
2
P2 (x) = f (xi ) · Li (x) ,
i=0
donde :
(x + 1)x x2 x
L0 (x) = = +
(−2 + 1)(−2) 2 2
(x + 2)x
L1 (x) = = x2 − 2x
(−1 + 2)(−1)
(x + 2)(x + 1) x2 3x
L2 (x) = = + +1 .
(2)(1) 2 2
Luego:
1 1
P2 (x) = · L0 (x) + · L1 (x) + 1 · L2 (x)
5 2
2
x 3x
P2 (x) = + +1 .
10 5
2
6. Usando la funci´n “Lagrange” en MatLab, ingresamos la orden :
o
Lagrange([-2 -1 0],[1/5 1/2 1],[-1.5 -0.5])
en donde xi=[-1.5 -0.5] son los valores a interpolar. Como resultado se mostrar´:
a
polinomio = 1/10*t^2+3/5*t+1
yi = 0.3250 0.7250
1.2 Interpolaci´n de Hermite
o
Teniendo en cuenta la interpolaci´n de Lagrange, se puede exigir otro tipo de condiciones,por ejemplo
o
que adem´s de coincidir los valores P (xi ) = f (xi ) = yi , tambi´n coincidan el de sus derivadas:
a e
P ′ (xi ) = f ′ (xi ) = yi para todo xi con i = 0, · · ··, n .
′
As´ tenemos los siguientes datos:
ı
x0 x1 ··· xn
y0 y1 ··· yn
′ ′ ′
y0 y1 ··· yn
Cuadro 1:
Observamos que se tiene 2(n + 1) condiciones, por lo que buscaremos un polinomio de grado
2n + 1 que verifique la condiciones dadas en el Cuadro (1).
1.2.1 Polinomio de Hermite
Se define como: n n
′
P2n+1 (x) = hj (x) · yj + gj (x) · yj , (3)
j=0 j=0
donde hj (x) y gj (x) est´n definidos en t´rminos de polinomios de Lagrange:
a e
hj (x) = [1 − 2(x − xj ) · L′j (xj )] · L2 (x) , gj (x) = (x − xj ) · L2 (x) .
j j (4)
Implementaci´n del m´todo en MatLab :
o e
%Algoritmo generalizado de Hermite
% ingresar valores conocidos de x
% ingresar valores conocidos de y
% ingresar valores de las derivadas dy
% ingresar valores a interpolar xi
function Hermite(x,y,dy,xi)
p=0;
syms t;
n=length(x);
yi=zeros(size(xi));
for i=1:n
3
7. l=1;
L=1;
M=0;
for j=1:n
if i~=j
l=l.*(xi-x(j))/(x(i)-x(j));%polinomio lagrange
L=L.*1/(x(i)-x(j)); %factor constante en derivada
M=M+(x(i)-x(j));% acumulando derivadas
F=L.*M ; %resultado delagrange derivado
hj=((1-2.*(xi-x(i)).*F)).*l.^2; %coeficiente en hemite
gj=(xi-x(i)).*l.^2 ;%coeficiente en hemite
end
end
yi=hj.*y(i)+gj.*dy(i);
p=p+yi;
end
p
1
Ejemplo 2. Sea f (x) = x2 +1
la funci´n a interpolar, con los siguientes datos adicionales:
o
i=0 i=1 i=2 i=3 i=4
xi −2 −1 0 1 2
yi 1/5 1/2 1 1/2 1/5
′
yi 4/25 1/2 0 −1/2 −4/25 .
Cuadro 2:
Evaluar el polinomio de Hermite en los valores {−1 · 5, −0 · 5, 0 · 5, 1 · 5} .
Soluci´n:
o
Usando la funci´n “Hermite” en MatLab, ingresamos la orden :
o
Hermite([-2 -1 0 1 2],[1/5 1/2 1 1/2 1/5],
[4/25 1/2 0 -1/2 -4/25],[-1.5 -0.5 0.5 1.5])
y se mostrar´ como respuesta:
a
p = 1.1099 0.5692 0.5692 1.1099
1.3 Funci´n Spline
o
Una “funci´n spline de grado k ” con valores conocidos en x0 , x1 , · · ·, xn es una funci´n S(x)
o o
formada por varios polinomios cada uno definido sobre un subintervalo [xi , xi+1 ] y se unen bajo las
siguientes condiciones de continuidad:
• En el intervalo [xi , xi+1 >, S(x) es un polinomio de grado menor o igual a k .
• S(x) admite derivada continua de orden (k − 1) en [x0 , xn ] .
4
8. -La interpolaci´n m´s frecuente es por medio de splines de grado 3, llamados “splines c´ bicos”.
o a u
-MatLab tiene incorporado el interpolador “spline cubic”, se ejecuta siguiendo la siguiente sintaxis:
yi = spline(x, y, xi), donde los valores y representa los valores de la funci´n evaluada en los puntos
o
x y los puntos xi son los puntos a interpolar.
Ejemplo 3.
x = 0:10;
y = x.*cos(x);
xi = 0:.25:10;
yi = spline(x,y,xi);
hold on
plot(x,y,’o’,xi,yi) % ubicaci´n de los puntos dados
o
% y la gr´fica del polinomio interpolador
a
Figura 2:
1.4 Ejemplo de Aplicaci´n
o
Ejemplo 4. Con ayuda de la funci´n de Matlab ginput realice un dibujo de su mano. Para esto
o
coloque su mano en la pantalla de su monitor y seleccione unos 30 a 35 puntos del contorno de su
mano. Ahora imagine que las abscisas y las ordenadas de los datos que recolect´ son funciones de una
o
variable independiente que va desde 1 hasta el n´mero de puntos. Luego realice una interpolaci´n de
u o
cada una de estas tablas en una rejilla muy fina. Seleccione el m´todo de interpolaci´n que considere
e o
el mejor para este caso.
Soluci´n: Definimos en MatLab la siguiente funci´n que realiza lo pedido:
o o
% N es numero de puntos
%get consigue las propiedades del objeto
%get(h,’PropertyName’)
%screensize tama~o de la pantalla
n
%figure(’position’,get(0,’screensize’))
% ginput permite seleccionar puntos de la figura con el mouse
function mano(N)
figure(’position’,get(0,’screensize’))
axes(’position’,[0 0 1 1])
[x,y] = ginput(N);
5
9. N = length(x);
n =(1:N)’;
xi=(1:0.05:N)’;
u = spline(n,x,xi);
v = spline(n,y,xi);
plot(x,y,’ro’,u,v,’-’);
2 Ra´
ıces de Ecuaciones
En esta secci´n nos ocuparemos de encontrar las ra´ de ecuaciones no lineales. Esto es, encontrar
o ıces
los ceros de funciones. El proceso a seguir es:
• Ubicar intervalos [aj , bj ] en donde se encuentran las ra´
ıces, para esto hacemos uso del Teorema
del Valor Intermedio . Podemos optar por hacer la gr´fica de la funci´n .
a o
• En cada intervalo contruir una sucesi´n xn ∈ [aj , bj ] tal que limn→∞ xn = rj , donde rj es
o
un cero de la fuci´n.
o
• Lo anterior es un proceso iterativo mediante el cual se busca encontrar una mejor aproximaci´n
o
de los ceros de una funci´n. Se termina cuando se impone alg´n criterio de tolerancia. Por
o u
ejemplo : |xn+1 − xn | < ǫ, para ǫ > 0 bastante peque˜ o.n
3 Presentaci´n de Algunos M´todos.
o e
Presentaremos la implementaci´n de algunos m´todos en Matlab mediante un ejemplo:
o e
Ejemplo 5. Hallar las ra´
ıces de la ecuaci´n:
o
sin(sqrt(sec(x) + (x3 ) ∗ exp(5 ∗ x/tan(x)))) − exp(−1 ∗ x) = 0
en el intervalo [0 · 17, 0 · 81] .
Primero definimos una funci´n en Matlab:
o
function y=f(x)
y=sin(sqrt(sec(x)+(x^3)*exp(5*x/tan(x))))-exp(-1*x); .
La cual es guardada con el nombre de f .
3.1 M´todo de Bisecci´n
e o
Definimos una funci´n para este m´todo:
o e
function MB=biseccion(a,b,f,tol);
% Esta funci´n aplica el m´todo de bisecci´n para
o e o
% ubicar raices.
% a y b son extremos del intervalo donde se ubica la ra´z
ı
% n indica el n´mero de la iteraci´n
u o
6
10. % f es la funci´n
o
% tol= tolerancia
error=1;%error inicial
f_ant=feval(f,b);
% f_ant indica f anterior ,feval(f,b)indica f evaluado en b.
n=1; while (error>tol)
f_a=feval(f,a);
f_b=feval(f,b);
m =(a+b)/2;
f_m=feval(f,m);
error=abs(f_m-f_ant);
fprintf(’n=%d, a= %5.8f,b=%5.8f,m=%5.8f,f(m)=%5.8f,
error=%5.8fn’,n,a,b,m,f_m,error)
if f_a == 0,
W=sprintf(’n ra´z en x = %5.8f ’, a);
ı
disp(W);
return
end
if f_b == 0
W=sprintf(’n ra´z en x = %5.8f ’, b);
ı
disp(W);
return
end
if (f_a*f_m)<0
b= m;
else
a= m;
end
f_ant=f_m;
n=n+1;
end;
W=sprintf(’n ra´z en x = %5.8f ’, m);
ı
disp(W);
Para nuestro ejemplo ejecutamos la orden:
biseccion(0.17,0.81,’f’,0.5*10^(-8)) ,
obteniendo como resultado:
ra´z en x = 0.32913022
ı .
3.2 M´todo de la Secante
e
Definimos una funci´n para este m´todo:
o e
function MS=secante(x1,x2,f,tol)
% Esta funci´n aplica el m´todo de la secante para ubicar
o e
7
11. % ra´ces de una funci´n.
ı o
% f es la funci´n que ingresamos (a ser llamada)
o
% tol es la tolerancia que deseamos
% x1 y x2 son los extremos iniciales del intervalo en
% el que est´ la ra´z
a ı
% delta es el tama~o del nuevo interv. en el q’ est´ la ra´z
n a ı
f1=feval(f,x1);
f2=feval(f,x2);
x_nuevo=x2;
for n=2:30
x=x2+f2*(x2-x1)/(f1-f2);
fx=feval(f,x);
x1=x2;
f1=f2;
delta=abs(x2-x);
x2=x;
f2=fx;
fprintf(’n = %d, x = %5.8f, fx = %5.8f n’,n,x,fx)
if delta < tol,
break,
end
end
fprintf(’n ra´z en x = %5.8f ’, x);
ı
Para nuestro ejemplo ejecutamos la orden:
secante(0.17,0.81,’f’,0.5*10^(-8)) ,
obtenemos como resultado:
ra´z en x = 0.32913022 .
ı
3.3 M´todo de Falsa Posici´n
e o
Definimos una funci´n para este m´todo:
o e
function MFP=falsaposicion(x1,x2,f,tol)
% Esta funci´n aplica el m´todo de Falsa Posici´n
o e o
% para hallar las ra´ces de una funci´n.
ı o
% f es la funci´n que ingresamos
o
% tol es la tolerancia que deseamos
% x1 y x2 son los extremos del intervalo donde se
% encuentra la ra´z
ı
f1=feval(f,x1); f2=feval(f,x2); x_nuevo=x2;
if f1*f2<0
for n=2:30
x=x2+f2*(x2-x1)/(f1-f2);
fx=feval(f,x);
8
12. if fx*f1>0
x1=x;f1=fx;
else
x2=x;f2=fx;
end
fprintf(’n = %d, x = %5.8f, fx = %5.8f n’,n,x,fx)
if abs(x_nuevo-x)<tol,
break,
end
x_nuevo=x;
end
else
disp(’La ra´z debe estar en el intervalo [x1,x2]’)
ı
end
fprintf(’n ra´z en x = %5.8f ’, x_nuevo);
ı
Para nuestro ejemplo ejecutamos la orden:
falsaposicion(0.17,0.81,’f’,0.5*10^(-8)) ,
obteniendo como resultado:
ra´z en x = 0.32913022
ı .
3.4 M´todo de Newton
e
Presentaremos la implementaci´n del m´todo de Newton en una variable. Este m´todo necesita a
o e e
diferencia de los anteriores,una aproximaci´n inicial de la ra´
o ız,tambi´n la derivada de la funci´n.
e o
Primero definimos una funci´n en MatLab para la derivada de la funci´n de la cual se quiere hallar
o o
su ra´
ız.
Para nuestro ejemplo:
function y=derivada(x)
y=1/2*cos((sec(x)+x^3*exp(5*x/tan(x)))^(1/2))/(sec(x)
+x^3*exp(5*x/tan(x)))^(1/2)*(sec(x)*tan(x)
+3*x^2*exp(5*x/tan(x))+x^3*(5/tan(x)
-5*x/tan(x)^2*(1+tan(x)^2))*exp(5*x/tan(x)))+exp(-x);
Implementaci´n de MatLab del m´todo de Newton para una variable:
o e
function N=newton1v(xo,f,df,tol)
% Esta funci´n aplica elm´todo de una variable
o e
% para hallar la ra´z de una funci´n.
ı o
% xo es la aproximacion inicial de la ra´z
ı
% f es la funcion
% df es la derivada de la funcion
9
13. % tol=tolerancia
error=1; x_ant=xo; n=1; while (error>tol)
x_nuevo=x_ant-feval(f,x_ant)/feval(df,x_ant);
error=abs(x_nuevo-x_ant);
W=fprintf(’n=%d,x_ant=%5.8f,x_nuevo=%5.8f,
error=%5.8f’,n,x_ant,x_nuevo,error);
disp(W);
x_ant=x_nuevo;
n=n+1;
end;
fprintf(’n ra´z en x=%5.8f’,x_ant);
ı
Para nuestro ejemplo ejecutamos la orden:
newton1v(0.30,’f’,’derivada’,0.5*10^(-8)) ,
obteniendo como resultado:
ra´z en x=0.32913022
ı .
4 Derivada de una funci´n
o
Ejemplo 6. Considere la funci´n f (x) = xexp(x) . Determinar aproximaciones de f ′ (2) , para
o
cada uno de los siguientes pasos h = 0 · 5, 0 · 45, · · ·, 0 · 05 ; usando las f´rmulas de diferencia hacia
o
atr´s, diferencia hacia delante y diferencia central. Para visualizar como la aproximaci´n mejora con
a o
el decrecimiento del paso, graficar el error como funci´n de h en cada caso.
o
soluci´n:
o
Diferencia hacia adelante:
%derivada de la funci´n Y =x.*exp(x) en el punto x=2
o
%usando diferencia hacia adelante con dos puntos,
%se grafica el error como funci´n del paso.
o
xo=2;
h=0.5:-0.05:0.05;
n = length(h)-1;
disp(’ DIFERENCIA HACIA ADELANTE ’);
for j=1:length(h)
x1=xo;
x2=xo+h;
y1=x1.*exp(x1);
y2=x2.*exp(x2);
y=(y2-y1)./(h);
end
fprintf(’n h=%5.2f’,h);
fprintf(’n y=%5.8f’,y);
w=abs(exp(2)+2.*exp(2)- y);%error
plot(h,abs(exp(2)+2.*exp(2)- y),’ro’), grid
10
14. Diferencia hacia atr´s:
a
%derivada de la funci´n Y =x.*exp(x) en elpunto x=2 usando
o
%diferencia hacia atras con dos puntos, se grafica el
%error como funci´n del paso.
o
xo=2;
h=0.5:-0.05:0.05;
n = length(h)-1;
disp(’ DIFERENCIA HACIA ATRAS ’);
for j=1:length(h)
x1=xo;
x2=xo-h;
y1=x1.*exp(x1);
y2=x2.*exp(x2);
y=(y1-y2)./(h);
end
fprintf(’n h=%5.2f’,h);
fprintf(’n y=%5.8f’,y);
w=abs(exp(2)+2.*exp(2)- y);%error
plot(h,abs(exp(2)+2.*exp(2)- y),’ro’), grid
Diferencia central:
%derivada de la funci´n Y =x.*exp(x) en el
o
%punto x=2 usando diferencia central con dos
%puntos, se grafica el error como funci´n del paso
o
xo=2;
h=0.5:-0.05:0.05;
n =length(h)-1;
disp(’ DIFERENCIA CENTRAL ’);
for j=1:length(h)
x1=xo-h;
x2=xo+h;
yo=xo.*exp(xo);
y1=x1.*exp(x1);
y2=x2.*exp(x2);
y=(y2-y1)./(2.*h);
end
fprintf(’n h=%5.2f’,h);
fprintf(’n y=%5.8f’,y);
w=abs(exp(2)+2.*exp(2)- y);%error
plot(h,abs(exp(2)+2.*exp(2)- y),’ro’), grid .
11
15. 5 Integraci´n
o
Ejemplo 7. Evaluar num´ricamente las siguientes integrales impropias realizando las transforma-
e
ciones que crea conveniente.
∞ 1
a) dx
0 1 + x2
1 cos(x)
b) √ dx
0 x
Soluci´n:
o
Parte a), definimos la siguiente funci´n en Matlab:
o
function integral
disp(’INTEGRAL DE f(x)=1/(1+x^2)’);
disp(’LIMITES DE INTEGRACION:a=0;b=infty’);
%Evaluamos de a=0 hasta c=1 y de c=1 hasta b=infty;
I1=trapecio(’h’,0,1,80);
%segundo desde c=1 hasta b=infty
%hacemos el cambio x=1/t
I2=trapecio(’g’,0,1,80);
disp(’EL VALOR DE LA INTEGRAL ES:’);
I=I1+I2
%inicio de la subfunci´n regla extendida del trapecio
o
function s = trapecio(f,a,b,m)
h = (b - a)/m; s = 0; for k=1:(m-1),
x = a + h*k;
s = s + feval(f,x);
end s = h*(feval(f,a)+feval(f,b))/2 + h*s;
% definiendo funciones
function h=h(x)
h=1/(1+x^2);
function g=g(t)
g= 1/(1+t^2); .
El valor de la integral es: I=1.5708 .
Parte b), definimos la siguiente funci´n en Matlab:
o
function integral_2
disp(’INTEGRAL DE f(x)=(cos(x))/(x^(1/2))’);
disp(’LIMITES DE INTEGRACION: a=0;b=1’);
%hacemos el cambio x=(t^2)
%integraremos g(t)=2cos(t^2)
%nuevos l´mites de integrac´n a=0 ,b=1.
ı o
disp(’EL VALOR DE LA INTEGRAL ES :’);
richarson(’g’,0,1,20)
%inicio de la subfunci´n richarson - trapecio
o
12
16. function [integral]=richarson(f,a,b,m)
format short
%-------------------------------------------
%EMPEZAMOS ALGORITMO DE RICHARSON PARA
%HALLAR LA integral de una funci´n
o
for i=1:length(m)
h=(b-a)./m;
delta=0.01; err=1; j=1;
I(1,1)=trapecio(f,a,b,m);
while err>delta && j<50
m=2.*m;
I(j+1,1)=trapecio(f,a,b,m);
for k=1:j
I(j+1,k+1)=(I(j,k)-(4^k)*I(j+1,k))/(1-4^k);
end
err=abs(I(j+1,j+1)-I(j,j));
j=j+1;
end [n ,n]= size(I);
end
I;
I(n,n)
%inicio de la subfunci´n regla
o
%extendida del trapecio
function s = trapecio(f,a,b,m)
h = (b - a)/m; s = 0; for k=1:(m-1),
x = a + h*k;
s = s + feval(f,x);
end
s = h*(feval(f,a)+feval(f,b))/2 + h*s;
% definiendo funci´n
o
function g=g(t)
g=2*cos(t^2); .
El valor de la integral es: I=1.8090 .
6 Ecuaciones Diferenciales
Para calcular, la soluci´n aproximada del problema: y ′ = f (t, y) en [to, tf ] con la condici´n inicial
o o
y(to) = yo; en MatLab se usan los comandos:
f=inline(’expresion de f(t,y)’,’t’,’y’)
ode23(f,[to,tf],yo) ,
esta orden calcula una aproximaci´n num´rica de la soluci´n y muestra una gr´fica.
o e o a
Ejemplo 8. Ejecutamos la orden:
13
17. f=inline(’-5*y+10’,’t’,’y’)
ode23(f,[0,3],0)
axis([-0.5 3 -0.5 3]),grid ,
se muestra la siguiente gr´fica:
a
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Figura 3:
Tambi´m podemos hacer el c´lculo mediante la orden
e a
[t,y]=ode23(f,[t0,tf],y0) ,
la diferencia con la enterior,es que esta no muestra gr´fica.
a
6.1 Ley de Malthus
Ejemplo 9. Supongamos que el n´mero de habitantes de un pa´ en el a˜ o 2007 fue de 26.4 millones.
u ıs n
′
Y crece siguiendo la Ley (de Malthus) y = 0,05y, donde y(t) representa el n´mero de habitantes
u
en millones, en un instante t .
Estimar el n´mero de Habitantes en el a˜ o 2020.
u n
soluci´n: Datos: to=2007 ,yo=26.4,tf=2020. Ejecutamos la orden
o
f=inline(’0.05*y’,’t’,’y’)
ode23(f,[2007,2020],26.4) ;
usamos la orden ginput(1) para hallar en la gr´fica las coordenadas que me indican la soluci´n.
a o
Obteniendo como respuesta que en el a˜ o 2020 el n´ mero de habitantes es aproximadamente 50.6
n u
millones.
Implementamos una funci´n en MatLab para la soluci´n anal´
o o ıtica de este modelo:
14
18. function M=malthus(to,tf,yo)
%to=tiempo inicial,tf=tiempo final
% yo=y(to)
k=0.05; % constante de proporcionalidad, puede variar.
h=0.01; % incremento de tiempo,puede variar.
th=to:h:tf;
soluc=yo.*exp(k.*(th-to));
plot(th,soluc) .
Para nuestro ejemplo ingresamos la orden:
malthus(2007,2020,26.4) .
7 Bibliograf´
ıa
[1] Juan-Antonio Infante y Jos´ Mar´ Rey,
e ıa
Introducci´n a MATLAB(notas en internet).
o
[2] Nakamura, Shoichiro,
Numerical analysis and graphic visualization with MATLAB Upper Saddle River,
NJ : Prentice-Hall, 1996.
[3] W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T Vetterling, B.P. Flannery Numerical Recipes in C (2nd edition),
Cambridge University Press. 1992.
[3]Elizabeth Doig. Notas de clase del curso C´lculo Num´rico,
a e
Ciencias e Ingenier´
ıa-PUCP.
15