Este documento presenta varios problemas de métodos numéricos resueltos por un estudiante. Incluye problemas sobre interpolación polinómica de Lagrange y Newton para predecir velocidades y posiciones de un automóvil, aproximar voltajes en un circuito eléctrico, ajustar polinomios de mínimos cuadrados a conjuntos de datos, e interpolar funciones para determinar caudales de bombeo.

1. UNIVERSIDAD PEDAGOGICA Y TECNOLOGICA DE COLOMBIA
FACULTAD DE INGENIERIA
METODOS NUMERICOS
TRABAJO 3
1. Un automóvil realiza un recorrido por una carretera recta y se cronometra su recorrido en varios puntos.
Los datos recabados de las observaciones se incluyen en la siguiente tabla, donde le tiempo se indica
en segundos, la distancia en pies y la velocidad en pies por segundo
Tiempo 0 3 5 8 13
Distancia 0 225 383 623 993
Velocidad 75 77 80 74 72
:
(a) Use el polinomio de interpolación de Lagrange para predecir la posición del automóvil y su ve-
locidad cuando t = 10s:
(b) Use los siguientes tiempos y posiciones para predecir la velocidad del automóvil en cada momento
incluido en la tabla
Tiempo 0 3 5 8 13
Distancia 0 225 383 623 993
:
(c) ¿Cuál es el error relativo en tiempo t = 5s?
2. En un circuito con un voltaje impreso "(t) y una inductancia L, la primera ley de Kirchho¤ nos da la
siguiente relación
"(t) = L
di
dt
+ Ri;
donde R es la resistencia del circuito e i es la corriente. Suponga que medimos la corriente con varios
valores t y obtenemos
t 1:00 1:01 1:02 1:03 1:04
i 3:10 3:12 3:14 3:18 3:24
;
donde t se mide en segundos, i se da en amperes, la inductancia L es una constante de 0:98 Henries y
la resistencia es de 0:142 ohms. Aproxime el voltaje "(t) en los valores t = 1:00; 1:01; 1:02; 1:03 y 1:04:
3. Con los datos
xi 4:0 4:2 4:5 4:7 5:1 5:5 5:9 6:3 6:8 7:1
yi 102:56 113:18 130:11 142:05 167:53 195:14 224:87 256:73 299:50 326:72
(a) Construya el polinomio de mínimos cuadrados de primer grado y calcule el error.
(b) Construya el polinomio de mínimos cuadrados de segundo grado y calcule el error.
(c) Construya el polinomio de mínimos cuadrados de tercer grado y calcule el error.
4. Para determinar una relación entre el número de peces y el de las especies de peces en muestras tomadas
de una parte de Great Barrier Reef, P. Sale. Ajuste un polinomio lineal de mínimos cuadrados al
siguiente conjunto de datos, que se recopilaron de muestras formadas durante un periodo de 2 años.
Sea x el número de peces de la muestra y sea y el número de especies de la muestra
x y x y x y
13 11 29 12 60 14
15 10 30 14 62 21
16 11 31 16 64 21
21 12 36 17 70 24
22 12 40 13 72 17
23 13 42 14 100 23
25 13 55 22 130 34
5. Interpolación de Newton
1

2. (a) Desarrolle algebraicamente el numerador y el denominador
a2 =
f[x2] f[x0] (x2 x0)
f[x1] f[x0]
x1 x0
(x2 x0)(x2 x1)
para llegar a
a2 =
f[x2] f[x1]
x2 x1
f[x1] f[x0]
x1 x0
x2 x0
= f[x0; x1; x2]:
(b) En una planta se bombea esencia de trementina, 60 C, desde la base de una columna de frac-
cionamiento hasta un gran tanque de almacenamiento descubierto. La columna opera a 1; 29
atmósferas. En la siguiente tabla se representan los datos relativos los litros por hora que puede
bombear la bomba en función de la potencia en watios a la que es necesario que trabaje:
Q(l=h) 500 700 900 1100 1300 1500 1700 1900
N(w) 365 361:6 370:64 379:68 379:69 384:46 395:95 397
Se desea saber si la bomba será capaz de impulsar un caudal de 1000 l=h de trementina hasta el
tanque de almacenamiento trabajando a un máximo de 373w: (Realice la interpolación usando el
polinomios de Newton con cinco cifras signi…cativas)
6. Construya los polinomios interpolantes de Lagrange (con cuatro cifras signi…cativas) para las siguientes
funciones y obtenga una cota para el error absoluto en el intervalo [x0; xn]:
(a) f(x) = e2x cos 3x; x0 = 0; x1 = 0:3; x2 = 0:6; n = 2:
(b) f(x) = sin(ln x); x0 = 2:0; x1 = 2:4; x2 = 2:6; n = 2:
(c) f(x) = ln x; x0 = 1; x1 = 1:1; x2 = 1:3; x2 = 1:4; n = 2:
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