Este documento presenta ejercicios de interpolación lineal y polinómicos de Newton y Lagrange. En el primer ejercicio, se interpola linealmente entre puntos dados y se calcula el error relativo. En los ejercicios 2 y 3, se usan polinomios de Newton de 2o y 3er grado respectivamente para interpolar valores faltantes. En el ejercicio 4, se repite el ejercicio 3 usando un polinomio de Lagrange de 3er grado.

1. República Bolivariana De Venezuela
Politécnico “Santiago Mariño”
Extensión -Barinas
Alumna:
Daylenis Ramos
CI 20.539.938
San Felipe, Julio de 2014
EJERCICIOS DE
INTERPOLACION

2. 1. Encuentre el 5lo g mediante interpolación lineal.
a. Interpole entre 4= 0,60206log y 7=0,7781513log (2%)
b. Interpole entre 4,5= 0,6532125log y 5,5=0,7403627log (2%)
c. Calcule el error relativo porcentual para cada caso, sabiendo que 5= 0,698970log (1%)
Fórmula de Interpolación Lineal :
1 0
0 0
1 0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
f x f x
f x f x x x
x x
donde: 0 1
4 , 7 ( ) lo gx x y f x x ;
a. Para 5x , (5) 0,698970f , 4= 0,60206log y 7= 0,7781513log
0 0
( ) 4 ( ) 0 ,6 0 2 0 6f x lo g f x
1 1
( ) 7 ( ) 0 ,7 7 8 1 5 1 3f x lo g f x
0,7781513 0,60206
(5) 0,60206 (5 4) (5) 0, 660571
7 4
f f

3. b. Para 5x , (5) 0,698970f , 4,5= 0,6532125log y 5,5= 0,7403627log
0 0
( ) 4 ,5 ( ) 0 ,6 5 3 2 1 2 5f x lo g f x
1 1
( ) 5 ,5 ( ) 0 ,7 4 0 3 6 2 7f x lo g f x
0 ,7 4 0 3 6 2 7 0 ,6 5 3 2 1 2 5
(5) 0 ,6 5 3 2 1 2 5 (5 4, 5) (5) 0, 6 9 6 7 8 7 6
5, 5 4, 5
f f
El error es:
0, 698970 0, 6967876
% 100% % 0, 31, %
0, 698970
e x e
c. Error en el caso (a) es:
0, 698970 0, 660571
% 100% % 5, 49%
0, 698970
e x e
Error en el caso (b) es:
0, 698970 0, 6967876
% 100% % 0, 31, %
0, 698970
e x e
El error porcentual redujo un 5,18%

4. 2. Dado los datos:
x 1 2 2,5 3 4 5
( )f x 1 5 7 8 2 1
Calcule f (3,4) usando un polinomio de Newton de 2º y 3º grado.(5%)
Fórmula de Newton para el polinomio de interpolación:
2do Grado  2 0 1 0 2 0 1
( ) ( ) ( )( )p x A A x x A x x x x
3do Grado  3 0 1 0 2 0 1 3 0 1 2
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )p x A A x x A x x x x A x x x x x x 2
( )p x
Donde 0 0 1 0 1 2 0 3 0 4 0
, , , , , ,A y A f x x A y A y A y

5. Tabla de Diferencias Divididas para obtener los coeficientes:
i
x
( )i i
y f x
1
,i i
f x x 1 2
, ,i i i
f x x x
0 1 2 3
, , ,f x x x x
1
0
A 1
2 5
1 0 1
5 1
, 4
2 1
A f x x
2,5 7
1 2
7 5
, 4
2, 5 2
f x x 2 0 1 2
4 4
, , 0
2, 5 1
A f x x x
3 8
2 3
8 7
, 2
3 2, 5
f x x 1 2 3
2 4
, , 2
3 2
f x x x 3 0 1 2 3
2 0
, , , 1
3 1
A f x x x x
4 2
3 4
2 8
, 6
4 3
f x x 2 3 4
6 2
, , 5, 3 3
4 2, 5
f x x x 1 2 3 4
5, 33 ( 2)
, , , 1, 67
4 2
f x x x x
5 1
4 5
1 2
, 1
5 4
f x x 3 4 5
1 ( 6 )
, , 2, 5
5 3
f x x x 2 3 4 5
2, 5 5, 3 3
, , , 1,1 3
5 2, 5
f x x x x

6. 3. Con los datos:
x 1 2 3 5 6
( )f x 4,75 4 5,25 19,75 36
Calcule f (4) usando un polinomio de interpolación de Newton de 3º grado (5%)
Polinomio de grado n para diferencias divididas de newton como:
0 1 0 2 0 1 0 1 2 1
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )n n n
f x b b x x b x x x x b x x x x x x x x 
En este caso, el polinomio es de 3er grado:
3 0 1 0 2 0 1 3 0 1 2 3
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( )p x b b x x b x x x x b x x x x x x x x
Donde,
0 0
1 1 0
2 2 1 0
3 3 2 1 0
,
, ,
, , ,
b f x
b f x x
b f x x x
b f x x x x
i i
x ( )i
f x 1ra dif. div. 2da dif. div.

7. Sustituir Valores
0
0
x 0
( )f x 1, 0
1, 0
1, 0
( ) ( )f x f x
f x x
x x
2 1 1 0
2 1 0
2 0
, ,
, ,
f x x f x x
f x x x
x x
2 , 1
2 , 1
2 , 1
( ) ( )f x f x
f x x
x x
1
1
x 1
( )f x 2 1 1 0
2 1 0
2 0
, ,
, ,
f x x f x x
f x x x
x x3 , 2
3 , 2
3 , 2
( ) ( )f x f x
f x x
x x
2
2
x 2
( )f x
2 1 1 0
2 1 0
2 0
, ,
, ,
f x x f x x
f x x x
x x
4 , 3
4 , 3
4 , 3
( ) ( )f x f x
f x x
x x
3 3
x 3
( )f x
i i
x ( )i
f x 1ra dif. div. 2da dif. div. 3ra dif. div.
0 1 4,75
-0,75
1
0,25
1 2 4
1,25
2 3 5,25
2
7,25
3 5 19,75

8. 3
( ) 4, 7 5 0, 7 5( 1) ( 1)( 2 ) 0, 2 5( 1)( 2 )( 3)p x x x x x x x
El polinomio de Newton:
3 2
3
( ) 0, 25 0, 50 6, 50p x x x x
Para 4x , entonces:
3 2
3
(4) 0, 25(4) 0, 50(4) (4) 6, 50 10, 50p
4. Repita el ejercicio número 3 utilizando un polinomio de Lagrange de tercer grado. (5%)
Respuesta:
Polinomios auxiliares de Lagrange para el soporte de 4 puntos, que son los siguientes:
0 1 2 3
, , , 1, 2, 3, 5S x x x x
0 2 3
0
0 1 0 2 0 3
( )( )( )
( )
( )( )( )
x x x x x x
L x
x x x x x x
0 2 3
1
1 0 1 2 1 3
( )( )( )
( )
( )( )( )
x x x x x x
L x
x x x x x x
0 2 3
2
2 0 2 1 2 3
( )( )( )
( )
( )( )( )
x x x x x x
L x
x x x x x x

9. 0 2 3
3
3 0 3 1 3 2
( )( )( )
( )
( )( )( )
x x x x x x
L x
x x x x x x
Sustituyendo:
0
( 1)( 2 )( 3) ( 1)( 2 )( 3)
( )
(1 2 )(1 3)(1 5) 1 0
x x x x x x
L x
1
( 1)( 2 )( 3) ( 1)( 2 )( 3)
( )
(2 1)(2 3)(2 5) 3
x x x x x x
L x
2
( 1)( 2 )( 3) ( 1)( 2 )( 3)
( )
(3 1)(3 2 )(3 5) 4
x x x x x x
L x
3
( 1)( 2 )( 3) ( 1)( 2 )( 3)
( )
(5 1)(5 2 )(5 3) 2 4
x x x x x x
L x
Polinomio interpolador de Lagrange:
0
( ) ( )
n
n j j
j
p x y L x En este caso es de grado 3:
3
3 0 0 1 1 2 2 3 3
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )j j
j
p x y L x y L x y L x y L x y L x
Donde, 0 1 2 3
, , , 4, 75; 4; 5, 25;19, 75y y y y y

10. Sustituyendo:
3
( 1)( 2 )( 3) ( 1)( 2 )( 3)
( ) (4, 7 5) (4 )
1 0 3
( 1)( 2 )( 3) ( 1)( 2 )( 3)
(5, 2 5) (1 9, 7 5)
4 2 4
x x x x x x
p x
x x x x x x
2 2
3
2 2
( ) ( 0, 4 7 5)( 3 2 )( 3) (1, 3 3 3( 3 2 )( 3)
(1, 3 1 2 5)( 3 2 )( 3) (0, 8 2 2 9 ( 3 2 )( 3)
p x x x x x x x
x x x x x x
2
3
( ) ( 3 2)( 3) 0, 475 1, 333 1, 3125 0, 8229p x x x x
3 2 2 3 2
( ) (2, 9 9 3 4 )( 3 2 3 9 6 ) (2, 9 9 3 4 )( 6 1 1 6 )p x x x x x x x x x
3 2
( ) 2, 9934 17, 9604 197, 5644 17, 9504p x x x x