Este documento presenta el método numérico de la secante para resolver ecuaciones no lineales. Se aplica el método para calcular la altura necesaria para llenar un 85% de la capacidad de un camión cisterna cilíndrico elíptico. El método converge a una altura de 1.4269 metros. Se concluye que el método de la secante es eficiente para resolver problemas matemáticos y de ingeniería.

1. FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA
E.A.P INGENIERÍA CIVIL
 ASIGNATURA : Métodos Numéricos
 DOCENTE : Lic. Heli Mariano Santiago
 ALUMNOS :
 Cuellar Natividad, Lincoln
 Huacho Candia, Marco
MÉTODO DE LA SECANTE

2. INTRODUCCIÓN:
A la hora de hallar las raíces de muchas funciones no todas se hallan de manera sencilla o
aplicando los métodos que conocemos. Esas funciones son generalmente logarítmicas,
exponenciales, trigonométricas o combinaciones de estas. Para hallar las raíces
aproximadas recurrimos a los métodos numéricos. Entre estos métodos tenemos el
método de Newton Raphson, el método de bolsazo, el método de punto fijo, etc.
En esta oportunidad vamos a usar el método de la secante para hallar la solución de los
problemas que se mostrarán posteriormente.

3. MÉTODO DE LA SECANTE:
Es un método numérico abierto, surge como solución al inconveniente que se tiene en el
método de Newton – Raphson ya que no todas las funciones tienen una derivada o a veces es
difícil hallarlo.
Este método converge si la función, del cual es necesario hallar la raíz, es continua entre los
puntos donde se va a iterar.
Se necesitan dos puntos para empezar a realizar la iteración. Se puede deducir la fórmula de
recurrencia de la siguiente manera:
Convergencia:
Fórmula de recurrencia:
Tenemos la fórmula de Newton:
𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 −
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑓𝑓́
(𝑥𝑥)

4. Aproximamos la derivada por la siguiente expresión:
𝑓𝑓́
(𝑥𝑥) =
∆𝑦𝑦
∆𝑥𝑥
=
𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑛𝑛 − 𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑛𝑛−1
𝑥𝑥𝑛𝑛 − 𝑥𝑥𝑛𝑛−1
Entonces:
𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 − 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛) �
𝑥𝑥𝑛𝑛 − 𝑥𝑥𝑛𝑛−1
𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑛𝑛 − 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛−1)

5. tan 0.1𝑥𝑥 = 9.2𝑒𝑒−𝑥𝑥
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = tan 0.1𝑥𝑥 − 9.2𝑒𝑒−𝑥𝑥 𝑥𝑥0 = 3.2 , 𝑥𝑥1 = 3.7 , 𝜀𝜀 = 10−4
𝟏𝟏𝟏 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰
𝑓𝑓 𝑥𝑥0 = tan 0.1 ∗ 3.2 − 9.2𝑒𝑒−3.2 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 = −0.043622
𝑓𝑓 𝑥𝑥1 = tan 0.1 ∗ 3.7 − 9.2𝑒𝑒−3.7 𝑓𝑓 𝑥𝑥1 = 0.160406
𝑥𝑥𝑖𝑖+1 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 −
𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑖𝑖 [𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥𝑖𝑖−1]
𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑖𝑖−1
𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1 −
𝑓𝑓 𝑥𝑥1 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0
𝑓𝑓 𝑥𝑥1 − 𝑓𝑓 𝑥𝑥0
= 3.7 −
0.160406 3.7 − 3.2
0.160406 + 0.043622
= 3.3069
𝟐𝟐𝟐 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰
𝑓𝑓 𝑥𝑥1 = 0.160406
𝑓𝑓 𝑥𝑥2 = tan 0.1 ∗ 3.3069 − 9.2𝑒𝑒−3.3069
𝜀𝜀 =
3.3069 − 3.7
3.3069
= 0.111872
𝑓𝑓 𝑥𝑥2 = 6.305626 ∗ 10−3
𝑥𝑥3 = 𝑥𝑥2 −
𝑓𝑓 𝑥𝑥2 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1
𝑓𝑓 𝑥𝑥2 − 𝑓𝑓 𝑥𝑥1
= 3.3069 −
6.305626 ∗ 10−3
3.3069 − 3.7
6.305626 ∗ 10−3
= 3.290818
𝜀𝜀 =
3.290918 − 3.3069
3.290918
= 0.0048563
PROBLEMA:

6. 𝟑𝟑𝟑 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰
𝑥𝑥4 = 𝑥𝑥3 −
𝑓𝑓 𝑥𝑥3 𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥2
𝑓𝑓 𝑥𝑥3 − 𝑓𝑓 𝑥𝑥2
= 3.290818 −
0.000955 3.290818 − 3.3069
0.000955 − 6.305626 ∗ 10−3
= 3.292935
𝑓𝑓 𝑥𝑥2 = 6.305626 ∗ 10−3
𝑓𝑓 𝑥𝑥3 = tan 0.1 ∗ 3.290818 − 9.2𝑒𝑒−3.290818
= −0.000955 𝜀𝜀 =
3.292935 − 3.290818
3.292935
= 0.000642
𝑥𝑥3 = 3.290818
𝑥𝑥2 = 3.3069
I 𝒙𝒙𝒊𝒊−𝟏𝟏 𝒙𝒙𝒊𝒊 𝒇𝒇(𝒙𝒙𝒊𝒊−𝟏𝟏) 𝒇𝒇(𝒙𝒙𝒊𝒊) 𝒙𝒙𝒊𝒊+𝟏𝟏 Error%
1 3.2 3.7 -0.043622871 0.160406718 3.306903296
2 3.7 3.30690329 0.160406718 0.006305627 3.290818264 11.88715449
3 3.306903296 3.29081826 0.006305627 -0.000955788 3.292935466 0.488785191
4 3.290818264 3.29293547 -0.000955788 0.00000492182 3.292924623 0.064295276
5 3.292935466 3.29292462 0.00000492182 0.000000002311 3.292924615 0.000329273
La respuesta:3.292924623

7. PROBLEMA APLICATIVO:
Considérese un camión cisterna de agua de la siguiente forma:
Se desea transportar agua en este camión cisterna para una obra que se encuentra a cierta
distancia de tal manera que su contenido de agua sea el 85% de la capacidad total de tanque, dado
que es la capacidad máxima que se puede llevar con la finalidad de garantizar el cumplimiento de la
NTP (Norma Técnica de Protección) , para ello debemos calcular hasta que altura “h” debe de ser
llenado el tanque con la finalidad de que se cumpla con las condiciones mencionadas.
Se tiene este camión cisterna de forma cilindro recto elíptico la cual tiene una base menor de
b=90cm , una base mayor de a=130cm y una longitud L=1120cm

8. Datos del problema:
Según el problema nuestro objetivo es hallar la altura para cuando el agua llena el 85% de la
capacidad del tanque cisterna.
ℎ
Del gráfico se puede deducir:
VARIABLE DESCRIPCIÓN VALOR
h
Altura a hallar la cual
comienza desde el nivel
del suelo hasta la
capacidad
máxima del tanque.
Incógnita
V
Volumen máximo que
puede soportar el
tanque.
35000L
a Lado mayor de la elipse 1.3 m
b Lado menor de la elipse 0.9 m
L
Largo del tanque de
cisterna
11.2 m
ℎ 𝜖𝜖 0,2𝑏𝑏

9. Hallemos el volumen en función de la altura:
𝑉𝑉 ℎ =
1638
125
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
10
9
ℎ − 1 +
𝜋𝜋
2
+
10
9
ℎ − 1 1 −
10
9
ℎ − 1
2
𝑚𝑚3
Reemplazamos el volumen de dato para hallar una función de h:
𝑓𝑓 ℎ = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
10
9
ℎ − 1 +
10
9
ℎ − 1 1 −
10
9
ℎ − 1
2
− 1.100144
ℎ 𝜖𝜖 0,1.8 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹. (𝑎𝑎)
Fig. (a)
Tengamos en cuenta la siguiente restricción:

10. Desarrollo del problema:
Teníamos:
𝑓𝑓 ℎ = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
10
9
ℎ − 1 +
10
9
ℎ − 1 1 −
10
9
ℎ − 1
2
− 1.100144 ℎ 𝜖𝜖 0,1.8
Hallaremos las raíces la función f(h) por el método abierto que es “ el método de la secante”
con una tolerancia máxima de error de 10 -5.
La fórmula de recurrencia para realizar la iteración es:
𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 − 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛) �
𝑥𝑥𝑛𝑛 − 𝑥𝑥𝑛𝑛−1
𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑛𝑛 − 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛−1)
Empecemos con los valores iniciales las cuales son:
𝑥𝑥0 = 0
𝑥𝑥1 = 1.8

11.  Desarrollo manual:
 Desarrollo con software:
Para hallar los ceros de la función f(h) con un software primero hallaremos
el diagrama de flujo ya que esto nos facilitará escribir el código en un
lenguaje de programación.

12. Diagrama de flujo Algoritmo en Python:
Resultados:
Luego de realizar el algoritmo tanto de manera manual como también con
el uso de un software los resultados son los mismos.
El valor de h es:
h=1.4269 metros

13. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES:
 El método de la secante es un método para resolver ecuaciones no lineales de forma muy eficiente
sin tener muchas restricciones y limitaciones.
 Para hallar los valores iniciales es recomendable orientarse por las gráficas de las funciones f(x)=0.
 Este método es aplicable tanto para problemas matemáticos (académicos) y para modelados
matemáticos aplicados a la vida real.
 Antes de resolver un problema por el método de la secante es recomendable ordenas los datos del
problema y tener en cuenta las restricciones de la variable a hallar, es decir, calcular el dominio de la
función.
 Este método es recomendable resolverlo con la ayuda de un software porque converge más lento
que otros métodos numéricos.
 Para corroborar los resultados en una software es recomendable realizar las primeras iteraciones de
forma manual.

14. Bibliografía
 Colaboradores de Wikipedia. (2021, 11 enero). Método de la secante. Wikipedia, la enciclopedia libre.
https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_la_secante
 De Jorgeyfloreth, L. T. L. E. (2017, 7 abril). Método Secante. Métodos Numéricos.
https://jorgeyfloreth.wordpress.com/2017/03/06/metodo-secante/
 Secante. (2014, 23 junio). Proyecto Métodos Numéricos MA-0320. https://arturoguillen90.wordpress.com/ecuaciones-
no-lineales/secante/
 G. (2011, 24 febrero). Capacidad de un cilindro elíptico. Todoexpertos.
https://www.todoexpertos.com/categorias/ciencias-e-ingenieria/matematicas/respuestas/2628779/capacidad-de-un-
cilindro-eliptico
 M. (2021, 15 marzo). Camión cisterna: conducción, requisitos y normativa. movertis.com.
https://www.movertis.com/blog/camion-cisterna-conduccion-requisitos-y-normativa/
 La importancia del agua en la construcción. (2019, 21 noviembre). Construyendo Seguro.
https://www.construyendoseguro.com/la-importancia-del-agua-en-la-construccion/