Este documento describe varias aplicaciones de la integral definida en matemáticas y física, incluyendo el cálculo de áreas, longitudes de curvas, volúmenes de sólidos de revolución, y centroides. También discute la función de densidad de probabilidad y cómo se puede usar la integral para calcular la probabilidad de que una variable aleatoria tome ciertos valores.

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AGUASCALIENTES
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
MATERIA:CÁLCULO INTEGRAL
PROFESOR:HUGO HERNÁNDEZ RAMOS
ALUMNOS: DIANA ELIZABETH CRUZ MACÍAS
CARRERA: INGENIERÍA EN GESTIÓN EMPRESARIAL
SEMESTRE: SEGUNDO “B”
HORARIO: LUN- VIE. / 8:00-9:00 P.M
FECHA DE ENTREGA:04 DE JUNIO DEL 2013

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL
Hasta ahora únicamente hemos aprendido a calcular integrales, sin plantearnos la utilidad que éstas
pueden tener. Sin embargo, la integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes,
longitudes, etc., lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los griegos. En física, su empleo
es constante, al estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad.
Ahora vamos a ilustrar las distintas aplicaciones que tiene el cálculo integral
1. Cálculo de áreas planas
Tal cómo hemos visto antes, la integral definida es una generalización del proceso del cálculo de áreas.
Ahora bien, el área de un recinto es siempre positiva, mientras que la integral puede ser positiva, negativa
o nula. Por tanto, en la aplicación de la integral al cálculo de áreas, debe tenerse en cuenta el signo de cada
uno de los recintos limitados por el eje “O”, “ X” , y tomar el valor absoluto de los mismos. Su suma es el
área.
Para calcular un área plana, se efectúa la siguiente metodología:
1. Se trazan las curvas que limitan el área que se desea conocer.
2. Se identifican los puntos en los que se cortan las curvas.
3. Se determina la zona de la que hay que calcular el área.
4. Se decide que variable conviene integrar
5. Se procede a integrar bajo los límites encontrados.
La integral definida es una generalización del proceso del cálculo de áreas.

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Con escasas modificaciones podemos extender la aplicación de la integral definida para cubrir no sólo el
área de la región bajo una curva, sino el de una región comprendida entre dos curvas. Por tanto,
obtenemos el siguiente resultado:
En la práctica, no se suele trabajar con el valor absoluto, puesto es más fácil dibujar las gráficas de “f” y
“g”, calculando los puntos de intersección de ambas, y sumar una o más integrales para obtener el área
deseada.
Observación: Algunas veces es más conveniente calcular el área integrando respecto a la variable y en vez
de la variable x.
2. Longitud de curvas
La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o
camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta
longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la
llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.
La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten
a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño
posible. , escogiendo una familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la
poligonal que pasa por dichos puntos.

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2.1 Longitud de curvas planas
La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten
a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño
posible.
Áreas Entre Curvas
Sí f es continua y no negativa en un intervalo cerrado [a,b ], el área de la región limitada por la
gráfica de f, el eje x y las rectas verticales x=a y x=b viene dada por:
En la figura se ve que f es una función continua, positiva (por encima del eje x), y la región R
está limitada por las rectas verticales x=a y x=b. Podemos hallar el área de la región R por medio de una
integral definida aplicando la definición anterior. Como lo hemos planeado,
daremos algunos ejemplos para ver como se puede aplicar la definición.

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3. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución.
Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional.
Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región
tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce
como eje de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de
producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.
Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome un eje de giro paralelo al eje “O”,
“X” o al eje “O”, “Y . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolución.
Volúmenes de revolución: El Método de los discos
Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El más simple de
ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente
a uno de los lados del rectángulo. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:
Volumen del disco = πR2 ω
Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general,
consideremos una función continua f (X) definida en el intervalo [a,b ] , cuya gráfica determina con las
rectas x= a, x= b , y = 0, el recinto R. Si giramos este recinto alrededor del eje “O”, “X”, obtenemos un
sólido de revolución.

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Se trata de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un proceso similar
al realizado en la definición de integral definida.
Si el número de cilindros parciales aumenta, su suma se aproxima cada vez más al volumen del sólido; es
decir:
Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:
Además, si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar :
Volúmenes de revolución: Método de capas
En esta sección estudiamos un método alternativo para el cálculo de un volumen de un sólido de
revolución,
un método que emplea capas cilíndricas.
Para introducir el método de capas, consideramos un rectángulo representativo, donde:

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• ω = anchura del rectángulo (espesor).
• h = altura del rectángulo.
• p = distancia del centro del rectángulo al eje del giro (radio medio).
Cuando este rectángulo gira en torno al eje de revolución, engendra una capa cilíndrica (o tubo) de
anchura
ω. Para calcular el volumen de esta capa consideramos dos cilindros. El radio del mayor corresponde al
radio externo de la capa, y el radio del menor al radio interno de la capa. Puesto que p es el radio medio de
la capa, sabemos que el radio externo es p+( ω/ 2 ) , y el radio interno es p−( ω/ 2 ) . Por tanto, el volumen
de
la capa, viene dado por la diferencia:
Usamos esta fórmula para calcular el volumen de un sólido de revolución como sigue. Suponemos que la
región plana gira sobre una recta y engendra así dicho sólido. Si colocamos un rectángulo de anchura ∆y
paralelamente al eje de revolución, entonces al hacer girar la región plana en torno al eje de revolución, el
rectángulo genera una capa de volumen:

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Para calcular el volumen de un sólido de revolución con el método de capas, se usa una de las dos siguientes
opciones:
Para hallar el volumen de un sólido por el método de capas, se procede como se indica a continuación :
Esbozar la región plana que va a ser girada, hallando los puntos de intersección de las curvas que la
limitan.
Sobre el dibujo hallar un rectángulo paralelo al eje de revolución.
Teniendo como base el boceto, escribir el volumen de la capa.
Integrar entre los límites apropiados.
Volúmenes de revolución: El Método de las arandelas
El método de los discos puede extenderse fácilmente para incluir sólidos de revolución con un agujero,
rectángulo alrededor de un eje. Si R y r son los radios externos e internos de la arandela, y ω es la anchura
de la arandela, entonces el volumen viene dado por:

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Entonces, generalizando de forma análoga a como se hizo en el método de los discos, si tenemos dos
funciones continuas f (x ) y g (x ) definidas en un intervalo cerrado [a,b ] , con 0 ≤ g(x )≤ f (x ), y las rectas
x=a y x=b, el volumen engendrado se calcula restando los sólidos de revolución engendrados por los
recintos de ambas funciones, es decir:
Si las funciones se cortan, habrá que calcular los volúmenes de los sólidos engendrados en cada uno de los
subintervalos donde se puede aplicar el método anterior.
Volúmenes de revolución: El método de los cascarones
Se denotan respectivamente los radios interior y exterior del cascaron, y “h” es su altura, entonces su
volumen esta dada por la diferencia:
Volumen del cilindro exterior - volumen del cilindro inferior
Ejemplo:
Encuentre el volumen del solido que se forma al girar en el eje y

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4. Cálculo de centroides.
Un sistema equivalente a este planteado es ubicarel peso total o resultante en un único punto denominado
centro de gravedad.
Definición
El centro de gravedad es el punto de aplicación de un cuerpo rígido donde al ubicar la resultante de
lasfuerzas los efectos sobre el cuerpo no varían. En el caso de superficies homogéneas, el centro de
gravedad sesustituye por el centroide del área, el cual considera las áreas de los elementos en vez de los
pesos y lasexpresiones para determinar las coordenadas centroidales son:
Centroide es lo mismo si habláramos de Centro de Gravedad o Centro de Masa; el cual se puede ver como
su punto de equilibrio, y es donde se concentras la masa de todo el cuerpo. También se puede decir que es
el lugar imaginario en el que puede considerar que está concentrado todo su peso. El centroide de una
figura geométrica es el centro de simetría de la misma.
Para determinar el centro de gravedad hay que tener en cuenta que toda partícula de un cuerpo situada
cerca de la superficie terrestre está sometida a la acción de una fuerza, dirigida verticalmente hacia el
centro de la Tierra, llamada fuerza gravitatoria.
Otras integrales
A pesar de que las integrales de Riemann y Lebesgue son las definiciones más importantes de integral, hay
unas cuantas más, por ejemplo:
La integral de Riemann-Stieltjes, una extensión de la integral de Riemann.
La integral de Lebesgue-Stieltjes, desarrollada por Johann Radon, que generaliza las integrales de
Riemann-Stieltjes y de Lebesgue.
La integral de Daniell, que incluye la integral de Lebesgue y la integral de Lebesgue-Stieltjes sin
tener que depender de ninguna medida.

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La integral de Henstock-Kurzweil, definida de forma variada por Arnaud Denjoy, Oskar Perron, y
Jaroslav Kurzweil, y desarrollada por Ralph Henstock.
La integral de McShane.
La integral de Buchner
Otras aplicaciones para las integrales.
 Área entre curvas.
 Sólidos de revolución.
 Longitud de curvas.
INTEGRAL DADA PARA EL CÁLCULO DE CENTROIDES
5. Función de densidad de probabilidad
En la teoría de la probabilidad, la “Función de densidad de probabilidad”, “Función de densidad”, o,
simplemente, “Densidad” de una variable aleatoria continua describe la probabilidad relativa según la cual
dicha variable aleatoria tomará determinado valor.
La probabilidad de que la variable aleatoria caiga en una región específica del espacio de posibilidades
estará dada por la integral de la densidad de esta variable entre uno y otro límite de dicha región.

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La función de densidad de probabilidad, es no-negativa a lo largo de todo su dominio y su integral sobre
todo el espacio es de valor unitario.
Una función de densidad de probabilidad caracteriza el comportamiento probable de una población en
tanto especifica la posibilidad relativa de que una variable aleatoria continua X tome un valor cercano a x.
Una variable aleatoria X tiene densidad f, siendo f una función no-negativa integrable de Lebesgue, si:
Por lo tanto, si F es la función de distribución acumulativa de X, entonces:
Y (si f es continua en x)
Intuitivamente, puede considerarse f(x) dx como la probabilidad de “X” de caer en
el intervalo infinitesimal [x, x + dx].
La mayoría de las funciones de densidad de probabilidad requieren uno o más parámetros para
especificarlas totalmente.
Recíprocamente respecto de la definición ya desarrollada, pueden hacerse las siguientes
consideraciones.
La probabilidad de que una variable aleatoria continua X quede ubicada entre los valores a y b está
dada por el desenvolvimiento en el intervalo de la FDP; de los valores comprendidos en el rango
entre a y b.
LA INTEGRAL ESTA DADA:
La FDP es la derivada (cuando existe) de la función de distribución:
Así, si F es la función de distribución acumulativa de X, entonces:
Y (si f es continua en x)

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La definición formal de la función de densidad requiere de conceptos de la teoría de la medida.
Si una variable aleatoria X sigue una función de probabilidad X*P su densidad con respecto a una medida de
referencia μ es la derivada de Radon–Nikodym
Una variable aleatoria continua X con valores en un espacio de medida (habitualmente Rn
con
conjuntos Borel como subconjuntos mensurables), tiene como distribución de probabilidad, la
medida X∗P en : la densidad de X con respecto a la medida de referencia μsobre es
la derivada de Radon–Nikodym.
Siendo f/; toda función medible con la siguiente propiedad:
Para todo conjunto medible .
Es decir, ƒ es una función con la propiedad de que...
Para cada conjunto medible A.
De las propiedades de la función de densidad se siguen las siguientes propiedades de la fdp (a veces visto
como pdf del inglés):
para toda .
El área total encerrada bajo la curva es igual a 1:
La probabilidad de que tome un valor en el intervalo es el área bajo la curva de la función de
densidad en ese intervalo o lo que es lo mismo, la integral definida en dicho intervalo. La gráfica f(x) se
conoce a veces como curva de densidad.

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Algunas FDP están declaradas en rangos de a , como la de la distribución normal.