Este documento presenta el método de las capas cilíndricas para calcular el volumen de sólidos de revolución. Explica que este método divide el sólido en capas cilíndricas anidadas y calcula el volumen total integrando los volúmenes parciales de cada capa. También define conceptos clave como sólido de revolución, eje de revolución y presenta fórmulas y ejemplos para aplicar este método de cálculo.

1. ESCUELA POLITECNICA
NACIONAL
Cálculo en una variable
Grupo # 3
• Auqui Luis
• Almeida Edison
• Mejía Carlos
• Gutama William

2. VOLÚMENES DE SÓLIDOS
DE REVOLUCIÓN
METODO DE LAS CAPAS
CILINDRICAS

3. Contenido
Definición de solido de revolución
Definición de eje de revolución
Volúmenes de solidos de revolución,
Método de las capas cilíndricas
(Introducción, definición, teoremas)
Ejercicios

4. Solido de Revolución
Se denomina sólido de revolución o volumen de
revolución, al sólido obtenido al rotar una región del
plano alrededor de una recta ubicada en el mismo,
las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se
denomina eje de revolución.

5. Eje de Revolución
Línea recta alrededor de la cual se va hacer girar
un área determinada por una o varias funciones.
Este eje de revolución puede ser horizontal o
vertical.

6. INTRODUCCIÓN
El método de cálculo integral que se explica
en esta investigación, el de los casquetes
cilíndricos, proporciona una forma
alternativa de calcular el volumen de sólidos
de revolución. En ciertos casos es el único
método viable porque el método de los
discos puede resultar a veces difícil de
aplicar o no puede aplicarse en absoluto.

7. Para el volumen generado por la curva nosotros
vamos a aplicar el método de las capas
cilíndricas que básicamente consiste en dividir
el sólido de revolución en una serie de capas cilíndricas que
se incrustan unas dentro de otras y en integrar luego los
volúmenes de las capas para obtener el volumen total. Lo
cual el sólido de revolución se puede ver cómo se van
agregando y se van retirando sucesivamente estos
elementos y cómo se produce el sólido de revolución.

8. Ejemplos de la vida cotidiana
También podemos observar el método de las capas cilíndricas en
la vida cotidiana como por ejemplo el de una cebolla como
hemos observado que en su interior los tejidos de un trozo de
este vegetal están dispuestos en una serie de capas más o
menos cilíndricas que cuando se cortan transversalmente y se
sirven en las ensaladas, forman los característicos "anillos" de la
cebolla.

9. Planteamiento General
Para comenzar a entender en detalle el método de
los casquetes cilíndricos debemos establecer cómo
calcular el volumen V de un casquete cilíndrico de altura h cuyo
radio interior es r1 y cuyo radio exterior es r2 . Naturalmente
procedemos restando el volumen V1 del cilindro interior al volumen
V2 del cilindro exterior, así:

12. Teoremas
Para hallar el volumen de un sólido de revolución con el
método de las capas cilíndricas, se debe usar una de las
ecuaciones siguientes:

13. Observación
Se debe considerar que el rectángulo de referencia va a
ser paralelo al eje de rotación.

14. Demostración
Empleando el método de los casquetes cilíndricos, que el volumen
de un cono de altura h y con radio r en su abertura está dado por:

15. GRACIAS
POR SU ATENCIÓN