Este documento describe métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución, incluidos el método del disco, el método de la arandela y el método de los casquillos. Explica las contribuciones de Arquímedes al cálculo de volúmenes y áreas. Finalmente, presenta ejercicios de aplicación de estos métodos al cálculo del volumen de una esfera y un tronco de cono.

1. 19 de Marzo 2016 VOLUMEN 1 N° 1
Volumen de
un solido de
revolución
Matemática II
Autor:
Kariangel Rincón

2. Contenidos Paginas
Editorial 02
Solidos 03
Volumen de solido en
revolución
03
Principio de cavalieri 04
Método del disco 05
Método de la
arandela
06
Métodos de los
casquillos
07
Ejercicios 08

3. La contribución de Arquímedes al campo de las matemáticas fue
notable. Usando el Método de Agotamiento él aplicó una forma de
integración que le permitió calcular áreas de planos, volúmenes y
áreas de las superficies de sólidos. Arquímedes demostró que el área
de la superficie de una esfera es cuatro veces el área de su gran
círculo,, siendo el círculo que podría dibujarse si la esfera se rebanara
a través de su centro. Demostró también que la superficie de una
esfera es dos-tercios la superficie de un cilindro circunscrito
incluyendo las superficies de la base y la tapa. También descubrió una
manera de rebanar una esfera en un plano determinado para que la
proporción de los volúmenes de las dos partes tuviera una proporción
dada; examinó varios sólidos de revolución, los cuales se forman al
revolver las secciones cónicas sobre un eje particular de rotación.
Este trabajo estuvo principalmente inspirado en un esfuerzo para
lograr calcular los volúmenes de sólidos
Página 2 VOLUMEN 1 N° 1

4. REFERENCIAS
Volúmenes de solidos de revolución [Documento en línea].
Disponible:
https://leidyholguin.files.wordpress.com/2010/09/solidosderevolu
cion.pdf . [Consulta: 2016, Marzo 19]
Página 3
Son sólidos que se generan al girar una región
plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un
sólido que resulta al girar un triángulo recto
alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al
girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
¿Qué es un solido de
revolución?
Es el que se obtiene al rotar una
región del plano alrededor de una
recta ubicada en el mismo, las
cuales pueden o no cruzarse

5. Página 4
REFERENCIAS
Principio de cavalieri. [Documento en línea]. Disponible:
https://prezi.com/ipexyeemfjp3/calculo-de-volumenes-de-solidos-
en-revolucion-metodo-de-arandelas/. [Consulta: 2016, Marzo 19]
“Si dos solidos tienen alturas iguales y las
secciones hechas por planos paralelos a las
bases y a la misma distancia están siempre
en la misma proporción, entonces los
volúmenes de los solidos están también en la
misma proporción”

6. •Método del Disco
Si giramos una región del
plano alrededor de un eje
obtenemos un sólido de
revolución. El volumen de
este disco de radio R y de
anchura ω es: volumen del
disco =
Para ver cómo usar el
volumen del disco y para
calcular el volumen de un
sólido de revolución general,
se hacen n particiones en la
grafica.
REFERENCIAS
Volúmenes de solidos de revolución [Documento en línea].
Disponible:
https://leidyholguin.files.wordpress.com/2010/09/solidosderevoluc
[Consulta: 2016, Marzo 19]
Página 5
Cálculos de volúmenesCálculos de volúmenes
Estas divisiones
determinan en el sólido n
discos cuya suma se
aproxima al volumen del
mismo. Teniendo en cuenta
que el volumen de un disco
es , la
suma de Riemann asociada
a la partición, y que da un
volumen aproximado del
sólido es:

7. Página 6
REFERENCIAS
Volúmenes de revolución [Documento en línea].Disponible:
http://integrandovolumenesyareas.blogspot.com/2011/05/volume
nes-de-revolucion-el-metodo-de.html [Consulta: 2016, Marzo
19]
Método de la arandela
Este método consiste en hallar el
volumen de un sólido generado al
girar una región R que se
encuentra entre dos curvas como
se muestra en la siguiente figura:
Sí la región que giramos para
formar un sólido no toca o no
cruza el eje de rotación, el sólido
generado tendrá un hueco o
agujero. Las secciones
transversales que también son
perpendiculares al eje de
rotación son arandelas en lugar
de discos. (Es por esto el nombre
del método). Lo anterior lo
podemos apreciar en la figura.
Ahora hallemos las dimensiones
de la arandela (Radio exterior R y
radio interior r) usando la figura
anterior. El radio exterior (radio
más grande) lo determina la
función y el radio interior (radio
más pequeño) lo determina la
función g. Como en la sección
anterior (método del disco)
hallamos el área de la arandela
así:

8. Método Casquillo
Este método es también llamado método de capas. El método de los
casquillos usa como elemento representativo de volumen un cilindro
que es generado al girar un rectángulo, orientado de forma paralela al
eje de revolución. En primer lugar es necesario que desarrollemos la
fórmula para el volumen del cilindro diferencial.
Página 7

9. Ejercicios
Página 8
1. Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por el
trapecio que limita el eje de abscisas, la recta y = x + 2 y las
coordenadas correspondientes a x = 4 y x = 10, al girar
alrededor de OX.
2. Calcular el volumen de la esfera de radio r.
Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².
Girando un semicírculo en torno al eje de abscisas se obtiene
una esfera.

10. El calculo integral tiene una gran variedad de
aplicaciones en la vida diaria una de ellas es la
aplicación de solidos de revolución, donde de
una manera sencilla si conocemos la función f(x),
y la hacemos girar sobre el eje x o y, obtenemos
un solido, es de esta forma es como podemos
elaborar o fabricar por ejemplo un envase de
refresco, una lata, etc. calculando su volumen de
capacidad máxima.