El documento describe los métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución generados al girar una región del plano XY alrededor de un eje. Explica que el volumen puede calcularse mediante la suma de discos delgados obtenidos al dividir el sólido, y que el uso de la integral definida proporciona una expresión exacta para el volumen. También presenta fórmulas para los métodos de los discos, arandelas y capas, y ejemplos de problemas de cálculo de volumen.

1. Aplicaciones de la integral definida
VOLÚMENES DE SÓLIDOS
Discusión #4 Jonathan Landaverde MATEMÁTICA II

2. VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE
REVOLUCIÓN
Si una región R en el plano XY se hace
girar en torno a un eje L, generará un
sólido, denominado “Sólido de
revolución”.
Nuestro problema consistirá en
determinar el volumen del sólido de
revolución, generado al girar en torno a
un eje L una región en el plano XY.

3. VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE
REVOLUCIÓN…
¿Cuál es el sólido generado al rotar la
región alrededor del eje indicado?

4. VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE
REVOLUCIÓN…
 Al rotar la región se genera el sólido mostrado.

5. VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE
REVOLUCIÓN…
¿Cuál es el sólido generado al rotar la
región alrededor del eje indicado?

6. VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE
REVOLUCIÓN…
 Al rotar la región se genera el sólido mostrado.

7. VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE
REVOLUCIÓN…
¿Cuál es el sólido generado al rotar la
región alrededor del eje indicado?

8. VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE
REVOLUCIÓN…
 Al rotar la región se genera el sólido mostrado.

9. VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE
REVOLUCIÓN…
¿Cuál es el sólido generado al rotar la
región alrededor del eje indicado?

10. VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE
REVOLUCIÓN…
 Al rotar la región se genera el sólido mostrado.

11. VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE
REVOLUCIÓN…
Analizaremos ahora el proceso para la
determinación del volumen de un sólido
de revolución mediante la utilización de la
integral definida.
Para ello, consideraremos una región en
el plano XY que rotará alrededor del eje x
similar a la mostrada en la siguiente
figura:

12. VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE
REVOLUCIÓN…

13. VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE
REVOLUCIÓN…
El sólido es similar al mostrado.
Se puede observar
que al tomar un
elemento diferencial
de volumen, se
tiene un disco cuyo
volumen es igual al
producto del área
de un círculo de
radio f(x) y una
altura Dxi.

14. VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE
REVOLUCIÓN…
 Si el sólido se divide en n discos de igual
magnitud:

15. VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE
REVOLUCIÓN…
 El volumen del sólido se puede obtener como una
aproximación mediante la suma de los n discos.
 Sólo cuando el número de discos considerados
tiende a infinito se puede hablar de una igualdad
respecto del volumen del sólido.
 Mediante el uso de la integral definida es posible
decir que en general, cuando se tiene una
representación similar a la anterior, el volumen
es:
  dxxfV
b
a

2
)(

16. MÉTODO DE LOS DISCOS: Para
encontrar el volumen de un sólido de
revolución con este método se deben
usar las siguientes fórmulas:

17. MÉTODO DE LAS ARANDELAS:
este método es la extensión del
método de los discos, y se aplica
para calcular volúmenes de sólidos
que presentan huecos.

18. MÉTODO DE LAS CAPAS: para
encontrar el volumen de un sólido
por este método se deben usar las
siguientes fórmulas.

19. PROBLEMAS:
 Obtener el volumen del sólido de revolución generado al
rotar alrededor del eje indicado, la región dada en el
plano XY.
1. 4.
2. 5.
3.
xejealtornoen
xyxy 40 
xejealtornoen
xyxy 102

xejealtornoen
cuadranteprimerSóloxyxy )(042

yejealtornoen
xxyy 11 
1
202


xrecta
ladealrededor
xyxy