El documento describe diferentes tipos de muestreo para estudiar una porción representativa de una población en lugar de estudiar la población completa. Explica el muestreo probabilístico y no probabilístico, dando ejemplos de métodos como el muestreo aleatorio simple, estratificado y sistemático. También proporciona un ejemplo numérico para ilustrar cómo calcular la probabilidad de diferentes muestras posibles de una población finita.

1. Teoría del Muestreo:
Es un procedimiento por medio del cual solo se estudia una porción
específica de una población la cual llamamos muestra. Es importante relacionar
esta teoría con lo que es el censo el cual definimos como la enumeración
completa de todos los elementos de la población a estudiar.
La muestra debe lograr que se representen adecuadamente todos los
rasgos esenciales de la población que son necesarios para la investigación.
Ejemplo
Un importante proceso de fabricación produce partes de componentes
cilíndricos para la industria automotriz. Es importante que el proceso produzca
partes que tengan una media de 5 milímetros.
El ingeniero involucrado hace la conjetura de que la media de la población
es de 5.0 milímetros. Se lleva a cabo un experimento en el que 100 partes
elaboradas por el proceso Se seleccionan al azar y se mide el diámetro de cada
una de ellas.
Se sabe que la desviación estándar de la población es de σ=0.1 milímetros.
El experimento indica un diámetro promedio de la muestra milímetros. ¿Esta
información de la muestra parece apoyar o No la conjetura del ingeniero? 9
Inferencias sobre la media poblacional
•Si los datos apoyan o no la conjetura depende de la probabilidad de que
datos similares a los que se obtuvieron en el experimento pueden ocurrir con
facilidad cuando de hecho μ=5.0.

2. En otras palabras, ¿qué tan, probable es que se pueda
obtener................con, n=100 si la media de la población es μ=5.0?
•Si esta probabilidad sugiere que no es poco razonable, la conjetura no se
rechaza.
Si la probabilidad es bastante baja, se puede argumentar con certidumbre
que los dato no apoyan la conjetura de que μ=5.0.
La probabilidad que elijamos calcular está dada por:
•En otras palabras, si la media μ=5.0,¿cuál es la probabilidad de que se
desvíe a lo más en 0.027milímetros?
•10...Inferencias sobre la media poblacional
•De esta manera se experimentaría por casualidad una que está a 0.027
Milímetros de la media en sólo siete de 1000 experimentos
Como resultado, este experimento con..............Ciertamente no proporciona
evidencia que apoye la conjetura de que μ=5.0.
Ejemplo:
Sea una población finita de 4 elementos: P = (3; 4; 1; 2) : Se consideran
muestras de 3 elementos que se suponen extraídos y no devueltos a la población
y que el muestreo es aleatorio simple. Las muestras se consideran distintas si se
diferencian en algún elemento. Se pide: 1) Escribir todas las muestras posibles 2)
Calcular la probabilidad de cada muestra. 3) Calcula la media; la varianza de la
población. 4) Calcula la media, x; la varianza, S2; y la cuasivarianza, s2c de cada
muestra. 5) Describe las funciones de probabilidad de estos estadísticos. 6)
Calcula la esperanza E(x); y decide si x es un estimador centrado o insesgado de
la media de la población.

3. 1. Las muestras posibles son f3; 4; 1g ; f3; 4; 2g ; f3; 1; 2g ; f4; 1; 2g :
2. La probabilidad de extracción de cada una de estas muestra es ¼=
1/(4/3)=0:25
3. La media de P = (3; 4; 1; 2) es 2:5 y su varianza 1.25
4. Las medias varianzas y cuasivarianzas de cada una de estas muestras
están dadas en la tabla siguiente:
muestra media,X Varianza, S2 cuasivarianza,S2c
(3; 4; 1) 2.6 1.5 2.3
(3; 4; 2) 3 0.6 1
(3; 1; 2) 2 0.6 1
(4; 1; 2) 2.3 1.5 2.3
5 La función de probabilidad de la media de la muestra es la siguiente:
x Probabilidad
2.6 1/4
3 1/4
2 1/4
2.3 1/4
La función de probabilidad de la varianza de la muestra es:
S2 cuasivarianza
1.5 1/2
0.6 ½
6 La esperanza de la media de las muestra, teniendo en cuenta su función
de probabilidad es.
E(x) = 2:666667x1/4 + 3 x1/4 + 2x1/4 + 2:333333x1/4 = 2.5

4. por tanto x es un estimador insesgado de la media poblacional
Tipos de muestreo:
a. Muestreo No Probabilístico: Se realiza al elegir una muestra de una
población al azar; con este tipo de muestreo no se tiene la certeza de que la
muestra sea representativa ya que, no todos los elementos tienen la misma
probabilidad de ser elegidos.
Entre los métodos no probabilísticos se tienen los siguientes:
1. Muestreo por juicio, selección experta o selección intencional: Ocurre
cuando el investigador toma elementos de la población que a criterio propio
le parecen representativos o típicos de la población.
2. Muestreo casual o fortuito: Este tipo es usado en el caso de que no se
pueden seleccionar elementos por lo tanto, se debe trabajar con los que ya
están.
3. Muestreo de cuota o accidental: En este tipo de muestreo se fijan
¨cuotas¨ que consisten en un número de elementos que tienen
determinados rasgos o condiciones para luego, elegir los primeros que se
encuentren que cumplan esas características.
4. Muestreo de poblaciones móviles ó bola de nieve: consiste en localizar
algunos elementos los cuales conducen a otros, y estos a otros, y así
sucesivamente hasta conseguir una muestra suficiente.
b. Muestreo Probabilístico, aleatorio o estocástico: Es cuando los
elementos de una población son seleccionados siguiendo ciertos
procedimientos los cuales brindan a cada uno la probabilidad de ser
elegidos como muestra.
Entre los métodos probabilísticos se encuentran:

5. 1. Muestreo aleatorio simple: El procedimiento que se realiza es el
siguiente:
- Se le asigna un número a cada elemento de la población
- Usamos un medio mecánico (bolas dentro de una bolsa, tablas de
números aleatorios, números aleatorios generados con una calculadora
u ordenador, entre otros.
- Con el medio mecánico se eligen cuantos elementos de la población
sean necesarios para tener el tamaño de la muestra
Ejemplo:
Supongamos que nos interesa elegir una muestra aleatoria de 5 estudiantes
en un grupo de estadística de 20 alumnos. 20C5 da el número total de formas de
elegir una muestra no ordenada y este resultado es 15,504 maneras diferentes de
tomar la muestra. Si listamos las 15,504 en trozos separados de papel, una tarea
tremenda, luego los colocamos en un recipiente y después los revolvemos,
entonces podremos tener una muestra aleatoria de 5 si seleccionamos un trozo de
papel con cinco nombres. Un procedimiento más simple para elegir una muestra
aleatoria sería escribir cada uno de los 20 nombres en pedazos separados de
papel, colocarlos en un recipiente, revolverlos y después extraer cinco papeles al
mismo tiempo.
Otro método parea obtener una muestra aleatoria de 5 estudiantes en un
grupo de 20 utiliza una tabla de números aleatorios. Se puede construir la tabla
usando una calculadora o una computadora. También se puede prescindir de
estas y hacer la tabla escribiendo diez dígitos del 0 al 9 en tiras de papel, las
colocamos en un recipiente y los revolvemos, de ahí, la primera tira seleccionada
determina el primer número de la tabla, se regresa al recipiente y después de
revolver otra vez se selecciona la seguida tira que determina el segundo número
de la tabla; el proceso continúa hasta obtener una tabla de dígitos aleatorios con
tantos números como se desee.

6. Ejemplo:
3 laboratorios poseen 140 estudiantes de ingeniería química y se quiere extraer
una muestra de 20 alumnos
• se enumeran los alumnos del 1 al 140
• se sortean 20 alumnos de entre los 140
• la muestra estará formada por los 20 alumnos a los que corresponden los
números obtenidos
Ejemplo:
Cuando el tamaño de la muestra es 1.000, es necesario obtener 1.000 números
por sorteo o por tablas aleatorias que nos permitan seleccionar 1.000 unidades
muéstrales del censo poblacional numerado previamente. Si utilizamos un libro de
tablas de números aleatorios y la hoja seleccionada al azar es la siguiente:
657 934 323 122 456 434 098 233 122
567 541 004 098 345 065 231 045 412
343 546 354 123 234 978 456 345 432
...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......
1ª unidad muestral: la correspondiente al primer número de la tabla 343.
2ª unidad muestral: segundo número de la tabla 567.
2. Muestreo aleatorio estratificado: Consiste en considerar categorías
típicas diferentes entre si que tienen homogeneidad respecto a alguna
característica. Lo que se pretende es asegurar que todas las características
de interés estén representados en la muestra.
La distribución de la muestra en función de los diferentes estratos o
características se denomina afijación y pueden ser de diferentes tipos:

7. - Afijación simple: a cada estrato le toca un número igual de elementos
muéstrales.
- Afijación proporcional: la distribución se hace con respecto al tamaño
de la población en cada estrato.
- Afijación óptima: Se tiene en cuenta la previsible dispersión de los
resultados de modo que se considera la proporción y la desviación
típica.
Ejemplo:
Se divide la población en clases o estratos y se escoge, aleatoriamente, un
número de individuos de cada estrato proporcional al número de componentes de
cada estrato.
En una fábrica que consta de 600 trabajadores queremos tomar una muestra de
20. Sabemos que hay 200 trabajadores en la sección A, 150 en la B, 150 en la C y
100 en la D.
Ejemplo:
Universo: 10.000 habitantes de un pueblo
Tamaño de muestra: 600 personas
Distribución del universo por edades:
Grupo A: 1.500 habitantes menores de 18 años
Grupo B: 6.500 habitantes con edades comprendidas entre los
18 y los 60 años
Grupo C: 2.000 vecinos mayores de 60 años.
AFIJACIÓN SIMPLE:
•Grupo A: 600/3 = 200
•Grupo B: 600/3 = 200
•Grupo C: 600/3 = 200
AFIJACIÓN PROPORCIONAL:

8. •Grupo A: 600 x (1.500/10.000) = 90
•Grupo B: 600 x (6.500/10.000) = 390
•Grupo C: 600 x (2.000/10.000) = 120
3. Muestreo aleatorio sistemático. Este procedimiento exige al igual que el
muestreo aleatorio simple numerar todos los elementos de la población,
pero en lugar de extraer ¨n¨ números aleatorios, solo se extrae uno. El
riesgo de este tipo de muestreos es que al elegir los elementos de la
muestra sea algo muy homogéneo que no se da en la población.
Por ejemplo
Si tenemos una población formada por 100 elementos y queremos extraer
una muestra de 25 elementos, en primer lugar debemos establecer el
intervalo de selección que será igual a 100/25 = 4. A continuación elegimos
el elemento de arranque, tomando aleatoriamente un número entre el 1 y el
4, y a partir de él obtenemos los restantes elementos de la muestra.
2, 6, 10, 14,..., 98.
Ejemplo:
Una universidad tiene 120 alumnos de química y se quiere extraer una
muestra de 30 alumnos
Se enumeran los alumnos del 1 al 120
Se calcula el intervalo constante entre cada individuo (N
(POBLACION))/N(MUESTRA) 120/30=30
sorteamos un numero de 1 al 4 supongamos que sale el numero 3 el
primer alumno seleccionado seria el numero 3 los siguientes alumnos se
obtendrían sumando 3 hasta llegar a tener 30 alumnos
los alumnos seleccionados serian los que correspondieran a los
números 3,6,9,12,15,21…90

9. 4. Muestreo aleatorio por conglomerado: Consiste en seleccionar
aleatoriamente un cierto número de conglomerados (el necesario para
alcanzar el número de la muestra establecido) y en investigar todos los
elementos pertenecientes a los conglomerados elegidos.
Cuando se refieren a conglomerados se hablan de por ejemplo Unidades
hospitalarias, departamentos universitarios, una caja de determinado producto, las
urnas electorales entre otros.
Ejemplo:
En el caso de una encuesta realizada a los dueños/encargados de bares
de una ciudad, se censan y numeran únicamente las calles de la ciudad y se van
seleccionando aleatoriamente hasta obtener el número necesario de bares de la
muestra.
Tamaño de la muestra = 800 bares
1ª calle seleccionada = 4 bares.
2ª calle seleccionada = 8 bares.
3ª calle seleccionada = 3 bares.
Total = 800 bares
Ejemplo:
Comportamiento de los compuestos
1ª Etapa: por punto de ebullición
2ª Etapa: Por punto de fusion
3ª Etapa: Por solidificación

10. Correlación lineal:
Si se tienen dos series de datos emparejados, es útil encontrar la relación
de ambas variables, si se encuentran relación entre las mismas y la ecuación que
mejor las relaciona es la de una recta entonces podemos decir que estamos en
presencia de una correlación lineal.
Ejemplo:
Una compañía desea hacer predicciones del valor anual de sus ventas
totales en cierto país a partir de la relación de éstas y la renta nacional. Para
investigar la relación cuenta con los siguientes datos:
X 189 190 208 227 239 252 257 274 293 308 316
Y 402 404 412 425 429 436 440 447 458 469 469
X representa la renta nacional en millones de euros e Y representa las ventas de
la compañía en miles de euros en el periodo que va desde 1990 hasta 2000
(ambos inclusive). Calcular:
1 La recta de regresión de Y sobre X.
2 El coeficiente de correlación lineal e interpretarlo.
3 Si en 2001 la renta nacional del país fue de 325 millones de euros. ¿Cuál será la
predicción para las ventas de la compañía en este año?
xi yi xi ·yi xi2 yi2
189 402 35 721 161 604 75 978
190 404 36 100 163 216 76 760
208 412 43 264 169 744 85 696

11. 227 425 51 529 180 625 96 475
239 429 57 121 184 041 102 531
252 436 63 504 190 096 109 872
257 440 66 049 193 600 113 080
274 447 75 076 199 809 122 478
293 458 85 849 209 764 134 194
308 469 94 864 219 961 144 452
316 469 99 856 219 961 148 204
2 753 4 791 708 933 2 092 421 1 209 720
Ejemplo:
El número de horas dedicadas al estudio en el laboratorio de orgánica y la
calificación obtenida en el examen correspondiente, de ocho personas es:
Horas (X) 20 16 34 23 27 32 18 22
Calificación (Y) 6.5 6 8.5 7 9 9.5 7.5 8
Se pide:
1 Recta de regresión de Y sobre X.
2 Calificación estimada para una persona que hubiese estudiado 28 horas.

12. xi yi xi ·yi xi2 yi2
16 6 256 36 96
18 7.5 324 56.25 135
20 6.5 400 42.25 130
22 8 484 64 176
23 7 529 49 161
27 9 729 81 243
32 9.5 1 024 90.25 304
34 8.5 1156 72.25 289
192 62 4 902 491 1 534
Regresión Lineal:
Es la recta que atraviesa la nube de datos y que mejor se ajustan a ellos. La
recta que se busca seria aquella para la que la suma de estas distancias fuera
mínima. Uno de los principales usos de esta recta es el de predecir o estimar los
valores de Y que obtendríamos para distintos valores de X. El gráfico que lo
representa se llama diagrama de dispersión.
Ejemplo:

13. A partir de los siguientes datos referentes a horas trabajadas en un taller
(X), y a unidades producidas (Y), determinar la recta de regresión de Y sobre X, el
coeficiente de correlación lineal e interpretarlo.
Horas (X) 80 79 83 84 78 60 82 85 79 84 80 62
Producción (Y) 300 302 315 330 300 250 300 340 315 330 310 240
xi yi xi ·yi xi
2 yi
2
80 300 6 400 90 000 24 000
79 302 6 241 91 204 23 858
83 315 6 889 99 225 26 145
84 330 7 056 108 900 27 720
78 300 6 084 90 000 23 400
60 250 3 600 62 500 15 000
82 300 6 724 90 000 24 600
85 340 7 225 115 600 28 900
79 315 6 241 99 225 24 885
84 330 7 056 108 900 27 720
80 310 6 400 96 100 24 800
62 240 3 844 57 600 14 880
936 3 632 73 760 1 109 254 285 908
Ejemplo:

14. La tabla siguiente nos pruebas de un condensador (X) dadas a seis
dependientes a prueba y ventas del primer mes de prueba (Y) en cientos de euros.
X 25 42 33 54 29 36
Y 42 72 50 90 45 48
1 Hallar el coeficiente de correlación e interpretar el resultado obtenido.
2 Calcular la recta de regresión de Y sobre X. Predecir las ventas de un vendedor
que obtenga 47 en el test.
xi yi xi ·yi xi2 yi2
25 42 625 1 764 1 050
42 72 1 764 5 184 3 024
33 50 1 089 2 500 1 650
54 90 2 916 8 100 4 860
29 45 841 2 025 1 305
36 48 1 296 2 304 1 728
209 347 8 531 21 877 13 617
Tipos de regresión:

15. a) Regresión lineal simple: Es cuando las dos variables X e Y se
relacionan según un modelo de línea recta. (Y=a+bX)
Ejemplo:
“Los datos de la tabla adjunta muestran el tiempo de investigación del
procesamiento de una plata de acetonitrilo de trabajos que se han imprimido en
impresoras de la marca PR. Se está interesado en estudiar la relación existente
entre la variable de interés “tiempo de la invetigacion” y la variable explicativa
“número de páginas del trabajo”. Hacer el estudio en base a los datos obtenidos
en el muestreo y que son los de la tabla adjunta”.

16. Datos del problema
Se calculan los estadísticos básicos de las variables X e Y,
Que permiten calcular las estimaciones de los parámetros de la recta de regresión
Ahora, se pueden calcular las predicciones i

17. La suma de cuadrados de los residuos es
Que permite calcular la varianza residual
Las varianzas de los parámetros son
b) Regresión no lineal o curvilínea: Es cuando las variables X e Y se
relacionan según una línea curva. Aquí podemos distinguir entre
regresión parabólica, exponencial, potencial, etc.
c) Regresión múltiple: Es cuando tenemos más de una variable
independiente (X1,X2,X3,….,Xp), y una sola variable dependiente Y.

18. Ejemplo:
En la Facultad de Ingeniería de Sistemas y Computo de la Universidad del Cauca
se quiere entender los factores de aprendizaje de los alumnos que en el
aprendizaje de PHP, para lo cual se escoge al azar una muestra de 15 alumnos y
ellos registran notas promedios en las asignaturas de Algoritmos, Base de Datos y
Programación como se muestran en el siguiente cuadro.
Datos
Codigo Algoritmos
Bases de
Datos
Programación PHP
1 15 15 13 13
2 14 13 12 13
3 16 13 14 13
4 20 14 16 15
5 18 18 17 16
6 16 17 15 15
7 13 15 11 12
8 16 14 15 13

19. 9 15 14 13 13
10 14 13 10 13
1 12 12 10 11
12 16 11 14 14
13 17 16 15 15
14 19 14 16 15
15 13 15 10 15
En el caso general, el modelo de regresión lineal múltiple con p variables responde
a la ecuación:
de modo que los coeficientes se estiman siguiendo el criterio de mínimos
cuadrados:
La obtención aquí de las expresiones de los estimadores mínimo
cuadráticos de dichos coeficientes exigen reescribir la expresión tilizando notación
matricial.
Donde:

20. Utilizando las formulas de las ecuaciones normales a los datos
obtendremos los coeficientes de regresión o utilizando Regresión de Análisis de
datos, en la Hoja de Calculo de Excel podemos calcular también los coeficientes
de regresión:
Coeficiente de determinación:
Mide la proporción de variabilidad total de la variable dependiente “Y”
respecto a su media. También se dice que es la reducción proporcional del
error para la regresión recién definida; En conclusión, este coeficiente
simplemente es el cuadrado del coeficiente de correlación. Su definición
matemática es la siguiente:
𝑟2
𝑦𝑥 =
𝑆𝐶( 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙) − 𝑆𝐶(𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑎𝑙)
𝑆𝐶(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙)
SC(total) = SC(regresión) + SC(residual)
𝑟 𝑦𝑥 = 𝑟2
𝑦𝑥
𝑆𝐶( 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙) = 𝑆 𝑦𝑦
𝑆𝐶( 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) = 𝑟2
𝑦𝑥 ∗ 𝑆𝐶(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙)
SC(residual) = SC(total) – SC(regresión)
Coeficiente de correlación:

21. Es cuando dadas dos variables X y Y, una medida de la relación lineal que
hay entre ambas variables es este coeficiente de correlación. La idea de esta
correlación es que esta mide el grado de relación lineal entre “x” e “y”. Mientras
más fuerte es la relación, mejor es la predicción de “y” a partir de “x”. Su definición
matemática es la siguiente:
ryx =
Sxy
√Sxx ∗Syy
Donde Sxy y Sxx y Syy se definen de la siguiente manera:
S
xx = ∑X2
−
(∑ X)2
n
S
xy = ∑ xy –
(∑ x) (∑ y)
n
S
yy = ∑ Yi2
i −
(∑ Yi)2
i
n
Métodos de mínimos cuadrados:
Es una técnica matemática que consiste en encontrar una función que se
aproxime mejor a los datos (un mejor ajuste). Esta técnica se usa en el ajuste de
curvas y en problemas de optimización; El diagrama que más se usa es el de
dispersión. La recta que resulte debe presentar 2 características:
a) Es nula la suma de las desviaciones verticales de los puntos a partir de la
recta de ajuste
b) Es mínima la suma de los cuadrados de dichas desviaciones. Ninguna otra
recta daría una suma menor de las desviaciones elevadas al cuadrado.
Para la aplicación de este método existen 2 ecuaciones las cuales se
presentan a continuación:

22. ∑ y = na + b ∑ x
Primera ecuación normal
∑xy = a ∑x + b∑ x2
Segunda ecuación normal
Ecuaciones normalizadas:
Son dos ecuaciones lineales con una incognita a y b; la resolución de las
mismas nos da los valores de dichas incógnitas y estas ecuaciones dan un
mejor ajuste a los datos dados de acuerdo con el método de los mínimos
cuadrados.
.

23. Bibliografía
http://www.monografias.com/trabajos17/teoria-muestreo/teoria-
muestreo.shtml#ixzz2hWCxeNiR
http://www.estadistica.mat.uson.mx/Material/elmuestreo.pdf
Meyer, P. “Probabilidad y aplicaciones estadística”(1992)
http://augusta.uao.edu.co/moodle/mod/resource/view.php?id=54152