El documento presenta los conceptos básicos de trigonometría, enfocándose en el triángulo rectángulo. Explica las seis relaciones trigonométricas para este tipo de triángulo y cómo se pueden usar para calcular lados y ángulos desconocidos. También incluye ejemplos para ilustrar el uso práctico de las relaciones trigonométricas en la resolución de problemas.
2. Trigonometría se refiere a la medida de
los lados y los ángulos de un triángulo.
– Aplicaciones de la TRIGONOMETRIA: topografía,
navegación e ingeniería.
Podemos desarrollar el tema
de trigonometría por medio de
dos enfoques, éstos son:
– El círculo
– El triángulo rectángulo
4. Triángulo Rectángulo
hipotenusa
Triángulo
rectángulo
catetos
Característica principal de un triángulo
rectángulo es que uno de sus ángulos mide 900
5. Observaciones importantes sobre los triángulos
rectángulos.
Un triángulo consta de tres lados y de
tres ángulos.
La suma de los tres ángulos es 1800
La suma de la longitud de cualquiera
de dos de los lados del triángulo es
mayor que la longitud del tercer lado.
Sea c la hipotenusa, a y b los catetos,
entonces c2 = a2 + b2
6. Los ángulos se nombran con letras para
identificarlos. Algunas de las letras que
utilizamos son del alfabeto griego como por
ejemplo;
“gamma”; “alpha” ; “betha”
7. Podemos relacionar los lados de un triángulo
rectángulo con sus ángulos por medio de las
relaciones trigonométricas.
Por medio de éstas relaciones
trigonométricas podemos hallar información
sobre ya sea un lado o un ángulo que
desconocemos del triángulo.
Las relaciones trigonométricas son seis, tres
de ellas son fundamentales ya que dan
origen a las otras.
8. RELACIONES TRIGONOMETRICAS PARA
UN TRIANGULO RECTANGULO
Relaciones básicas Relaciones recíprocas
lado opuesto 1 hipotenusa
cos ecante
seno sen lado opuesto
hipotenusa
1 hipotenusa
lado adyacente sec ante
coseno cos eno lado adyacente
hipotenusa
1 lado adyacente
lado opuesto cot angente
tangente tan lado opuesto
lado adyacente
9. Relaciones trigonométricas de un
triángulo rectángulo
Las tres funciones
trigonométricas básicas
para el ángulo
lado opuesto
seno Lado
hipotenusa adyacente Lado
a opuesto a
lado adyacente “gamma” “gamma
coseno
hipotenusa ”
lado opuesto
tangente
lado adyacente
10. EJEMPLO 1
MEDIDA DE LA HIPOTENUSA
c a2 b2
3 c 4 2 3 2 16 9 25
c5
4
lado opuesto 4 1 5
seno cos ecante
hipotenusa 5 sen 4
lado adyacente 3 1 5
coseno sec ante
hipotenusa 5 cos eno 3
lado opuesto 4
tangente cot angente
1
3
lado adyacente 3 tan 4
11. Continuación EJEMPLO 1
4 3 4
seno 0.8 coseno 0.6 tangente 1.33
5 5 3
5 5
cosecante 1.25 sec ante 1.67 3
4 3 cot angente .75
4
Podemos utilizar cualquiera de
3 los valores anteriores para
determinar la medida del
4 ángulo
Veamos el siguiente
ejemplo
12.
Hallar la medida del ángulo indicado. 3
4
Calcula una de las relaciones
trigonométricas según la información
4
que te provea el ejercicio. seno 0.8
5
La razón seno es .8 , si necesito hallar la medida de
y conozco el valor de seno , la función inversa de
seno me permite encontrar el valor de de la siguiente
forma:
Si seno .8 , entonces seno 1 (.8)
13. CALCULAR LA INVERSA DE SENO
Si seno .8 ,
entonces Presenta la respuesta en :
seno 1 (.8) Grados___ Radianes___
Utilizaremos la calculadora
ENTRADA EN LA CALCULADORA
.8 SEN-1 =
14. ENTRADA EN LA CALCULADORA
.8 SEN-1 =
Pantalla
Radianes Grado
.927 53.13
Recuerda escoger en tu calculadora la unidad
de medida para el ángulo, (grados o radianes)
antes de hacer los cómputos.
15. PRACTICA 1
Utiliza la información de la siguiente
figura para contestar las siguientes 3
preguntas. 4
1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para
2. Halla el valor de , en grados y en radianes,
utilizando la relación coseno.
3. Halla el valor de , en grados y en
radianes, utilizando la relación tangente.
16. Respuestas -PRACTICA 1
1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para
3
seno .6 5
5 cosecante 1.67
3
4 5
coseno .8 sec ante 1.25
5 4 4
3 cot angente 1.33
tangente .75 3
4
2. Halla el valor de , en grados y en radianes, utilizando la relación
coseno. 4 1
coseno .8 cos eno (. 8)
5
radianes .6435 grados 36.87
3. Halla el valor de , en grados y en radianes, utilizando la relación
tangente. 3 1
tangente .75 ; tan (. 75)
4
0
radianes .6435 grados 36.87
17. Compara las relaciones trigonométricas
seno y coseno de y
=53.130 = 36.870
4 3
seno 0.8 seno .6
5 5
3 4
coseno 0.6 coseno .8
5 5
La suma de y es 900
Por tanto y son ángulos complementarios.
18. Sean y dos ángulos
complementarios, entonces,
encontramos las siguientes
relaciones:
cos sen cos sen
csc sec csc sec
tan cot tan cot
19. PRACTICA 2
Utiliza la información de la siguiente
figura para contestar las siguientes
preguntas.
3
2
2
1`. Halla el valor de , en grados y en radianes.
2. Halla el valor de , en grados y en radianes.
20. Respuestas -PRACTICA 2
1. Halla el valor de , en grados y en radianes.
2 1
tangente 1.1547 tan gente (1.1547 )
3
radianes .8571 grados 49.11
2. Halla el valor de , en grados y en radianes.
En la forma corta tenemos que + = 90,
Por lo tanto = 90 -
= 90-49.11=40.89
Utilizando las relaciones trigonométricas tenemos
3 1
tangente .866 tan gente (. 866 )
2
radianes .7137 grados 40.89
21. Observación
Si conozco dos de los lados de un
triángulo rectángulo puedo hallar la
medida de sus ángulos.
22. Ejemplo 2
Halla la medida de la hipotenusa del siguiente
triángulo.
12 es la medida del lado opuesto a 40 grados
40
12 es la medida del lado adyacente de 50 grados
12
12
seno 40
12 coseno 50
x x
12
.6428
12
despejamos para x .6428 despejamos para x
x ó x
12
x
12
x 18.668 x x 18.668
.6428 .6428
Como 40 y 50 son complementarios entonces seno 40=coseno 50
23. PRACTICA 1
Halla la medida de los dos catetos del
siguiente triángulo
a
30
b
25
24. Respuestas-PRACTICA 1
Halla la medida de los dos catetos del siguiente
triángulo a
30
b
25
b a
seno 30 cos eno 30
25 25
b a
.25 .87
25 25
despejamos para b despejamos para b
b (.5)(25) 12.5 b (.87)(25) 21.65
25. APLICACION
Estamos cargando una escalera de largo L
por un pasillo de 3 pies de ancho hacia un
area de 4 pies de ancho, según el siguiente
dibujo. 3 pies
escalera 4 pies
Halla la medida del largo de la
escalera como función del
ángulo tal como se ilustra.