Este documento explica cómo calcular razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) utilizando triángulos rectángulos. Define cada razón trigonométrica como una relación entre los lados del triángulo y muestra ejemplos de cómo calcularlas. También explica cómo usar el Teorema de Pitágoras para determinar longitudes desconocidas y así poder calcular las razones trigonométricas.

1. 11.8 Razones
trigonometricas
Lo que debes aprender: Objetivo 1 HALLAR RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Objetivo Cómo hallar
1
razones Una razón trigonométrica es una razón de las longitudes de dos lados de un
trigonométricas triángulo rectángulo. Las tres razones trigonométricas básicas son el seno, el
Cómo usar el coseno, y la tangente. Éstas se abrevian como sen, cos y tan.
Objetivo 2
teorema de
Pitágoras para hallar razones
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
trigonométricas
cateto opuesto a Є A a B
sen A =  = ᎏᎏ hipotenusa cateto
hipotenusa c
Por qué debes saberlo: opuesto
c
Puedes usar razones cateto adyacente a Є A b a aЄA
trigonométricas para resolver cos A =  = ᎏᎏ
hipotenusa c
problemas de la vida real, como
hallar la altura de un globo A b C
cateto opuesto a Є A
a
aerostático de aire caliente. tan A =  = ᎏᎏ cateto adyacente a Є A
cateto adyacente a Є A b
Como todos los triángulos rectángulos que tienen igual medida de Є A son
semejantes, el valor de una razón trigonométrica depende sólo de la medida de
Є A. No depende del tamaño del triángulo.
Ejemplo 1 Hallar razones trigonométricas
Para ᭝ PQR, halla el seno, el coseno y la tangente de Є P y Є Q.
P
5
3
R 4 Q
Solución
La longitud de la hipotenusa es de 5.
Para Є P, la longitud del cateto Para Є Q, la longitud del cateto
opuesto es de 4, y la longitud opuesto es de 3, y la longitud
del cateto adyacente es de 3. del cateto adyacente es de 4.
opuesto 4 opuesto 3
sen P = ᎏᎏ = ᎏᎏ sen Q = ᎏᎏ = ᎏᎏ
hipotenusa 5 hipotenusa 5
adyacente 3 adyacente 4
cos P = ᎏᎏ = ᎏᎏ cos Q = ᎏᎏ = ᎏᎏ
hipotenusa 5 hipotenusa 5
opuesto 4 opuesto 3
tan P = ᎏᎏ = ᎏᎏ tan Q = ᎏᎏ = ᎏᎏ
adyacente 3 adyacente 4
546 Capítulo 11 Congruencia, semejanza y transformaciones

2. aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Objetivo 2 USAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS TA L L E R
El teorema de
Pitágoras, página 755
Ejemplo 2 Resolver con el teorema de Pitágoras
Puedes usar el triángulo de la derecha para hallar el seno y el
coseno de 42°. Primero, usa el teorema de Pitágoras para h 48°
9
hallar la longitud, h, de la hipotenusa. 42°
h2 = 102 + 92 Usa el teorema de Pitágoras. 10
h = ͙18ෆ
ෆ1
≈ 13.45
Para el ángulo de 42°, el cateto opuesto tiene una longitud de 9 y el cateto
adyacente tiene una longitud de 10.
opuesto 9
sen 42° = ᎏᎏ = ᎏ ≈ 0.67ᎏ
hipotenusa 13.45
adyacente 10
cos 42° = ᎏᎏ = ᎏᎏ ≈ 0.74
hipotenusa 13.45
Ejemplo 3 Seno, coseno y tangente de un ángulo
Dibuja un triángulo rectángulo isósceles. Luego, usa el triángulo para hallar el
seno, el coseno y la tangente de 45°.
Solución
Todos los triángulos rectángulos isósceles son semejantes, de
manera que puedes dibujar uno de cualquier tamaño. Por ejemplo, 45°
usa catetos de longitud 1. Luego, halla la longitud de la hipotenusa. h 1
h2 = 12 + 12 Usa el teorema de Pitágoras.
45°
h = ͙2
ෆ
1
≈ 1.41
El cateto opuesto y el cateto adyacente tienen ambos una longitud de 1.
opuesto 1
sen 45° = ᎏᎏ = ᎏᎏ ≈ 0.71
hipotenusa 1.41
adyacente 1
cos 45° = ᎏᎏ = ᎏᎏ ≈ 0.71
hipotenusa 1.41
opuesto 1
tan 45° = ᎏᎏ = ᎏᎏ = 1
adyacente 1
11.8 Razones trigonométricas 547

3. 11.8 Ejercicios Más práctica, página 736
PRÁCTICA GUIADA
En los ejercicios 1 a 3, asocia la razón trigonométrica con su definición.
cateto opuesto a ЄR cateto opuesto a ЄR cateto adyacente a ЄR P
A. ᎏᎏᎏ B. ᎏᎏᎏ C. ᎏᎏᎏ
hipotenusa cateto adyacente a ЄR hipotenusa
1. tan R 2. cos R 3. sen R R Q
4. Usa un transportador para dibujar un triángulo con medidas de ángulo de 40°, 50°
y 90°. Mide los lados con una regla. Luego, usa tus medidas para aproximar el
seno, el coseno y la tangente de 40°.
5. Usa un transportador para dibujar un triángulo con ángulos de 40°, 50° y 90° que
sea más grande que el del ejercicio 4. Mide los lados y luego usa tus medidas para
aproximar el seno, el coseno y la tangente de 40°. ¿Obtienes los mismos
resultados que en el ejercicio 4?
En los ejercicios 6 a 11, usa la siguiente figura ᭝ XYZ para hallar la razón trigonométrica.
6. sen X 7. cos X Y 12 Z
8. tan X 9. sen Y
13 5
10. cos Y 11. tan Y
X
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
En los ejercicios 12 a 17, usa ᭝ DEF para hallar la razón trigonométrica.
12. sen D 13. cos D D
ͱ45
3
14. tan D 15. sen E
16. cos E 17. tan E F 6 E
En los ejercicios 18 a 21, resuelve el ángulo y el lado no rotulado de cada triángulo.
Luego, escribe seis razones trigonométricas que puedan formarse con cada triángulo.
18. B 19. H 20. R 5 S 21. V 1 W
50.2°
63.4°
60° ͱ75 2 6
60° 2
A 5 C J 1
K Q
X
En los ejercicios 22 y 23, dibuja un triángulo rectángulo, ᭝ ABC, que tenga las razones
trigonométricas dadas. Rotula cada lado con su longitud.
15 15 2 3
22. tan A =  , cos B =  23. sen A = ᎏ , cos A = ᎏ
8 17 ෆෆ
͙13 ෆෆ
͙13
548 Capítulo 11 Congruencia, semejanza y transformaciones