geometria euclidiana

1. METODOSDE
DEMOSTRACION
MATEMÁTICA

2. Demostración Matemática. Es una cadena finita
de proposiciones verdaderas, que se
obtienen con ayuda de reglas de
inferencia lógicas. El punto de partida de
esta cadena son proposiciones cuya
verdad es conocida. El punto final de la
cadena es el teorema a demostrar. Cada
miembro de la cadena se obtiene del
anterior mediante reglas de inferencia
lógica.

7. CLASES DE DEMOSTRACIONES
• Demostraciones directas
• Demostraciones indirectas.
• Demostraciones por inducción
completa
• Demostraciones por
contraejemplo

9. El Método Directo
Consiste en partir de las premisas (datos) del
teorema y aplicando las reglas de la lógica y la
teoría desarrollada, obtener o llegar a la tesis
(conclusión) del teorema después de un número
finito de pasos.

10. El Método Indirecto
Establece la verdad de una afirmación demostrando la
falsedad de la afirmación contraria. Se realiza una
demostración indirecta cuando se establece la validez de
una propocicion probando que las consecuencias de su
contraria son falsas.

13. Demostraciones por Inducción Completa
Es un método especial de demostración matemática que permite, a
base de observaciones particulares, juzgar de las regularidades
generales correspondientes.
La Inducción (o sea, la sugerencia de una idea o una hipótesis) sin
dudas desempeña en las matemáticas un papel importante, pero
puramente heurístico: permite adivinar cuál debe ser, según todas las
apariencias, la solución. Pero las proposiciones matemáticas se
demuestran siempre deductivamente. Ningún resultado matemático
puede considerarse justo, válido, si no ha sido deducido de las
proposiciones de partida.

14. Si el primer dominó cae, y si cae un dominó
entonces cae el siguiente,
entonces todos los dominós caen.

17. VOCABULARIO IMPORTANTE-

19. Axiomas básicos
1- El espacio tiene infinitos puntos, rectas y planos.
2- El plano tiene infinitos puntos y rectas.
3- La recta tiene infinitos puntos.
4- Por un punto pasan infinitas rectas.

20. Postulados básicos
1- Por una recta pasan infinitos planos.
2- Por dos puntos pasa una única recta.

21. Teoremas básicos-
Teorema: Ángulos opuestos por el vértice
“Al cortarse 2 rectas, los ángulos opuestos por el vértice
que se forman son congruentes”
Teorema: Suma de los Ángulos de un Triángulo.
“La suma de las medidas de los ángulos interiores de un
triángulo es 180º ”

22. Geometría
Euclidiana
• Euclides Su obra máxima: Elementos de
geometría, Los seis primeros
corresponden a lo que se entiende como
geometría elemental; en ellos Euclides
recoge las técnicas geométricas
utilizadas por los pitagóricos para
resolver ejemplos de ecuaciones
lineales y cuadráticas, e incluyen
también la teoría general de la proporción.
Los libros del séptimo al décimo tratan de
cuestiones numéricas y los tres restantes
se ocupan de la geometría de los sólidos,
hasta culminar en la construcción de los
cinco poliedros regulares y sus esferas
circunscritas. Euclides estableció lo que
había de ser la forma clásica de una
proposición matemática: un enunciado
deducido lógicamente a partir de unos
principios previamente aceptados.

23. Sus postulados son:
I. Por dos puntos diferentes sólo
se puede trazar una única línea
recta.
II. Todo segmento rectilíneo se
puede prolongar
indefinidamente.
III. Con un centro y un radio dado
sólo se puede trazar una única
circunferencia.
IV. Todos los ángulos rectos son
iguales.
V. Si una recta corta a otras dos
formando a un lado ángulos
internos, y la suma de estos es
menor que dos rectos, las dos
rectas prolongadas
indefinidamente se encontrarán
de ese lado.

24. Ejemplo #1 Demostraciones justificadas
Escribe una justificación para cada paso, dado que y
son complementarios y .
1. y son complementarios.
2. 90
3.
4.
5. 90
6. y son complementarios.
A B
A C
A B
m A m B
A C
m A m C
m C m B
C B
 
  
 
    
  
  
    
 
Definición para
ángulos
complementario
A B
C

25. Ejemplo #2
Escribe una justificación para cada paso, dado que es el
punto medio de y .
1. es el punto medio de
2.
3.
4.
B
AC AB EF
B AC
AB BC
AB EF
BC EF





26. Ejemplo#3
Escribe una justificación para cada paso, dado que y
son suplementarios y 45 .
1. y son suplementarios. 45
2. 180
3. 45 180
4. 135
A B
m A
A B m A
m A m B
m B
m B
 
  
    
    
   
  
Definición para
ángulos
suplementario

27. Escribiendo una Demostración
• 1) 1 y 2 son ángulos rectos
• 2) 1 y 2 miden 90 grados
• 3) 1 Y 2 son congruentes
• 4) 1 y 2 son iguales
Dado: 1 y 2 son ángulos rectos.
Demostrar: 1 2
 
  
Plan: Utiliza la definición de un ángulo recto para escribir la medida de cada
ángulo y luego utiliza la definición de ángulos congruentes.
Demostración

28. Escribiendo una Demostración
Dado: 1 y 2 son suplementarios
1 3
Demostrar: 2 y 3 son suplementarios
Plan: Utiliza la definición de ángulos suplementarios y
congruentes y sustitución para mostrar que
 
  
 
3 2 180 . Por la definición de ángulos
suplementarios, 2 y 3 son suplementarios.
m m    
 

29. Escribiendo una Demostración
Dado: 1 y 2 son complementarios y 2 y 3
son complementarios.
Demostrar: 1 3
   
  
Plan: La medida de ángulos complementarios suma a 90° por
definición. Utiliza sustitución para mostrar que la suma de
ambos pares es igual. Utiliza la propiedad de Resta y la
definición de ángulos congruentes para concluir que ángulo 1
es congruente a ángulo 3.
Demostracion

30. Escribiendo una Demostracion
Si los puntos A, B, C y D
están sobre una recta de
manera que B es el punto
medio del segmento AC y
C es el punto medio
del segmento BD
Demostracion