Este documento presenta información sobre álgebra, incluyendo expresiones algebraicas, potenciación, radicación y propiedades de estas operaciones. También introduce los números reales y desigualdades. Define expresiones algebraicas racionales e irracionales y explica cómo clasificarlas.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 1
Expresiones algebraicas. Potenciación y Radicación.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es una combinación de constantes y potencias de variables que
están ligadas por las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división,
potenciación y radicación, sin variables en los exponentes.
Ejemplos:
3x5y – 2
x
y
, 4xy – 1 –
1
23x y .
Las expresiones algebraicas se clasifican en :
1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
Son aquellas expresiones en las que sus variables no están afectadas por la radicación ni
su exponente es fraccionario.
Ejemplos:
5 x3yz – 1 ; x3 + 5x2 y – 5 ; 7x3 + 5y9 – 7z6
Las expresiones algebraicas racionales pueden ser a su vez de dos tipos :
RACIONALES ENTERAS: Cuando los exponentes de las variables son números enteros
no negativos.
Ejemplos:
3 x3yz2; x3 + 5x2 y 4 ; x3 + 2y4 – 7z6
RACIONALES FRACCIONARIAS: Cuando por lo menos hay una variable en el
denominador o las variables del numerador están afectadas al menos de un exponente
entero negativo.
Ejemplos:
3 x3yz – 1 ;
3
x
y
+ 5x2 y – 4 ; 9x3 + 5y – 7.

2. 2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS IRRACIONALES
Es aquella expresión en la que al menos una de sus variables está afectada por la
radicación o la variable tiene exponente fraccionario.
Ejemplos:
4
x
y
2
+ 3x7 y – 4 ; 5x2y + 3
x
y
, –
1
23x y .
Potenciación
an = b, donde an : potenciación
a : base
n : exponente
b : potencia
Definición: an =
n veces
a . a ... a, si n  , a .
Observación: la potencia 00 no está definida.
Propiedades
1. a a am n m+n
. = 7.
m
n
a
a
= m n
a 
, a  0
2. 0
a 1 , a  0 8. n
n
1
a
a

 , a  0
3.  n n n
ab = a .b 9.  
nm mn
a
4.
n
a
b
 
 
 
=
n
n
a
b
, b  0 10.
 nn mm
a a
 
 , a  0
5.
n
a
b

 
 
 
=
n
b
a
 
 
 
, a  0, b  0 11.   mnpq 
 
qpn
m(a ) = a
6.
I
q
tp t lnn m um
a a a a




  
Radicación en
Sea  1
  tal que n es par; a > 0 ó n es impar, se cumple:
n
na b a b  
n
a bíndice
radical
raíz
par
impar
impar
Recuerda que:
+ = +
+ = +
= 

3. Propiedades:
Si los radicales de ambos miembros existen, se cumple que:
1.
m
n m n
a a ; n  2, n  .
2.
n
n
n
a a
b b
 , b  0
3.
n nn m p m p
a . a a . a
4.
nm m
n
p n p
a a
b b
 , b  0
5.
n n n n
abc a . b . c
6.    
p mpn nm mp
a a a
7.
pqrs n
a =
p q r s n
a
8.
(xn+y )p+ z
m pnx y z mnp
a a a = a
Ejemplo 1:
Si       
0.61 5 2 43 3N 27 27 2 3
  
 
    
 
 
determine el valor de 1+ 3
N .
Solución:
       
0.62 5
3 3 43
N 3 3 2 3
  
 
    
 
 
     
 
 
0.62 5 4
0.6
2 5
4
0.6
4
3 3 2 3
1 1
2 3
3 3
1 1
2 3
9 243
  


     
 
   
        
    
 
   
 

4. 3
51 1 1
2
9 243 81
 
 
   
      
3
532
243
 
 
  
  
 
3
5 5
2
3
 
 
   
   
   
3
2
3
8
27
 
  
 

Luego
3 3
8 2 5
1 N 1 1
27 3 3
      .
Ejemplo 2:
 
x
x 1
Si x ,
2
 halle el menor valor de x.
Solución:
1
1x 2
41 1 1 1
x x x
2 4 2 4
1 1
x
4 16
1
el menor valor de x es .
16
   
        
   
   

Ejemplo 3:
 
1
x 1
x
x 2
3x 2 x
40
Si 5
2 8 36






, halle el valor de x.

5. Solución:
 
 
 
1
1
1
1
1
1
x 1
x
x 2
3x 2 3x
x 1
x
x 2
x x
x
x
x 2
x
x
xx 2
x
x 2 x x
x
xx 2
2
40
5
2 2 2 36
40
5
8 4 8 36
40 40
5
8 40
40
5
8
5 5
5 5
x 1
x 2 x
x x 2 0
x 2
x 1
x 2
























  


 

6. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 2
NÚMEROS REALES, RADICALES DOBLES, RACIONALIZACIÓN
LOS NÚMEROS REALES
Antes de mencionar a los números reales, veamos los siguientes conjuntos:
 Los números naturales  ...,3,2,1,0N
 Los números enteros  ...,2,1,0,1,2,... Z
 Los números racionales  






 0n;n,m/
n
m
ZQ
 Los números irracionales  fracciónunacomoexpresadoserpuedenop/pI
Es decir, los números irracionales son aquellos que se escriben mediante una expresión
decimal con infinitas cifras y no periódicas.
Ejemplos:
 ...77320508075,13 
 ...654921514,3
Definición: el conjunto R de los números reales es definido como IQR  .

7. Observaciones:
1. De las definiciones anteriores, se tiene el siguiente esquema
2. El conjunto R de los números reales está provisto de dos operaciones: adición y
multiplicación, y una relación de orden "< " que se lee "menor que", esta relación de
orden tiene las siguientes propiedades:
 
 
.yzxz0zyxSi)iii
z,y,x;zyzxyxSi)ii
z,y,x;zxzyyxSi)i



.
.
R
R
RECTA REAL
Los números reales se representan gráficamente por una recta, llamada “recta real”.
Nota: a < b significa que sobre la recta real, “a” se encuentra a la izquierda de “b”.
DESIGUALDAD
Es una expresión que indica que un número es mayor o menor que otro.
Definiciones:
I. )baba(ba 
II. )baba(ba 
Propiedades:
1. ab = 0  [a = 0  b = 0]
2. Si ac = bc y c  0  a = b
3. a < b < c  a < b  b < c
4. a < b  c < d  a + c < b + d
5. a < b  – a > – b
6. a > b  c < 0  ac < bc
7. a  0  a2 > 0
8. Si 0  a < b  0  c < d  ac < bd
9. Si a y b tienen el mismo signo, entonces: a < b  a–1 > b–1
R
N
Z
Q I

8. 10. ab > 0  [(a > 0  b > 0)  (a < 0  b < 0)]
11. ab < 0  [(a < 0  b > 0)  (a > 0  b < 0)]
12.  a  R + , a +
a
1
 2
13.  a  R – , a +
a
1
 – 2
14. Sean {a, b, c, d}  R + /
b
a
<
d
c

b
a
<
db
ca


<
d
c
15. a2 + b2 = 0  a = 0  b = 0
16. Si bababaentonces,0b 2

17. Si babbaentonces,0b 2

18. I) Si a < x < b  ab > 0  }b,a{máxx}b,a{mín 22222

II) Si a < x < b  ab < 0  }b,a{máxx0 222

III) Si 0 < a < b  0 < c < d 
c
b
d
a
0 
INECUACIÓN
Es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que
solo se verifican para determinados valores de la incógnita ó incógnitas.
Observación:
La media geométrica (MG) de dos números positivos no es mayor que la media aritmética
(MA) de los mismos números positivos.
Simbólicamente: MAMG  .
INTERVALOS
Son subconjuntos de los números reales que gráficamente son segmentos de recta o
semirrectas y cuyos elementos satisfacen cierta desigualdad. Los intervalos sirven para
expresar el conjunto solución de las inecuaciones.
INTERVALOS DE EXTREMOS FINITOS
i) Intervalo abierto
 a,b x / a x b   R
ii) Intervalo cerrado
   bxa/xb,a  R
a b
 a b

9. iii) Intervalo semiabierto por la izquierda
  a,b x / a x b   R
iv) Intervalo semiabierto por la derecha
 a,b x / a x b     R
Si a = b entonces  }a{]a,a[pero,Øa,aa,aa,a 
Ejemplo 1
Determine el conjunto   xJ R 7x41x9x2/ 
Solución:
2x 9 x 1 x 1 4x 7
x 8 2 x
A 2; 8
      
  
 
INTERVALOS DE EXTREMOS INFINITOS
a,   = { x  R : a < x }
[ a,+ = { x  R : a  x }
, b  = { x  R : x < b }
 , b ] = { x  R : x  b }
 , + = R
Propiedad.
Si x, z  J (intervalo) y si w  R, tal que x < w < z, entonces w  J.
 a b
 a b

10. Definición:
Si I es un intervalo de extremos a y b, con a < b, la longitud del intervalo I es b – a.
OPERACIONES CON INTERVALOS
Con los intervalos se puede realizar las mismas operaciones entre conjuntos, como son
unión, intersección, diferencia, complemento.
Siendo I, J intervalos, se tiene que
I  J = {x  R / x  I  x  J} ; I  J = {x  R / x  I  x  J}
I – J = {x  R / x  I  x  J} ; I' = {x  R / x  I}
   JIJIJI 
Ejemplo 2
Si   xI R 7x1x/    xJ R 5x3x/  .IJhalle, 
Solución:
'IJIJ 
I ; 1 7 ;      luego  7;1'I 
 J ; 3 5 ;    
   7;53;1IJIJ ' 
Ejemplo 3
1. Si
2x 1 1 9
;
x 3 3 2
  
   
, halle el menor número real M; tal que M2x  .
Solución:

2x 1 9 5 9
3 3 2
x 3 2 x 3 2
5 5
1
x 3 2
1 1 1
5 x 3 2
5 x 3 2
x 2 3 M 3,
M 3

     
 
  

  

    
       
  

11. RADICALES DOBLES, RACIONALIZACIÓN
1. TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLES A SIMPLES
Si a  0, b  0 se cumple:
i. a b 2 ab  = a + b
ii. a b 2 ab  = a – b (si a  b)
iii. Fórmula:
a b =
a c
2


a c
2

, siendo c = 2
a b
Ejemplo 1.
Transformar a radicales simples 11 2 30
Solución:
11 2 30 = (6 5) 2 (6)(5)  = 6 5
= 6 5
Ejemplo 2
Transformar a radicales simples 8 48
Solución:
Usamos la formula (iii), vemos que a = 8, b = 48 → = 2
c 8 48 4   , luego
8 4 8 4
8 48
2 2
 
  
6 2 
Ejemplo 3.
Simplifique: R 12 2 15 4 5 4 3   
Solución:
R 12 2 15 4 5 4 3
R 5 3 4 2 5 3 2 5 4 2 4 3
R 5 3 4
R 5 3 2
   
      
  
  

12. 2. RACIONALIZACIÓN
Racionalizar una expresión es reemplazar por una equivalente que no contenga
radical en el denominador. Esto se consigue multiplicando al numerador y
denominador por un factor racionalizante (FR).
Ejemplo 4.
Racionalice el denominador de
1
3 2 2
Solución:
1
3 2 2
=
1
2 1
( 2 1)
( 2 1)


=
2 1
1

; en este caso FR = 2 1
Observación.
Para encontrar el factor racionalizante es conveniente tener en cuenta las identidades:
I. a2 – b2 = (a + b) (a – b)
ii. a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
iii. a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
Ejemplo 5.
Al racionalizar y simplificar:
6 6
1
4 2 1 
, indique el denominador.
Solución:
6 6
1
4 2 1 
=
6
6 6 6
1 2 1
4 2 1 2 1


  
=
6 6 6
36
2 1 2 1 2 1 ( 2 1)( 2 1)
12 1 2 12 1
    
  
 
El denominador luego de simplificar es 1.

13. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 3
Ecuaciones Lineales y de Segundo Grado con una variable e
Inecuaciones Lineales y de Segundo Grado con una variable
1. Ecuaciones Lineales con una incógnita
Una ecuación lineal con una incógnita es de la forma:
… (I)
donde a y b son constantes y “x” se denomina variable, incógnita ó indeterminada.
1.1 Conjunto Solución: El conjunto formado por todos los valores de “x” que
verifican (I) es llamado el conjunto solución (C.S.) de (I).
Observación: Teniendo en cuenta la ecuación (I) se presentan los siguientes casos:
Casos C.S.
i)  a 0, b
b
C.S.
a
 
  
 
(I) presenta solución única.
ii) a 0,b 0  C.S. (I) presenta infinitas soluciones.
iii) a 0, b 0  C.S.   (I) no existe solución.
Ejemplo 1:
Halle el conjunto solución de
x 5x 2x 1
3
3 2 5

  
Solución:
Multiplicando a ambos lados de la ecuación por 30 = mcm (3,2,5)
Tenemos: 10x – 75x + 90 = 12x – 6
96 = 77x
96 77x
96
x
77
96
CS
77


 
   
 
ax b 0 

14. Ejemplo 2: Si la ecuación 2
nx m 4 5 8x    tiene infinitas halle el menor valor de
m+n.
Solución:
De la ecuación resulta   2
n 8 x m 9 0   
Para tener infinitas soluciones se cumple n + 8 = 0 ; m2 – 9 = 0
n 8 (m 3 m 3)
m n 5 m n 11
La respuesta es 11
       
       

2. Ecuaciones de Segundo Grado
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es de la forma:
donde 2
b 4ac   es llamado discriminante de la ecuación de segundo grado.
Esta ecuación tiene dos soluciones:
1 2
b b
x y x
2a 2a
     
 
2.1 Naturaleza de las soluciones
Casos Tipos de soluciones
0  reales y distintas
0  reales e iguales
0  no reales y conjugadas
Además se cumple que: 1 2 1 2
b c
x x , x x
a a
   
Observación : Se puede construir una ecuación cuadrática mónica donde m y n
sean soluciones, dicha ecuación es:
2
x (m n)x mn 0   
Ejemplo 3:
Forme una ecuación donde 3 y –7 sean las soluciones.
     2
ax bx c 0; a 0 , a,b,c

15. Solución:
La ecuación es:
2
2
x (3 7)x (3)( 7) 0
x 4x 21 0
     
  
3. Desigualdades e Inecuaciones
3.1 Desigualdades: Son aquellas expresiones de la forma:
a < b , a  b, a >b, a b .
3.1.1 Propiedades
i. Si a < b y b < c  a < c.
ii. Si a < b      a c b c ; c .
iii. Si a < b y c > 0  ac < bc.
iv. Si a < b y c < 0  ac > bc.
3.2 Inecuaciones Lineales con una variable
Son aquellas desigualdades que presentan una incógnita o variable y que
pueden reducirse a la forma:
Ejemplo 4: Si x > –4, halle la suma de los cuadrados de las soluciones enteras
del conjunto solución de
x 3 2x 1
4 3
 

Solución:
Multiplicamos a ambos lados de la inecuación por 12 = mcm(3,4):
2
3x 9 8x 4
5 5x
1
pero x 4
4 x 1 CS 4, 1
así ( 3) ( 2) 13
  
 
 
 
       
   

ax b 0 ; ax b 0 ; ax b 0 ; ax b 0 ; a 0        

16. 4. Inecuaciones de Segundo Grado
Para resolver (*) se presentan los siguientes casos:
CASO I. Si 2
b 4ac 0,   
resolveremos la inecuación aplicando puntos críticos
  2
1 2 1 2
1 2
I.1) Si ax bx c 0 a x r x r 0 donde r y r son llamados puntos críticos;
supongamos que r r ; luego en la recta real se colocará los puntos y entre los puntos
los signos (+) , (-) y (+)
      

alternadamente comenzando por la derecha y siempre
con el signo (+)
Luego el conjunto solución de la inecuación I.1) será los intervalos con signos positivos
1 2C.S. ,r r ,   
  2
I.2) Si ax bx c 0 1 2C.S. ,r r ,    
  2
I.3) Si ax bx c 0  1 2C.S. r ,r  (intervalo negativo)
  2
I.4)Si ax bx c 0 1 2C.S. r ,r 
Ejemplo 5: Resuelva la inecuación:
a)   2
x 5x 24 0
Solución:
  
  
2
a) 5 4 1 24 121 0
Factorizando por aspa simple x 8 x 3 0
luego los puntos críticos son : 8 y 3.
     
  

Gráficamente
C.S. , 8 3,     
++
r1 r2
–
++ –
–8 3
2
ax bx c 0 ; ( 0 , 0 , 0) a 0,a > 0, a,b,c        ; (*)

17. CASO II. Si 2
b 4ac 0   
2
2
2
2
II.1) ax bx c 0 C.S.=
II.2) ax bx c 0 C.S.=
II.3) ax bx c 0 C.S.=
II.4) ax bx c 0 C.S.=
   
   
    
    
Ejemplo 6: Resuelva la inecuación 2
3x x 5 0  
Solución:
    2
1 4 3 5 59 0 C.S.       
CASO III. Si 2
b 4ac 0,   
 
   
   
 
22
22
22
22
III.1) ax bx c 0 a x r 0 C.S.=
III.2) ax bx c 0 a x r 0 C.S.= r
III.3) ax bx c 0 a x r 0 C.S.= r
III.4) ax bx c 0 a x r 0 C.S.=
      
       
      
       
Ejemplo 7: Resuelva la inecuación   2
4x 12x 9 0
Solución:
    2
12 4 4 9 0 C.S.       
4.1. Teorema ( Trinomio Positivo )
Sea  a,b,c  , se cumple que:
         2
ax bx c 0 , x a 0 0 .
Ejemplo: 2
x 2x 7 0   su conjunto solución es puesto que
2
(2) 4(1)(7) 0    y su coeficiente principal 1 es positivo .

18. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 4
1. VALOR ABSOLUTO
1.1 Definición.
Sea a  ℝ , el valor absoluto de a , denotado por a , se define por:
a , si a 0
a
a , si a 0

 
 
Propiedades:
Sea a, b  ℝ , se tiene las siguientes propiedades
i. a 0
ii. a 0 a 0
iii. ab a b
iv. a a
aa
v. , si b 0
b b

  

 
 
Observaciones
i.
n n
a = a si n  
Z y n es par.
ii.
n n
a = a, si n   1
Z y n es impar.
iii.
2 2
a a a  .
1.2 Ecuaciones con valor absoluto
i. a = b  b  0  ( a = b  a = – b )
ii. a = b  a = b  a = – b

19. iii. λa =  a , 
Ejemplo 1
Si a, b ( a > b) son soluciones de la ecuación  2
x 2 x 3 6 x 1    , halle el valor de
a – 3b.
Solución:
  
 
2
2
2
x 2 x 3 6x 6
x 6x 9 9 2 x 3 6 0
x 3 2 x 3 15 0
x 3 5 x 3 3 0
Como x 3 3 0 , x x 3 5
x 3 5 x 3 5
x 8 x 2
a 8 y b 2
luego a 3b 8 3 2 14
   
      
    
    
       
      
   
   
    
1.3 Inecuaciones con valor absoluto
i. a  b  b  0  ( – a  b  a )
ii. a  b  a  b  a  – b
iii   a b a b a b 0    
Ejemplo 2
Resolver
2
x 5 3 x 5 4   
Solución:
2
x 5 3 x 5 4 0    

20.    x 5 4 x 5 1 0
Como x 5 1 0 , x
x 5 4 4 x 5 4
1 x 9
x 1, 9
    
    
       
  
 
2. NÚMEROS COMPLEJOS
El conjunto de los números complejos se denota por:
ℂ = { a + b i / a, b  ℝ  i2 = –1 }
Notación: z = a + b i, donde a = Re(z) y b = Im(z).
2.1 Igualdad de números complejos.
a + b i = c + d i  [ a = c  b = d ]
2.2 Operaciones con números complejos.
Si z a bi, w c di entonces   
z w (a c) (b d)i    
z. w (ac bd) (bc ad)i   
2.3 Definiciones: Sea z = a + bi.
z = a – b i se llama conjugado de z.
| z | = 2 2
a b se llama módulo de z.
Observación:
(1 + i)2 = 2 i; (1 – i)2 = – 2 i;
1 i
1 i


= i;
1 i
1 i


= – i
2.4 Propiedades:
Sean z, w  ℂ se tiene las siguientes propiedades.
1. z z = | z |2 6. z w = z + w
2. z + z = 2 Re(z); z – z = 2 i Im(z) 7. z w = z – w

21. 3. | z | = | z | = | –z | 8. zw = z w
4. | zw | = | z | | w | 9. z = z
5.
z
w
=
z
w
; w  0 10.
nn
z z , n 
  Z
2.5 Potencias de la unidad imaginaria i.
4
i = 1, 4 1
i 
= i, 4 2
i 
= – 1, 4 3
i 
= – i
Ejemplo 3
Si z es un número complejo que verifica la ecuación
6 4i 2i
3i
5 i z 1

 
  
, halle z .
Solución:
  
  
 
  
2 2
6 4i 5 i 2i
3i
5 i 5 i z 1
26 26i 2i
3i
26 z 1
2i
1 i 3i
z 1
2i
1 2i
z 1
2i 1 2i 4 2i
z 1
1 2i 1 2i 5 5
9 2i
z
5 5
9 2 85
luego z
5 5 5
  
 
    
 
 

   

  

 
   
   
 
   
      
   

22. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº5
POLINOMIOS
DEFINICIÓN
Llamaremos polinomio de grado n en la variable x a la expresión algebraica de la forma
n n 1 n 2
n n 1 n 2 1 0p(x) a x a x a x ... a x a 
     
donde n

0 y 0 1 2 na ,a ,a ,...,a son números en un conjunto numérico , llamados
coeficientes del polinomio. El coeficiente na 0 es llamado coeficiente principal
mientras que al coeficiente 0a se le llama término independiente.
Con respecto al conjunto , este puede ser el conjunto de los , , o .
EJEMPLOS
Polinomio Grado Coeficiente
Principal
Término
Independiente
p(x) = 4x9 +9x12 + 4 – x 12 9 4
q(x) = – 6 + x4 – 2x + x2 4 1 – 6
TEOREMA: Dado un polinomio p(x) se cumple:
1) La suma de coeficientes de p(x) es igual a p(1)
2) El término independiente de p(x) es igual a p(0)
POLINOMIO MÓNICO
Un polinomio p(x) se dice mónico si su coeficiente principal es uno.
EJEMPLO
  5 2
p x 4x 7 1x 2x    es un polinomio Mónico.
POLINOMIOS IDÉNTICOS
Dos polinomios en una variable y del mismo grado de las formas
n n 1 n 2
n n 1 n 2 1 0p(x) a x a x a x ... a x a
      y
n n 1 n 2
n n 1 n 2 1 0q(x) b x b x b x ... b x b
     

23. son idénticos si y sólo si:
n na b , ... , 2 2a b , 1 1a b , 0 0a b .
OBSERVACIÓN:
También decimos que los polinomios p(x) y q(x) son idénticos si p(α) = q(α); α ℝ .
POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO
Un polinomio   
    n n 1
n n 1 1 0p x a x a x ... a x a es idénticamente nulo si
    n n 1 1 0a a . . . a a 0 .
EJEMPLO
Dado el polinomio idénticamente nulo        2 2
p x x 4 ax bx c 2bx , calcule el
valor de (a+ b+ c).
solución
 
 
2 2
2
0 00
p x x 4 ax bx c 2bx
p x (1 b)x (a 2b)x ( c 4)
b 1; a 2 ; c 4
a b c 7

     
      
     
   
OBSERVACIÓN
El polinomio p(x) es también idénticamente nulo si y solo si p() = 0 ; α ℝ.
POLINOMIO ORDENADO
Diremos que un polinomio es ordenado en forma creciente (o decreciente) respecto a una
de sus variables, cuando los exponentes de la variable mencionada solo aumentan (o
disminuyen).
EJEMPLOS
1) En p(x) = x5 – 3x4 + x3 – x2 +2x – 4, los exponentes de la variable x son 5 ,4, 3, 2, 1,0;
en ese orden entonces p(x) está ordenado en forma decreciente.
2) En   5 16
q z 4z 2 z 8z   , los exponentes de la variable z son 1, 5, 16; en ese
orden entonces q(z) está ordenado en forma creciente.
3) En 4 6 8 4 10 3
p( x,y) 3x x y 7x y 9x y x y     solo los exponentes de la variable x están
aumentando entonces  p x,y está ordenado en forma creciente respecto a la
variable x.

24. GRADO RELATIVO DE UN POLINOMIO RESPECTO A UNA VARIABLE (G R)
Es el mayor exponente de la variable en referencia que aparece en el polinomio.
EJEMPLO
7 4 4 8 5 3
p(x,y) 5x y 7x y 11x y    GRx [p(x,y)] = 7  GRy [p(x,y)] = 8
GRADO ABSOLUTO (G A)
A) Para un monomio: El grado absoluto de un monomio se obtiene sumando los
exponentes de las variables que aparecen.
EJEMPLO
2 7 3 5
m(x,y,z) a x y z  GA [m(x, y, z)] = 15
B) Para un polinomio: El grado absoluto de un polinomio es el mayor de los grados
absolutos de los monomios que lo conforman.
EJEMPLO
2 3 9 7 2 3 11 43b
q( x,y) 2a x y x y c x y
2
    GA [q(x, y)] = 11 + 4 = 15
POLINOMIO COMPLETO
Diremos que un polinomio de varias variables es completo respecto a una de sus
variables si en cada término del polinomio está la variable elevada a un exponente
diferente en otro término que lo contiene, desde cero hasta el grado relativo del polinomio
respecto de esa variable.
EJEMPLOS
1) En 2 3 4
p(x) 6x 9x 3 8x 5x    
 0 1 2 3 4
vemos que aparecen los términos x , x , x , x , x entonces p x es un
polinomio completo de grado 4.
2) En   2 3 3 4 2 5 4
r x,y 6x 2x y 5x y 3x y 2x y     aparecen
0 1 2 3 4
y ; y ; y ; y ; y .
Entonces el polinomio es completo respecto a la variable y.
3) En el ejemplo 2 anterior: x
GR r(x,y) 5   pero no está 0
x luego  r x,y no es
completo respecto de x.
POLINOMIO HOMOGÉNEO
Un polinomio es homogéneo si cada término del polinomio tiene el mismo grado
absoluto. Al grado absoluto común se le denomina grado de homogeneidad o
simplemente grado del polinomio.
EJEMPLO
3 4 2 5 6 7
p(x,y) 3x y 2x y 9x y y   
GA 7 GA 7 GA 7 GA 7
el polinomio es homogéneo y su grado de homogeneidad es 7.

25. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº6
Productos Notables
Son productos indicados que tienen una forma determinada, de los cuales se puede
recordar fácilmente su desarrollo sin necesidad de efectuar la operación.
1. Binomio al cuadrado
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Ejemplo: Efectuar (5x – 2y)2
Solución:
(5x – 2y)2
= (5x)2
– 2 (5x) (2y) + (2y)2
= 25x2
– 20xy + 4y2
.
2. Identidades de Legendre
(a + b)2 + (a – b)2 = 2 (a2 + b2)
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
3. Diferencia de cuadrados
(am + bn) (am – bn) = a2m – b2n
(a + b) (a – b) = a2 – b2
4. Binomio al cubo
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)

26. Ejemplo:
Si se cumple
1 x y 1 4
x y x y
 
 

, determine el valor de y x
A x y 1   .
Solución:
 
 
2
2 2
2
x x
x y 4
xy x y
x y 4xy
x 2xy y 0
x y 0
x y
A x x 1
A 1.



 
  


  

Ejemplo:
Si 2
x 2x 1 0   , halle el valor de 44
T x x
 .
Solución:
Del dato se tiene:
2
x 1 2x
x x

 
1
x 2
x
  
Elevando al cuadrado:  
2
21
x
x
 
   
 
2
2
2
2
1 1
x 2x 4
xx
1
x 6
x
  
 
Elevando al cuadrado:
 
2
22
2
4 2
4 2
4
4
1
x 6
x
1 1
x 2x 36
x x
1
x 34.
x
 
 
 
  
 
5. Suma y diferencia de cubos
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

27. Ejemplo: Si 6 6 2 2
x y x y 0    , calcule el valor de 4 4 2 2
R x y x y   .
Solución:
   
  
3 3
6 6 2 2
2 2 4 2 2 4
1) Por diferencia de cubos
x y x y
x y x x y y
  
   
6 6 2 2
2) De la condición:
x y x y  
  2 2 2 2 4 2 2 4
4 2 2 4
3) igualando
x y x y x x y y
R x x y y 1.
    
   
6. Multiplicación de binomios con un término común
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
(x + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c) x2 + (ab + bc + ac) x + abc
Ejemplo: Si (x + 2) (x – 5) = x2 + 3m x + n + 1, determine el valor de m + n.
Solución:
(x + 2) (x – 5) = x2 + (2 + (–5)) x + 2 (–5) = x2 – 3 x –10
Luego:
3m = – 3 y n + 1 = –10
Entonces m = – 1 y n = –11
Por lo tanto, m + n = –12.
7. Cuadrado de un trinomio
(a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc)
8. Cubo de un trinomio
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 (a + b)(b + c)(a + c)
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 (a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b) + 6abc
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 (a + b + c)( ab + bc + ac) – 3 abc
9. Identidades de Lagrange
(ax + by)2 + (bx – ay)2 = (x2 + y2) (a2 + b2)
(ax + by + cz)2 + (bx – ay)2 + (cx – az)2 + (cy – bz)2 = (a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2)

28. 10. Identidades condicionales
Si a + b + c = 0, entonces
I)  2 2 2
a b c 2 ab bc ac     
II) 3 3 3
a b c 3abc  
III)  
 
2
2 2 2
4 4 4 2 2 2 2 2 2
a b c
a b c 2 a b a c b c
2
 
     
IV)  5 5 5
a b c 5abc ab ac bc     
11. Otras identidades
  
  
        
3 3 3 2 2 2
2 23 3 3 2
4 2 2 2
a b c – 3 abc a b c a b
a a 1
c – ab – ac – bc
1
a b c – 3 abc a b c
a a 1 a a
2
1
a b b c c a
      
  
      
     
Ejemplo:
  2 2 3
Si a b a ab b 6 c
a b b c 6
    
  
, simplifique
3(2 abc)
N .
a b c


 
Solución:
 
 
        
 
2 223 3 1
a b c a b b c c aa b c 3a
M
a b c a b c
2
      
 
  



     
2 2 2
y desde que : a b 6 y b c 6
entonces: a c 2 6
1
M 6 6 2 6 18.
2
   
 
 
     
 

29. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 7
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
1. DEFINICIÓN: Es la operación cuya finalidad es obtener las expresiones algebraicas
llamadas cociente q(x) y resto r(x) dadas otras dos expresiones denominadas
dividendo D(x) y divisor d(x).
Esquema:
2. ALGORITMO DE LA DIVISIÓN: Dados D(x), d(x)  [x]; d(x)  0, existen
polinomios q(x) y r(x) únicos, tales que:
D(x) = d(x) q(x) + r(x) … (1)
donde r(x) = 0 ó grad [r(x)] < grad [d(x)] . Los polinomios q(x) y r(x), se denominan
cociente y residuo, respectivamente.
Ejemplo 1: x3 – 7x + 4 = (x – 2) ( x2 + 2 x – 3 ) – 2
D(x) d(x) q(x) r(x)
Propiedades
i. grad [D(x)]  grad [d(x)]
ii. grad [q(x)] = grad [D(x)] – grad [d(x)]
iii. grad [r(x)]max = grad [d(x)] – 1
CLASES DE DIVISIÓN
EXACTA: Si r(x) = 0 INEXACTA: Si r(x)  0
De (1): D(x) = d(x) q(x)
i) D(x) es divisible por d(x).
ii) d(x) es un divisor ó es un factor
de D(x).
De (1): D(x) = d(x) q(x) + r(x)
donde: 0  grad [r(x)] < grad [d(x)]

30. 2.1. Criterios para dividir polinomios:
2.1.1. Métodos de división de polinomios:
Dos de los métodos de división son:
A) Método de Horner: Aplicable a polinomios de cualquier grado.
i) El dividendo y el divisor deben ser polinomios ordenados generalmente
ordenados en forma decreciente y completos, respecto a una misma variable.
ii) Se completará con ceros los términos faltantes en el dividendo y divisor.
iii) La línea vertical que separa el cociente del residuo se obtiene contando de
derecha a izquierda tantas columnas como nos indica el grado del divisor.
iv) El resultado de cada columna se divide por el coeficiente principal del d(x), y este
nuevo resultado se multiplica por los demás coeficientes del d(x), colocándose
los resultados en la siguiente columna y hacia la derecha.
Ejemplo 2: Dividir D(x) = 25x5 – x2 + 4x3 – 5x4 + 8 por d(x) = 5x2 –3 + 2x
Solución:
Ordenando y completando los términos del dividendo y divisor:
D(x) = 25x5 – 5x4 + 4x3 – x2 + 0x + 8, d(x) = 5x2 + 2 x – 3
Coeficiente
principal del d(x) Coeficientes del D(x)
B) Método de Ruffini: Es un caso particular del método de Horner aplicable sólo a
divisores binómicos de la forma (x  b), o transformables a binomios.
El esquema de Ruffini consiste en dos líneas, una horizontal y la otra vertical, tal
como se muestra en la figura.
5 25 –5 4 –1 0 8
–2 –10 15
3
–15
6
25
–9
–10
–20
15
8 –12
5 –3 5 –4 23 –4
coeficientes del
cociente q(x)
coeficientes
del resto
Demás coeficientes
del
d(x) con signo
cambiado
q(x) = 5 x3
– 3 x2
+ 5 x – 4
r(x) = 23x – 4

31. Ejemplo 3: Dividir
5 3 2
2x 17x 3x 12x 6
x 3
   

Solución:
x–3=0 2 0 –17 3 –12 –6
x =3  6 18 3 18 18
2 6 1 6 6 12
Ejemplo 4: Dividir
4 3 2
6x x –10x 15x 9
3x 1
  

Igualamos el divisor a cero
1
3x 1 0 entonces x
3
  
Resolviendo, tenemos el siguiente esquema
Para encontrar el cociente correcto se divide a todos los coeficientes del cociente por
el denominador de la fracción que se obtuvo para x, al igualar el divisor a cero.
Así 3 2
q(x) 2x x 3x 4 y r 5      .
El siguiente teorema nos permite encontrar el resto sin efectuar la división.
3. TEOREMA DEL RESTO El resto r de dividir un polinomio p(x) por un binomio de la
forma ax  b, es igual al valor numérico que se obtiene al reemplazar en el dividendo
x = 
a
b
.
6 -101 -915
1
3
6 3
2
-9
1 -3
-5
4
12
-31 42
3
q(x) = 2x4
+6x3
+x2
+6x+6
r = 12

32. En conclusión: Si p(x)  (ax – b)  r = p 





a
b
.
Regla práctica:
 El divisor se iguala a cero.
 Se despeja la variable.
 La variable obtenida en el paso anterior se reemplaza en el dividendo, obteniéndose
así el resto.
Ejemplo 5: Halle el resto al dividir
17 16 2
x 3x – 5x 14x 8
x 3
  

.
Solución:
1º d(x) = 0  x + 3 = 0
2º Despeje conveniente: x = – 3
3º        16 17 2
r 3 3 3 – 5 3 14 3 8 5        
 resto = 5
Ejemplo 6: Determine el resto de la siguiente división
3 6 3 5 3
3
(x 4) (x 2) (x x 1)
x
    

.
Solución:
Aplicando el Teorema del resto 3 3
x 3 0 x 3   
Si reemplazamos en el dividendo
6 5 6 5
r(x) (3 4) (3 2) (3 x 1) ( 1) (1) 2 x
r(x) x 3
         
   
4. DEFINICIÓN: Diremos que r es raíz o cero de p(x), si p(r) = 0.
Ejemplo 7: Para el polinomio 3 2
p(x) 2x 3x 11x 6   
Vemos que x 3 es una raíz de p(x) pues se tiene que
3 2
p(3) 2(3) 3(3) 11(3) 6 54 27 33 6 60 60 0           .
También vemos que x 1 no es una raíz de p(x) pues
3 2
p(1) 2(1) 3(1) 11(1) 6 2 3 11 6 8 14 6
es decir, p(1) 0.
           

5. TEOREMA DEL FACTOR: Si “a” es un cero de p(x), entonces (x – a) es un factor de
p(x).
p(x) = (x – a) q(x)
5.1. Propiedades
1º p(x) es divisible separadamente por (x – a), (x – b) y (x – c)  p(x) es divisible
por (x – a) (x – b) (x – c).

34. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 8
Binomio de Newton
El binomio de Newton es una fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de una
potencia n-ésima de un binomio; es decir se trata de expandir el desarrollo de  
n
a b .
El teorema de Newton establece el desarrollo de  
n
a b como:
(a + b)n
= n n 1 n 2 2 n 1 nn n n n n
a a b a b ... ab b
0 1 2 n 1 n
           
             
         
Es decir: (a + b)n
=
n
n k k
k 0
n
a
k


 
 
 
 ; n   , k 0

.
Cálculo de un término cualquiera: k 1T  , en el desarrollo del binomio ( a + b)n
es
n k k
k 1
n
T a b
k


 
 
 
0  k  n, k 
Ejemplo:
Halle el término independiente en el desarrollo del binomio
9
1
2x
x
 
 
 
.
Solución: En este caso
1
a 2x b
x
   
 
       
k
k
2
k
2
k
9 k
k 1
9 k
9 k k 9 k k
k 1
9 1
T 2x
k x
9 x
T 2 1 2 1 x
k
x
 





   
     
  
   
       
   

35. El término independiente (t.i) se obtiene cuando:
k
9 k 0
2
  
3k
9 0
2
k 6
  

 El ( t.i) es :    7
3 69 9! 7x8x9
T 2 1 .8 x8 672.
6 6!.3! 6
 
     
 
Observaciones:
1. El desarrollo del binomio tiene ( n+1) términos.
2. Si a = b = 1  (1 + 1)n =
n
k 0
n
k
 
 
 
 = 2n, además se tiene:
i. n 1
Suma de términos de lugar impar
n n n n n
2
0 2 4 6 8
         
              
         
ii. n 1
Suma de términos de lugar par
n n n n n
2
1 3 5 7 9
         
              
         
.
3. TC: término central
a) Si n es par, se tiene un único término central  TC = n
1
2
T

b) Si n impar, se tiene dos términos centrales  TC = n 1
2
T  y TC = n 1
1
2
T 

COCIENTES NOTABLES
Son aquellos cocientes que provienen de divisiones exactas entre binomios que adoptan
la forma general:
n n
x a
x a


.
El desarrollo de un cociente notable es:
n n
x a
x a


= xn – 1  xn – 2 a + xn – 3 a2  xn – 4 a3 + . . .  an – 1 , con n 
Observación: En el desarrollo anterior se tiene n términos.

36. Propiedad.
Si
p r
q s
x y
x y


es un cociente notable, entonces el número de términos del cociente notable
es
p
q
=
r
s
, q  0, s  0.
Caso División
Indicada
Cociente Notable Residuo: R
1
ax
ax nn

 xn – 1 + xn – 2 a + xn – 3 a2 + xn – 4 a3 + . . .  an – 1
R = 0, n Z+
2
ax
ax nn

 xn – 1 - xn – 2 a + xn – 3 a2 - xn – 4 a3 + . . . - an – 1 R = 0,
n Z+, par
3
ax
ax nn

 xn – 1 - xn – 2 a + xn – 3 a2 - xn – 4 a3 + . . . + an – 1 R = 0,
nZ+, impar
4
ax
ax nn

 No es cociente notable R ≠ 0,
nZ+
Cálculo de un término cualquiera: KT , de un cociente notable.
1. Para el caso 1 :
Tk = xn – k ak – 1 ; 1  k  n
2. Para los casos 2 y 3 :
Tk = (-1)k-1
xn – k
ak – 1
; 1  k  n
El término central (TC) :
a) Si n es impar, se tiene un único término central  TC = n 1
2
T 
b) Si n es par, se tiene dos términos centrales  TC = n
2
T y T’C = n
1
2
T

Ejemplo:
En el desarrollo del cociente notable
 5 2m 14 15m 45
m 2 m 7
3 2
x y
x y
 
 


, halle el término de lugar veinte.
Solución:
En este caso por ser Cociente Notable:
 5 2m 14 15m 45
i)
m 2 m 7
3 2
 

 

37.      
     
15 2 m 7 15 2 m 3
m 2 m 7
m 7 m 7 m 2 m 3
m 11
 
 

     
 
   
180 120
3 2
60 20 19
3 2 120 38
20
x y
ii)
x y
t x y x y .



  

38. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 9
RAÍCES DE UN POLINOMIO
1. Definición: Un polinomio de grado n en la variable x, es una expresión algebraica de
la forma:
2 n 1 n
0 1 2 n 1 n np(x) a a x a x a x a x ; a 0; n
        ,
donde los coeficientes n1n210 a,a,,a,a,a  son constantes (reales o complejas).
1.1 Observación:
Si p(x)K[x]; diremos que los coeficientes del polinomio p(x) son constantes que
pertenecen al conjunto K; donde K puede ser Z, Q, R, ó C.
Ejemplo 1:
1) ]x[1x
3
2
x2.0x5)x(p 24
Q
2) ]x[x27x1.4x)x(p 32
R
3) 2 3
p(x) 2x 6x ( i 3)x [x]    C
2. Definición:  es una raíz de p(x) ϵ K ];x[ si p() = 0.
Ejemplo 2:
1)
4
1
es raíz de 1x2x8)x(p 2
 ; dado que 0
4
1
p 





.
2) i32  es raíz de 13x4x)x(p 2
 ; dado que   0i32p  .
3. Definición:  es una raíz de multiplicidad mZ+ de p(x) si
);x(q)x()x(p m
 donde 0)(q  .
Ejemplo 3:
Si )1x()2x()4x()x(p 23

Raíces  de p(x) Multiplicidad m
 = – 4 m = 3
 = – 2 m = 2
 = 1 m = 1 (raíz simple)
3.1 Observación: La multiplicidad indica el número de veces que se repite una raíz.

39. 4. Raíces de un polinomio cuadrático:
Las raíces de p(x) son:
2 2
1 2
b b 4ac b b 4ac
x y x
2a 2a
     
 
4.1 Observación: ac4b2
 es llamado el discriminante de p(x).
4.2 Para conocer la naturaleza de las raíces de p(x) ]x[R , estudiamos al
discriminante:
Si  > 0, p(x) tiene raíces reales y diferentes.
Si  = 0, p(x) tiene raíces reales e iguales.
Si  < 0, p(x) tiene raíces complejas y conjugadas.
Ejemplo 4:
Si el polinomio cuadrático 2m
p(x) 11 18 x mx 1
2
 
   
 
tiene raíces no reales,
halle la suma de valores enteros que toma m.
Solución:
 p(x) tiene soluciones no reales   < 0.
    
2 m
m 4 11 18 1 0
2
 
      
 
2
m 22m 72 0
(m 4)(m 18) 0
4 m 18 m 5,6,...,17
Rpta 5 6 ... 17 143.
  
  
    
     
5. Relación entre raíces y coeficientes de un polinomio
5.1 Para el polinomio
0a;cbxax)x(p 2

Con raíces 21 xyx , se cumple:
i) 1 2
b
x x
a
  
ii) 1 2
c
x x
a

5.2 Para el polinomio
3 2
p(x) ax bx cx d ; a 0    
Con raíces 321 xyx,x , se cumple:
i) 1 2 3
b
x x x
a
   
0a];x[cbxax)x(p 2
 R

40. ii) 1 2 1 3 2 3
c
x x x x x x
a
  
iii) 1 2 3
d
x x x
a
 
Ejemplo 5: El polinomio cúbico 3 2
p(x) 2x x 7x 6    tiene 3 raíces, supongamos que
sean 1 2 3x , x y x sus raíces, así se cumple que
1 2 3
1 2 1 3 2 3
1 2 3
1
i) x x x
2
7
ii) x .x x .x x .x
2
iiI) x x x 3
  
   
   
Hallando las raíces explícitamente por el método de los Divisores binómicos
obtenemos que las raíces son 1 2 3
3
x , x 2 y x 1
2
    , para lo cual verificaremos la
propiedad de Cardano:
1 2 3
1 2 1 3 2 3
1 2 3
3 3 1
i) x x x ( 2) (1) 1
2 2 2
3 3 3 3 7
ii) x .x x .x x .x .( 2) .(1) ( 2).(1) 3 2 5
2 2 2 2 2
3
iiI) x .x .x .( 2).(1) 3
2
 
         
 
   
                  
   
 
    
 
6. Teorema de paridad de raíces
i) Si ]x[)x(p R y bia  es una raíz de p(x), donde
a y b 0by R entonces a bi   es otra raíz de p(x).
ii) Si ]x[)x(p Q y a b r es una raíz de p(x), donde a y b II, r y r
  Q Q
entonces a b r es otra raíz de p(x).
Ejemplo 6:
a) Si p(x) [x]Q y tiene raíces a 3 y 2 5  entonces, 2 5  también es su
raíz.
b) Si p(x) [x]R y tiene raíces a 2i y 1 3  entonces, 2i y 1 3   también
son sus raíces.

41. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 10
Factorización de Polinomios
POLINOMIO SOBRE UN CONJUNTO
Los polinomios con coeficientes en ( , , , ó ) forman un conjunto denotado por
 x ;es decir       x p x / p x es un polinomio con coeficientes en .
Por ejemplo, el polinomio 2
p( x) 3x 4x 2    [x] pues sus coeficientes 3, 4 y –2
pertenecen a .
DEFINICIÓN
Sean        f x , g x en x , g x 0. Decimos que g(x) es un divisor de f(x) en  x (o g(x)
divide a f(x) en  x ) si existe h(x)  x tal que
f(x) = h(x) . g(x)
DEFINICIÓN
Sean        f x , g x , h x en x tal que   GA f x 1 . Decimos que f(x) es un polinomio
irreducible o primo sobre  x si      f x h x .g x implica que h(x) o g(x) es un polinomio
constante.
Si f(x) no es irreducible sobre  x decimos que es reducible o factorizable sobre  x .
Como consecuencia se puede deducir que todo polinomio de grado 1 es irreducible.
Ejemplos
1)   2
p x x 7x 12   es reducible en  x , pues      p x x 4 x 3   ; además los
coeficientes  1, 7,12 

42. 2)   2
p x x 3  es reducible en  x , pues     p x x 3 x 3   ; además los
coeficientes  1, 3, 3 
3)   2
p x x 3  es irreducible en  x .
4)   2
q x x 5  es irreducible en  x y  x , pero es reducible en  x , porque
     q x x 5 i x 5 i   , donde los coeficientes 1, 5 i, 5 i pertenecen a
FACTOR PRIMO DE UN POLINOMIO
Decimos que g(x) es un factor primo de un polinomio p(x), si g(x) es un divisor irreducible
de p(x) en  x .
Ejemplos
1) Los factores primos del polinomio      3 62
q x 7x x – 1 x 5  son : x , (x – 1)
y (x – 5) en  x .
2) El factor  3
x + 1 en  x , no es primo porque      3 2
x + 1 x + 1 x + 1 .
DEFINICIÓN DE FACTORIZACIÓN
La factorización, es el proceso algebraico mediante el cual un polinomio se puede expresar
como la multiplicación indicada de sus factores, sobre un conjunto 𝕂[𝑥].
TEOREMA DE LA FACTORIZACIÓN ÚNICA
Sea = ó , entonces todo polinomio      f x x 0  puede ser escrito en la forma
     1 mf x a.p x . . . p x
donde a        1 2 m0 y p x , p x , . . . ,p x son todos polinomios irreducibles sobre  x
. Más aún, tal expresión es única salvo la constante a y el orden de los polinomios
     1 2 mp x , p x , . . . , p x .
Ejemplo
El polinomio   2
p x x 5x – 14  en  x , admite la siguiente factorización única
    p x x – 2 x 7 .  Excepto:
 En otro orden:      p x x 7 x – 2 
 Factores afectados por constantes no nulas:     p x 2 – x – x – 7

43. NÚMERO DE FACTORES Y FACTORES PRIMOS DE UN POLINOMIO
Supongamos que
a b c m
1 2 3 np(x) p (x). p (x). p (x) ... p (x); a, b,...,m  +
donde 1 2 3 np (x), p (x), p (x),..., p (x) son factores primos y primos entre si dos a dos, en un
conjunto entonces
a) El número de factores primos de p(x) es n.
b) El número de factores (o divisores) de p(x) está dado por:
Nº de factores =  (a 1)(b 1)(c 1)...(m 1) 1    
Ejemplo
Sea el polinomio 7 4
p(x) ( x 4) ( x 2) ( x 5)    , tenemos que:
 El número de factores primos de p(x) es 3. ( No se cuenta el número de veces que
aparece el factor )
 Número de factores de p(x) es (7 + 1)(4 + 1)(1 + 1) – 1 = 79
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
1. Factor Común por agrupación de términos: Consiste en observar si el polinomio
tiene uno o más factores comunes, que pueden ser monomios o polinomios.
Ejemplo
  4 3
Factorizar p x x – 3x – 8x 24 en   x .
Solución:
 
        
   
   
     
4 3
3 3 3
2
2 2
p x x 3x 8x 24
p x x x 3 8 x 3 x 3 x 2
x 3 x 2 x 2x 4
x 3 (x 2) ( x 1) ( 3 i )
p x x 3 (x 2) x 1 3 i ( x 1 3 i)
   
      
    
    
       
2. Por Adición o Sustracción (QUITA y PON): Consiste en convertir binomios ó
trinomios a trinomios cuadrados perfecto (T.C.P). El procedimiento a seguir lo
presentamos en los siguientes ejemplos.
Ejemplos
i)   4
Factorizar p x x 1  en  x .

44. Solución:
p(x) = x4 + 1
x2 1
 2 2
2(x ) 1 2x
Luego de extraer la raíz cuadrada a ambos términos, pasamos a considerar
siempre el doble del producto de dichos resultados, obteniendo el término que
deberemos sumar y restar.
Entonces sumamos 2x2 (PON) y restamos 2x2 (QUITA) para completar un trinomio
cuadrado perfecto y además obtener una diferencia de cuadrados.
  4 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
p x x 1 2x – 2x (x 1 2x ) – 2x
(x 1) – 2x (x 1) – ( 2x)
(x 1 – 2 x) (x 1 2 x)
     
   
   
por lo tanto   2 2
p x (x – 2x 1) (x 2x 1)   
ii) Factorizar   4 2 2 4
p x,y x x y y   en  x ,y .
Solución:
  4 4 2 2
p x,y x y x y  
x2 y2
2(x2)(y2) = 2x2y2
Observemos que p(x,y) no es un trinomio cuadrado perfecto (T.C.P.), para que
p(x,y) sea T.C.P., análogamente al ejemplo anterior, el segundo término debe ser
2x2y2, lo cual se consigue sumando x2y2 (PON) y para que no se altere la igualdad se
resta x2y2 (QUITA), así tenemos
 
 
4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2
22 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
p x,y x y x y x y – x y (x y 2x y ) – x y
(x y ) – x y (x y ) – xy
(x y – xy) (x y xy)
      
   
   
Entonces
  2 2 2 2
p x,y (x – xy y ) (x xy y )   

45. 3. Aspa Simple: Se emplea para factorizar trinomios de la forma:
2n n
p(x) = Ax +Bx +C ó 2n n m 2m
p(x,y)=Ax +Bx y +Cy ; m, n  +.
Para factorizarlo descomponemos el primer y tercer término.
Ejemplo
  2 2
Al factorizar p x,y 12x 17xy 6y   en [x, y], halle la suma de factores
primos.
Solución:
  2 2
p x,y 12x 17xy 6y  
4x 3y 4x( 2y) = 8xy
3x 2y 3x(3y) = 9xy +
17xy
Entonces
    p x,y 4x 3y 3x 2y , asi la suma de factores primos es
4x 3y 3x 2y 7x 5y.
  
    
4. Cambio de Variable: Consiste en ubicar expresiones algebraicas iguales en el
polinomio a factorizar, para luego hacer un cambio de variable, que nos permita
transformar una expresión complicada en otra más sencilla.
Ejemplo
Halle el número de factores primos, al factorizar
   2
p( x) [ x 3 2][ x x 6 5] 28      en  x .
Solución:
  2 2
p(x) x 6x 7 x 6x 5 28     
Observamos que 2
x 6x es una expresión común, entonces hacemos el cambio de
variable 2
y x 6x  , por lo tanto obtenemos
q y y 7 y 5 28   ( ) ( )( )
Entonces q y y 2y 63  2
( )
aplicamos aspa simple, entonces      q y y 9 y 7  
Finalmente recuperamos la variable x,
2 2
p(x) x 6x 9 x 6x 7    ( )( )
   2
p(x) x 3 x 7 x 1( ) ( )( ) en  x .
Asi se tiene 3 factores primos.

46. 5. Divisores Binómicos: Se utiliza para factorizar polinomios de una sola variable, de
cualquier grado y es útil para encontrar divisores lineales (es decir de primer grado).
TEOREMA
Sea el polinomio en  x
n n 1
n n 1 0 n
C.P. T.I
p(x) a x a x ..... a , a 0
     .
Entonces las posibles raíces racionales de p(x) son de la forma
c
b
 , con b y c primos
entre sí, donde, b es un divisor del término independiente 0a y c es un divisor del
coeficiente principal na .
En particular, si p(x) es mónico (es decir 1na  ), entonces las posibles raíces de p(x)
son de la forma b (raíces enteras), donde b es un divisor del término independiente.
Ejemplo
Dado el polinomio   3 2
p x x 3x 10x 8    , halle el número de factores de p(x)
en  x
Solución:
Observamos que p(x) es un polinomio mónico, las posibles raíces enteras son los
divisores del término independiente 8, es decir {1, 2, 4, 8}. Utilizando el método
de división por Ruffini, probamos que x= 1 es raíz de p(x) y por tanto
(x + 1) es un factor primo de p(x) en  x
En efecto:
1 3 10 8
– 1 –1 –2 –8
1 2 8 0
x2 + 2x + 8
Factor Primo en  x
Entonces
    2
p x x 1 ( x 2x 8)   
Por lo tanto, el número de factores es (1+1) (1 + 1) – 1 = 3.

47. 6. Aspa Doble: Se utiliza en la factorización de polinomios de la forma:
2n n m 2m n m
p(x,y)=Ax +Bx y +Cy +Dx +Ey +F; ,m n 
.
En particular si m = n = 1, tenemos
2 2
p(x,y)=Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F .
Para factorizarlo ordenamos el polinomio en la forma general, si faltara algún término
se completa con términos de coeficiente cero y luego se aplican tres aspas simples.
Ejemplo
Factorizar   2 2
p x,y 21x 5xy 4y 5x 11y 6      , en  x ,y .
Solución:
p(x,y) =
3er1er 2do 4to 5to 6to
2 2
21x 5xy 4y + 5 x 11y 6   
7x – 4y – 3
3x y +2
(I) (II)
Observamos las siguientes aspas simples:
 Primera aspa simple (I), se obtiene de los términos: 1er
, 2do
y 3er
.
 Segunda aspa simple (II), se obtiene de los términos: 3er
, 5to
y 6to
.
 Tercera aspa simple, se obtiene del 1er
, 4to
y 6to
término, esta aspa nos permite
verificar todo el proceso.
Por lo tanto p( x,y) ( 7x 4y 3)( 3x y 2)    
7. Aspa Doble Especial: Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:
4n 3n 2n n
p(x)=Ax +Bx +Cx +Dx +E; n 
.
En particular, si n = 1 tenemos:
4 3 2
p(x)=Ax +Bx +Cx +Dx+E.
Para factorizarlo ordenamos el polinomio en forma decreciente completando los
términos faltantes con términos de coeficiente cero. Descomponemos los términos
extremos, tratando de que el aspa simple entre ellos se aproxime al término central.

48. Ejemplo
Factorizar p(x) = 4 3 2
2x 3x 3x 34x 24    en  x .
Solución:
p(x) = 4 3 2
2x 3x 3x 34x 24   
2
2x 4 = 2
4x +
2
x 6 = 2
12x
2
8x
Observa que a 8x2
le falta –5x2
para ser 3x2
, luego
p(x) = 4 3 2
2 x 3 x +3 x 34 x 24  
–5x2
2
2x 5x 4
2
x 1 x 6
Luego obtenemos:
2 2
fp fp
p(x)=(2x -5x-4)(x +x+6) en  x .
Ejemplo
Al factorizar p(x) = 4 3 2
x 3x 2 x 3x 1    en  x , halle la suma de los
factores primos lineales.
Solución:
p(x) = 4 3 2
x 3x 2 x 3x 1   
2
x 1 = x2
2
x 1 = x2
2x2
Observación que a 2x2
le falta – 4x2
para ser –2x2
, luego
p(x) = 4 3 2
x 3 x 2 x 3 x 1   
–4x2
2
x 4x 1
2
x 1 x 1

49. Luego obtenemos:
0 0
p( x) x 4x 1 x x 1
 
    2 2
( )( ) en  x .
2
2
f pf p f p
p( x) ((x 2) 3 )( x x 1)
p( x) ( x 2 3 )( x 2 3 )( x x 1), luego la suma de los factores
primos lineales esta dado por x 2 3 x 2 3 2x 4.
    
      
      
2
2
OBSERVACIÓN
Podemos usar el método de adición y sustracción (Quita y Pon) y el método de factorización
del aspa simple para factorizar algunos polinomios de grado impar, el objetivo es buscar
la presencia de diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos, etc.
Ejemplos
i) Factorizar   6 3 2
p x x 4x 4x 4    en  x .
Solución:
6 3 2
p(x) x 4 x 4( x 1 )    ,
3
x 2(x 1) 
3
x 2(x 1) 
Entonces 3 3
p(x) (x 2x 2)(x 2x 2)     .
ii) Factorizar 5 4 2
p(x) x x 2x 2x 1     en  x .
Solución:
5 4 3 3 2 2
5 4 3 3 2 2
3 2 2 2
2 3
p(x) x x x x x x x x 1
x x x x x x x x 1
x ( x x 1 ) x( x x 1 ) 1( x x 1 )
( x x 1 )( x x 1 )
        
        
        
    

50. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº11
Máximo Común Divisor (MCD) y Mínimo Común
Múltiplo (MCM) de dos o más polinomios
Sean p(x) y q(x) dos polinomios no nulos.
DEFINICIÓN
Decimos que el polinomio d(x) es el máximo común divisor de p(x) y q(x) si se cumple las
dos condiciones siguientes:
I) d(x) divide a p(x) y d(x) divide a q(x); es decir, d(x) es divisor común de p(x) y q(x).
II) Si D(x) divide a p(x) y D(x) divide a q(x), entonces, D(x) divide a d(x).
En este caso denotamos d(x) = MCD [p(x),q(x)]
OBSERVACIÓN
d(x) = MCD [p(x),q(x)] es mónico, existe y es único en K [x], donde K = Q, R, C.
DEFINICIÓN
Decimos que el polinomio m(x) es el mínimo común múltiplo de p(x) y q(x) si se cumple
las dos condiciones siguientes:
I) p(x) divide a m(x) y q(x) divide a m(x); es decir, m(x) es múltiplo común de p(x) y
q(x).
II) Si p(x) divide a M(x) y q(x) divide a M(x), entonces, m(x) divide a M(x).
En este caso denotamos m(x) = MCM [p(x), q(x)]
PASOS PARA HALLAR EL MCD Y EL MCM DE DOS O MÁS POLINOMIOS
1. Factorizamos los polinomios en sus factores primos en el conjunto K[x] especificado.
2. Para el MCD, multiplicamos solo los factores primos comunes elevados a su menor
exponente.

51. 3. Para el MCM, multiplicamos los factores primos comunes y no comunes elevados a
su mayor exponente.
Ejemplo: Dados los polinomios
p(x) = (x2 – 16)3 (x – 2) (x – 4)5 (x + 7) y q(x) = (x2 – 6x + 8)2 (x + 4)2 (x 2+ 7), halle:
a) La suma de factores primos del MCD [p(x),q(x)] en   x .
b) El término independiente del MCM [p(x),q(x)] en   x .
Solución:
               
      
            
       
     
3 52
8
2 2
2
2 2
2 22 2
2 2
3 5
3
2
2
i) p(x) x – 16 x – 2 x – 4 x 7 x 4 x 4 x 2 x 4 x 7
p(x) x 4 x 4 x 2 x 7
ii) q(x) x – 6x 8 x 4 x 7 x 4 x 2 x 4 x 7
q(x) x 4 x 4 x 2 x 7
a) MCD [p(x),q(x)] = x 4 x 4 x 2
Los factores primos
         
     
          
     
   
      
        3 8 2 2
12 2
del MCD[p(x),q(x)] son : x 4 , x 4 y x 2
fact. Primos es 3x 2.
b) MCM [p(x),q(x)] = x 4 x 4 x 2 x 7 x 7 ...(*)
El término independiente del MCM [p(x),q(x)] lo obtendremos haciendo x 0 en(*)
Rpta 4 .7
  
  
    



PROPIEDAD
   MCD p(x),q(x) . MCM p(x),q(x) p(x).q(x)

52. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 12
ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
Forma general
n n 1
n n 1 1 0 na x a x ... a x a 0 con a 0, n y n 3
        (I)
n n 1 1 0a , a , ...,a , a K ; donde K , , o  
TEOREMA DE CARDANO Y VIETTE
Sea la ecuación (I), con n soluciones 1 2 nx , x , ...,x entonces se cumple:
n 1
1 2 n
n
n 2
1 2 1 3 n 1 n
n
n 0
1 2 3 n
n
a
x x ... x
a
a
x .x x .x ... x .x
a
a
x .x .x ...x ( 1)
a



    
   
 
Observaciones
1. Si la ecuación (I) tiene coeficientes reales, las soluciones complejas se presentan
por pares conjugados.
2. Si la ecuación (I) tiene coeficientes racionales, las soluciones irracionales se
presentan por pares conjugados.
3. Para resolver la ecuación (I), generalmente se utiliza el método de factorización.
Ejemplo 1
Si 2i es solución de la ecuación x4 – 3x3 + 6x2– 12x +8 = 0, halle las otras soluciones.
Solución
La ecuación tiene coeficientes reales y dos de las soluciones son 2i y –2i, entonces
(x + 2i) (x – 2i) = x2 + 4 es factor de x4 – 3x3 + 6x2– 12x + 8.
Efectuando la división
4x
8x12x6x3x
2
234


se obtiene el cociente:
q(x) = x2 – 3x +2 = (x – 2) (x – 1) = 0  x – 2 = 0, x – 1 = 0.
Las otras soluciones son 2 y 1.

53. ECUACIONES BICUADRÁTICAS
Forma general
4 2
ax bx c 0, a 0    . . . (II)
Esta ecuación tiene soluciones de la forma: , , y     ; y se resuelve en forma
similar a una ecuación de segundo grado.
Por el teorema de Cardano y Viette se obtiene
2 2
2 2
1. ( ) ( ) 0
b
2.
a
c
3. .
a
       
    
  
Ejemplo 2
Resuelva la ecuación 4x4 – 5x2 + 1 = 0
Solución
4x4 – 5x2 + 1 = 0
Factorizando por aspa simple
(4x2 – 1) (x2 – 1) = 0
(2x + 1) (2x – 1) (x + 1) (x – 1) = 0
 C.S. =






 1,1,
2
1
,
2
1
ECUACIONES BINÓMICAS
Son aquellas ecuaciones enteras que solamente tienen dos términos.
Forma general
n
ax b 0 , a 0  
Ejemplos
1) 01x6

2) 04x4

ECUACIONES CON RADICALES
Son aquellas ecuaciones que tienen la variable dentro de algún radical.
Ejemplo: 3xx42x,91x2  .

54. Propiedades
1. p(x) 0 , p(x) 0   .
2. p(x) 0 p(x) 0   .
Veamos la siguiente ecuación
n
p(x) q(x) .... ( ) ; n par
  
Procedimiento para resolver
1º Resolvemos: * p(x)  0, y se obtiene el conjunto solución U1
* q(x)  0, y se obtiene el conjunto solución U2
2º Resolvemos la ecuación  n
p(x) q(x) y se obtiene el conjunto solución 3U
Luego el conjunto solución de ( ) es 1 2 3U U U .
Observaciones
1) De manera análoga al procedimiento anterior se resuelve una ecuación en la que
aparecen varios radicales de índice par.
2) Para resolver la ecuación n p(x) q(x) ...( ) ; n impar
   , se procede como en
2º, obteniéndose el conjunto U3 y los elementos del conjunto solución serán
aquellos elementos de U3 que verifiquen ( ) .
Ejemplo
Halle el conjunto solución de la ecuación 2x42x  .
Solución
2x42x 
1º  4,2UU0x4:U02x:U 2121 
:U3 0x42x    ,3U3
2º Elevando al cuadrado la ecuación
2x42x2x42x 
Cancelando se tiene 0x42x2 
Entonces 0x402x 
Luego x42x 
Es decir  4¨;2:U4
 4UUUUCS 4321

55. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Recordando la definición de valor absoluto para x  R
x, x 0
x
x, x 0

 

Propiedades
  
 
 0b0a0ba.6
bababa.5
baba0bba.4
baab.3
aayaa.2
0a0a.1
22







56. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 13
DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
Definición. Una matriz es un arreglo rectangular de números en filas y columnas.
Ejemplos:
 
 
2x2
6 -3
A =
4 0
,
1 2 5
B 5 3 0
1 4 7
 
 
  
 
 3x3
,

 
 

3x2
3 1
C = 4 6
7 9
,
 
 
 
 
  
 4x1
-2
4
D =
1
5
.
Para el caso de matrices cuadradas como lo son las matrices A y B de los ejemplos
anteriores, podemos calcular su determinante, el cual tiene como una de sus aplicaciones
dar información, tanto cualitativa como cuantitativa de un sistema lineal.
Determinantes de orden 2
Definición.- Dada la matriz A=
a b
c d
 
 
 
el determinante de A denotado por A , se define
A =
a b
= ad-bc.
c d
Ejemplos:
1) .

 
6 3
= 6(5)4( 3)= 30+12 = 42
4 5
2) 2x 3 2 x
(x 3)(x 1) (2 x)x 2x 4x 3
x x 1
 
       

Aplicación de los determinantes a los sistemas de dos ecuaciones lineales en dos
variables
Sea el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas “x” e “y”



ax +by = m
cx + dy = n
(1)
Definición: Se llama solución del sistema (1) al par ordenado  0 0x ,y que verifica las dos
ecuaciones en el sistema (1).

57. Asociado al sistema (1), tenemos los determinantes:
s
a b
Δ =
c d
, determinante de los coeficientes de las incógnitas del sistema (1), además
x
m b
Δ =
n d
, y
a m
Δ =
c n
Regla de Cramer.- La solución  x,y del sistema (1) viene dado por
Clasificación de los Sistemas Lineales
I). El sistema (1) es compatible determinado si sΔ ≠ 0.
En este caso el sistema (1) tiene una única solución dada por
(x, y) =
 
  
 
ΔΔ yx ,
Δ Δs s
.
Observación: Una forma práctica de indicar que el sistema (1) es compatible
determinado es considerar:
0cdsi,
d
b
c
a
 .
II). El sistema (1) es compatible indeterminado si 0yxs
 .
En este caso (1) tiene infinitas soluciones.
Observación: Una forma práctica de indicar que el sistema (1) tiene infinitas
soluciones es considerar:
0cdnsi,
n
m
d
b
c
a
 .
III). El sistema (1) es incompatible o inconsistente si
]00[0 yxs
 .
En este caso el sistema (1) no tiene solución.
Observación: Una forma práctica de indicar que el sistema (1) no tiene
solución es considerar:
0cdnsi,
n
m
d
b
c
a
 .
s
y
s
x
Δ
Δ
y,
Δ
Δ
x 

58. Interpretación Geométrica del Sistema (1)
El sistema (1) representa la ecuación de dos rectas en el plano, lo cual implica solo una
de las posiciones siguientes.
Sistema Homogéneo



ax +by = 0
cx + dy = 0
Si en el sistema (1) hacemos m = n = 0 diremos que (1) es un sistema lineal homogéneo,
se presentan dos casos:
1). Solución única: Si sΔ ≠ 0, entonces (0, 0) es la única solución llamada solución
trivial.
2). Infinitas soluciones: Si sΔ ≠ 0 , entonces obtenemos un número infinito de soluciones
llamadas soluciones no triviales, además de la solución trivial.
Sistema no lineal
Definición.- Un sistema no lineal es una colección de dos o más ecuaciones, donde por
lo menos una de ellas es no lineal.
Ejemplos:
1). 2
x + y 2(z +1) = 6
2xy = 9+ z



2).
3
3
3
x 2y + z = 1
y z + x = 2
2y x + z = 1
 




Para el caso de sistemas no lineales no disponemos de una herramienta algebraica
estándar que nos permita resolver dichos sistemas.
Geométricamente una ecuación no lineal c)y,x(f  representa una curva en el plano,
pensemos por ejemplo en la trayectoria de un insecto, la pregunta hecha en un sistema
no lineal es como se cortan 2 curvas, lo cual no es fácil responder.
Los sistemas de ecuaciones no lineales se pueden resolver por métodos algebraicos
como: un cambio de variable adecuado, productos notables, etc.
L1 L2 L1 //L2 L1 //L2
L1 L2
L2
L1
L2
L1 L2

59. Determinantes de Orden 3
Regla de Sarrus
 =
333
222
111
cba
cba
cba
N
abc
abc
abc
213
132
321
M
cba
cba
cba



1 2 3 2 3 1 3 1 2=a b c +a b c +a b cM
1 2 3 2 3 1 3 1 2=c b a +c b a +c b aN
 Determinante de Vandermonde: Es de la forma
2 2 2
1 1 1
a b c
a b c
= (b – a) (c – a) (c – b).
Nos ubicamos en la 2da fila y hacemos los productos de acuerdo a la forma
indicada.
Ejemplo:
2 2 2
1 1 1 1 1 1
3 5 7 = 3 5 7
9 25 49 3 5 7
= (5 – 3) (7 – 3) ( 7– 5 ) = 16.
 Propiedades de los Determinantes
1. Si un determinante tiene en todos los elementos de una fila o columna un factor
común, este puede salir como factor fuera del determinante.
222
111
333
222
111
cba
cba
cba
cba
cba

60. Ejemplo:
3 10 4 3 5(2) 4 3 2 4
5 15 1 = 5 5(3) 1 = 5 5 3 1
2 20 0 2 5(4) 0 2 4 0
.
5 es factor común en la columna 2
2. Si dos filas o dos columnas son iguales o proporcionales, entonces el determinante
es igual a cero.
Ejemplo:
Prop 1
3 5 2 3 5 2
6(3) 6(5) 6(2) 6 3 5 2 0
1 3 9 1 3 9
 
3 5 2
18 30 12 =
1 3 9
3. Si se intercambian dos filas o dos columnas, su valor cambia de signo.
Ejemplos:
579
412
234
975
214
432
 .
975
214
432
=
975
432
214
 .
4. Si los elementos de una fila (o columna) de un determinante son la suma algebraica
de varias cantidades, el determinante se descompone en tantos determinantes como
términos tiene la suma.
a +m b c a b c m b c
d +n e f = d e f + n e f
q +p h k q h k p h k
.
5. Si a cada uno de los elementos de una fila o columna se le multiplica por “m” y este
resultado se le suma a otra fila o columna, el determinante no se altera.
Ejemplo:
1)
2 3 5
4 7 3
1 2 4
= 10
a)
b)

61. 2)
701
1514
1112
401
314
512
421
374
532




 = 10
donde ci es la columna i, para i = 1, 2, 3.
6) Si se intercambian las filas por las columnas en un determinante, su valor no se
altera, es decir,
7) Si todos los elementos de una fila o columna son ceros, el determinante vale cero.
a b c m 0 q
0 0 0 = n 0 r = 0
c d e p 0 s
 Sistema de ecuaciones lineales con tres variables
Sea el sistema
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x +b y + c z = d
a x +b y + c z = d
a x +b y + c z = d





. . . ( )
Definición: Se llama solución del sistema ( ) a la terna (x0, y0, z0) que verifica las tres
ecuaciones.
 =
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
a b c
es el determinante de los coeficientes de las incógnitas del sistema
( ).
Además,
x =
1 1 1
2 2 2
3 3 3
d b c
d b c
d b c
, y =
333
222
111
cda
cda
cda
, z =
333
222
111
dba
dba
dba
.
a b c a d h
d f g = b f i
h i j c g j

62. Se presentan los siguientes casos:
I. Solución Única: (Sistema compatible determinado)
El Sistema ( ) tiene solución única si   0. Además, se puede usar la regla de
Cramer para hallar las componentes de la solución:
; luego la solución es .
Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema
x y z 9
2x y z 5
x y z 5
  

  
    
Solución:
El determinante de los coeficientes de las incógnitas del sistema es:
 =
1 1 1
2 1 1
1 1 1

 
= 4  0  el sistema tiene solución única.
Ahora, calculamos la solución del sistema utilizando la Regla de Cramer.:
x
 =
9 1 1
5 1 1
5 1 1

  
= 8 , y
 =
1 9 1
2 5 1 12 ,
1 5 1

 
z
 =
1 1 9
2 1 5 16.
1 1 5
 
 
x 8
x 2 ,
4

  

y 12
y 3 ,
4

  

z 16
z 4
4

  

 (x,y,z) (2,3,4) .
II. Infinitas Soluciones: (Sistema compatible indeterminado)
Si el sistema ( ) tiene infinitas soluciones
entonces (  = 0 )  ( x = 0 y y = 0 y z = 0 ).
Ejemplo:
En el sistema
x 2y z 4
2x 2y z 5
3x 6y 3z 12
  

  
   
... (2)
se tiene  =
1 2 1
2 2 1
3 6 3



= 0 .








 zyx
z,y,x
... (3)
... (1)
x y z
, ,
   
 
   

63. Simplifico en (3)
x 2y z 4
2x 2y z 5
x 2y z 4
  

  
   

x 2y z 4
2x 2y z 5
  

  
x 3 , 2y z 1   , .
Por consiguiente, las infinitas soluciones son de la forma
   x,y,z 3, t , 1 2t , para todo t  .
III. Sistema sin solución: (Sistema inconsistente o incompatible)
Si en el sistema ( ) (  = 0 )  ( x  0 ó y  0 ó z  0 )
entonces el sistema ( ) no tiene solución.
Ejemplo:
En el sistema





3x + y + 2z = 8
3x + y + 2z = 7
3x + y + 2z = 6
  =
3 1 2
3 1 2
3 1 2
= 0
además 8 = 7 = 6 ¡absurdo!  El sistema no tiene solución.
Observación:
Para resolver los casos de sistemas de infinitas soluciones y sistemas sin
solución, comience calculando  = 0, luego simplifique las ecuaciones para
obtener una conclusión.
Sistema Homogéneo
Si en el sistema ( ) hacemos d1 = d2 = d3 = 0 entonces el sistema se denomina
homogéneo, es decir








0zcybxa
0zcybxa
0zcybxa
333
222
111
( II )
I. Solución única: Si   0 entonces existe una única solución, llamada solución
trivial, la cual es (x, y, z) = (0, 0, 0).

64. Ejemplo:
En el sistema
x 3y 4z 0 1 3 4
2x y 3z 0 2 1 3 15 0
4x y 2z 0 4 1 2
  

       
   
la solución única es (x, y, z) = (0, 0, 0).
II. Soluciones no triviales: Si  = 0, entonces el sistema tiene infinitas soluciones no
triviales, además de la solución trivial.
Ejemplo:
En el sistema



 
5x 5y + z = 0
3x + 3y 3z = 0
2x 3y + z = 0

132
333
155



= 0 .
El sistema tiene infinitas soluciones no triviales además de la trivial.

65. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 14
I. INECUACIONES EN UNA VARIABLE
Una inecuación en una variable x, es toda expresión matemática H(x) dada por
Al conjunto de los valores de x que hace a la desigualdad verdadera, se le denomina
conjunto solución (c.s.) de la inecuación.
I.1 Inecuaciones polinomiales de grado superior
Es aquella inecuación que tiene la siguiente forma
Considerando la inecuación:
 n n 1
n n 1 1 0 n
p(x) a x a x ... a x a 0 ;a 0

       
Y suponiendo que p(x) se puede factorizar en la forma
entonces la inecuación (*) se resuelve aplicando el Método de Puntos Críticos, el cual
consiste en:
1º Hallar todos los puntos críticos ó raíces de cada factor (x – ri) en este caso se
tiene:
Puntos críticos =  1 2 n
r ,r ,...,r .
2º Ordenar los puntos críticos en la recta real: Supongamos que los puntos son
ordenados en la forma
1 2 n 2 n 1 n
r r ... r r r

     , luego en la recta real se
tendría:
r1 r2 …... rn-2 rn-1 rn
H(x) 0;( 0, 0, 0)   
 p(x) 0;( 0, 0, 0); grad p(x) n 2     
n 1 2 n 1 2 n
p(x) a (x r )(x r )...(x r ); donde r r ... r      

66. 3º Colocar entre los puntos críticos los signos (+) y (–) alternadamente, comenzando de
la derecha y siempre con el signo (+):
Luego el conjunto solución para (*) será:
n n 2 n 1
C.S r , r , r ...
 
    
  
(regiones positivas)
Ejemplo 1:
Resolver la inecuación 03xx3x 23
 .
Solución:
1º Factorizando se tiene: 0)3x)(1x)(1x(  .
2º Aplicando el método de puntos críticos se tiene:
i) Puntos críticos =  3,1,1
-1 1 3
+ +
- +
ii) 3,11,S.C  .
A continuación veamos el caso particular: grad  p(x) = n = 2.
I.2 Inecuación Cuadrática:
Para resolver (**) se presentan tres casos:
CASO 1. 2
b 4ac 0    , en este caso la inecuación (**) se resuelve usando
el método de puntos críticos.
Ejemplo 2:
Resolver la inecuación 05x6x2
 .
Solución:
1º 0)5)(1(4)6( 2

2
ax bx c 0 ; ( 0, 0, 0) ; a 0,a 0 ...( )        

67. 2º Factorizando se tiene: 0)5x)(1x( 
Aplicando el método de puntos críticos se tiene:
i) Puntos críticos =  5,1
5
+ +
- +
ii) 5,1S.C 
CASO 2. 2
b 4ac 0, se tiene:   
2
ax bx c 0; CS     R
2
ax bx c 0; CS    
CASO 3. 2
b 4ac 0    en este caso la inecuación (**) es de la forma
2
a(x r) 0; ( 0 0, 0) ; a 0; a 0       y se resuelve según se presenta el
caso.
Ejemplo 3:
Resolver la inecuación 04x4x2
 .
Solución:
1º 0)4)(1(4)4( 2

2º Factorizando se tiene: 0)2x( 2

CS  
Observación:
Si en una inecuación polinominal de grado superior se presentan factores cuadráticos
(con coeficiente principal positivo) cuyo discriminante es Δ , entonces se elimina
ese factor y se procede con los demás factores aplicando el método de puntos críticos.
Ejemplo 4:
Resolver la inecuación 0)2x)(4x2x( 2
 .
Solución:
i) En 4x2x2
 se tiene  < 0, entonces 04x2x2
 , x R.
ii) La inecuación se reduce a: x – 2 < 0;
2,S.C  .

68. I.3 Inecuaciones Fraccionarias
Tiene la forma siguiente
P(x)
Q(x)
 0; ( > 0, < 0,  0 ) ; P(x), Q(x) son polinomios.
La inecuación planteada es equivalente a la inecuación P(x) Q(x)  0 para los valores
de x que no anulan a Q(x) y se procede aplicando el método de puntos críticos. Debe
tenerse presente que cuando la inecuación es  ó en los puntos críticos del
numerador debe considerarse cerrado, pero en los puntos críticos del denominador
deben ser abiertos.
Ejemplo 5:
Resolver la inecuación: 0
)1x)(2x(
)1x)(3x(



.
Solución:
i) Puntos críticos:   1x;2x;3,1,1,2  .
-2 -1 1 3
+ +
- +
+
ii) C.S =  3,11,2 
Observación:
En caso que aparezcan inecuaciones con valor absoluto es conveniente recordar las
siguientes propiedades:
1. x  b  [b  0  – b  x  b].
2. x  b  [x  b  x  – b].
3. x  y  x2  y2  (x – y) (x + y)  0.
Ejemplo 6:
Resolver la inecuación 7x3x2 
Solución:
3
10
,4S.C
0)4x)(10x3(
0)7x3x2)(7x3x2(
7x3x27x3x2
22





69. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 15
SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES
Un sistema de inecuaciones lineales está formado por dos o más inecuaciones
lineales.
Tipos:
1. Sistema de inecuaciones lineales con una incógnita
Generalmente, se resuelve cada inecuación en forma independiente, luego con las
soluciones parciales se obtiene la solución común a todas, que sería la solución del
sistema.
Ejemplo 1: Resolver el siguiente sistema de inecuaciones:
2x 7 5 . . . (1)
3x 2 5 . . . (2)
30 2x 4(x 5) . . . (3)
 

 

  
Solución:
Resolviendo la primera inecuación
2x  12 implica que, x  6
Resolviendo la segunda inecuación
x  1
Resolviendo la tercera inecuación
30 + 2x < 4x + 20  10 < 2x  5 < x
Representando gráficamente las soluciones
1 5 6

70. Por tanto 5 < x  6
Así el conjunto solución es  .6,5
2. Sistema de inecuaciones lineales con varias incógnitas
Generalmente, se despeja una misma incógnita de cada inecuación y sumando o
restando se trata de eliminarla, este proceso se repite hasta lograr un sistema con una
incógnita, para emplear la regla anterior (tipo 1).
Ejemplo 2:
Determinar los valores enteros de x e y que satisfacen el sistema
 











(3)8y
(2)
2
18x
18y
(1)2y62x



Solución: Despejando la variable x en las tres inecuaciones se obtiene,
2y 18 x 6y 10    . . . (4)
Aplicando transitividad a (4)
2y 18 6y 10  
28  4y
y 7
de (3)
7  y < 8  y = 7
Luego sustituyendo en (4)
32x32x32 
Los valores enteros x e y que satisfacen el sistema son x = 32 e y = 7.
El siguiente resultado es útil para maximizar o minimizar una función lineal F(x, y)
llamada función objetivo, en una región R poligonal convexa, cerrada y acotada,
determinada por un sistema de inecuaciones lineales en x e y.
Teorema
Sea F(x, y) una función objetivo, sujeta a un sistema de inecuaciones lineales en x e
y (restricciones), que determina una región R poligonal convexa, cerrada y acotada.
Entonces F(x, y) alcanza su valor máximo (mínimo) en un vértice de la región R. El
teorema también se puede aplicar en una región semiacotada.

71. Ejemplo 3:
Graficar la región determinada por las siguientes inecuaciones
 







(4)0y,3......0x
(2)270y3x6
(1)240y5x4



Solución:
Geométricamente, cada inecuación representa un semiplano, incluida la recta
frontera.
El conjunto solución del sistema es el conjunto de pares ordenados de números reales
que satisfacen a la vez las 4 inecuaciones. Tales pares ordenados ubicados en el
plano genera la región sombreada siguiente.
Con frecuencia deseamos conocer cuáles de los puntos de la región maximizan o
minimizan cierta función, que depende de un sistema de inecuaciones dado.
Ejemplo 4:
Dado el sistema del ejemplo 3, halle el máximo valor de F(x,y) = 5x + 8y.
Solución:
El objetivo del problema es maximizar la función F(x, y) = 5x + 8y sujeta a las
inecuaciones (del ejemplo 3) llamadas restricciones,
(1) 4x 5y 240 
(2) 6x 3y 270 
(3) x  0
(4) y  0
(1) BC, (2) AB, (3) eje de las y (4) eje de las x.
La figura sombreada representa las cuatro desigualdades.
B
A

72. Según el teorema anterior el punto que maximiza la función F(x, y) = 5x + 8y, (o la
función F(x, y) alcanza su máximo en el punto) está localizado en un vértice del
polígono OCBA. Hay cuatro vértices O, A, P, B.
Puntos x y Valores de F(x, y) F(x, y)
F(x, y) = 5x + 8y
O 0 0 5(0) + 8(0) 0
A 45 0 5(45) + 8(0) 225
B 0 48 5(0) + 8(48) 384
P 35 20 5(35) + 8(20) 335
El punto B es la solución óptima, pues da el máximo valor de F(x, y).
También decimos, la función F(x, y) alcanza su máximo valor en el punto
(x, y) = (0, 48).

73. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 16
LOGARITMOS
ECUACIONES E INECUACIONES LOGARÍTMICAS
ECUACIONES E INECUACIONES EXPONENCIALES
1. PROPOSICIÓN
Dados b , b 0, b 1, x 
    , existe un único y , tal que y
b x .
2. DEFINICIÓN DE LOGARITMO
Dados b 0, b 1 y x 0   . El logaritmo de x en base b, denotado con blog x es el
número y , tal que
y
b x .
Simbólicamente y
blog x y x b  
Ejemplo 1.
4
1
3
1
log 81 4 81
3

 
    
 
Observaciones.
1. Cuando la base del logaritmo es b=10, denotaremos 10logx log x (logaritmo
decimal o vulgar).
2. Cuando la base del logaritmo es el número trascendente e = 2,718281. . .,
denotaremos por elnx log x (logaritmo natural o neperiano).
3. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Dados  a,x,y , b 0, b 1
   , se tiene:
1) blog b 1 . 2) 01logb  .
3) b b blog ( xy) log x log y  4) b b b
x
log log x log y
y
 
  
 
5) R n),x(logn)x(log b
n
b 6) 0n,xlog.
n
m
)x(log:}n,m{ b
m
)b( n 







 R

74. 7) 1a,1)a).(logb(log ba  8) 1a,
blog
xlog
xlog
a
a
b 
9) 0c,ca
a
b
logc
b
log
 10) x x.lna
a e .
11) xb
x
b
log
 12)  y
blog b y .
13) yxylogxlog bb 
4. ECUACIÓN LOGARÍTMICA
Ejemplo 2. Resuelva (x 2)log (2x 11) 2  
Solución:
 
 
2 2
(x 2)
Existencia : 2x 11 0 x 2 0 x 2 1.......(1)
Resolución :log (2x 11) 2 2x 11 (x 2) x 6x 7 0
(x 7)(x 1) 0 x 7, 1 ...(2)
De (1) y (2): C.S. 7

       
         
      

5. INECUACIONES LOGARÍTMICAS
Caso 1  b bb 1: log x log y x 0 y 0 x y       
Caso 2  b b0 b 1: log x log y x 0 y 0 x y        
Ejemplo 3. Resuelva 3log (1 2x ) 2 
Solución:
3
1
Existencia : 1 2x 0 x ... (1)
2
Resolución : log (1 2x) 2 1 2x 9 x 4 ... (2)
1
De (1) y (2) : C.S. 4,
2
   
       
 
Ejemplo 4. Resuelva 1
9
1
log (4x 1)
2 
 
 


75. Solución:
1
2
1
9
1
Existencia : 4x 1 0 x ... (1)
4
1 1 1 1
Resolución : log (4x 1) 4x 1 4x 1 x ... (2)
2 9 3 3
1
De (1) y (2) : C.S. ,
3
 
 
 
 
 
 
   
 
          
 
 
6. ECUACIONES EXPONENCIALES
Proposición: x y
Sea b , b 0 b 1: b b x y     
Ejemplo 5. Resuelva  x
9 5 3 6 
Solución:
 
x 2
x x
3 3
3
3
Sea a 3 0 entonces a 5a 6 0 (a 6)(a 1) 0
a 6 3 6 Aplicando logaritmo log 3 log 6
x log 6
C.S. log 6
        
     

 
7. INECUACIONES EXPONENCIALES
Caso 1 p(x) q(x)
Si b 1: b b p(x) q(x)    .
Caso 2 p(x) q(x)
Si 0 b 1: b b p(x) q(x)    
Ejemplo 6. Resolver
2x 2
x 2
1
5
5



Solución:
2
x 2 x 2 x x 0 2
5 5 1 5 5 x x 0   
     
  x x 1 0 
C.S = [0, 1]

76. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
SEMANA Nº 17
FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
I. Definición
Sean A y B dos conjuntos no vacíos y sea f una relación de A en B; diremos que f es
una función de A en B si se cumple que:
.zyf)z,x(f)y,x( 
Al elemento y se le llama imagen de x bajo f y se denota por y = ).x(f Al elemento x
se le llama preimagen de y.
Gráficamente
BA:f 
Dominio de f:   Af)y,x(:By!/Ax)f(Dom 
Rango de f:  f)y,x(:Ax/By)f(Ran  =  B)f(Domx/)x(f 
Ejemplo 1

77.  )(2,6)(3,51,7),(f  es una función, donde
 
 5,6,7)f(Ran
1,2,3)f(Dom


Ejemplo 2
No es función  )p,c(),n,b(),n,a(),m,a(f  pues “a” tiene dos imágenes “m” y “n”.
II. Cálculo del Dominio y Rango de una función
Dominio: Está dado por el conjunto de valores que puede tomar la variable
independiente x, salvo el caso en que dicho dominio esté previamente indicado.
Rango: A partir de los x  Dom(f), se construye los valores adecuados para ).x(fy 
Ejemplo 3
Si      f x 7 x 1, halle Dom f y Ran f   .
Solución:
         7 x 0 x 7 Dom f ,7
    Como x 7 7 x 0 7 x 1 1 f x 1 Ran f 1,              .
Ejemplo 4
     2
Si f x 5x 6 ; x 2, halle Dom f y Ran f   .
Solución:
     Dom f ,2
 Como 2
x < 2 x 0               
2
5x 6 6 f x 6 Ran f 6 , .
Ejemplo 5

78. Si  
5x
y f x
2x 4
 

, halle Dom(f) y Ran(f).
Solución:
 Dom(f) = R
 Como x  R  5x  R 


4x
5x
2
R  y R …(I)
 Despejando x:
    
 
2
2 2
2 2
5 5 4 y 4y
yx 4y 5x yx 5x 4y 0 x
2y
25 5 5
Como x 25 16y 0 y y ... II
16 4 4
  
       
         R
 de (I) y (II)  y
5 5
,
4 4

  

 Ran(f) =
5 5
,
4 4

 

.
OBSERVACIÓN:
Si la función f tiene por regla de correspondencia
 
   
   
   
     
     
1 1
2 2
1 2
1 2
1 2
f x ; x Dom f
f x
f x ; x Dom f
entonces :
I ) Dom f Dom f
II ) Dom f Dom f Dom f
II ) Ran f Ran f Ran f
 
 

  
 
 
III. Prueba de la Recta Vertical
Una curva en el plano cartesiano es la gráfica de una función si y solo si toda recta
vertical la intersecta solo una vez.

79. IV. Funciones Elementales
Son aquellas funciones que se usan con mucha frecuencia; aquí describiremos
algunas de ellas, donde y = f(x).
Dom(f) = R Dom(f) = R
Ran(f) = c Ran(f) = R
Dom(f) = R Dom(f) = R
Ran(f) = [0,  Ran(f) = R

80. Dom(f) = [0,  Dom(f) = R
Ran(f) = [0,  Ran(f) = [0, 
V. Función Par, Impar y Periódica
Definición
Una función f se denomina función par si cumple las siguientes condiciones:
i) x Dom(f) x Dom(f)    .
ii) f(– x) = f(x) ,  x  Dom(f).
Ejemplo 6
Sea   4 2
f x x 6x 1,   ¿es f una función par?
Solución:
i) x  Dom (f) = R  – x  R.
ii)                 
4 2 4 2
f x x 6 x 1 x 6x 1 f x f( x) f(x)  
 f es una función par.
Definición
Una función f se denomina función impar si cumple las siguientes condiciones:
i) x Dom(f) x Dom(f).   
ii) f( x) f(x)   ,  x  Dom(f).
Ejemplo 7
Sea   3
f x sen x 5x ; x   R , ¿es f una función impar?
y = x y = x

81. Solución:
i) x Dom(f )  R   R
ii)                              
3 3
f x Sen x 5 x sen x 5x sen x 5x f x f x f x
f es función impar.
VI. Operaciones con Funciones
i) Suma de funciones
(f g)(x) f(x) g(x)
Dom(f g)(x) Dom(f) Dom(g)
  
  
ii) Diferencia de funciones
(f g)(x) f(x) g(x)
Dom(f g)(x) Dom(f) Dom(g)
  
  
iii) Producto de funciones
(f.g)(x) f(x).g(x)
Dom(f.g)(x) Dom(f) Dom(g)

 
iv) División de funciones
 
f f(x)
(x) , g(x) 0
g g(x)
f
Dom (x) Dom(f) Dom(g) x / g(x) 0 .
g
 
  
 
 
     
 
R

82. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Álgebra
FUNCIONES (CONTINUACIÓN)
1. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
Sea f :  una función.
Se dice que f es creciente sobre A Dom(f) , si
dados 1 2x ,x A tales que 1 2 1 2x x f(x ) f(x )   .
Se dice que f es decreciente sobre A Dom(f) , si
dados 1 2x ,x A tales que 1 2 1 2x x f(x ) f(x )   .
Ejemplo 1
¿Es la función f :  definida por  2
f(x) 5 x 2 ,   creciente o decreciente sobre
el conjunto A , 1   ?
Solución:
Se tiene que Dom(f) A Dom(f).  R
Sea 1 2x ,x , 1   tal que 1 2 1 2x x x x 1   
1 2
2 2
1 2
2 2
1 2
1 2
x 2 x 2 1
(x 2) (x 2)
(x 2) 5 (x 2) 5
f(x ) f(x )
     
   
     

Así, se obtiene que 1 2 1 2x x f(x ) f(x )   , con lo cual se concluye que f es
decreciente en A , 1  
Propiedades
a) Si  f :Dom(f) a,b  es creciente, entonces  Ran(f) f(a), f(b) .
b) Si  f :Dom(f) a,b  es decreciente, entonces  Ran(f) f(b), f(a) .
En el gráfico, podemos reconocer cuándo una función es creciente o decreciente. En
la figura se indica este hecho.

83. 2. FUNCIÓN INYECTIVA, SURYECTIVA Y BIYECTIVA
Sea f : A B una función.
● Se dice que f es inyectiva sobre X Dom(f) , si y solo si se cumple que dados
   1 2 1 2 1 2x ,x X tal que f x f x x x    .
● Se dice que f es suryectiva (o sobreyectiva) si Ran(f) B , esto es, para cada
y B existe x Dom(f) tal que f(x) y .
● Se dice que f es biyectiva si es inyectiva y suryectiva.
Existe una forma gráfica de reconocer si f es inyectiva, esto es, si toda recta horizontal
corta la gráfica de f en un solo punto entonces f es inyectiva. Pero si hay una recta
que la corta en dos o más puntos, f ya no es inyectiva.
Propiedad
Si una función f es inyectiva, entonces f es creciente o decreciente.

84. 3. FUNCIÓN INVERSA
Sea  f :Dom f   una función inyectiva. La función  f :Ran f
  se
llama la función inversa de f y es definida por
 f y x
 si y solo si    f x y, x Dom f  
Donde se cumplen:
i.     f f x x , x Dom f
   .
ii.     f f y y , y Ran f
   .
Observación: Si f no es inyectiva, no existe la inversa de f.
I. Dada la función y f(x), para hallar la función inversa f
, debe despejarse de
y f(x) la variable x, para luego ponerlo en función de la variable y teniendo
cuidado de las condiciones que deben cumplir tanto la variable x como la variable
y; luego se cambia la variable x por y, e y por x, obteniéndose así la función
inversa.
II.    Dom f Ran f

   Ran f Dom f

Ejemplo 2
Halle la función inversa de f definida por 2
y f(x) x 6x 1    , Dom (f) [4,  .
Solución:
De 2 2
y f(x) x 6x 1 (x 3) 8       , como x  4
x – 3  1 luego (x – 3)21 ; y = (x – 3)2 – 8  – 7
despejamos x en función de y:
2
y 8 (x 3) ; y 7
y 8 x 3, y 7
x y 8 3, y 7 como x 4,x y 8 3
     
      
          
Ahora cambiamos x por y e y por x
y x 8 3 , x 7    
entonces f*(x) x 8 3, Dom(f ) 7,
     
es la función inversa de f definida por 2
f(x) x 6x 1   .

85. 4. FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARITMO
Sea aR+, a 1 . La función exponencial en base a es una función que asocia a
cada número real x un único real y tal que x
y a , esto es,
x
f :
x y f(x) a

  
El dominio de definición de x
f(x) a es todo los reales.
El rango de x
f(x) a es todo los reales positivos.
Si a > 1
● f es creciente
● f es inyectiva
Si 0 < a < 1
● f es decreciente
● f es inyectiva
Sea a  R+, a 1 y x R+. La función que asocia a cada número x el número
ay log x es llamada la función logaritmo, esto es,
a
g:
x y g(x) log x

  
El dominio de g es R+
El rango de g es R
Si a >1, g es creciente, pero si 0 < a < 1 la función g es decreciente.
No es difícil verificar que la función exponencial es la función inversa de la función
logaritmo y recíprocamente el logaritmo es la función inversa de la exponencial.
Así como el número irracional 3,1415926535897932...,  otro número irracional es
el número e 2,7182818284590452...
Cuando la base del logaritmo sea a 10, denotaremos 10log x log x (logaritmo
decimal) mientras que si la base es a = e, escribiremos elog x lnx .(logaritmo natural
o neperiano