Recomendados
Más contenido relacionado
Similar a S13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptx
Similar a S13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptx (20)
Último
Último (20)
S13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptx
- 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERIA MECÁNICA-ENERGÍA CÁLCULO INTEGRAL Mg. Yolanda Rosa Avalos Sigüenza 𝐂𝐈𝐂𝐋𝐎 𝟐𝟎𝟐𝟑 − 𝐈𝐈
- 2. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
- 3. AREAS DE REGIONES PLANAS Caso 1 El área de la región limitada por: Esta dada por la expresión 𝒊) 𝐒𝐞𝐚 𝐲 = 𝐟 𝐱 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚 𝐞𝐧 𝐚, 𝐛 𝐟(𝐱) ≥ 𝟎, ∀𝐱 ∈ 𝐚, 𝐛 𝒚 = 𝒇 𝒙 , 𝒆𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒙 𝒚 𝒍𝒂𝒔 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒔 𝒙 = 𝒂 𝒚 𝒙 = 𝒃 𝑨 𝑹 = 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝒚 𝒚 = 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 ln 𝐴𝑛 = 𝑛𝑙𝑛𝐴
- 4. 4 dy y x 0 dy x = g(y) d c dA = g(y)dy g(y) Nota. ii)Si la región R esta limitada por: 𝒙 = 𝒈 𝒚 , 𝒆𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒚 𝒚 𝒍𝒂𝒔 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒔 𝒚 = 𝒄 ∧ 𝒚 = 𝐝 Luego el área esta dada por 𝐴 𝑅 = 𝑐 𝑑 𝑔 𝑦 𝑑𝑦
- 5. Caso 2.i) Si la región R esta limitada por 𝐲 = 𝐠𝟏 𝐱 ∧ 𝐲 = 𝐠𝟐 𝐱 𝐟 𝐲 𝐠 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚𝐬 𝐞𝐧 𝐚, 𝐛 𝐠𝟐 𝐱 ≥ 𝐠𝟏 𝐱 , ∀𝐱 ∈ 𝐚, 𝐛 𝐲 𝐥𝐚𝐬 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚𝐬 𝐱 = 𝐚 𝐲 𝐱 = 𝐛 𝑨 𝑹 = 𝒂 𝒃 𝒈𝟐 𝒙 − 𝒈𝟏 𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝒚 𝒅𝒙 𝒚 = 𝒈𝟐 𝒙 𝒂 𝒃 𝑨 𝑹 𝒙 𝒚 𝒅𝒙 𝒚 = 𝒈𝟏(𝒙)
- 6. Caso 2. ii) 𝒙 = 𝒉𝟏 𝒚 ∧ 𝒙 = 𝒉𝟐 𝒚 ∕ 𝒉𝟏 𝒚 ∧ 𝒉𝟐 𝒚 continuas en 𝒄, 𝒅 ∕ 𝒉𝟐 𝒚 ≥ 𝒉𝟏 𝒚 , ∀𝒚 ∈ 𝒄, 𝒅 𝒚 𝒍𝒂𝒔 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒔 𝒚 = 𝒄 ∧ 𝒚 = 𝒅 𝑨 𝑹 = 𝒄 𝒅 𝒉𝟐 𝒚 − 𝒉𝟏 𝒚 𝒅𝒚 𝒙 𝒚 (𝟎, 𝟎)
- 7. Caso 3. Área del recinto limitado por dos funciones 𝑨 𝑹 = 𝒂 𝒄 𝒈 𝒙 − 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒄 𝒃 𝒇 𝒙 − 𝒈 𝒙 𝒅𝒙
- 8. Caso 4. Área del recinto limitada por una función – + – + X Y f(x) c d e a b R 𝑨 𝑹 = 𝒂 𝒄 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 − 𝒄 𝒅 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 + 𝒅 𝒆 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 − 𝒆 𝒇 𝒇 𝒙 𝒅𝒙
- 9. 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨. 𝟏. 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐞 𝐞𝐥 á𝐫𝐞𝐚 𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞 𝐥𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧: 𝐟 𝐱 = 𝐱𝟐 + 𝟐, 𝐞𝐥 𝐞𝐣𝐞 𝐱 𝐲 𝐥𝐚𝐬 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚𝐬 𝐱 = −𝟐, 𝐲 𝐱 = 𝟒 𝑨 𝑹 = −𝟐 𝟒 𝒙𝟐 + 𝟐 𝒅𝒙 = 𝒙𝟑 𝟑 + 𝟐𝒙 −𝟐 𝟒 = 𝟑𝟔𝒖𝟐 𝐴(𝑅) 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨. 2. 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐞 𝐞𝐥 á𝐫𝐞𝐚 𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞 𝐥𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧: 𝐟 𝐱 = 𝟔𝐱 − 𝐱𝟐 𝐲 𝒈 𝐱 = 𝐱𝟐 − 𝟐𝐱, 𝟔𝒙 − 𝒙𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝐱 → 𝟐𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 = 𝟎 𝑥2 − 4𝑥 = 0 → 𝑥 𝑥 − 4 = 0 → 𝑥 = 0, 𝑥 = 4 𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊ó𝒏 𝑨 𝟎, 𝟎 𝒚 𝑩(𝟒, 𝟖) 𝑨 𝑹 = 𝟎 𝟒 𝟔𝒙 − 𝒙𝟐 − 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝟎 𝟒 𝟖𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 𝒅𝒙 = = 𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟑 𝟑 𝟎 𝟒 = 𝟔𝟒 𝟑 𝒖𝟐
- 10. If we try vertical strips, we have to integrate in two parts: We can find the same area using a horizontal strip. 𝑦2 = 𝑥 𝒚 + 𝟐 = 𝒙 𝟐 𝟑 𝒙𝟑/𝟐 𝟎 𝟐 + 𝟐 𝟑 𝒙𝟑/𝟐 − 𝒙𝟐 𝟐 + 𝟐𝒙 𝟐 𝟒 = 𝟏𝟎 𝟑 𝒖𝟐 𝑨𝟏 = 𝟎 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐𝒙 𝟑 𝟑/𝟐 𝟎 𝟐 = 𝟏, 𝟖𝟗 𝑨𝟐 = 𝟐 𝟒 𝒙 − 𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 = 𝟐𝒙 𝟑 𝟑/𝟐 − 𝒙𝟐 𝟐 + 𝟐𝒙 𝟐 𝟒 = 𝟏, 𝟒𝟓 𝒙 = 𝒚𝟐 𝒚 + 𝟐 = 𝒙 𝑨 = 𝟎 𝟐 𝒚 + 𝟐 − 𝒚𝟐 𝒅𝒚 = 𝒚𝟐 𝟐 + 𝟐𝒚 − 𝒚𝟑 𝟑 𝟎 𝟐 = 𝟔 − 𝟖 𝟑 = 10 3 𝒖𝟐
- 11. 𝑨 𝑹 = 𝟎 𝟒 𝟓𝒙 − 𝒙𝟐 − 𝒙 𝒅𝒙 𝑨 𝑹 = 𝟎 𝟐 𝒙 + 𝟐 − 𝟏 𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 𝑨 𝑹 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 𝟑 𝟎 𝟒 = 𝟑𝟐 𝟑 𝒖𝟐 𝑨 𝑹 = 𝟐 𝟑 𝒙 + 𝟐 𝟑/𝟐 − 𝒍𝒏 𝒙 + 𝟏 𝟎 𝟐 = 𝟏𝟔 𝟑 − 𝐥𝐧(𝟑)𝒖𝟐 𝑥 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐞 𝐞𝐥 á𝐫𝐞𝐚 𝐥𝐢𝐦𝐢𝐭𝐚𝐝𝐚 𝐩𝐨𝐫 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟐, 𝒈 𝒙 = 𝟏 𝒙 + 𝟏 𝒆𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒀 𝒚 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂 𝒙 = 𝟐
- 12. 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟐𝐱 ; 𝐠 𝐱 = −𝒙𝟐 Ejercicio.- Halle el área entre las curvas 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂𝒔 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒙𝟑 − 𝟐𝐱 = −𝒙𝟐 → 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟐𝐱 = 𝟎 𝒙 𝒙 + 𝟐 𝒙 − 𝟏 = 𝟎 → 𝒙 = 𝟎; 𝒙 = −𝟐; 𝒙 = 𝟏 𝑨 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = 𝟖 𝟑 + 𝟓 𝟏𝟐 = 𝟑𝟐 + 𝟓 𝟏𝟐 = 𝟑𝟕 𝟏𝟐 𝒖𝟐 𝑨𝟏 𝑨𝟐 𝑨𝟏 = −𝟐 𝟎 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟐𝐱 𝒅𝒙 = 𝒙𝟒 𝟒 + 𝒙𝟑 𝟑 − 𝒙𝟐 −𝟐 𝟎 𝑨𝟐 = 𝟎 𝟏 −𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 + 𝟐𝐱 𝒅𝒙 = − 𝒙𝟑 𝟑 − 𝒙𝟒 𝟒 + 𝒙𝟐 𝟎 𝟏 𝑨𝟏 = − 𝟒 − 𝟖 𝟑 − 𝟒 = 𝟖 𝟑 𝒖𝟐 𝑨𝟐 = − 𝟏 𝟑 − 𝟏 𝟒 + 𝟏 = −𝟒 − 𝟑 + 𝟏𝟐 𝟏𝟐 = 𝟓 𝟏𝟐 𝒖𝟐
- 13. 𝒅𝒚 𝑨 𝑹 = −𝟏 𝟏 𝒆𝒚 − 𝒚𝟐 + 𝟐 𝒅𝒚 𝑨 𝑹 = 𝒆𝒚 − 𝒚𝟑 𝟑 + 𝟐𝒚 −𝟏 𝟏 𝒅𝒚 𝐴 𝑅 = 3𝑦2 − 2 3 𝑦3 0 3 = 9𝑢2 𝐴 𝑅 = 0 3 6𝑦 − 2𝑦2 𝑑𝑦 = 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨. 𝟑 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐞 𝐞𝐥 á𝐫𝐞𝐚 𝒔𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒂𝒅𝒂 = 𝒆𝟐 − 𝟏 𝒆 + 𝟏𝟎 𝟑 𝒖𝟐 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨. 𝟒
- 14. 3. Integral definida y área bajo una curva Negativa f(x) R f(x) 0 x[a, b], entonces: f(x) 0 x[a, b], entonces: 𝑨 𝑹 = 𝒂 𝒃 −𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 𝑨 𝑹 = 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 𝑨 𝑹 = 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙
- 15. 15 2. Encontrar el área entre las curvas y = x - x3 ; 2 x 1 x y 𝒙 − 𝒙𝟑 = 𝒙 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒙 = −𝟏, 𝒙 = 𝟎, 𝒙 = 𝟏 𝐴 𝑹 = −𝟏 𝟎 𝒙 − 𝒙𝟑 − 𝒙 𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝐴 𝑹 = 𝟏 𝟏𝟐 + 𝟏 𝟏𝟐 = 𝟏 𝟔 𝒖𝟐 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 + 𝟎 𝟏 𝒙 𝟏 − 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝒙𝟑 𝒅𝒙
- 16. Ejemplo 3 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐞 𝐞𝐥 𝐚𝐫𝐞𝐚 𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞 𝐥𝐚𝐬 𝐜𝐮𝐫𝐯𝐚𝐬: 𝐲 = 𝐱 − 𝟐 𝟐 𝟗 − 𝟏, 𝐲 = 𝟐 𝟓 𝐱 + 𝟐 𝟓 , 𝐱 = 𝟒 𝐈𝐧𝐭𝐞𝐫𝐬𝐞𝐜𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐥𝐚𝐬 𝐜𝐮𝐫𝐯𝐚𝐬 𝒙 − 𝟐 𝟐 𝟗 − 𝟏 = 𝟐 𝟓 𝒙 + 𝟐 𝟓 → 𝒙 = −𝟏, 𝒙 = 𝟒𝟑 𝟓 𝑨 = −𝟏 𝟒 𝟐 𝟓 𝒙 + 𝟕 𝟓 − 𝒙 − 𝟐 𝟐 𝟗 𝒅𝒙 = 𝟐𝟑𝟓 𝟐𝟕 𝒖𝟐 𝒚 = 𝟐 𝟓 𝒙 + 𝟐 𝟓 𝒚 = 𝒙 − 𝟐 𝟐 𝟗 − 𝟏
- 17. Ejemplo. Calcula el área de la región limitada por las curvas y = x3 – 6x2 + 9x e y=x = 𝑥4 4 − 2𝑥3 + 4𝑥2 0 2 + − 𝒙𝟒 𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 𝟐 𝟒 𝑨𝟏 = 𝟎 𝟐 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 − 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑥4 4 − 2𝑥3 + 4𝑥2 0 2 = 4 𝑨𝟐 = 𝟐 𝟒 𝒙 − 𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 𝒅𝒙 = − 𝑥4 4 + 2𝑥3 − 4𝑥2 2 4 = 𝟒 𝑨 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = 𝟖𝒖𝟐
- 18. Ejemplo. Encontrar el área entre las curvas𝒚 = 𝟑 + 𝒙; 𝒚𝟐 = 𝟏 − 𝒙; 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐝𝐞 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐬𝐞𝐜𝐜𝐢ó𝐧 𝒚 − 𝟑 = 𝟏 − 𝒚𝟐 → 𝒚𝟐 + 𝐲 − 𝟒 = 𝟎 𝒚 = − 𝟏 + 𝟏𝟕 𝟐 , 𝐲 = 𝟏𝟕 − 𝟏 𝟐 −2.5 𝒚 = ± 𝟏 − 𝒙 𝑨 = − 𝟏+ 𝟏𝟕 𝟐 𝟏𝟕−𝟏 𝟐 𝟒 − 𝒚𝟐 − 𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒚 𝑨 = 𝟒𝒚 − 𝒚𝟑 𝟑 − 𝒚𝟐 𝟐 − 𝟏+ 𝟏𝟕 𝟐 𝟏𝟕−𝟏 𝟐 = 𝟏𝟕 𝟏𝟕 𝟔 𝒖𝟐 𝟏 − 𝒙 = (𝟑 + 𝒙)𝟐 𝑥2 + 7𝑥 + 8 = 0 → 𝑥 = −7 ± 17 2 = −1.43 −5.56 𝐴1 = −5.56 −1.43 𝑥 + 3 + 𝟏 − 𝒙 𝑑𝑥 𝐴2 = −1.43 1 𝟐 𝟏 − 𝒙 𝑑𝑥
- 19. Ejemplo. Encontrar el área entre las curvas𝒚 = 𝟑 + 𝒙; 𝒚𝟐 = 𝟏 − 𝒙; 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐝𝐞 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐬𝐞𝐜𝐜𝐢ó𝐧 𝒚 − 𝟑 = 𝟏 − 𝒚𝟐 → 𝒚𝟐 + 𝐲 − 𝟒 = 𝟎 𝒚 = − 𝟏 + 𝟏𝟕 𝟐 , 𝐲 = 𝟏𝟕 − 𝟏 𝟐 −2.5 𝒚 = ± 𝟏 − 𝒙 𝑨 = − 𝟏+ 𝟏𝟕 𝟐 𝟏𝟕−𝟏 𝟐 𝟒 − 𝒚𝟐 − 𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒚 𝑨 = 𝟒𝒚 − 𝒚𝟑 𝟑 − 𝒚𝟐 𝟐 − 𝟏+ 𝟏𝟕 𝟐 𝟏𝟕−𝟏 𝟐 = 𝟏𝟕 𝟏𝟕 𝟔 𝒖𝟐
- 20. 𝑦 = 3𝑥 − 𝑥2 ; 𝑦 = 3𝑥2 − 𝑥3 Ejercicio. Halle el área entre las curvas 3𝑥 − 𝑥2 = 3𝑥2 − 𝑥3 𝑥3 − 4𝑥2 + 3𝑥 = 0 𝒙 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 = 𝟎 𝒙 = 𝟎; 𝒙 − 𝟑 𝒙 − 𝟏 = 𝟎 → 𝒙 = 𝟏 ∨ 𝒙 = 𝟑 𝑨 = 𝟎 𝟏 𝟑𝒙 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 𝒅𝒙 + 𝟏 𝟑 𝟒𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝑨𝟏 𝑨𝟐 𝑨 = 𝟓 𝟏𝟐 + 𝟖 𝟑 = 𝟑𝟕 𝟏𝟐 𝒖𝟐 𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧
- 21. Ejemplo: Hallar el área limitada por la curva 𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 y el eje OX. Solución: Hallamos los puntos de corte con OX: Hacemos y=0 → x3 – 6 x2+ 8 x = 0 Las raíces son x=0, x=2, x=4. 𝑨 = 𝟎 𝟐 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 𝒅𝒙 + 𝟎 𝟐 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 𝒅𝒙 = 𝟖𝒖𝟐
- 22. Ejemplo : Hallar el área de la figura limitada por las curvas y = ex, y = e-x , y por la recta x = 1. El área pedida está remarcada en la gráfica 𝑨 = 𝟎 𝟏 𝒆𝒙 − 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 + 𝒆−𝒙 𝟎 𝟏 = 𝒆 + 𝒆−𝟏 − 𝟐 𝒚 = 𝒆𝒙, 𝒚 = 𝒆−𝒙 𝒚 𝒙 = 𝟏 𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧 𝑨 = 𝟏, 𝟎𝟗𝒖𝟐
- 23. 𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨 𝟏. 𝑯𝒂𝒍𝒍𝒆 𝒆𝒍 á𝒓𝒆𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒇 𝒚 𝒆𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝑿 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒄𝒂𝒅𝒐 𝒂) 𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝒙 − 𝟏 𝐞𝐧 −𝟐, 𝟑 𝒃) 𝒇 𝒙 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙)𝟐 𝒆𝒏 𝟏, 𝒆 𝒄) 𝒇 𝒙 = 𝒆−𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒆𝒏 𝟎, 𝟐𝝅 𝟐. 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐞 𝐞𝐥 á𝐫𝐞𝐚 𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞 𝐲 = 𝟒𝐱 − 𝐱𝟐 𝐲 𝐥𝐚𝐬 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚𝐬 𝐭𝐚𝐧𝐠𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬 𝐚 𝐥𝐚 𝐜𝐮𝐫𝐯𝐚 3. 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐞 𝐞𝐥 á𝐫𝐞𝐚 𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞 𝐟 𝐱 = 𝒙 𝒙 − 𝟐 𝒚 𝒈 𝒙 = 𝒙 + 𝟒 𝟒. 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐞 𝐞𝐥 á𝐫𝐞𝐚 𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞 𝐟 𝐱 = 𝒙𝟑 − 𝟒𝒙 𝒚 𝒈 𝒙 = −𝒙 − 𝟐 𝐞𝐧 𝐥𝐨𝐬 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐝𝐞 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐬𝐞𝐜𝐜𝐢ó𝐧 𝐜𝐨𝐧 𝐞𝐥 𝐞𝐣𝐞 𝐎𝐗
- 24. 𝒃) 𝒇 𝒙 = 𝒙(𝒍𝒏𝒙)𝟐𝐞𝐧 𝟏, 𝒆 . 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐞 𝐞𝐥 á𝐫𝐞𝐚 𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞 𝐥𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐟 𝐲 𝐞𝐥 𝐞𝐣𝐞 𝐗 𝐞𝐧 𝐞𝐥 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐯𝐚𝐥𝐨 𝐢𝐧𝐝𝐢𝐜𝐚𝐝𝐨 𝑥 = 1 → 𝑦 = 0 → 1,0 ; 𝑥 = 𝑒; 𝑦 = 𝑒 𝐴 = 1 𝑒 𝒙(𝒍𝒏𝒙)𝟐 𝑑𝑥 = 𝑢 = (𝒍𝒏𝒙)𝟐 → 𝑑𝑢 = 2 𝑥 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥; 𝑣 = 𝑥2 2 𝐴 = 1 𝑒 𝒙(𝒍𝒏𝒙)𝟐 𝑑𝑥 = 𝑥2 2 (𝒍𝒏𝒙)𝟐 − 𝟏 𝒆 𝒙𝒍𝒏𝒙𝒅𝒙 𝐴 = 1 𝑒 𝒙(𝒍𝒏𝒙)𝟐𝑑𝑥 = Ejercicio: 𝑥2 2 (𝒍𝒏𝒙)𝟐 − 𝑥2 2 𝒍𝒏𝒙 − 𝑥2 4 1 𝑒
- 25. 𝒂) 𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝒙 − 𝟏 𝐞𝐧 −𝟐, 𝟑 . 𝐇𝐚𝐥𝐥𝐞 𝐞𝐥 á𝐫𝐞𝐚 𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞 𝐥𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐟 𝐲 𝐞𝐥 𝐞𝐣𝐞 𝐗 𝐞𝐧 𝐞𝐥 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐯𝐚𝐥𝐨 𝐢𝐧𝐝𝐢𝐜𝐚𝐝𝐨 𝑥 = −𝑥, −2 ≤ 𝑥 < 0 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 𝒙 − 𝟏 = 𝟏 − 𝒙, −𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟏 𝒙 − 𝟏, 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑 𝑓 𝑥 = −𝑥 − 1 − 𝑥 , −2 ≤ 𝑥 < 0 𝑥 − 1 − 𝑥 , 0 ≤ 𝑥 < 1 𝑥 − 𝑥 + 1,1 ≤ 𝑥 ≤ 3 𝑓 𝑥 = −1, −2 ≤ 𝑥 < 0 2𝑥 − 1,0 ≤ 𝑥 < 1 1,1 ≤ 𝑥 ≤ 3 𝑨𝟏 = −𝟐 𝟎 𝒅𝒙 = 𝟐 𝑨𝟐 = 𝟎 𝟏/𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 𝑨𝟑 = 𝟏/𝟐 𝟏 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 𝑨𝟒 = 𝟏 𝟑 𝟏𝒅𝒙 𝑨𝟏 𝑨𝟐 𝑨𝟑 𝑨𝟒
- 26. Longitud de una curva - en el Plano - La longitud de arco de una curva es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de la curva(es la poligonal que los une) 𝒚 = 𝒇 𝒙 , 𝒓𝒆𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒔𝒅𝒆 𝒙 = 𝒂 𝒉𝒂𝒔𝒕𝒂 𝒙 = 𝒃
- 27. Longitud de una curva - en el Plano - A1. Curvas expresadas en forma explícita (Coordenadas Cartesianas) Para la curva y=f(x) entre x=a, x=b. Para la curva x=f(y) entre y=a, y=b. 𝐿 = 𝑎 𝑏 𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 = 𝑎 𝑏 1 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝐿 = 𝑎 𝑏 𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 = 𝑎 𝑏 1 + 𝑑𝑥 𝑑𝑦 2 𝑑𝑦 𝒅𝒚
- 28. Ejemplo Calcular la longitud del arco de curva 𝒚 = 𝟐𝒙 𝒙, 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒙 = 𝟎 𝒚 𝒙 = 𝟐 Solución: Utilizamos la fórmula: 𝑳 = 𝒂 𝒃 𝒅𝒙 𝟐 + 𝒅𝒚 𝟐 = 𝒂 𝒃 𝟏 + 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝒚′ = 𝟑𝒙𝟏/𝟐 𝑳 = 𝟎 𝟐 𝟏 + 𝟗𝒙𝒅𝒙 = = 𝟐 𝟐𝟕 𝟏𝟗𝟑/𝟐 − 𝟏 = 𝟔, 𝟏𝒖 𝟐 𝟐𝟕 𝟏 + 𝟗𝒙 𝟑/𝟐 𝟎 𝟐
- 29. Ejemplo 2 Solución . Determinar la longitud del arco de la gráfica de la función 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙 en el intervalo [-1,1]. 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙 𝐿 = 𝑎 𝑏 𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 = 𝑎 𝑏 1 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝐿 = −2 2 1 + 𝑠𝑖𝑛ℎ 2𝑑𝑥 = −2 2 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥𝑑𝑥 = 2 0 2 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥𝑑𝑥 = 𝒇′ 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙
- 30. Ejemplo Solución 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑒𝑥 + 1 𝑒𝑥 − 1 , 1 4 ≤ 𝑥 ≤ 3 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = −𝟐𝒆𝒙 𝒆𝟐𝒙 − 𝟏 𝟏 + −𝟐𝒆𝒙 𝒆𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 = 𝒆𝟐𝒙 + 𝟏 𝟐 𝒆𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 𝑒2𝑥 + 1 2 𝑒2𝑥 − 1 2 = 𝑒2𝑥 + 1 𝑒2𝑥 − 1 𝑳 = 𝒂 𝒃 𝟏 + 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝑳 = 𝟏/𝟒 𝟑 𝒆𝟐𝒙 + 𝟏 𝒆𝟐𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 =
- 31. Ejemplo Solución Por el Teorema Fundamental del Cálculo se tiene: 𝒚′ = 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒙𝟒 − 𝟏 𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒍𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂 𝒚 = 𝟏 𝒙 𝒕𝟒 + 𝟏𝒅𝒕, 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟔 𝟏 + 𝒙𝟒 − 𝟏 𝟐 = 𝟏 + 𝒙𝟒 − 𝟏 = 𝒙𝟒 𝑳 = 𝟏 𝟔 𝒙𝟐𝒅𝒙 = 𝒙𝟑 𝟑 𝟏 𝟔 = 𝟒𝟑𝟐 − 𝟏 𝟑 = 𝟏𝟐𝟗𝟓 𝟑 = 𝟒𝟑𝟏, 𝟑𝟑𝐮
- 32. Ejercicio Solución Observemos que la curva es simétrica con respecto a los ejes X e Y. La representación de la curva puede hacerse a través de un sistema informático (CAS). La expresión de f se obtiene despejando y en función de x de la ecuación de la curva. 𝐂𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚𝐫 𝐥𝐚 𝐥𝐨𝐧𝐠𝐢𝐭𝐮𝐝 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐜𝐮𝐫𝐯𝐚 𝐱𝟐/𝟑 + 𝐲𝟐/𝟑 = 𝟏 𝐋𝐚 𝐩𝐚𝐫𝐭𝐞 𝐚𝐳𝐮𝐥 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐜𝐮𝐫𝐯𝐚 𝐞𝐬 𝐥𝐚 𝐠𝐫á𝐟𝐢𝐜𝐚 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐟 𝐱 = 𝟏 − 𝐱𝟐/𝟑 𝟑 𝑳 = 𝒂 𝒃 𝟏 + 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝒇 𝒙 = 𝟏 − 𝒙𝟐/𝟑 𝟑 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = 𝟑 𝟐 𝟏 − 𝒙𝟐/𝟑 𝟏/𝟐 − 𝟐 𝟑 𝒙−𝟏/𝟑 𝒅𝒇 𝒅𝒙 = − 𝟏 − 𝒙𝟐/𝟑 𝒙−𝟏/𝟑 𝟏 + 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝟐 = 𝟏 + − 𝟏 − 𝒙𝟐/𝟑 𝒙−𝟏/𝟑 𝟐 𝟏 + 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝟐 = 𝒙−𝟐/𝟑
- 33. 2 2 3 3 1 x y 𝑳 = 𝒂 𝒃 𝟏 + 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝑳 = 𝟒 𝟎 𝟏 𝒙−𝟏/𝟑 𝒅𝒙 = 𝟎 𝟏 𝒅𝒙 𝒙𝟏/𝟑 𝟎 𝟏 𝒅𝒙 𝒙𝟏/𝟑 = lim 𝝐→0+ 𝝐 𝟏 𝒙−𝟏/𝟑 𝒅𝒙 = lim 𝝐→0+ 𝟑 𝟐 𝒙𝟐/𝟑 𝝐 𝟏 lim 𝝐→0+ 𝟑 𝟐 − 𝟑 𝟐 𝝐𝟐/𝟑 = 𝟑 𝟐 𝑳 = 𝟒 𝟑 𝟐 𝟔𝒖
- 34. 𝑬𝒋𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒊𝒐 𝐂𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐞 𝐥𝐚 𝐥𝐨𝐧𝐠𝐢𝐭𝐮𝐝 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐜𝐮𝐫𝐯𝐚 𝟖𝐲𝟐 = 𝐱𝟐 − 𝐱𝟒 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒊𝒎𝒑𝒍í𝒄𝒊𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑳 = 𝒂 𝒃 𝟏 + 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏 + 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝟐 = 1 + 𝒆−𝟐𝒙 𝟏 − 𝒆−𝟐𝒙 = 𝟏 𝟏 − 𝒆−𝟐𝒙 𝑳 = 𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 − 𝒆−𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟖𝒚𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟒 𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧 𝟏𝟔𝒚𝒚′ = 𝟐𝒙 − 𝟒𝒙𝟑 𝒚′ = 𝒙 − 𝟐𝒙𝟑 𝟖𝒚 𝒚′ 2 = 𝒙 − 𝟐𝒙𝟑 𝟖𝒚 2 = 1 − 2𝑥2 2 8 1 − 𝑥2 𝑅𝑝𝑡𝑎: 2𝜋𝑢