Definición de Ortocentro de un Triángulo Cualquiera.

1. ORTOCENTRO DE UN TRIÁNGULO
Definición y estudio de las propiedades
Alumno: Rosa Yamila Ubilla
Asignatura: Estructura de Programación
Carrera: Profesorado en Matemática
Segundo Año – Primer Cuatrimestre
Fecha de presentación: 17 – 04 – 2017
Email: ubilla.yami@gmail.com

2. C o n t e n i d o :
Definición
Otra explicación
Ejemplos
Ejercicios

3. O RTO C E N T R O
Definición:
La palabra ortocentro es un término que se usa excluyentemente
dentro del ámbito de la Geometría y refiere a aquel punto de intersección en el
cual confluyen las tres altitudes de un triángulo. Es decir, en el ortocentro se
cortan las tres alturas de un triángulo. Se lo simboliza a partir de la letra
mayúscula.
El triángulo, por su lado, es un polígono definido por tres rectas, las
cuales se cortan dos a dos en tres puntos que no se hayan alineados; los puntos
en los que se unen las rectas se llaman vértices y las porciones de recta que
quedan determinadas son los lados del triángulo.

4. Cabe destacar que el ortocentro no resulta para nada una cuestión insignificante
dado que por ejemplo tres rectas cualquiera que se toman a pares se cortarán en
tres puntos distintos, en cambio, en el caso de los triángulos, las alturas se cortan
en un mismo punto y eso es muy simple y sencillo de demostrar a partir de
justamente el ortocentro.
Cuando el triángulo acutángulo, o sea, sus tres ángulos
interiores son menores a 90°, el ortocentro será el incentro
del triángulo órtico, que es aquel que presenta como vértices
a los pies de las tres alturas, vale decir, las proyecciones de
los vértices sobre sus lados.

5. En tanto, el incentro, simbolizado a partir de la letra I, será aquel punto en
el cual se intersecan las tres bisectrices de los ángulos interiores del
triángulo y crea la circunferencia inscrita en el centro del triángulo en
cuestión.
Por otra parte, si el triángulo rectángulo, aquel que dispone de un ángulo
recto de 90°, el ortocentro coincidirá con el vértice del mencionado ángulo
recto.
Y si se trata de un triángulo obtusángulo,
cuando uno de sus ángulos interiores es obtuso,
o sea, mayor a 90° y los otros dos miden menos
de 90°, el ortocentro se ubicará por fuera del
triángulo.

6. Otra explicación:
Consideremos un triángulo de vértices A', B' y C'. Ya demostramos que
las mediatrices de dicho triángulo se cortaban en un único punto,
llamado circuncentro. Es el centro de una circunferencia circunscrita al
triángulo

7. Ahora bien, si llamas A, B y C a los puntos medios de los lados B'C', A'C' y A'B',
respectivamente, y consideras el triángulo ABC. Podemos comprobar lo siguiente:
Los lados de los triángulos ABC y A'B'C', son
respectivamente paralelos.
La mediatriz del lado A'B' es la perpendicular a A'B' que
pasa por su punto medio (C), luego será también
perpendicular a AB (por ser paralelo a A'B'). Así pues,
considerando el triángulo ABC, dicha recta es
perpendicular a AB pasando el vértice C, o lo que es lo
mismo, es la altura del triángulo ABC respecto del lado
AB.

8. Análogo razonamiento nos lleva a deducir que la mediatriz del lado A'C' del
triángulo A'B'C', coincide con la altura del triángulo ABC respecto del lado AC. Y,
la mediatriz del lado B'C' del triángulo A'B'C', coincide con la altura del triángulo
ABC respecto del lado BC
Las alturas del triángulo ABC, son las mediatrices del A'B'C',
y como las mediatrices de cualquier triángulo se cortaban en
un único punto, podemos deducir:
Las alturas de cualquier triángulo se cortan en un único punto,
que llamaremos ORTOCENTRO, y que denotaremos por H.
Además, el ortocentro de este triángulo coincide con el
circuncentro de un triángulo semejante al dado, y que tiene los
vértices del primero como puntos medios de sus lados.

9. El Ortocentro de un
triángulo rectángulo es el
vértice correspondiente
al ángulo recto
El Ortocentro de un
triángulo acutángulo está
en el interior del
triángulo
El Ortocentro de un
triángulo obtusángulo
está en el exterior del
triángulo
Ejemplos:

10. EJERCICIOS:
Calcular el ortocentro de un triángulo escaleno cuyos vértices son:
1. 𝐴 = 2; −1 ; 𝐵 = 4; 5 ; 𝐶 = −4; 3
2. 𝐴 = −3; 2 ; 𝐵 = −3; 8 ; 𝐶 = 5; 2
3. 𝐴 = 1; 2 ; 𝐵 = −1; 3 ; 𝐶 = 4; 1