El documento resume la demostración del Último Teorema de Fermat. Explica que para exponentes mayores que 2, la ecuación xn + yn = zn no tiene soluciones enteras distintas de cero. Para n=2, que es el Teorema de Pitágoras, sí es posible completar el binomio cuadrático y encontrar soluciones enteras. Pero para exponentes mayores, como n=3, no es posible completar el binomio y por lo tanto no hay soluciones enteras.

1. Último Teorema de Fermat
Pietro de la Rose
“Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum
potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi, hanc marginis exiguitas non caperet”.
Pierre de Fermat
𝑎2
+ 𝑏2
= 𝑐2
, asombrosa equivalencia,
teorema, entidad eterna,
hipotenusa y catetos, área en terna;
legado de Pitágoras a la ciencia.
𝑎2
+ 𝑏2
= 𝑐2
, fórmula esplendorosa,
que se cumple para todo triángulo
siempre y cuando sea rectángulo,
allí encontraremos la majestuosa.
𝑎2
+ 𝑏2
= 𝑐2
, proposición milenaria,
escueta igualdad revolucionaria,
sublime verdad, dulce armonía.
Obra del ingenio humano.
Tu trazo es arte en el plano.
𝑎2
+ 𝑏2
= 𝑐2
, joya de la geometría.
José Acevedo Jiménez
El Último Teorema de Fermat se puede interpretar como una generalización del teorema de Pitágoras.
Si 𝒏 es un número entero mayor que 2,
entonces podemos afirmar que no existen números enteros no
nulos 𝒙, 𝒚 y 𝒛, tales que se cumpla la igualdad:
𝒙 𝒏
+ 𝒚 𝒏
= 𝒛 𝒏
Caso I: 𝑛 = 2
1) 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
= 𝒛 𝟐
Dado que:
𝑧 > 𝑥; 𝑧 > 𝑦
José Acevedo Jiménez

2. Podemos afirmar que:
2) 𝑧 = 𝑦 + 𝑤
Sustituyendo (2) en (1), tenemos:
3) 𝑥2
+ 𝑦2
= (𝑦 + 𝑤)2
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑦2
+ 2𝑤𝑦 + 𝑤2
4) 𝑥2
= 2𝑤𝑦 + 𝑤2
Haciendo 𝑦 = 𝑎(2𝑎𝑤 + 2𝑤) y sustituyendo el valor de 𝑦 en 4, tenemos:
𝑥2
= 2𝑤𝑎(2𝑎𝑤 + 2𝑤) + 𝑤2
5) 𝑥2
= (2𝑎𝑤)2
+ 4𝑎𝑤2
+ 𝑤2
6) 𝑥2
= (2𝑎𝑤 + 𝑤)2
∀ (𝑎, 𝑤) ∈ ℤ, obsérvese que los términos del lado derecho de la ecuación (5) corresponden a un trinomio
cuadrado perfecto y, por lo tanto, las raíces de 𝑥 son números enteros.
Sustituyendo (4) en (3), finalmente obtenemos:
7) 𝑥 = 2𝑎𝑤 + 𝑤
Finalmente tenemos que:
8) (𝟐𝒂𝒘 + 𝒘) 𝟐
+ (𝟐𝒂 𝟐
𝒘 + 𝟐𝒂𝒘) 𝟐
= (𝟐𝒂 𝟐
𝒘 + 𝟐𝒂𝒘 + 𝒘) 𝟐
Las soluciones enteras de (8) son las conocidas ternas pitagórica.
Caso II: 𝑛 = 3
1) 𝒙 𝟑
+ 𝒚 𝟑
= 𝒛 𝟑
Dado que:
𝑧 > 𝑥; 𝑧 > 𝑦
Podemos afirmar que:
2) 𝑧 = 𝑦 + 𝑤
Sustituyendo 2 en 1, tenemos:

3. 3) 𝑥3
+ 𝑦3
= (𝑦 + 𝑤)3
𝑥3
+ 𝑦3
= 𝑦3
+ 3𝑦2
𝑤 + 3𝑦𝑤2
+ 𝑤3
𝑥3
= 3𝑦2
𝑤 + 3𝑦𝑤2
+ 𝑤3
4) 𝑥3
= 3𝑤𝑦(𝑦 + 𝑤) + 𝑤3
Obsérvese que en (4) no es posible completar el binomio de Newton tal cual se hizo en el caso I, esto nos indica
que 𝑥 no puede adoptar valores racionales. Esto se debe a que tanto 𝑦 como 𝑤 tienen exponentes iguales a 2 en
los términos donde ambas variables son comunes.
Caso III: enésimo
1) 𝒙 𝒏
+ 𝒚 𝒏
= 𝒛 𝒏
Dado que:
𝑧 > 𝑥; 𝑧 > 𝑦
Podemos afirmar que:
2) 𝑧 = 𝑦 + 𝑤
Sustituyendo (2) en (1), tenemos:
3) 𝑥 𝑛
+ 𝑦 𝑛
= (𝑦 + 𝑤) 𝑛
Desarrollando el binomio de Newton del lado derecho, tenemos:
𝑥 𝑛
+ 𝑦 𝑛
= 𝑦 𝑛
+ 𝑤 𝑛
+ ∑ (
𝑛
𝑘
)
𝑛−1
𝑘=1
𝑦 𝑛−𝑘
𝑤 𝑘
4) 𝑥 𝑛
= 𝑤 𝑛
+ ∑ (
𝑛
𝑘
)
𝑛−1
𝑘=1
𝑦 𝑛−𝑘
𝑤 𝑘
5) 𝑥 𝑛
= 𝑤 𝑛
+ 𝑦𝑤 ∑ (
𝑛
𝑘
)
𝑛−1
𝑘=1
𝑦 𝑛−𝑘−1
𝑤 𝑘−1
Observe en (5) que la parte donde tenemos la sumatoria tanto la variable 𝑦 como 𝑤 son factores común en dicho
desarrollo. Esto nos indica, que al igual que el caso II, el binomio de Newton no pude ser completado y por lo tanto
𝑥 no puede adoptar valores racionales. Esto es así puesto que no existe un número racional 𝑞 que realizada una
operación (∗) con otro números racional 𝑝 dé como resultado el número 𝑞, tal que 𝑝 y 𝑞 son diferentes de 0 y 1.
Matemáticamente, lo podemos expresar como: 𝑞 ≠ 𝑞(∗)𝑝.

4. Así concluimos que la expresión:
𝑥 𝑛
+ 𝑦 𝑛
= 𝑧 𝑛
No tiene soluciones racionales para valores enteros de 𝑛 > 2.