Este documento explica por qué el último teorema de Fermat solo tiene soluciones para exponentes n = 1 y 2. Usa el argumento d^n y muestra que para n > 2, la constante irracional 2^(1/n) hace que el producto xy sea irracional, impidiendo soluciones enteras para x, y y f. Solo cuando n = 1 y 2, 2^(1/n) es un entero racional, permitiendo que xy también sea un entero y cumpla la ecuación de Fermat x^n + y^n = z^n.

1. El último teorema de FERMAT.
En 6 líneas… será posible?
VERSIÓN CON EXPLICACIONES : 9 de Febrero de 2014.
1.- Fermat : x^n + y^n = z^n
2.- El Argumento d^n y la CONSTANTE IRRACIONAL [2^(1/n)].
3.- Por qué FERMAT sólo tiene SOLUCIONES para n = 1 y 2.
EL PRODUCTO (xy).
LA SUMA (x + y).
Nota: Las CUATRO primeras pantallas
4.- 2^(1/2) = IRRACIONAL.
del punto 1 .- Fermat : x^n + y^n = z^n
son suficientes para presentar lo
2^(1/n) = IRRACIONAL
esencial del desarrollo.
5.- Como se calcula.
6.- Ejemplos de: x^n + y^n = z^n.
7.- Comentarios.
8.- Para finalizar. Conjuntos IRRACIONALES NUMERABLES.
9.- Epílogo: Los Geólog@s.
10.- Referencias.
CONTROL TIEMPO: Las pantallas duran 20 seg.
Si requiere más haga una pausa en ellas.
22 de Diciembre del 2013.
Jorge Diderot Chelén Franulic.
Geólogo.
Santiago, Chile.

2. 1.- FERMAT… en 6 líneas.
x^n + y^n = f^n…. Con “f”de Fermat. “ d^n = y^n - x^n “
El argumento: “d^n” es lo que le falta a “x^n” para ser igual a “y^n”
Despejando “x”:
1.- y^n = x^n + d^n
2.- x^n + (x^n + d^n) = f^n
3.- 2x^n + d^n = f^n
4.- 2x^n = f^n – d^n
5.- x^n = (f^n – d^n) / 2
6.- x = (f^n – d^n)^(1/n) / (2^(1/n))
Despejando “y”:
x^n = y^n – d^n
y^n + (y^n - d^n) = f^n
2y^n – d^n = f^n
2y^n = f^n + d^n
y^n = (f^n + d^n) / 2
y = (f^n + d^n)^(1/n) / (2^(1/n))
Dados dos enteros en “x” e “y” una CONSTANTE IRRACIONAL no permite valores
enteros en “f” para un n > 2. [f^n = 2x^n + d^n] contiene una CONSTANTE
IRRACIONAL en [2] al extraer la raíz de [2^(1/n)].
Nota: Los valores de “x” e “y” quedan definidos a través de una CONSTANTE
IRRACIONAL: [2^(1/n)]. Dados cualquier par “x” e “y” inmediatamente se establecen
los valores de “f”, “f^n” “d^n” y “d” que pertenecen a la función de FERMAT : f^n =
x^n + y^n ----- (d^n = y^n – x^n). f = [2^(1/n)*y]*[[1-(d^n/[2*y^n])]^(1/n)
2x^n + 2y^n = (f^n - d^n) + (f^n + d^n) = 2f^n
2x^n + 2y^n = 2f^n  x^n + y^n = f^n … con “f” de Fermat.

3. Expresiones de “x”, ”y”, ”f” y “d”.
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x = [(f^n-d^n)^(1/n)]/2^(1/n)
y = [(f^n + d^n)^(1/n)] /2^(1/n)
f = [2^(1/n)*y]*[[1-(d^n/[2*y^n])]^(1/n)
d =[2^(1/n)*y]*[1-(f^n/2y^n)]^(1/n)
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xy = [(f^n)^2-(d^n)^2]^(1/n) / [2^(2/n)]
x = [(f^n)^2-(d^n)^2]^(1/n) / [2^(2/n)] * y
y = [(f^n)^2-(d^n)^2]^(1/n) / [2^(2/n)] * x
f = [(4(x*y)^n] +(d^2n)]^(1/2n)
d = [f^(2n) - 4(x*y)^n]^(1/2n)
Dados “x” e “y” quedan establecidos “f” y “d”.
Constante IRRACIONAL [2^(1/n)]
x^n + y^n = f^n…. Con “f”de Fermat. “ d^n = y^n - x^n “
La expresión [d^n + x^n = y^n] conceptualmente es la misma que la de
Fermat [x^n + y^n = f^n]

4. Una CONSTANTE IRRACIONAL en EL
Último Teorema de FERMAT.
• En “x” e “y” se presenta aisladamente [2^(1/n) ].
• En el producto “xy” que si “x” e “y” son ENTEROS ella debe expresar a
otro ENTERO. CONSTANTE en (xy) = [2^(1/n)] * [2^(1/n)] = [2^(2/n)]
• Veamos su comportamento para n = 1 hasta n = n
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•
[2^(1/1)] * [2^(1/1)] = [2^2] = 4.
Un ENTERO en
[2^(1/2)] * [2^(1/2)] = [2^1] = 2.
Un ENTERO en
[2^(1/3)] * [2^(1/3)] = [2^(2/3)] = 1.5874... IRRACIONAL en
[2^(1/4)] * [2^(1/4)] = [2^(2/4)] = 1.4142… IRRACIONAL en
“n = 1”
“n = 2”
“n = 3”
“n = 4”
• [2^(1/n)] * [2^(1/n)] = [2^(2/n)] = ………... IRRACIONAL en “n = n”
La CONSTANTE IRRACIONAL solo permite valores ENTEROS para
“n=1” y “n=2”. Para “n>2” todos sus valores son IRRACIONALES.
Fermat no tiene solución para “n>2” porque en la intimidad de
x^n + y^n = f^n se aloja una CONSTANTE IRRACIONAL: [2^(1/n)].

5. 2.- El Argumento: d^n y la CONSTANTE IRRACIONAL [2^(1/n)]
• Esta demostración es extremadamente simple. Sólo requiere del factor “d^n” que es
lo que le falta a “y^n” para ser igual a “x^n”.
• Un poco de malabarismo matemático para aislar “x” e “y” y, en ello, el cálculo del
producto “xy” que debería ofrecer un producto ENTERO para cualquier potencia “n”,
que sólo ocurre cuando “n = 1 ó 2”.
• Dados cualquier par”x,y”, “x,f” o “y,f” para cualquier n>2, “f”, el valor de “x” y/o el
valor de “y” es IRRACIONAL, y de ello da cuenta la IRRACIONALIDAD de 2^(1/n). El
producto “xy” se luce a través de “f” y “d” con su IRRACIONAL [2^(1/n)*2^(1/n) =
2^(2/n)].
• Para cualquier valor de “x” o “y” -en “ x^n + y^n = f^n “ - los valores que se les
asignen a ellos NO INFLUYEN para nada en su resultado, ya que, si se les ofrece un
Número Natural, la IRRACIONALIDAD de la CONSTANTE que los acompaña no
permitirá en “f” mas que un número IRRACIONAL.
• Para cualquier “n>2” la CONSTANTE [2^(2/n] = [2^(1/n)*2^(1/n)] que detecta “d^n” es
un NÚMERO IRRACIONAL. Solo HAY SOLUCIONES ENTERAS para n=1 y n=2.
Su producto “xy” contiene a [2^(2/n)] que es un ENTERO solo para “n=1 y 2”:
2^(2/1) = 2^(1/1)*2^(1/1) = 4…… x^1 + y^1 = f^1: Estos es la SUMA de “x + y = f ”.
2^(2/2) = 2^(1/2)*2^(1/2) = 2 ……x^2 + y^2 = f^2: Aquí están las Ternas Pitagóricas.
2^(2/3) = 2^(1/3)*2^(1/3) = 1,58740…
IRRACIONAL … y no hay más ENTEROS.
2^(2/4) = 2^(1/4)*2^(1/4) = 1,41421…
IRRACIONAL.
2^(2/n) = 2^(1/n)*2^(1/n) = Tiende a 1… IRRACIONAL.

6. D = d^n  d = D^(1/n)
El argumento: “d^n” es lo que le falta a “x^n” para ser igual a “y^n”.
Para n > 1 SIEMPRE se presenta una CONSTANTE IRRACIONAL en FERMAT.
1.- y^n = x^n + d^n
2.- x^n + (x^n + d^n) = f^n
3.- 2x^n + d^n = f^n
4.- d^n = f^n - 2x^n
x^n = y^n – d^n
y^n + (y^n - d^n) = f^n
2y^n – d^n = f^n
d^n = 2y^n - f^n
d^n = f^n - 2x^n
d
= f * [(1 – (2(x/f)^n)]^(1/n)
d
= 5*[(1 – (2*(3/5)^2)]^(1/2) …..… para n = 2; x = 3 y f= 5
d
= 2.6457513110645905905016157536393 …. IRRACIONAL.
d^2 = 7.00
El número “d” puede ser CUALQUIER NÚMERO: “d^n = y^n – x^n” = ENTERO
(d^n)^2 = (f^n)^2 - 4(xy)^n
d^2n
= (f^2n) – 4(xy)^n…..… para n = 2; x = 3; y=4; f= 5
d^2n
= 5^4 – 4(3*4)^2 = 625 – 576 = 49  d^n = 7.00
d
= 2.6457513110645905905016157536393 ….
d
= Un IRRACIONAL en las TERNAS PITAGORICAS se expresa en “d”, no en “x”, “y” ni “f”
motivo por el cual NO AFECTA a las SOLUCIONES con n=2.

7. 3.- Porqué FERMAT tiene SOLUCIONES para n=1 y n=2. El Producto (xy).
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1.- x
= [f[(1-(d/f)^n)^(1/n)]] / 2^(1/n)
2.- y
= [f[(1+(d/f)^n]^(1/n)]]/ 2^(1/n)
3.- xy
= [ f * [(1-(d/f)^n)]^(1/n) * f * [(1+(d/f)^n]^(1/n) ] / [2^(2/n)]
4.- 4 (xy)^n = f^n * [1-(d/f)^n] * f^n * [1+(d/f)^n]
5.- 4 (xy)^n = f^n *(f^n -d^n)/f^n * f^n * [f^n +d^n]/f^n
6.- 4 (xy)^n = [f^n -d^n) * [f^n +d^n]
7.- 4 (xy)^n = f^2n + f^nd^n - f^nd^n -d^2n
8.- 4 (xy)^n = f^2n -d^2n
9.- (xy)^n = [ f^2n -d^2n ] / 4
10.- xy
= [(f^n)^2 – (d^n)^2]^(1/n) / 2^(2/n)
11.- 2^(2/n) *(xy) = [(f^n)^2 – (d^n)^2]^(1/n)
12.- 2^(2/1) (xy) = [f^2 –d^2]^(1/1) = 48
 Para n=1.  ENTERO
13.- 2^(2/2) (xy) = [f^4– d^4]^(1/2) = 24
 Para n=2.  ENTERO
14.- 2^(2/3) (xy) = [f^6– d^6]^(1/3) = 19,04881…  Para n=3.  IRRACIONAL.
NOTA: El PRODUCTO “xy” queda multiplicado por una CONSTANTE [2^(2/n)] la que es un
ENTERO solo para “n=1” y “n=2”
n=1: 2^(2/1) = 2^1
* 2^1
=2
*2
=4
 ENTERO
n=2: 2^(2/2) = 2^(1/2) * 2^(1/2) = 1,4142… * 1,4142… = 2
 ENTERO
n=3: 2^(2/3) = 2^(1/3) * 2^(1/3) = 1,2599… * 1,2599… = 1,5874…  IRRACIONAL
n=n :2^(2/n) = 2^(1/n) * 2^(1/n) = …………. *……….. = …………. IRRACIONAL

8. Sobre el producto “x y”.
Si (x*y) es un ENTERO, entonces, (x*y) multiplicado por
cualquier otro ENTERO “k”, Implica que k*(x*y) = ENTERO.
• El producto (xy) multiplicado por cualquier Número ENTERO (k) es otro ENTERO. El Número
(k) desempeña el rol de una CONSTANTE ENTERA que podemos elegir como nos guste.
• Si (xy) es un ENTERO, como lo exige Fermat, entonces k(xy)= ENTERO. (k= ENTERO)
• El producto (xy) en este desarrollo aparece multiplicado por una CONSTANTE IRRACIONAL
: k = 2^(2/n).
• Desde (11): 2^(2/n) *(xy) = [(f^n)^2 – (d^n)^2]^(1/n) : Para que esta función -derivada de
Fermat- tenga solución ella debe representar un Número ENTERO. En otras palabras la
CONSTANTE [2^(2/n)] debe de comprometer un Numero ENTERO para que el producto
[2^(2/1)*(xy)] permanezca como ENTERO.
• La CONSTANTE [2^(1/n)] es un número ENTERO sólo para n=1 y n=2 y por esto “x^n + y^n =
f^n” SOLO TIENE SOLUCIONES ENTERAS para n <= 2.
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n=1  2^(2/1) = 2^(2) = 4 …... Constante = 4: Fermat TIENE SOLUCION ENTERA para n = 1.
n=2  2^(2/2) = 2^(1) = 2 …… Constante = 2: Fermat TIENE SOLUCION ENTERA para n = 2.
n=3  2^(2/3) = 2^(1/3) * 2^(1/3) =1.25992… *1.25992… = 1.587401…IRRACIONAL
Fermat NO TIENE SOLUCION ENTERA para n = 3.
n=4  2^(2/4) = 2^(1/4) * 2^(1/4) =1.1892… * 1.18920… = 1.41421…=2^(1/2) = IRRACIONAL
Fermat NO TIENE SOLUCION ENTERA para n = 4.
n=n  2^(2/n) = 2^(1/n) * 2^(1/n)
Fermat NO TIENE SOLUCION ENTERA para n > 2.

9. Sobre la suma “ x + y “
Siendo “x” e “y” Números ENTEROS su suma (x + y) es también un Número ENTERO. La suma “x +
y” siempre será UN ENTERO bajo cualquier POTENCIA, misma que, bajo el argumento d^n se
expresa bajo la CONSANTE [ 2^(1/n)], lo que ofrece un IRRACIONAL para n>1. Este IRRACIONAL
[2^(1/n)] no se presenta visualmente en “x^n + y^n = f^n” que compromete el fondo de la conjetura
del Ultimo Teorema de Fermat. La expresión “x^n – y^n = d^n” desde donde se descubre la
CONSTANTE IRRACIONAL sólo permite SOLUCIONES ENTERAS para “n=1 y n=2”… y nada más.
• 1.- x
= [f[(1-(d/f)^n)^(1/n)]] / 2^(1/n)

y
= [f[(1+(d/f)^n]^(1/n)]]/ 2^(1/n)
• 2.- x
= [(f^n - d^n)^(1/n)] / [2^(1/n)]

y
= [(f^n + d^n)^(1/n)] / [2^(1/n)]
• 3.- (x + y) = [(f^n - d^n)^(1/n)] / [2^(1/n) + [(f^n + d^n)^(1/n)] / [2^(1/n)
• 5.- (x + y) = [(f^n - d^n)^(1/n) + (f^n + d^n)^(1/n) ] / 2^(1/n)
• 4.- 2^(1/n) (x + y) = [(f^n - d^n)^(1/n) + (f^n + d^n)^(1/n) ]
•
EVALUACION para n=2, x=4, y=3, f=5, f^2=25,  d^2 = x^2 – y^2 = 16 – 9 = 7 (TERNA Pitagórica).
•
2^(1/2) (x + y) = [(f^2 - d^2)^(1/2) + (f^2 + d^2)^(1/2) ]
•
1,4142… (4 + 3) = [(25 - 7 )^(1/2) + (25 + 7 )^(1/2) ]
•
1,4142… ( 7 ) = [(18)^(1/2) + (32)^(1/2) ] = 9.8994949366116653416118210694679… IRRACIONAL.
•
d^n
•
D^(1/n) = d = 2.6457513110645905905016157536393…
 [2^(1/2)] = IRRACIONAL
=D=7
IRRACIONAL en “d”.
NOTA: El factor IRRACIONAL de las TERNAS PITAGORICAS se aloja en “d”. No afecta a la función
“x^2 + y^2 = f^2” pero si se observa en:
“x = [(f^2 - d^2)^(1/2)] / [2^(1/2)] “ e “ y = [(f^2 + d^2)^(1/2)] / [2^(1/2)]”

10. Notas: x^n + y^n = f^n
Siendo “x” e “y” NÚMEROS ENTEROS tanto su SUMA (x + y)
como su PRODUCTO (x*y) deben ser NÚMEROS ENTEROS.
x + y = ([f[(1-(d/f)^n]^(1/n)] + [f[(1+(d/f)^n]^(1/n)] ) / 2^(1/n)
x * y = ([f[(1-(d/f)^n]^(1/n)] * [f[(1+(d/f)^n]^(1/n)] ) / [2^(1/n) * 2^(1/n)]
x * y = ([f[(1-(d/f)^n]^(1/n)] * [f[(1+(d/f)^n]^(1/n)] ) / [2^(2/n) ]
2^(1/n) * 2^(1/n) = IRRACIONAL para “n>2
2^(2/n) = Una CONSTANTE IRRACIONAL en (xy) para cualquier
PAR “x, y >1” elevado a “n>2”.
• En el PRODUCTO “xy” se justifica la solución para n=1 y n=2… y no hay más.
2^(2/1) = 2^(1/1) * 2^(1/1) = 2
*2
=4
xy = Entero.
2^(2/2) = 2^(1/2) * 2^(1/2) = 1,4142…*1.4142…= 2
xy = Entero.
2^(2/3) = 2^(1/3) * 2^(1/3) = 1,2599…*1,2599…= 1,5874…..
xy = IRRACIONAL.
2^(2/4) = 2^(1/4) * 2^(1/4) = 1,1892…*1.1892…= 1,4142…
xy = IRRACIONAL.
2^(2/n) = 2^(1/n) * 2^(1/n) = Tiende a 1*Tiende a 1 = Tiende a 1 xy = IRRACIONAL.

11. 4.- 2^(1/2) = Irracional
• La escuela Pitagórica no podía aceptar la existencia de Números Irracionales. Hipaso
de Metaponto ( 500 a.c.), un filosofo de la misma escuela -que penetró en el espacio
prohibido- desarrolló su DEMOSTRACIÓN encontrando en [2^(1/2)] un número
IRRACIONAL. La historia -o leyenda- cuenta que le costó la vida. Se basa en su
Reducción al absurdo.
2^(1/2) = p/q … p/q es una fracción IRREDUCTIBLE de números ENTEROS
2 = p^2 / q^2
2q^2 = p^2 … Cualquier número Natural “n” multiplicado por 2, es PAR.
p = 2n. Si “p” es PAR “2n” también es par.
2q^2 = (2n)^2
2q^2 = 4n^2
q^2 = 2n^2
q^2 es PAR, por lo tanto “q” también es PAR.
Si “p” y “q” son números PARES, entonces “p/q” no puede ser una Fracción IRREDUCTIBLE.
Si [2^(1/2)] “no es” un Número Natural, entonces “es” un NUMERO IRRACIONAL.

12. 2^(1/n) = Irracional
Sigue el mismo procedimiento de DEMOSTRACIÓN que 2^(1/2).
Su Reducción al absurdo.
2^(1/n) = p/q
2 = p^n/q^n
2q^n = p^n …… “p^n” es PAR y “p” es PAR
p = 2k
2q^n = (2k)^n = 2^n*k^n
q^n = (2^n * k^n) / 2 = 2^(n-1)*k^n
El número 2, elevado a cualquier potencia “n >1” es un número PAR. Y, “k^n”
multiplicado por un Número PAR es otro PAR. Tal que: Si “q^n” es PAR
entonces “q” es PAR. Siendo “q y p”PARES, esto significa que “no hay” una
fracción de números enteros “p/q” que detecten a 2^(1/n).
2^(1/n) es un NÚMERO IRRACIONAL.

13. 5.- COMO SE CALCULA: x^n + y^n = f^n
•x = [f[(1-(d/f)^n)^(1/n)]] / 2^(1/n)
•y = [f[(1+(d/f)^n]^(1/n)]]/ 2^(1/n)
•Ud. debe dar Números ENTEROS para
“d^n” y “f^n”. Con ello tendrá los que
corresponden a “x”; “y”; “x^n”; “y^n”;
“f” y “d”.
•Simplifiquemos el asunto.

14. Simplificando la expresión de “x” e “y”.
x = [f[(1-(d/f)^n)^(1/n)]] / 2^(1/n)
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x = [f[(1-(d/f)^n)^(1/n)]] / 2^(1/n)
2^(1/n) x = f [(1-(d/f)^n)^(1/n)]
2 x^n = f^n (1-(d^n/f^n))
2 x^n = f^n - d^n
x^n = (f^n - d^n) / 2
x = [(f^n - d^n)^(1/n)] / [2^(1/n)]
y = [(f^n + d^n)^(1/n)] / [2^(1/n)]
En “x” e “y” [2^(1/n)] como se comporta la CONSTANTE.
2^(1/1) = 2
2^(1/2) = 1.414213562373095048801
2^(1/3) = 1.259921049894873164767
2^(1/4) = 1.189207115002721066717
2^(1/5) = 1.148698354997035006798
2^(1/6) = 1.122462048309372981433
2^(1/n) = Tiende a UNO.
--> ENTERO
--> IRRACIONAL
--> IRRACIONAL
--> IRRACIONAL
--> IRRACIONAL
--> IRRACIONAL
-> IRRACIONAL
xy = [(f^n - d^n)^(1/n)] / [2^(1/n)] * [(f^n + d^n)^(1/n)] / [2^(1/n)]
xy = ([(f^n - d^n)^(1/n)] * [(f^n + d^n)^(1/n)]) / [2^(2/n)]
(xy)^n= ([(f^n - d^n)] * [(f^n + d^n)]) / [2^2]
(xy)^n= [(f^n)^2 + (f^n*d^n) –(f^n * d^n) – (d^n)^2 ] / [2^2]
(xy)^n= [(f^n)^2 – (d^n)^2 ] / [2^2]
(xy)^n = [(f^n)^2 – (d^n)^2 ] / 4
4*(xy)^n = (f^n)^2 – (d^n)^2
xy = [[(f^n)^2 – (d^n)^2 ] / 4]^(1/n)
xy [4^(1/n)] = [(f^n)^2 – (d^n)^2]^(1/n)
En el producto “xy” [4^(1/n)] como se comporta la CONSTANTE.
4^(1/1) = 4
4^(1/2) = 2
4^(1/3) = 1.587401051968199474751
4^(1/4) = 1.414213562373095048801
4^(1/5) = 1.319507910772894259374
4^(1/6) = 1.259921049894873164767
4^(1/n) = Tiende a UNO.
--> ENTERO
--> ENTERO
--> IRRACIONAL
--> IRRACIONAL
--> IRRACIONAL
--> IRRACIONAL
--> IRRACIONAL
• Aun puede ver como el IRRACIONAL [2^(1/n)] acompaña a “x” e “y”. Una CONSTANTE
IRRACIONAL en cada potencia de “n>1”.

15. 6.- Ejemplos: x = [(f^n - d^n)^(1/n)] /2^(1/n)
Dados: n=2; f^n = 25 y d^n = 7
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Calculemos “x” :
2^(1/2) = 1,4142135623730950488016887242097……..… CONSTANTE IRRACIONAL
(f^2 – d^2) = 25 – 7 = 18
(f^2 – d^2)^(1/2) = (18^(1/2)) = 4,2426406871192851464050661726291
x = (f^2-d^2)^(1/2)/[2^(1/2)] = 3.0 ….. Para “n=2” el valor de “x” es un ENTERO.
Calculemos “y” :
(f^2 + d^2) = 25 + 7 = 32
(f^2 + d^2)^(1/2) = (32^(1/2)) = 5,6568542494923801952067548968388
y = (f^2 +d^2)^(1/2)/[2^(1/2)] = 4.0 ….. Para “n=2” el valor de “y” es un ENTERO.
f = (25^(1/2)) = 5,0 ………………………..….. Para “n=2” el valor de “f” es un ENTERO.
d = (7^(1/2))= 2,6457513110645905905016157536393….. IRRACIONAL en “d”.
Calculemos el producto “xy”: Su CONSTANTE: [[2^(1/2)] * [2^(1/2)]]^2 = 2^2 = 4:
xy = ([(f^2)^2 – (d^2)^2] / 4)^(1/2)
xy = 12,0 ……………………………………Para “n=2” el valor de “xy” es un ENTERO.
x=3
x^2 = 9
n=2
xy = 12 PRODUCTO ENTERO
y=4
y^2 = 16
d^n = 7
4(xy) = 48  ENTERO
f =5
f^2 = 25
d = [7^(1/2)] = 2,645751311064590… IRRACIONAL.
Una TERNA PITAGORICA: x^n + y^n = f^n: 3^2 + 4^2 = 5^2 con IRRACIONAL en “d”.

16. x = [(f^3 - d^3)^(1/3)]/2^(1/3)
Dados: n=3; f^3 = 125 y d^3 = 37 (Solo cambiamos a n=3)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Calculemos “x” :
2^(1/3) = 1,2599210498948731647672106072782……… CONSTANTE IRRACIONAL.
(f^3 – d^3) = 125 –37 = 115
(f^3 – d^3)^(1/3) = (88^(1/3)) = 4.4479601811386310423307267534443
x = (f^3-d^3)^(1/3)/[2^(1/3)] = 3.5303483353260630021959…… x = IRRACIONAL
Calculemos “y” :
(f^3 + d^3) = 125 + 37 = 162
(f^3 + d^3)^(1/3) = (162^(1/3)) = 5.4513617784964189766736352689818
y = (f^3 +d^3)^(1/3)/[2^(1/3)] = 4.3267487109222251469649.…. y = IRRACIONAL
f = (125^(1/3)) = 5
d = (37^(1/3)) = 3.3322218516459532600954505051851
Calculemos el producto “xy” :
xy = ([(f^3)^2 – (d^3)^2] / 4)^(1/3)
xy =15.274930108978466536513572818226
x = 3,53…
y = 4,32…
f=5
x^3 = 44
y^3 = 81
f^3 = 125
x^3 + y^3 = f^3:
n=3
xy= 15,274930…
d^3 = 37
4^(1/3)(xy) =24.24744…
d = 3,3322…
3,53…^3 + 4,32…^3 = 5^3 = 44 + 81 = 125

17. Otras Ternas Pitagóricas.
En
Tabla
Excel.
d^n =
y^n - x^n
f=
(x^n+y^n)^(1/n)
Nota 1: Plus d^n = 4. El factor CONSTANTE en [xy]^n --- (4)
Nota 2: Plus f = 2. El factor CONSTANTE en x^n e y^n --- (2)
Nota 3: Con d^n negativo invierte los valores de "x" e "y"
Pitagoras :
x^2 + y^2 = f^2
f^2 =3^2 + 4^2 = 25
d^n = (x+y)= 3 + 4 = 7
f =5
nos auxilia:
n=2
f^2 = 1^2 + 1^2 = 2
d^n = (x+y)= 1 + 1 = 2
f =
1,41421356…
TERNAS PITAGÓRICAS: n=2 - Plus n=0 - d^n=7 - Plus d^n=4 - f = 5 - Plus
f=2
La RAÍZ
Dado "d^n".
Dado "f".
n=
d^n (Natural) =
f (Narural) =
2
7,00
5,00
Plus n =
Plus d^n =
0
4,00
1
2
7,00
5,00
25,0000
3,0000
4,0000
12,0000
9,0000
16,0000
25,0000
5,0000
7,0000
2
2
28,00
10,00
100,0000
6,0000
8,0000
48,0000
36,0000
64,0000
100,0000
10,0000
14,0000
3
2
112,00
20,00
400,0000
12,0000
16,0000
192,0000
144,0000
256,0000
400,0000
20,0000
28,0000
4
2
448,00
40,00
1600,0000
24,0000
32,0000
768,0000
576,0000
1024,0000
1600,0000
40,0000
56,0000
5
2
1792,00
80,00
6400,0000
48,0000
64,0000
3072,0000
2304,0000
4096,0000
6400,0000
80,0000
112,0000
6
2
7168,00
160,00
25600,0000
96,0000
128,0000
12288,0000
9216,0000
16384,0000
25600,0000
160,0000
224,0000
7
2
28672,00
320,00
102400,0000
192,0000
256,0000
49152,0000
36864,0000
65536,0000
102400,0000
320,0000
448,0000
8
2
114688,00
640,00
409600,0000
384,0000
512,0000
196608,0000
147456,0000
262144,0000
409600,0000
640,0000
896,0000
#
Nota: Los DATOS en cuadros amarillos pueden cambiarse por los "d^n" y los "f" de sus columnas.
Entero
Entero
Entero
Entero
Entero
Entero
FERMAT
Plus f =
n<2
n<2
n<2
n<2
n<2
n<2
f^n =
f=
2,00
f^n =
x=
y=
xy =
x^n =
y^n =
x^n+y^n
(x^n+y^n)^(1/n)
x+y
9
2
458752,00
1280,00
1638400,0000
768,0000
1024,0000
786432,0000
589824,0000
1048576,0000
1638400,0000
1280,0000
1792,0000
10
2
1835008,00
2560,00
6553600,0000
1536,0000
2048,0000
3145728,0000
2359296,0000
4194304,0000
6553600,0000
2560,0000
3584,0000
11
2
7340032,00
5120,00
26214400,0000
3072,0000
4096,0000
12582912,0000
9437184,0000
16777216,0000
26214400,0000
5120,0000
7168,0000
12
2
29360128,00
10240,00
104857600,0000
6144,0000
8192,0000
50331648,0000
37748736,0000
67108864,0000
104857600,0000
10240,0000
14336,0000
13
2
117440512,00
20480,00
419430400,0000
12288,0000
16384,0000
201326592,0000
150994944,0000
268435456,0000
419430400,0000
20480,0000
28672,0000
14
2
469762048,00
40960,00
1677721600,0000
24576,0000
32768,0000
805306368,0000
603979776,0000
1073741824,0000
1677721600,0000
40960,0000
57344,0000
15
2
1879048192,00
81920,00
6710886400,0000
49152,0000
65536,0000
3221225472,0000
2415919104,0000
4294967296,0000
6710886400,0000
81920,0000
114688,0000
Ud. la puede reproducir en una hoja de cálculo Excel.

18. NOTAS
•
•
•
•
x = [f[(1-(d/f)^n)^(1/n)]] / 2^(1/n)
y = [f[(1+(d/f)^n]^(1/n)]]/ 2^(1/n)
xy = [[f[(1-(d/f)^n)]^(1/n)] * [f[(1+(d/f)^n]^(1/n)]]] / [2^(2/n)]
xy^n = [(f^n)^2 – (d^n)^2] / 4
El valor de “x” e “y” queda definido por una CONSTANTE
IRRACIONAL [2^(1/n)] que sólo es un ENTERO para “n = 1 “.
2^(1/1) = 1
x^1 + y^1 = f^1
Suma de x + y = f
2^(1/2) = 1,414213…
x^2 + y^2 = f^2
Ternas Pitagóricas.
2^(1/n) = IRRACIONAL x^n + y^n = f^n (n>2)
IRRACIONALES.
Su producto “xy” contiene a [2^(2/n)=2^(1/n)*2^(1/n)]. Un ENTERO solo para “n=1 y 2”:
2^(2/1) = 2^(1/1) *2^(1/1)= 4
CONSTANTE ENTERA. Solución trivial.
2^(2/2) = 2^(1/2)* 2^(1/2)= 2
CONSTANTE ENTERA. Ternas Pitagóricas:
2^(2/3) = 2^(1/3)*2^(1/3) = 1,58740… CONSTANTE IRRACIONAL
2^(2/4) = 2^(1/4)*2^(1/4) = 1,41421… CONSTANTE IRRACIONAL.
2^(2/n) = 2^(1/n)*2^(1/n) = Tiende a 1… IRRACIONAL….. Y no hay más.
n=1
n=2
n=3
n=4
n=n
Fermat no tiene solución para “n>2” porque en la intimidad de
x^n + y^n = f^n se aloja una CONSTANTE IRRACIONAL: [2^(1/n)].

19. NOTA.
• Para MULTIPLICAR potencias de IGUAL BASE se eleva la base a la SUMA de las potencias. Veamos
el comportamiento de la CONSTANTE [2^(1/n)] a modo de ejemplo de n=1 hasta n=n
•
•
•
•
•
•
•
•
2^(1/1) * 2^(1/1) = 2^( 1/1 + 1/1) = 2 ^(2) = 4  ENTERO.
2^(1/2) * 2^(1/2) = 2^( 1/2 + 1/2) = 2 ^(1) = 2  ENTERO.
2^(1/3) * 2^(1/3) = 2^( 1/3 + 1/3) = 2 ^(2/3) = 1.5874010519681994747517056392723
2^(1/4) * 2^(1/4) = 2^( 1/4 + 1/4) = 2 ^(2/4) = 1.4142135623730950488016887242097
2^(1/5) * 2^(1/5) = 2^( 1/5 + 1/5) = 2 ^(2/5) = 1.3195079107728942593740019712296
2^(1/6) * 2^(1/6) = 2^( 1/6 + 1/6) = 2 ^(2/6) = 1.2599210498948731647672106072782
2^(1/n) * 2^(1/n) = 2^( 1/n + 1/n) = 2 ^(2/n) La CONSTANTE IRRACIONAL FERMAT
en el PRODUCTO “xy”.
IRRACIONAL
IRRACIONAL
IRRACIONAL
IRRACIONAL
Su producto “xy” contiene a [2^(2/n)=2^(1/n)*2^(1/n)]. Un ENTERO solo para “n=1 y 2”:
2^(2/1) = 4………………
x^1 + y^1 = f^1: Estos es la SUMA de “x + y = f”: n=1
2^(2/2) = 2^(1/2)* 2^(1/2)= 2 … x^2 + y^2 = f^2: Aquí están las Ternas Pitagóricas:
n=2
2^(2/3) = 2^(1/3)*2^(1/3) = 1,58740…
IRRACIONAL … y no hay más ENTEROS:
n=3
2^(2/4) = 2^(1/4)*2^(1/4) = 1,41421…
IRRACIONAL.
n=4
2^(2/n) = 2^(1/n)*2^(1/n) = Tiende a 1… IRRACIONAL.
n=n
Fermat no tiene solución para “n>2” porque en la intimidad de
x^n + y^n = f^n se aloja una CONSTANTE IRRACIONAL: [2^(1/n)].

20. 7.- COMENTARIOS.
• El último Teorema de FERMAT: x^n +y^n = z^n tiene una historia
llena de pasiones humanas durante los últimos 380
años, aproximadamente.
Fermat (1601-1665) en 1630, escribió DOS CONJETURAS en el
margen de un libro de Aritmética, el de Diofanto, a saber:
Primera Conjetura: x^n + y^n = z^n no tiene soluciones enteras
para n>2, siendo “x e y” números enteros >1.
Segunda Conjetura: Dice,”He encontrado una solución maravillosa”
que no cabe en el margen del libro que estudia. Será cierto?
Primera Conjetura: En 1994 fue demostrada por un matemático, el Sr.
Andrew Wiles. Su demostración cubre cientos de páginas por donde
desfilan todas las innovaciones matemáticas de estos más de 3 Siglos, todo
aquello que FERMAT no sabía… y sólo para especialistas. Fermat, con su
notación en el margen del libro, abrió una vorágine de actividad matemática
que han rendido muchos frutos.
Esto siempre ha hecho pensar que FERMAT presintió otra solución que, si
no cabe en el margen del libro (Segunda Conjetura), no debería ser mas
larga que de unas cuantas líneas.

21. Matemáticas complejas, solo para
especialistas.
• El título del trabajo de Andrew (1994) que termina con la
demostración de la conjetura “x^n + y^n = z^n” es: “Formas
modulares, curvas elípticas y representaciones de Galois” se
extiende por más de 100 páginas.
• Todo matemático - y otros – saben que, si Fermat intuyó una
demostración, esta, aunque no cabía en el margen del libro no puede
ser tan larga.
• Gracias a ello, Andrew Wiles aún nos ha dejado un poco de diversión
en esto… Qué fue lo que encontró Fermat ?, que, aunque no quepa
en el margen de un libro no debería cubrir más de unas cuantas
líneas.
• Demostrar la Segunda Conjetura en unas cuantas líneas, con una
poco de malabarismo matemático, y nada más, sobre la función:
“x^n + y^n = f^n”… con “f” de Fermat es aún un desafío.

22. 8.- Para Finalizar. Conjuntos IRRACIONALES NUMERABLES.
• Los NÚMEROS IRRACIONALES que detecta
cada potencia “n” del Ultimo Teorema de Fermat
(1601-1665) “x^n + y^n = f^n”, configuran
CONJUNTOS de números ORDENADOS,
NUMERABLES, como los RACIONALES de
Cantor (1778-1830). En otras palabras, estos
CONJUNTOS de números IRRACIONALES
tienen un CARDINAL, el mismo de los Números
Naturales… Alepth CERO, aunque no son todos.
• Se ordenan bajo la DIAGONAL de Cantor.

23. Las FRACCIONES son las potencias de [2^(1/n)]
En el TRIÁNGULO de CANTOR.
TRIANGULO de CANTOR: Ordena los NUMEROS RACIONALES (Las Fracciones ENTERAS).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1
1
2
3
4
5
6
7
CONJUNTO NUMERABLE: DIAGONAL de CANTOR.
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
EN CADA CASILLA NUMERADA HAY UNA FRACCION.
1
1
2
3
1
4
5
6
1
7
8
9
10
1
11
12
13
14
15
1
16
17
18
19
20
21
1
1/8
1/4
3/8
1/2
5/8
3/4
7/8 1
20
1/2 1
1/2
1/3
2/3 1
1/3
1/4
1/2
3/4 1
1/4
1/5
2/5
3/5
4/5 1
1/5
1/6
1/3
1/2
2/3
5/6 1
1/6
1/7
2/7
3/7
4/7
5/7
6/7 1
1/7
1/8
1/4
3/8
1/2
5/8
3/4
7/8 1
1/8
1/9
2/9
1/3
4/9
5/9
2/3
7/9
8/9 1
En cada casilla de la
1/10
1/5
3/10
2/5
1/2
3/5
7/10
4/5
9/10 1
tabla hay una fracción
1/11
2/11
3/11
4/11
5/11
6/11
7/11
8/11
9/11 10/11 1
1/2 - 2/2
1/3 – 2/3 – 3/3
1/12
1/6
1/4
1/3
5/12
1/2
7/12
2/3
3/4
5/6
11/12 1
1/4 – 2/4 – 3/4 – 4/4
1/13
2/13
3/13
4/13
5/13
6/13
7/13
8/13
9/13 10/13 11/13 12/13 1
1/5 – 2/5 – 3/5 – 4/5 – 5/5
1/14
1/7
3/14
2/7
5/14
3/7
1/2
4/7
9/14
5/7
11/14
6/7
13/14 1
1/15
2/15
1/5
4/15
1/3
2/5
7/15
8/15
3/5
2/3
11/15
4/5
13/15 14/15 1
1/16
1/8
3/16
1/4
5/16
3/8
7/16
1/2
9/16
5/8
11/16
3/4
13/16
7/8
15/16 1
1/17
2/17
3/17
4/17
5/17
6/17
7/17
8/17
9/17 10/17 11/17 12/17 13/17 14/17 15/17 16/17 1
1/18
1/9
1/6
2/9
5/18
1/3
7/18
4/9
1/2
5/9
11/18
2/3
13/18
7/9
5/6
8/9
17/18 1
1/19
2/19
3/19
4/19
5/19
6/19
7/19
8/19
9/19 10/19 11/19 12/19 13/19 14/19 15/19 16/19 17/19 18/19 1
Correspondencia uno a uno, como el conjunto “Q”: Numerable.

24. En cada casilla hay un NÚMERO IRRACIONAL.
En el TRIÁNGULO de CANTOR.
TRIANGULO de CANTOR: Ordena los NUMEROS IRRACIONALES del CONJUNTO [2^(1/n)].
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Puede cambiar "n".
n= 2
2,00000
1,41421
1,25992
1,18921
1,14870
1,12246
1,10409
1,09051
1,08006
1,41421 n^(1/2)
2,00000
1,58740
1,41421
1,31951
1,25992
1,21901
1,18921
1,16653
2,00000
1,68179
1,51572
1,41421
1,34590
1,29684
1,25992
2,00000
1,74110
1,58740
1,48599
1,41421
1,36079
2,00000
1,78180
1,64067
1,54221
1,46973
2,00000
1,81145 2,00000
1,68179 1,83401 2,00000
1,58740 1,71449 1,85175 2,00000
1,07177
1,06504
1,05946
1,05477
1,05076
1,04729
1,04427
1,04162
1,03926
1,03716
1,14870
1,13431
1,12246
1,11253
1,10409
1,09682
1,09051
1,08496
1,08006
1,07569
1,23114
1,20809
1,18921
1,17346
1,16013
1,14870
1,13879
1,13012
1,12246
1,11566
1,31951
1,28666
1,25992
1,23773
1,21901
1,20303
1,18921
1,17715
1,16653
1,15711
1,41421
1,37035
1,33484
1,30551
1,28089
1,25992
1,24186
1,22613
1,21233
1,20010
1,51572
1,45948
1,41421
1,37701
1,34590
1,31951
1,29684
1,27716
1,25992
1,24469
1,62450
1,55441
1,49831
1,45242
1,41421
1,38191
1,35426
1,33031
1,30938
1,29094
1,74110
1,65551
1,58740
1,53197
1,48599
1,44727
1,41421
1,38567
1,36079
1,33890
1,86607
1,76318
1,68179
1,61587
1,56142
1,51572
1,47683
1,44334
1,41421
1,38865
1,41421
1,25992
1,18921
1,14870
1,12246
1,10409
2,00000
1,87786
1,78180
1,70436
1,64067
1,58740
1,54221
1,50341
1,46973
1,44025
2,00000
1,88775
1,79770
1,72395
1,66248
1,61049
1,56597
1,52744
1,49376
EN CADA CASILLA NUMERADA HAY UN NUMERO IRRACIONAL.
1
2,00000
2
3
2,00000
4
5
6
2,00000
7
8
9
10
2,00000
11
12
13
14
15
2,00000
16
17
18
19
20
21
2,00000
1,09051 1,18921 1,29684 1,41421 1,54221 1,68179 1,83401 2,00000
2,00000
1,89616
1,81145
1,74110
1,68179
1,63114
1,58740
1,54926
2,00000
1,90339
1,82344
1,75625
1,69902
1,64972
1,60682
En cada casilla de la tabla
hay una raíz de 2.
2^(1/2) - 2/2
2^(1/3) - 2^(2/3) - 3/3
2^(1/4) - 2^(2/4) - 2^(3/4) - 4/4
2,00000
1,90968
1,83401
1,76973
1,71449
1,66652
2,00000
1,91521
1,84338
1,78180
1,72844
2,00000
1,92009 2,00000
1,85175 1,92445 2,00000
1,79266 1,85927 1,92835 2,00000
Correspondencia uno a uno, como el conjunto “Q”: Numerable. Como en el
Triángulo Original de Cantor hay que eliminar los números repetidos.

25. 9.- Epílogo: Los Geólog@s.
Los Geólogos estudiamos los elementos más simples y modestos que existen en todo el registro de la
NATURALEZA: las Piedras. Las Dimensiones naturales de sus objetos, que son UN PRODUCTO de la
Naturaleza, materiales e inmateriales, no son CERO ni INFINITO. La Naturaleza “no es” ni los árboles que
crecen en su entorno, “no es” ni las piedras, ni los animales, ni la atmósfera, ni el agua, ni… incluyéndonos. La
Naturaleza “no es” sus productos. Si tratando de buscar su esencia eliminando TODOS los PRODUCTOS de la
Naturaleza encontraremos que ella “es” lo que queda del “no ser”. Su Fuerza Creadora viene de afuera … El
Vacío del ESPACIO. En las Piedras está escrita la historia de la EVOLUCIÓN de nuestros organismos
biológicos, lo que nos exige estudiar algo de Biología donde anidan nuestros especialistas en la evolución de la
vida: Los Paleontólogos, y, el que encuentra fósiles humanos, se obliga a si mismo a entrar en el estudio de la
evolución de nuestra especie animal. Nuestra Corteza Terrestre, su Manto, su Núcleo y la de los otros planetas,
evolucionan a través de procesos Físicos y Químicos, lo que nos obliga a entrar algo en otras ciencias para
comprender siquiera un poco de la nuestra: la Geología. Las Piedras, son, desde conjuntos mono minerales como conjuntos de números puros - hasta extensas y complejas mezclas de todo lo que Ud. encuentra en la
Tabla Periódica de Mendeleiev, como conjuntos Irracionales. En ellas están los minerales: Oro, Plata, Cobre,
Diamantes, Hidrocarburos, sin excepción alguna con los cuales se organizan los valores económicos y Sociales
de nuestra comunidad… bien o mal. Aunque no sepamos mucho de todo, tenemos una cualidad: Somos
buenos Observadores y, en ello, hemos aprendido a leer algo de esas páginas de su historia que nos cuenta
cada Piedra. En las estructuras de las rocas, en su génesis, en sus fracturas, alteraciones y composición, como
cicatrices que el tiempo aún no ha cerrado, está escrita nuestra historia. Sus silenciosos testigos pétreos nos
informan de toda la EVOLUCIÓN de nuestro planeta donde están escritas las Leyes de Kepler, Fermat y hasta
los Cardinales de Cantor compartiendo ESPACIO con las Singularidades de los Hoyos Negros. Ese
IRRACIONAL, sumergido en lo más profundo de la intimidad del Último Teorema de Fermat es como el de las
mujeres. Por mucho que creamos conocerlas… cuando menos lo esperamos aparece, pero en ello estriba su
encanto.
Es de esperar que entre tanto número no me haya equivocado… pero el
ARGUMENTO “ d^n” funciona. Esto no es para Geólogos, pero, cuando
uno se encuentra con un ATRACTOR de esta magnitud en su camino,
es imposible evitarlo y, nos atrae, con la fuerza de vacío del Centro de
un Hoyo Negro.
Atte.
Jorge Diderot Chelén Franulic.
Geólogo.
27 / 12 / 2013

26. 10.- REFERENCIAS.
• Establecer los “Créditos” que les corresponden a otros investigadores
se hace difícil. Cómo llega un Geólogo a Fermat?... Complicado,
verdad?.
• Estos comienzan con los orígenes de la cultura. Babilónicos,
anteriores a Pitágoras, Euclides, Fermat, Cantor, muchos más
terminando con A. Wiles, por supuesto, en este tema.
• Lo notable de todo esto es que HAY gente que es capaz de
regalarnos sus descubrimientos, donde invierte lo mas preciado que
tiene un hombre o una mujer, su tiempo de vida, sin esperar
retribución por ello.
• La CULTURA no se hereda ni se trasmite por osmosis, requiere de un
esfuerzo personal y, quien se seduzca por ella, tiene la oportunidad
del éxito… si tiene economía para estudiar. Quien nada hace nunca
sabrá que es lo que hay al otro lado del rio. La oportunidad del éxito
sólo está en aquellos que se atreven a enfrentar un fracaso.
http://es.scribd.com/doc/113976799/El-Orden-Anarquico-del-Caos-NUEVO
http://es.scribd.com/doc/14060979/El-Enigma-de-La-Constante-de-Estructura-Fina
https://sites.google.com/site/entendiendoakepler/home?pli=1
FIN. … y eso es todo.