Este documento describe los números complejos, incluyendo su historia, representaciones y operaciones. Los números complejos surgieron originalmente de la necesidad de encontrar raíces para ecuaciones que involucran números negativos. Cardan los introdujo en 1545 mientras investigaba raíces polinominales. Más tarde, Wessel proporcionó una representación adecuada usando vectores. Los números complejos se pueden representar y operar en formas trigonométrica, polar y cartesiana.

1. NUMEROS COMPLEJOS
Luisa Fernanda Acosta 11-03
María Camila Bastidas 11-01
Luis Fernando Gómez 11-01
Felipe Ordoñez Arias 11-01

2. ¿Cómo y dónde surgen?
La referencia más importante según los registros se encontró en el año 1545 por Cardan.
Cardan los encontró mientras investigaba las raíces polifónicas. Se dice que la ‘i’ se formó
porque se convirtió en el requisito de los matemáticos. Al principio, durante el periodo inicial
de las Matemáticas, la solución de un problema relacionado con la raíz cuadrada de un
número negativo, por ejemplo: x2+1=0 era considerado imposible de resolver. Después de un
tiempo, los expertos llegaron con el número iota para resolver tales ecuaciones.
CusparWessel, un noruego, fue el primero en obtener y publicar
una presentación adecuada delos números complejos.Wess utilizó lo que
conocemos hoy día como vectores. El usaba la suma geométrica de vectores
(ley del paralelogramo) y definió la multiplicación de los vectores en los
términos que hoy llamamos adición de los ángulos polares y multiplicación
de las magnitudes.

3. UNIDAD IMAGINARIA
La unidad imaginaria, denotado, es un concepto matemático que se
extiende el sistema de número real R para el sistema de número
complejo C, que a su vez proporciona al menos una raíz para cada
polinomio P. La propiedad de la unidad imaginaria central es que i2 = -
1. El término "imaginario" se utiliza porque no hay ningún número real
que tiene un cuadrado negativo.

4. OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS
SUMAY RESTA:
La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las
partes reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
Ejemplo:
(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i ) =
= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

5. MULTIPLICACION.
El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad
distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Ejemplo:
(5 + 2 i) · (2 − 3 i) =
= 10 − 15i + 4i − 6i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

6. DIVISION.
El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y
denominador por el conjugado de este.
Ejemplo:

7. FORMATRIGONOMETRICA.
a + bi = rα = r (cos α + i sen α)

8. FORMA POLAR
Un número complejo en forma polar consta de dos componentes: módulo y
argumento.
Módulo de un número complejo
El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el
origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

9. FORMA POLAR
Argumento de un número complejo
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el
eje real. Se designa por arg(z).

10. NUMEROS COMPLEJOS EN EJES
CARTESIANOS
Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos.
El eje X se llama eje real.
El ejeY se llama eje imaginario.
El número complejo a + bi se representa:
1. Por el punto (a, b), que se llama su afijo.

11. 2. Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b).

12. Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X.
Los afijos de los números imaginarios se sitúan sobre el eje
imaginario,Y.

13. PLANTEAMIENTO DE ACUACIONES CUYA
SOLUCION SON NUMEROS COMPLEJOS
• Calcular todas las raíces de la ecuación:
x elevado a 6 +1=0
Solución:

14. GRACIAS.