Este documento describe diferentes tipos de errores que pueden ocurrir en métodos numéricos y cálculos matemáticos. Explica la precisión y exactitud, así como errores de redondeo, truncamiento, inherentes, sistemáticos y humanos. También cubre la propagación de errores, cifras significativas y el software de cálculo numérico como Mathcad que puede usarse para minimizar errores.

1. Profesora: Integrantes :
Carlena Astudillo Daily Ávila
Valentina Galanton
Neriagny Barreto
Leonardo Aguilar
Lenix Rodríguez
Mirian Martínez
Universidad Nororiental Privada
Gran Mariscal de Ayacucho
Escuela de Ingeniería
Núcleo El Tigre

2. Introducción
A lo largo del tiempo, los métodos numéricos han sido desarrollados con
el objeto de resolver problemas matemáticos cuya solución es difícil o
imposible de obtener por medio de los procedimientos tradicionales.
Las soluciones que ofrecen los métodos numéricos son aproximaciones
de los valores reales y, por tanto se tendrá un cierto grado de error que
será conveniente determinar. Aunque la perfección es una meta digna de
alabarse es difícil si no imposible de alcanzarse.
Las aproximaciones numéricas pueden introducir errores

3. Exactitud y Precisión
Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar
observando su precisión y exactitud. La precisión se refiere a 1) el numero de
cifras significativas que representa una cantidad o 2) la extensión en las
lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física. La
exactitud se refiere a la aproximación de un número o de una medida al
valor verdadero que se supone representa. La inexactitud ( conocida
también como sesgo ) se define también como un alejamiento sistemático de
la verdad . la precisión por otro lado se refiere a la magnitud del
esparcimiento.
Los métodos números deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgo para
que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería.
También debe ser lo suficientemente preciso para el diseño en la ingeniería.
Usaremos el termino de error para representar la inexactitud y la precisión
de las predicciones.

4. Un Error es una incertidumbre en el resultado de
una medida. Se define como la diferencia entre el
valor real Vr y una aproximación a este valor Va
e=Vr-Va
Existen diferentes tipos de errores, cada
uno se puede expresar en forma absoluta
o en forma relativa

5. Tipos de Errores
Se origina al realizar los cálculos
que todo método numérico o
analítico requiere y son debidos a
la imposibilidad de tomar todas
las cifras que resultan de
operaciones aritméticas como los
productos y los cocientes,
teniendo que retener en cada
operación el numero de cifras que
permita el instrumento de calculo
que se este utilizando.
Error de redondeo inferior:
Desprecian los dígitos que no
se pueden conservar dentro
de la memoria
correspondiente.
Error de redondeo superior:
Este caso tiene dos
alternativas según el signo del
numero en particular:

6. Para los números positivos el
ultimo digito que se puede
conservar en la localización de
memoria incrementa en una
unidad si el primer digito
despreciado es mayor o igual a 5.
Para números negativos, el ultimo
digito que se puede conservar en
la localización de la memoria se
reduce en una unidad si el primer
digito despreciado es mayor o
igual a 5.

7. Error Por Truncamiento
Existen muchos procesos que requieren la ejecución de un numero infinito de
instrucciones para la solución exacta de un determinado problema, Ya que es
totalmente imposible de realizar infinitas instrucciones, el proceso debe
truncarse, por lo tanto no se halla la producción exacta sino una
aproximación a la misma. Se puede minimizar al incluir mas términos en la
ecuación.

8. Error Numérico Total
El error numérico total es la suma de los errores de redondeo y de
truncamiento. La única forma de minimizar los errores de redondeo es la
de incrementar el número de cifras significativas de la computadora.
Representación grafica de las
ventajas y desventajas entre errores
de redondeo y truncamiento que en
ocasiones influyen en el curso de un
método numérico. El punto óptimo
muestra donde el error de redondeo
comienza a negar los beneficios
dados por la reducción del tamaño
de paso.

9. Son los errores por negligencia o equivocación. Las computadoras
pueden dar números erróneos por su funcionamiento. Actualmente las
computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los hombres.
Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios
fundamentales y con la posesión de métodos y el diseño de la solución
del problema. Los errores humanos por negligencia son prácticamente
inevitables pero se pueden minimizar.
Errores humanos

10. Error Inherente
En muchas ocasiones, los datos con que se inician los cálculos contienen
un cierto error debido a que se han obtenido mediante la medida
experimental de una determinada magnitud física.
Así por ejemplo, el diámetro de la sección de una varilla de acero
presentará un error según se haya medido con una cinta métrica o con un
pie de rey. A este tipo de error se le denomina error inherente.

11. Error absoluto
Es la diferencia entre el valor exacto (un número determinado, por
ejemplo) y su valor calculado o redondeado:
Error absoluto = [exacto - calculado]
Debido a que la definición se dio en términos del valor absoluto, el error
absoluto no es negativo. Así pues, una colección (suma) de errores siempre
se incrementan juntos, sin reducirse. Este es un hecho muy pesimista, dado
que el redondeo y otros errores rara vez están en la misma dirección, es
posible que una suma ("algebraica") de errores sea cero, con
aproximadamente la mitad de los errores positiva y la otra mitad negativa.

12. Errores Sistemáticos
Los errores sistemáticos son debidos a defectos en los aparatos de
medida o al método de trabajo. Normalmente actúan en el mismo sentido,
no son aleatorios, siguiendo unas leyes físicas determinadas, de tal forma
que en ocasiones se podrán calcular y compensar matemáticamente tras
la medida. Un ejemplo podría ser el de una regla graduada pero dilatada
por el calor, esa regla daría como resultado longitudes siempre menores
que las reales.

13. Error Relativo
Es el error absoluto dividido entre un número positivo adecuado.
Generalmente, el divisor es una de tres elecciones: la magnitud del valor
exacto, la magnitud del valor calculado (o redondeado) o el promedio de
estas dos cantidades. La mayor parte de las veces utilizaremos
Error relativo= [exacto - calculado]/[exacto]
El error relativo es una mejor medida del error que el error absoluto, en
especial cuando se utilizan sistemas numéricos de punto flotante. Puesto que
los elementos de un sistema de punto flotante no están distribuidos de
manera uniforme, la cantidad de redondeos posibles depende de la magnitud
de los números que se redondean. El denominador de la ecuación de arriba
compensa este efecto.

14. Errores de Formulación
Los errores de formulación o de modelamiento degeneran en lo que se
podría considerar como un modelo matemático incompleto, ya que si se
esta usando un modelo deficiente, ningún método numérico generara los
resultados adecuados.

15. Propagación del Error
Las consecuencias de la existencia de un error en los datos de un
problema son mas importantes de lo que aparentemente puede
parecer. Desafortunadamente, esto errores se propagan y amplifican al
realizar operaciones con dichos datos, hasta el punto de que puede
suceder que el resultado carezca de significado. Con el propósito de
ilustrar esta situación, seguidamente se calcula la diferencia entre los
números:
a = 0.276435 b = 0.2756

16. Si los cálculos se realizan en base diez, coma flotante, redondeando por
aproximación y trabajando con tres dígitos de mantisa, los valores
aproximados a dichos números y el error relativo cometido es:
a = 0.276 error relativo= 1.57x10-3
b = 0:276 error relativo= 1.45x10-3
Si ahora se calcula la diferencia entre los valores exactos y la diferencia entre
los aproximados se obtiene:
a - b = 0:000835
a'- b'= 0.0
Debe observarse que el error relativo de la diferencia aproximada es del
100%. Este ejemplo, extraordinariamente sencillo, pone de manifiesto como el
error de redondeo de los datos se ha amplificado al realizar una única
operación, hasta generar un resultado carente de significado.

17. Cifras Significativas
A la hora de expresar el resultado de una medida junto con su error asociado se
han de observar ciertas consideraciones:
1. En primer lugar se ha de escribir correctamente el error. Dado que su valor
es aproximado, no tiene sentido dar más allá de una cifra significativa
excepto en el caso en que al quitar la segunda cifra significativa se
modifique de forma considerable su valor. Por ello se establece la norma en
que el error se expresa con una cifra significativa, excepto cuando esa cifra
sea un 1 o cuando sea un 2 seguida de un número menor que 5, en este
caso se puede expresar con dos cifras significativas.
Error de V Error de V Error de L
BIEN 0,12 V 0,08 V 30 cm
MAL 0,1203 V 0,078 V 35 cm

18. 2.En segundo lugar se ha de escribir correctamente el valor de la
medida. Tampoco tiene sentido que la precisión del valor medido sea
mayor que la precisión de su error. El orden decimal de la última cifra
significativa de la medida y de la última cifra significativa del error
deben coincidir. Para ello se redondea el valor de la medida, si hace
falta.
Medida de V Medida de V Medida de L
BIEN 48,72 ± 0,12 V 4,678 ± 0,012 V 560 ± 10 cm
MAL 48,721 ± 0,12 V 4,6 ± 0,012 V 563 ± 10 cm
También hay que tener en cuenta cuando se trabaja con número grandes o
pequeños utilizando la notación científica de potencias de 10, que conviene
escribir valor y error acompañados de la misma potencia de 10.

19. BIEN 8,72·10-4 ± 0,12·10-4 N (4,678 ± 0,012) ·10-8 A
MAL 872·10-6 ± 0,12·10-4 N 4,678·10-8 ± 1,2·10-10 A
Para obtener un buen resultado de una medida, minimizando el efecto de los
errores accidentales, es conveniente repetir la medida varias veces. El valor
medio será el que tomaremos como resultado de la medida, ya que
probablemente se acerque más al valor real. Cuantas más repeticiones de la
medida se efectúen, mejor será en general el valor medio obtenido, pero más
tiempo y esfuerzo se habrá dedicado a la medida.
Desviación Típica

20. Normalmente a partir de un cierto número de repeticiones no vale la pena
continuar. ¿Cuál es el número óptimo de repeticiones? Para decidirlo hay que
realizar tres medidas iniciales. A partir de estas medidas se calcula la
dispersión D. La dispersión de una medida es la diferencia entre el valor
máximo y el mínimo obtenidos, dividido entre el valor medio, expresado en
tanto por cien.
Software de computo Numérico
Muchas situaciones practicas de la vida real concernientes al campo de la
ingeniería involucran problemas de computo que requieren ser resueltos
empleando ciertos métodos y técnicas matemáticas , raíces de polinomios
y funciones, soluciones de derivadas e integrales complicadas, sistemas
de ecuaciones , gráficas de funciones, interpolación etc.

21. Las cuales si se llegan a realizar manualmente llegan a consumir tiempo
resultado muy tediosas, inclusive si seguimos este camino podemos llegar
a equivocarnos debido a la interactividad y complejidad de los
métodos.Para evitar este tipo de incidentes nos podemos auxiliar de
software de computo numérico como:
•MathCad
•MatLab
•Maple
•Derive
•Cabri Geometry.
Los programas anteriormente mencionados
resuelven operaciones como las ya comentadas
mediante el uso de comandos entregando al
usuario los resultados esperados sobre la
resolución de ciertas operaciones.

22. Mathcad es un software de computadora diseñado principalmente para la
verificación, validación, documentación y re-uso de cálculos de ingeniería.
Se introdujo al mercado en 1986 en DOS, fue el primero en introducir
edición en vivo de la notación matemática combinada con computación
automática. Distribuido por PTC es muy visual y permite el uso de plantillas
de funciones en las que solo es necesario escribir los valores deseados,
incluso para graficar funciones.
Mathcad es un entorno de
documentación técnica con
prestaciones de cálculo
numérico y simbólico, que
permite explorar problemas,
formular ideas, analizar datos,
modelar y chequear
escenarios, determinar la
mejor solución, como así
también documentar,
presentar y comunicar los
resultados.

23. Error verdadero: Es la diferencia entre la medida de una cantidad y su
valor verdadero. Sin embargo, su valor exacto es imposible de determinar,
puesto que para hacerlo se tendría que realizar infinitas mediciones a través
de la siguiente ecuación:
ilXE 
El valor más probable es un valor calculado, como el que tiene más
probabilidades que ningún otro de representar el verdadero valor de la
cantidad, el cual se obtiene a través de la siguiente expresión
matemática:
n
llll
X n...321 


24. El error aparente (residual) es la diferencia entre el valor más probable
(X) y la medición efectuada. Se calcula a través de la siguiente expresión:
XlV ii 
•Error medio cuadrático de las observaciones:
1
2
0



n
V
mm
•Error medio cuadrático del valor más probable:•Error medio cuadrático del valor más probable:
•Error medio cuadrático del valor más probable:
)1(
2
0



nn
V
mm

25. Ejemplo; Se ha medido cuatro veces una distancia en terreno plano, y los
datos obtenidos fueron:
mmmm 27,310;30,310;20,310;25,310
Solución: Se calcula el valor más probable:
mX
n
llll
X n
255,310
4
02,1241
...321



•Se calcula el error residual de cada medición:
015,0255,31027,310
055,0255,31020,310
045,0255,31030,310
005,0255,31025,310
44
33
22
11





XlV
XlV
XlV
XlV
XlV ii

26. Nº
Lectur
a X Vi Vi
2
1 310.25
310.25
5 -0,005 0,000025
2 310.30
310.25
5 0,045 0,002025
3 310.20
310.25
5 -0,055 0,003025
4 310.27
310.25
5 0,015 0,000225
n∑ 0,000 0,0053
Se calcula el error medio cuadrático del valor mas probable: