Unidad 3 Hidrostatica.pdf

DR. ING. SAMUEL QUISCA A.
LIMA - PERÚ
CURSO
MECANICA DE FLUIDOS
2022 - I
CAPÍTULO 3 HIDROSTÁTICA
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA, METALURGICA, MINERA Y GEOGRAFICA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

3.1
Ecuación
fundamental
de la
hidrostática.
3.2 Fuerzas
sobre
superficies
planas
sumergidas.
3.3 Fuerzas
sobre
superficies
curvas
3.4 Aplicaciones
de problemas de
hidrostática
Figura 3.1
HIDROSTÁTICA: Estudio de la estática de los fluidos o fluidos en reposo. Al no haber movimiento
(velocidad) no existe el esfuerzo de corte  en el seno del fluido.
3.1 ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA
Elemento
de área
𝑑 ത
𝐹 es la fuerza
que actúa en
dirección normal
a la superficie dA
La presión se define como el esfuerzo normal a la
superficie dA :
La presión pn no depende de la dirección ത
𝑛 , es la misma
en todas direcciones.
(3.1.1)
Figura 3.2

3.1
Ecuación
fundamental
de la
hidrostática.
3.2 Fuerzas
sobre
superficies
planas
sumergidas.
3.3 Fuerzas
sobre
superficies
curvas
4.4 Aplicaciones
de problemas de
hidrostática
Figura 3.3
Sean  ,  ,  los cosenos directores
de ത
𝑛
dz
dy



dz
dy
dx
dx
dA cos =1
2
dy dz
dA cos  =1
2
dx dz
dA cos  =1
2
dx dy
(3.1.2)
(3.1.3)
(3.1.4)
La Ec. (3.1.4) se reduce a:
Tomando límite, se reduce a:
Finalmente, la presión en el punto p es:
(3.1.5)
La Ec. (3.1.5) es lo que se conoce
como el Teorema de Pascal.

3.1
Ecuación
fundamental
de la
hidrostática.
3.2 Fuerzas
sobre
superficies
planas
sumergidas.
3.3 Fuerzas
sobre
superficies
curvas
4.4 Aplicaciones
de problemas de
hidrostática
Es la variación de la presión entre un punto y otro dentro de un cuerpo o masa de fluido.
(3.1.6)
De donde se obtiene la
Ley de hidrostática.
3.2 LEY DE HIDROSTÁTICA
Figura 3.4
Figura 3.5
▪ Tomando la variación en el plano horizontal:
▪ Tomando la variación de la presión en la dirección
vertical:
 p= cte.
 p= cte.
La variación de p con respecto de 𝑧 = −𝛾
Entonces, p disminuye con la altura.
Como la presión no varía en x , y, sólo varía en z, la ecuación
en derivada parcial se reduce a una ecuación diferencial
ordinaria:
(3.1.7)

3.1
Ecuación
fundamental
de la
hidrostática.
3.2 Fuerzas
sobre
superficies
planas
sumergidas.
3.3 Fuerzas
sobre
superficies
curvas
4.4 Aplicaciones
de problemas de
hidrostática
Integrando la Ec. (3.1.7), se obtiene la presión en cualquier punto en el cuerpo del fluido:
(3.1.8)
Figura 3.6
Como el fluido es incompresible:  = cte.
¿Porqué se puede medir la presión en unidades de longitud?
En la Figura 3.7, sea h la columna de un líquido cualquiera,
Que ejerce una presión p en el fondo del recipiente que lo
contiene. Si esta presión lo expresamos en función de la
densidad relativa de un fluido que tenga un valor alto:
Si p0= patm =0 , la presión relativa es:
La Ec. (3.1.8), indica que la presión se incrementa linealmente con la profundidad.
Niveles de presión:
Pabs (+) = Preferencia + Prelativa [(+) o (-)]
Prelativa = Pabs - Preferencia
Preferencia = Patm. local
S.I. Pa (N/m2) 1 atm = 1.013x10E3 Pa
S.T. (kgf/m2) ó (kgf/cm2) 1 bar = 10E5 Pa
S.Inglés (lb/plg2) PSI ó (lb/pie2)
Figura 3.7
𝑝 = 𝛾𝑙𝑖𝑞ℎ𝑙𝑖𝑞 = 𝑆𝑟𝑙𝑖𝑞 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎ℎ𝑙𝑖𝑞 = 𝑆𝑟𝐻𝑔𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎ℎ𝐻𝑔
Se utiliza mercurio Hg porque su densidad relativa es alta, y
permite medir mayores presiones que con el agua.

3.1
Ecuación
fundamental
de la
hidrostática.
3.2 Fuerzas
sobre
superficies
planas
sumergidas.
3.3 Fuerzas
sobre
superficies
curvas
4.4 Aplicaciones
de problemas de
hidrostática
Diagrama de presiones:
Ejemplo de cálculo de presión absoluta:
▪ Presión manométrica, puede ser (+) ó (-)
▪ Presión absoluta, siempre es (+)
▪ Manómetros miden presiones (+) y (-)
▪ Piezómetros miden presiones (+)
Figura 3.8
Figura 3.9
PA = Patm + L1  agua
PB = Patm + L2  agua
PC = Patm + L3  agua + L4  Hg

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Ecuación
fundamental
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hidrostática.
3.2 Fuerzas
sobre
superficies
planas
sumergidas.
3.3 Fuerzas
sobre
superficies
curvas
4.4 Aplicaciones
de problemas de
hidrostática
Medición de la presión:

3.1
Ecuación
fundamental
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hidrostática.
3.2 Fuerzas
sobre
superficies
planas
sumergidas.
3.3 Fuerzas
sobre
superficies
curvas
4.4 Aplicaciones
de problemas de
hidrostática

3.1
Ecuación
fundamental de
la hidrostática
3.2 Fuerzas
sobre
superficies
planas
sumergidas
3.3 Fuerzas
sobre
superficies
curvas
3.4 Aplicaciones
de problemas de
hidrostática
3.2.1 SUPERFICIES HORIZONTALES: Una superficie plana en posición horizontal, dentro de un
líquido en reposo, está sujeto a una presión constante.
La magnitud de la fuerza de presión F
sobre la cara superior de la superficie A,
es:
𝑝 =
𝑑𝐹
𝑑𝐴
(3.2.1)
𝑑𝐹 = 𝑝 𝑑𝐴 ; 𝐹 = න 𝑝𝑑𝐴 = 𝑝 න 𝑑𝐴
𝐹 = 𝛾ℎ𝐴 (3.2.2)
La dirección de F es normal a la superficie A y en sentido hacia ella, si la presión es
positiva.
Para encontrar la línea de acción de la fuerza resultante F,
se escogen un par de ejes x e y, arbitrarios como se muestra
en la siguiente figura:
Como el momento resultante debe ser igual al momento del
sistema de fuerzas elementales, en torno a un eje cualquiera,
entonces:
𝐹. 𝑥′
= න
𝐴
𝑥 𝑑𝐹 𝑦 𝐹 = 𝑝𝐴 ; 𝑝 𝐴 𝑥′
= න
𝐴
𝑥 𝑝 𝑑𝐴 = 𝑝 න
𝐴
𝑥 𝑑𝐴
Centroides de la superficie
𝑥′
=
1
𝐴
‫׬‬
𝐴
𝑥 𝑑𝐴 𝑒 𝑦′
=
1
𝐴
‫׬‬
𝐴
𝑦 𝑑𝐴 (3.2.3) considerada.

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Ecuación
fundamental de
la hidrostática
3.2 Fuerzas
sobre
superficies
planas
sumergidas
3.3 Fuerzas
sobre
superficies
curvas
3.4 Aplicaciones
de problemas de
hidrostática
Conclusiones:
1) Para una superficie plana en posición horizontal sumergida en cualquier fluido, la fuerza
resultante actúa a través del centro de gravedad de la superficie considerada.
2) Los diagramas de presión sobre la superficie, originan volúmenes cuya base es el área de la
superficie, y para este caso la presión es la misma en cualquier punto (plano horizontal).
Estos volúmenes se denominan prisma de presión.
𝑝𝐴 = 𝑝𝐵 = 𝑝𝐶 = 𝑝𝐷 = 𝛾 ℎ
Volumen de prisma de presión 𝑉
𝑝𝑝
𝑉
𝑝𝑝 = 𝑝 𝐴 = 𝐹
La fuerza resultante es igual al volumen del prisma
de presión:
𝐹 = 𝑉
𝑝𝑝 = 𝑝 𝐴 = 𝛾 ℎ 𝐴

3.1
Ecuación
fundamental de
la hidrostática
3.2 Fuerzas
sobre
superficies
planas
sumergidas
3.3 Fuerzas
sobre
superficies
curvas
3.4 Aplicaciones
de problemas de
hidrostática
3.2.2 SUPERFICIES INCLINADAS:
Pasos:
▪ Ubicación del origen de coordenadas:
la intersección del plano de la
superficie libre con el plano de la
superficie dada, definida por el origen
de coordenadas O(x).
▪ Tanto el eje “x” e “y” se toman sobre el
plano de la superficie dada.
▪ Determinar la magnitud, dirección y la
línea de acción (sentido) de la fuerza
resultante que ejerce el líquido sobre
una de las caras de la superficie.

3.1
Ecuación
fundamental de
la hidrostática
3.2 Fuerzas
sobre
superficies
planas
sumergidas
3.3 Fuerzas
sobre
superficies
curvas
3.4 Aplicaciones
de problemas de
hidrostática
3.2.2 SUPERFICIES INCLINADAS:

3.1
Ecuación
fundamental de
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3.2 Fuerzas
sobre
superficies
planas
sumergidas
3.3 Fuerzas
sobre
superficies
curvas
3.4 Aplicaciones
de problemas de
hidrostática
Ejemplo 3:
Dada la compuerta triangular equilátera ABC, articulada
según el eje BC, que retiene el agua en condiciones
naturales, determinar las fuerzas de compresión sobre el
puntal AD. Despreciar el peso propio de la compuerta.
Solución:
La fuerza resultante es igual al volumen del prisma de
presión, que es igual al producto de la presión en el centro
de gravedad de la compuerta por el área:
𝐹 = 𝑝𝐶𝐺 𝐴 = 𝛾 ℎ𝐶𝐺𝐴 = 𝛾 ത
𝑦 sin 𝛼 𝐴
Como la compuerta es triángulo
equilátero, entonces:
𝑠𝑖𝑛 60° = 2 𝑚
𝐿
𝐿 =2.31 m
𝑡𝑎𝑛 60° = 𝐿
𝑏/2 𝑏 =
2𝐿
tan 60°
=2.67 m
𝐴 = 𝑏 𝐿
2
= (2.67)(2.31)
2
= 3.08 𝑚2
El centroide ത
𝑦 de la superficie de
la compuerta es:
ത
𝑦 = 𝑦′
+ 2
3
𝐿 = 0.75
sin 60°
+ 2
3
2.31 = 2.406 𝑚
𝐹 = 1000 𝑘𝑔𝑓/𝑚3 2.406 𝑚 sin 60° 3.08 𝑚2
= 6,417.66 𝑘𝑔𝑓
El centro de presiones o punto de aplicación 𝑦𝑐𝑝 de la
fuerza resultante de presiones sobre la compuerta, es:
𝑦𝑐𝑝 = 𝐼ഥ
𝑥ഥ
𝑥
ഥ
𝑦𝐴
+ ത
𝑦 =
𝑏𝐿3
36
ഥ
𝑦𝐴
+ ത
𝑦 =
(2.67)(2.31)3
36
(2.406)(3.08)
+ 2.406 = 2.53 𝑚
La fuerza de compresión del puntal: 𝑏1 = 𝐿 − 𝑦𝑐𝑝 − 𝑦′
= 0.646 𝑚
෍ 𝑀𝐵𝐶 = 0 ; −𝐹𝑏1 + 𝐹
𝑝 𝐿 = 0 𝑭𝒑 = (6,417.66 𝑘𝑔𝑓)(0.646 𝑚)
2.31 𝑚
= 𝟏,𝟕𝟗𝟒.𝟕𝟐 𝒌𝒈𝒇

3.1
Ecuación
fundamental de
la hidrostática
3.2 Fuerzas
sobre
superficies
planas
sumergidas
3.3 Fuerzas
sobre
superficies
curvas
3.4 Aplicaciones
de problemas de
hidrostática
Ejemplo 4:
Hallar las fuerzas sobre la compuerta rectangular
de 4 m de ancho, y que forma un ángulo de 30°
con la horizontal.
Solución:
Recorriendo el manómetro:
𝑝0 + 𝛾𝐿ℎ + 𝛾𝐿(0.20 𝑚) + 𝛾𝐻𝑔(0.20 𝑚) = 𝑝𝑔𝑎𝑠
Como 𝑝0 = 0, y despejando h , tenemos:
ℎ =
𝑝𝑔𝑎𝑠 − 𝑆𝑟𝐿 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 0.20 𝑚 − 𝛾𝐻𝑔(0.20 𝑚)
𝑆𝑟𝐿 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎
=
8,300
𝑘𝑔𝑓
𝑚2
−0.9 1000
𝑘𝑔𝑓
𝑚3
0.20 𝑚 −13600
𝑘𝑔𝑓
𝑚3
(0.20 𝑚)
0.9 1000
𝑘𝑔𝑓
𝑚3
= 5,400
900
𝑚 = 6 𝑚
La fuerza del líquido sobre la compuerta:
La fuerza del gas sobre la compuerta:
Nota: para un gas , la presión es igual en cualquier punto.
𝐹𝐿 = 𝑝𝐶𝐺 𝐴 = 𝛾𝐿 ത
𝑦 sin 𝛼 𝐴
𝐿 = 4 𝑚
sin 30°
= 8 𝑚
𝐴 = 𝐵𝐿 = 4 𝑚 8 𝑚 = 32 𝑚2
ത
𝑦 = 𝑦′
+ 𝐿
2
= ℎ−4
sin 30°
+ 4 = 4 𝑚 + 4 𝑚 = 8 𝑚
𝐹𝐿 = 𝑆𝑟𝐿 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 (8 𝑚)(sin 30°) 32 𝑚2 =
= 900
𝑘𝑔𝑓
𝑚3
8 𝑚 0.5 32 𝑚2 = 𝟏𝟏𝟓, 𝟐𝟎𝟎 𝒌𝒈𝒇
𝐹
𝑔𝑎𝑠 = 𝑝𝑔𝑎𝑠 𝐴 = 8,300
𝑘𝑔𝑓
𝑚2
32 𝑚2 = 𝟐𝟔𝟓, 𝟔𝟎𝟎 𝒌𝒈𝒇

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Ecuación
fundamental de
la hidrostática
3.2 Fuerzas
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superficies
planas
sumergidas
3.3 Fuerzas
sobre
superficies
curvas
3.4 Aplicaciones
de problemas de
hidrostática
Ejemplo 5:
Determinar la fuerza horizontal 𝐹𝐻 a aplicar en B,
para que la compuerta rectangular de 1 m de
ancho, articulada en A, no se abra. La compuerta
es de acero de Sr=7.85 y espesor e=10 mm.
Solución:
Nota: Para resolver este problema, se debe convertir el
tirante de aceite en un tirante equivalente de agua, ya que
el líquido que está actuando sobre la compuerta es agua.
Para ello, se utiliza una superficie libre imaginaria de agua.
La columna equivalente de agua:
𝐹
𝑎𝑔𝑢𝑎 = 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 ത
𝑦 sin 𝛼 𝐴
𝐹
𝑎𝑔𝑢𝑎 = 1000
𝑘𝑔𝑓
𝑚3
1.039 𝑚 sin 60° 1.155 𝑚2
= 𝟏, 𝟎𝟑𝟗. 𝟐𝟕 𝒌𝒈𝒇
Evaluando presiones en punto A, tenemos: 𝑝𝐴 = 𝑆𝑟𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 0.5 𝑚 = 0.8 1000
𝑘𝑔𝑓
𝑚3
0.5 𝑚 = 400 𝑘𝑔𝑓/𝑚2
𝑝𝐴 = 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 ℎ𝑎𝑔𝑢𝑎 ℎ𝑎𝑔𝑢𝑎 = 400 𝑘𝑔𝑓/𝑚2
1000 𝑘𝑔𝑓/𝑚3
=0.4 𝑚
Nota: Si la altura de la columna de agua resulta (-), la
superficie libre imaginaria de agua se ubica por debajo
de A:
ത
𝑦 = 𝑦′
+ 𝐿
2
= 0.4
sin 60°
+ 1
2
1 𝑚
sin 60°
= 0.462 𝑚 + 0.577 𝑚 = 1.039 𝑚
𝐿 = 1 𝑚
sin 60°
= 1.155 𝑚
𝐴 = 𝐵𝐿 = 1 𝑚 1.155 𝑚 = 1.155 𝑚2
𝑦𝑐𝑝 = 𝐼ഥ
𝑥ഥ
𝑥
ഥ
𝑦𝐴
+ ത
𝑦 =
𝑏𝐿3
12
ഥ
𝑦𝐴
+ ത
𝑦 =
(1)(1.155)3
12
(1.039)(1.155)
+ 1.039 = 1.146 𝑚
Peso de la compuerta de acero:
𝑊 = 𝛾𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑉 = 𝑆𝑟𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 1.155 𝑚2 (0.01 𝑚) = 7,850
𝑘𝑔𝑓
𝑚3
0.0155 𝑚3 = 𝟗𝟎. 𝟔𝟕 𝒌𝒈𝒇
σ 𝑀𝐴 = 0 ; 𝐹𝐻 1 𝑚 + 𝑊(𝐿
2
cos 60°) − 𝐹
𝑎𝑔𝑢𝑎(𝑦𝑐𝑝 − 𝑦′
) = 0 ; 𝐹𝐻 = 1,039.27(0.684) − 90.67(0.289)=684.66 kgf

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Ecuación
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la hidrostática
3.2 Fuerzas
sobre
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planas
sumergidas
3.3 Fuerzas
sobre
superficies
curvas
sumergidas
3.4 Aplicaciones
de problemas de
hidrostática
3.3.1 COMPONENTE HORIZONTAL DE FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS:

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superficies
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3.3.2 COMPONENTE VERTICAL DE FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS:

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3.3.3 EMPUJE O FUERZA DE FLOTACIÓN (E):

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3.3.3 EMPUJE O FUERZA DE FLOTACIÓN (E): Principio de Arquímedes

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