Este documento introduce los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo una discusión de los tipos de sistemas, criterios de equivalencia, y métodos para resolver sistemas de dos y tres ecuaciones lineales. Proporciona ejemplos detallados para ilustrar cada concepto.
1. El documento presenta los conceptos y métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
2. Se describen tres métodos para resolver estos sistemas: sustitución, igualación y reducción.
3. Se explican los pasos para aplicar cada método y resolver problemas mediante sistemas de ecuaciones.
Este documento presenta notas sobre sistemas de ecuaciones de un ingeniero. Explica que un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que deben satisfacerse simultáneamente. Cubre tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones algebraicamente (igualación, sustitución y reducción) y el método gráfico. También incluye ejemplos para ilustrar cada método.
Este documento introduce los sistemas de ecuaciones como una herramienta útil en matemáticas y ciencias. Explica métodos para resolver sistemas de ecuaciones de 2 variables como sustitución, eliminación y gráficamente. Incluye ejemplos y aplicaciones con soluciones. Finaliza con una pre-prueba y post-prueba de ejercicios de sistemas de ecuaciones.
Este documento presenta una introducción a los sistemas de ecuaciones lineales. Explica qué son las ecuaciones con dos incógnitas y los sistemas de ecuaciones, y define conceptos como solución de un sistema y sistemas equivalentes. Luego describe los diferentes tipos de sistemas según el número de soluciones, como sistemas sin solución, con infinitas soluciones o con una solución única. Finalmente, introduce tres métodos para resolver sistemas - sustitución, igualación y reducción - ilustrándolos con ejemplos resuelt
Este documento presenta un resumen de los sistemas de ecuaciones y los métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Explica qué es un sistema de ecuaciones, los tipos de sistemas (compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible), y los cinco métodos para resolver sistemas: igualación, suma y resta, sustitución, determinantes y gráfico. Luego, procede a explicar con ejemplos cada uno de los métodos de igualación, suma y resta, y sustitución.
Esta presentación comienza en un nivel básico de sistemas de ecuaciones, dando las definiciones oportunas, representación gráfica de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, sus métodos de resolución y termina en un nivel avanzado, dando sistemas de ecuaciones no lineales y sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas. Hay además multitud de ejercicios resueltos. Finalmente hay una pequeña colección de problemas, comenzando con problemas de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, problemas de sistemas no lineales y problemas de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Incluye además, un pequeño apartado de sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
Este documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales en dos variables, incluyendo el método de reducción, sustitución e igualación. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y también menciona la resolución gráfica de sistemas. Finalmente, presenta algunas aplicaciones prácticas de sistemas de ecuaciones para ilustrar su uso en la vida real.
Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica conceptos como ecuaciones lineales de dos incógnitas, sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones. También describe métodos para representar sistemas gráficamente y clasificarlos, así como métodos para resolver sistemas como la sustitución.
1. El documento presenta los conceptos y métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
2. Se describen tres métodos para resolver estos sistemas: sustitución, igualación y reducción.
3. Se explican los pasos para aplicar cada método y resolver problemas mediante sistemas de ecuaciones.
Este documento presenta notas sobre sistemas de ecuaciones de un ingeniero. Explica que un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que deben satisfacerse simultáneamente. Cubre tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones algebraicamente (igualación, sustitución y reducción) y el método gráfico. También incluye ejemplos para ilustrar cada método.
Este documento introduce los sistemas de ecuaciones como una herramienta útil en matemáticas y ciencias. Explica métodos para resolver sistemas de ecuaciones de 2 variables como sustitución, eliminación y gráficamente. Incluye ejemplos y aplicaciones con soluciones. Finaliza con una pre-prueba y post-prueba de ejercicios de sistemas de ecuaciones.
Este documento presenta una introducción a los sistemas de ecuaciones lineales. Explica qué son las ecuaciones con dos incógnitas y los sistemas de ecuaciones, y define conceptos como solución de un sistema y sistemas equivalentes. Luego describe los diferentes tipos de sistemas según el número de soluciones, como sistemas sin solución, con infinitas soluciones o con una solución única. Finalmente, introduce tres métodos para resolver sistemas - sustitución, igualación y reducción - ilustrándolos con ejemplos resuelt
Este documento presenta un resumen de los sistemas de ecuaciones y los métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Explica qué es un sistema de ecuaciones, los tipos de sistemas (compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible), y los cinco métodos para resolver sistemas: igualación, suma y resta, sustitución, determinantes y gráfico. Luego, procede a explicar con ejemplos cada uno de los métodos de igualación, suma y resta, y sustitución.
Esta presentación comienza en un nivel básico de sistemas de ecuaciones, dando las definiciones oportunas, representación gráfica de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, sus métodos de resolución y termina en un nivel avanzado, dando sistemas de ecuaciones no lineales y sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas. Hay además multitud de ejercicios resueltos. Finalmente hay una pequeña colección de problemas, comenzando con problemas de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, problemas de sistemas no lineales y problemas de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Incluye además, un pequeño apartado de sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
Este documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales en dos variables, incluyendo el método de reducción, sustitución e igualación. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y también menciona la resolución gráfica de sistemas. Finalmente, presenta algunas aplicaciones prácticas de sistemas de ecuaciones para ilustrar su uso en la vida real.
Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica conceptos como ecuaciones lineales de dos incógnitas, sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones. También describe métodos para representar sistemas gráficamente y clasificarlos, así como métodos para resolver sistemas como la sustitución.
Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica qué son las ecuaciones con dos incógnitas y sus soluciones, así como los sistemas de ecuaciones y sus soluciones comunes. Además, describe los diferentes tipos de sistemas (sin solución, con infinitas soluciones y con solución única) y los métodos para resolver sistemas como la sustitución, igualación y reducción. Finalmente, proporciona ejemplos y ejercicios sobre sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento explica los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo definiciones de términos como solución de sistema, sistemas equivalentes, sistemas compatibles e incompatibles. Describe tres métodos para resolver sistemas - sustitución, igualación y reducción - y ofrece ejemplos resueltos. Finalmente, proporciona ejercicios prácticos para que el lector aplique los conceptos.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, incluyendo sistemas de dos ecuaciones lineales, una ecuación lineal y una cuadrática, y dos ecuaciones cuadráticas. Los métodos descritos son graficar, sustitución, igualación y reducción/combinación lineal. El objetivo es encontrar valores de las variables desconocidas que satisfagan simultáneamente todas las ecuaciones en el sistema.
Este documento presenta un módulo sobre sistemas de ecuaciones. Explica que los sistemas de ecuaciones son herramientas útiles en matemáticas y otras áreas. Luego, describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones 2x2, incluyendo sustitución, eliminación y gráficos. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios resueltos para que los estudiantes practiquen estos conceptos.
Este documento explica los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo su definición, tipos de sistemas (con soluciones únicas, infinitas o ninguna), y métodos para resolverlos como sustitución, igualación y reducción. Describe cada método en 3 pasos y provee un ejemplo resuelto usando el método de reducción.
El documento presenta una introducción a los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Explica que un sistema de ecuaciones está formado por dos o más ecuaciones lineales y que su dimensión depende del número de ecuaciones y variables involucradas. Además, define los tipos de sistemas según si tienen solución, solución única o infinitas soluciones. Finalmente, describe cinco métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas: sustitución, igualación, reducción, gráfico y determinantes.
Un sistema de ecuaciones consiste en un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que deben satisfacerse simultáneamente. Resolver el sistema implica encontrar los valores de las incógnitas que hacen que todas las ecuaciones se cumplan a la vez. Existen diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales y no lineales.
- El documento explica diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales de 2 y 3 variables, como el método gráfico, sustitución, igualación, suma o resta. Los estudiantes necesitan conocer estos métodos para aplicarlos a problemas reales de ingeniería mecánica.
Sistemas de ecuaciones homogéneas por el método de Gauss JordanDaniel Orozco
Este documento presenta el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones homogéneas. Explica que estos sistemas siempre tienen solución ya que la solución trivial (x=y=z=0) es válida. Luego, detalla que estos sistemas pueden tener solo la solución trivial o infinitas soluciones dependiendo del rango de la matriz de coeficientes. Finalmente, resuelve ejemplos ilustrativos de ambos casos.
Este documento explica diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo sustitución, igualación, reducción, método gráfico y el método de Gauss. El método de Gauss consiste en convertir el sistema en una forma escalonada para simplificarlo y encontrar sus soluciones de manera más sencilla. Los sistemas de ecuaciones lineales pueden ser compatibles o incompatibles dependiendo de si tienen solución o no.
Este documento presenta información sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica que un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto finito de ecuaciones lineales con variables. Luego clasifica los sistemas en consistentes e inconsistentes dependiendo de si tienen una solución única, múltiples soluciones o ninguna solución. Finalmente, describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como sustitución, igualación, reducción, método gráfico y método de Gauss.
Este documento presenta información sobre sistemas de ecuaciones, incluyendo definiciones, métodos para resolver sistemas de 2 ecuaciones (gráfico, sustitución, eliminación), y ejemplos. El autor también proporciona objetivos de aprendizaje relacionados con sistemas de ecuaciones y aplicaciones de estos conceptos.
1) Un sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.) consiste en dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolver el S.E.L. es encontrar el punto donde se intersectan las dos rectas representadas por las ecuaciones.
2) Existen tres tipos de soluciones para un S.E.L. dependiendo de la intersección de las rectas: compatible determinado si se intersectan en un punto, compatible indeterminado si coinciden, e incompatible si son paralelas.
3) Los métodos para resolver un S.E.L. son sustitución, igual
Un sistema lineal es un conjunto de ecuaciones lineales con más de una incógnita. Puede tener cero soluciones (inconsistente), una solución única (determinado) o infinitas soluciones (indeterminado). Para determinar el número de soluciones se pueden usar métodos gráficos o de Gauss, el cual reduce la matriz aumentada a una escalonada que indica si el sistema es inconsistente, determinado o indeterminado.
Este documento explica los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo su definición, clasificación y métodos para resolverlos. Define un sistema de ecuaciones como un conjunto de ecuaciones con las mismas variables cuya solución satisface ambas ecuaciones. Clasifica los sistemas como consistentes e inconsistentes dependiendo de si tienen o no solución, e independientes o dependientes según si las ecuaciones son iguales o diferentes. Presenta el método gráfico y los métodos algebraicas de sustitución y eliminación para resolver sistemas.
El documento explica conceptos básicos sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Define identidades, ecuaciones y sus soluciones. Describe métodos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones como la regla de la suma y el producto, sustitución y reducción. Incluye ejemplos ilustrativos y problemas resueltos.
El documento explica conceptos básicos sobre ecuaciones como identidades, ecuaciones, incógnitas, soluciones de ecuaciones, ecuaciones equivalentes, resolución de ecuaciones utilizando las reglas de suma y producto, sistemas de ecuaciones y sus métodos de resolución mediante sustitución y reducción. También presenta ejemplos y problemas resueltos sobre estas temáticas.
vehiculo importado desde pais extrajero contien documentos respaldados como ser la factura comercial de importacion un seguro y demas tambien indica la partida arancelaria que deb contener este vehículo 3. La importadora PARISBOL TRUCK IMPORT SOCIEDAD DE RESPONSABILIDAD LIMITADA perteneciente a Bolivia, trae desde CHILE , un vehículo Automóvil con un número de ruedas de 6 Número del chasis YV2RT40A0HB828781 De clase tractocamión, con dos puertas . El precio es de 35231,46 dólares, la importadora tiene los siguientes datos para el cálculo de sus costos:
• Flete de $ 1500 por contenedor
• El deducible es de 10 % de la SA y la prima neta de 0.02% de la SA
• ARANCEL DE IMPORTACIÓN 20% • ALMACÉN ADUANERO 1.5%
• DESPACHO ADUANERO 2.1%
• IVA 14.94%
• PERCEPCIÓN 0.3%
• OTROS GASTOS DE IMPORTACIÓN $US
• Derecho de emisión 4.20
• Handling 58 • Descarga 69
• Servicios aduana 30
• Movilización de carga 70.10
• Transporte interno 150
• Gastos operativos 70
• Otros gastos 100 • Comisión agente de 0.05% CIF
GASTOS FINANCIEROS o GASTOS APERTURA DE L/C (0.3 % FOB) o Intereses proveedor $ 1050 CALULAR:
i) El valor FOB
j) hallar la suma asegurada de la mercancía y la prima neta que se debe pagar a la compañía aseguradora, y el valor CIF
k) El total de derechos e impuestos
l) El costo total de importación y el factor
m) El costo unitario de importación de cada alfombra en $us y Bs. (tipo de cambio: Bs.6.85)
Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica qué son las ecuaciones con dos incógnitas y sus soluciones, así como los sistemas de ecuaciones y sus soluciones comunes. Además, describe los diferentes tipos de sistemas (sin solución, con infinitas soluciones y con solución única) y los métodos para resolver sistemas como la sustitución, igualación y reducción. Finalmente, proporciona ejemplos y ejercicios sobre sistemas de ecuaciones lineales.
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Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, incluyendo sistemas de dos ecuaciones lineales, una ecuación lineal y una cuadrática, y dos ecuaciones cuadráticas. Los métodos descritos son graficar, sustitución, igualación y reducción/combinación lineal. El objetivo es encontrar valores de las variables desconocidas que satisfagan simultáneamente todas las ecuaciones en el sistema.
Este documento presenta un módulo sobre sistemas de ecuaciones. Explica que los sistemas de ecuaciones son herramientas útiles en matemáticas y otras áreas. Luego, describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones 2x2, incluyendo sustitución, eliminación y gráficos. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios resueltos para que los estudiantes practiquen estos conceptos.
Este documento explica los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo su definición, tipos de sistemas (con soluciones únicas, infinitas o ninguna), y métodos para resolverlos como sustitución, igualación y reducción. Describe cada método en 3 pasos y provee un ejemplo resuelto usando el método de reducción.
El documento presenta una introducción a los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Explica que un sistema de ecuaciones está formado por dos o más ecuaciones lineales y que su dimensión depende del número de ecuaciones y variables involucradas. Además, define los tipos de sistemas según si tienen solución, solución única o infinitas soluciones. Finalmente, describe cinco métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas: sustitución, igualación, reducción, gráfico y determinantes.
Un sistema de ecuaciones consiste en un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que deben satisfacerse simultáneamente. Resolver el sistema implica encontrar los valores de las incógnitas que hacen que todas las ecuaciones se cumplan a la vez. Existen diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales y no lineales.
- El documento explica diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales de 2 y 3 variables, como el método gráfico, sustitución, igualación, suma o resta. Los estudiantes necesitan conocer estos métodos para aplicarlos a problemas reales de ingeniería mecánica.
Sistemas de ecuaciones homogéneas por el método de Gauss JordanDaniel Orozco
Este documento presenta el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones homogéneas. Explica que estos sistemas siempre tienen solución ya que la solución trivial (x=y=z=0) es válida. Luego, detalla que estos sistemas pueden tener solo la solución trivial o infinitas soluciones dependiendo del rango de la matriz de coeficientes. Finalmente, resuelve ejemplos ilustrativos de ambos casos.
Este documento explica diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo sustitución, igualación, reducción, método gráfico y el método de Gauss. El método de Gauss consiste en convertir el sistema en una forma escalonada para simplificarlo y encontrar sus soluciones de manera más sencilla. Los sistemas de ecuaciones lineales pueden ser compatibles o incompatibles dependiendo de si tienen solución o no.
Este documento presenta información sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica que un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto finito de ecuaciones lineales con variables. Luego clasifica los sistemas en consistentes e inconsistentes dependiendo de si tienen una solución única, múltiples soluciones o ninguna solución. Finalmente, describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como sustitución, igualación, reducción, método gráfico y método de Gauss.
Este documento presenta información sobre sistemas de ecuaciones, incluyendo definiciones, métodos para resolver sistemas de 2 ecuaciones (gráfico, sustitución, eliminación), y ejemplos. El autor también proporciona objetivos de aprendizaje relacionados con sistemas de ecuaciones y aplicaciones de estos conceptos.
1) Un sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.) consiste en dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolver el S.E.L. es encontrar el punto donde se intersectan las dos rectas representadas por las ecuaciones.
2) Existen tres tipos de soluciones para un S.E.L. dependiendo de la intersección de las rectas: compatible determinado si se intersectan en un punto, compatible indeterminado si coinciden, e incompatible si son paralelas.
3) Los métodos para resolver un S.E.L. son sustitución, igual
Un sistema lineal es un conjunto de ecuaciones lineales con más de una incógnita. Puede tener cero soluciones (inconsistente), una solución única (determinado) o infinitas soluciones (indeterminado). Para determinar el número de soluciones se pueden usar métodos gráficos o de Gauss, el cual reduce la matriz aumentada a una escalonada que indica si el sistema es inconsistente, determinado o indeterminado.
Este documento explica los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo su definición, clasificación y métodos para resolverlos. Define un sistema de ecuaciones como un conjunto de ecuaciones con las mismas variables cuya solución satisface ambas ecuaciones. Clasifica los sistemas como consistentes e inconsistentes dependiendo de si tienen o no solución, e independientes o dependientes según si las ecuaciones son iguales o diferentes. Presenta el método gráfico y los métodos algebraicas de sustitución y eliminación para resolver sistemas.
El documento explica conceptos básicos sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Define identidades, ecuaciones y sus soluciones. Describe métodos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones como la regla de la suma y el producto, sustitución y reducción. Incluye ejemplos ilustrativos y problemas resueltos.
El documento explica conceptos básicos sobre ecuaciones como identidades, ecuaciones, incógnitas, soluciones de ecuaciones, ecuaciones equivalentes, resolución de ecuaciones utilizando las reglas de suma y producto, sistemas de ecuaciones y sus métodos de resolución mediante sustitución y reducción. También presenta ejemplos y problemas resueltos sobre estas temáticas.
vehiculo importado desde pais extrajero contien documentos respaldados como ser la factura comercial de importacion un seguro y demas tambien indica la partida arancelaria que deb contener este vehículo 3. La importadora PARISBOL TRUCK IMPORT SOCIEDAD DE RESPONSABILIDAD LIMITADA perteneciente a Bolivia, trae desde CHILE , un vehículo Automóvil con un número de ruedas de 6 Número del chasis YV2RT40A0HB828781 De clase tractocamión, con dos puertas . El precio es de 35231,46 dólares, la importadora tiene los siguientes datos para el cálculo de sus costos:
• Flete de $ 1500 por contenedor
• El deducible es de 10 % de la SA y la prima neta de 0.02% de la SA
• ARANCEL DE IMPORTACIÓN 20% • ALMACÉN ADUANERO 1.5%
• DESPACHO ADUANERO 2.1%
• IVA 14.94%
• PERCEPCIÓN 0.3%
• OTROS GASTOS DE IMPORTACIÓN $US
• Derecho de emisión 4.20
• Handling 58 • Descarga 69
• Servicios aduana 30
• Movilización de carga 70.10
• Transporte interno 150
• Gastos operativos 70
• Otros gastos 100 • Comisión agente de 0.05% CIF
GASTOS FINANCIEROS o GASTOS APERTURA DE L/C (0.3 % FOB) o Intereses proveedor $ 1050 CALULAR:
i) El valor FOB
j) hallar la suma asegurada de la mercancía y la prima neta que se debe pagar a la compañía aseguradora, y el valor CIF
k) El total de derechos e impuestos
l) El costo total de importación y el factor
m) El costo unitario de importación de cada alfombra en $us y Bs. (tipo de cambio: Bs.6.85)
2. Nota Técnica preparada por Asturias Corporación Universitaria. Su difusión, reproducción o uso total o parcial
para cualquier otro propósito queda prohibida. Todos los derechos reservados.
Índice
1 Introducción...................................................................................................................................................................... 3
2 Introducción a los Sistemas de Ecuaciones Lineales ........................................................................ 3
2.1 Tipos de sistemas de ecuaciones lineales................................................................................... 3
2.2 Discusión de un sistema............................................................................................................................ 4
3 Sistemas Equivalentes.............................................................................................................................................. 5
3.1 ¿Cuándo son equivalentes dos sistemas?.................................................................................... 5
3.2 Criterios de equivalencia........................................................................................................................... 5
4 Resolución de Sistemas de Ecuaciones ......................................................................................................6
4.1 Sistemas de dos ecuaciones..................................................................................................................6
4.2 Sistemas de tres ecuaciones .................................................................................................................8
5 Ejercicios Aplicados al Mundo Laboral....................................................................................................... 12
3. Nota Técnica preparada por Asturias Corporación Universitaria. Su difusión, reproducción o uso total o parcial
para cualquier otro propósito queda prohibida. Todos los derechos reservados.
Objetivos
• Estudiar los tipos de sistemas de ecuaciones lineales y su clasificación.
• Aprender a resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos y tres ecuaciones, por
el método de reducción o método de Gauss.
• Aplicar los conocimientos adquiridos sobre sistemas de ecuaciones lineales, a
problemas reales.
1 Introducción
Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado,
es decir las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en el
denominador.
Por ejemplo 4x+2y+3z =6 es una ecuación lineal con tres incógnitas.
Las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano. Si la ecuación
lineal tiene 3 incógnitas, su representación gráfica es un plano en el espacio.
Un conjunto de varias ecuaciones lineales forman un sistema de ecuaciones, y diremos que
las ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones o geométricamente
representan la misma ecuación en el plano.
Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en casi todas las ciencias y en muchas
situaciones de la vida real.
2 Introducción a los Sistemas de Ecuaciones Lineales
2.1 Tipos de sistemas de ecuaciones lineales
En sistemas de ecuaciones lineales, los coeficientes de las incógnitas y los términos
independientes son números resales.
a) Sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas
{
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑎′
𝑥 + 𝑏′
𝑦 = 𝑐′
Representación gráfica: una ecuación lineal con dos incógnitas 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄 tiene por
representación en el plano cartesiano una recta.
• Solución: la solución de este sistema de ecuaciones con 2 incógnitas son dos
números reales S1 y S2 tales que al sustituir x por S1 e y por S2 se verifican a la vez
las dos ecuaciones.
4. Nota Técnica preparada por Asturias Corporación Universitaria. Su difusión, reproducción o uso total o parcial
para cualquier otro propósito queda prohibida. Todos los derechos reservados.
Ejemplo: dado el siguiente sistema de ecuaciones con 2 incógnitas, comprobar que al
sustituir las soluciones, se verifican las dos ecuaciones.
{
2𝑥 + 1𝑦 = 7
3𝑥 + 2𝑦 = 12
Soluciones del sistema: S1=2 y S2=3
Sustituimos las soluciones S1=2 por x y S2=3 por y
{
2 ∗ 2 + 1 ∗ 3 = 7
3 ∗ 2 + 2 ∗ 3 = 12
Comprobamos que para las soluciones S1=2 por x y S2=3 por y se verifican las dos
ecuaciones ya que para estos dos valores se cumplen las dos igualdades.
b) Sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas
{
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑
𝑎′
𝑥 + 𝑏′
𝑦 + 𝑐′
𝑧 = 𝑑′
𝑎′′
𝑥 + 𝑏′′
𝑦 + 𝑐′′
𝑧 = 𝑑′′
• Representación gráfica: Una ecuación con tres incógnitas
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 = 𝒅 tiene como presentación en el espacio cartesiano un plano.
• Solución: la solución de este sistema de ecuaciones con 3 incógnitas son tres
números reales S1 y S2 y S3 tales que al sustituir x por S1 e y por S2 y z por S3 se
verifican a la vez las tres ecuaciones.
Ejemplo: dado el siguiente sistema de ecuaciones con 2 incógnitas, comprobar que al
sustituir las soluciones, se verifican las dos ecuaciones.
{
2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 12
3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 8
𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 17
Soluciones del sistema: S1=1, S2=2 y S3=3
Sustituimos las soluciones S1=1 por x , S2=2 por y y S3=3 por z
{
2 ∗ 1 + 2 ∗ 2 + 2 ∗ 3 = 12
3 ∗ 1 + 2 + 3 = 8
1 + 2 ∗ 2 + 4 ∗ 3 = 17
Comprobamos que para las soluciones S1=1 por x , S2=2 por y y S3=3 por z se verifican las dos
ecuaciones ya que para estos 3 valores se cumplen las dos igualdades.
2.2 Discusión de un sistema
Discutir un sistema de ecuaciones consiste en estudiar las soluciones que pueden
presentarse en él.
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• Los sistemas que tienen solución se llaman compatibles
- Si la solución es única, el sistema es compatible determinado.
- Si tiene más de una solución, el sistema es compatible indeterminado.
(podemos afirmar que un sistema compatible indeterminado tiene infinitas
soluciones)
• Si un sistema no tiene solución, se dice que es incompatible.
3 Sistemas Equivalentes
El concepto de sistemas de ecuaciones equivalentes entre sí y los criterios que permiten
pasar de unos a otros son básicos para su resolución.
3.1 ¿Cuándo son equivalentes dos sistemas?
Dos Sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
• Dos sistemas equivalentes deben tener el mismo número de incógnitas, aunque no
es necesario que tengan el mimo número de ecuaciones.
• Si en un sistema de ecuaciones se cambia el orden de las ecuaciones, el sistema
resultante no solo es equivalente al inicial, sino que en esencia es el mismo.
3.2 Criterios de equivalencia
Los criterios de equivalencia de sistemas utilizan dos operaciones:
• El producto de una ecuación por un número distinto de cero
• La suma o diferencia de ecuaciones
Criterio del producto: si se multiplican los dos miembros de una ecuación de un sistema por
un número distinto de cero, resulta otro sistema equivalente al dado.
Ejemplo
{
2𝑥 + 1𝑦 = 7
3𝑥 + 2𝑦 = 12
↔ {
4𝑥 + 2𝑦 = 14
9𝑥 + 6𝑦 = 36
Los dos sistemas son equivalentes, la primera ecuación del segundo sistema está
multiplicada por 2 y la segunda por 3
Este criterio se utiliza para conseguir que los coeficientes de una incógnita en dos
ecuaciones sean iguales en valor absoluto.
Criterio de la suma: si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del
mismo, resulta otro sistema equivalente al dado
{
2𝑥 + 1𝑦 = 7
3𝑥 + 2𝑦 = 12
↔ {
5𝑥 + 3𝑦 = 19
3𝑥 + 2𝑦 = 12
6. Nota Técnica preparada por Asturias Corporación Universitaria. Su difusión, reproducción o uso total o parcial
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Los dos sistemas son equivalentes, la primera ecuación del segundo sistema es la suma de
las ecuaciones del primer sistema.
Este criterio se utiliza para eliminar incógnitas en las ecuaciones, siempre que los
coeficientes sean iguales en valor absoluto. La eliminación de incógnitas permite así pasar a
un sistema con una incógnita menos.
4 Resolución de Sistemas de Ecuaciones
4.1 Sistemas de dos ecuaciones
La suma de ecuaciones permite eliminar una incógnita en una de las ecuaciones, y obtener
una ecuación de primer grado, siempre que los coeficientes de esa incógnita sean
opuestos.
Si no son iguales ni opuestos hay que multiplicar cada una de las ecuaciones por número
adecuados para obtener un múltiplo de los coeficientes de esta incógnita.
Ejemplos resueltos
1. Resolver el siguiente sistema.
{
2𝑥 + 1𝑦 = 7
3𝑥 + 2𝑦 = 12
1º Observamos el sistema: vemos si a simple vista podemos sumar o restar las ecuaciones
de modo que se nos anule alguna incógnita.
En este caso si sumamos o restamos las ecuaciones no se nos anula ningún término.
2º Aplicamos los criterios de equivalencia. Multiplicamos una ecuación por un número: si
multiplicamos la primera ecuación por 2
{
4𝑥 + 2𝑦 = 14
3𝑥 + 2𝑦 = 12
3º Sumamos o restamos las ecuaciones: a continuación realizamos la resta de la primera
ecuación menos la segunda podemos observar que la incógnita y se anula, quedando una
ecuación lineal con una incógnita y que se resuelve de forma directa
{
4𝑥 + 2𝑦 = 14
3𝑥 + 2𝑦 = 12
→ 𝑒𝑐1 − 𝑒𝑐2 = 1𝑥 = 2
Luego x=2
4º Sustituimos en valor de la incógnita hallada: podemos sustituir el valor obtenido para la
incógnita x en cualquiera de las dos ecuaciones y obtenemos el valor de y-
Si x= 2 y sustituimos en la primera ecuación
4 ∗ 2 + 2𝑦 = 14
7. Nota Técnica preparada por Asturias Corporación Universitaria. Su difusión, reproducción o uso total o parcial
para cualquier otro propósito queda prohibida. Todos los derechos reservados.
2𝑦 = 14 − 8
𝑦 =
14 − 8
2
= 3
5º Comprobamos el resultado:
Siempre es conveniente comprobar que los resultados obtenidos son los correctos. Para
comprobar los resultados podemos sustituir las soluciones obtenidas para x e y en la
ecuación que no hemos usado, en este caso la segunda ecuación.
3𝑥 + 2𝑦 = 12
Sustituimos por x=2 e y=3
3 ∗ 2 + 2 ∗ 3 = 12
2. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones
{
3𝑥 − 2𝑦 = 6
9𝑥 + 4𝑦 = 108
1º Observamos el sistema: a simple vista sumar o restar las ecuaciones no nos garantiza que
una de las incógnitas se elimine.
2º Multiplicamos una ecuación por un número: en este caso multiplicamos la primera
ecuación por 3.
{
9𝑥 − 6𝑦 = 18
9𝑥 + 4𝑦 = 108
3º Sumamos o restamos las ecuaciones: en este caso a la primera ecuación le restamos la
segunda-
{
9𝑥 − 6𝑦 = 18
9𝑥 + 4𝑦 = 108
→ 𝑒𝑐1 − 𝑒𝑐2 = 0𝑥 − 10𝑦 = −90
0𝑥 − 10𝑦 = −90
𝑦 =
90
10
= 9
Luego y=9
4º Sustituimos en valor de la incógnita hallada: sustituimos y=9 por ejemplo en la segunda
ecuación y obtenemos el valor de x.
9𝑥 + 4𝑦 = 108
9𝑥 + 4 ∗ 9 = 108
9𝑥 = 108 − 36
8. Nota Técnica preparada por Asturias Corporación Universitaria. Su difusión, reproducción o uso total o parcial
para cualquier otro propósito queda prohibida. Todos los derechos reservados.
𝑥 =
108 − 36
9
= 8
5º Comprobamos el resultado:
Sustituimos los valores de las incógnitas x=8 e y=9 en la primera ecuación y vemos si se
cumple la igualdad.
9𝑥 − 6𝑦 = 18
9 ∗ 8 − 6 ∗ 9 = 72 − 54 = 18
4.2 Sistemas de tres ecuaciones
La suma o diferencia de ecuaciones permite eliminar una incógnita y obtener un sistema de
dos ecuaciones con dos incógnitas. Para ello se eligen dos pares de ecuaciones de los tres
posibles
1ªecuación ± 2ªecuación,
1ªecuación ± 3ªecuación
2ªecuación ± 3ªecuación
1º Paso. Elegidas las dos parejas de ecuaciones más adecuadas se elimina la misma
incógnita en ambas. El proceso es igual que el seguido para dos ecuaciones.
2º Paso. El sistema parcial de dos ecuaciones con dos incógnitas que se obtienes se
resuelve utilizando de nuevo el método de reducción al igual que hemos resuelto los
sistemas de dos ecuaciones.
3º Paso. Conocidas dos incógnitas se halla la tercera sustituyendo estos valores en una de
las ecuaciones dadas.
Ejemplos resueltos.
1º Resolver el siguiente sistema:
{
𝒙 + 𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟗
𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟒
𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟔𝒛 = −𝟏
1º Paso: elegimos dos pares de ecuaciones de los tres posibles. En este caso eliminamos la
incógnita y eligiendo las ecuaciones
1ª ecuación + 2ª ecuación
1ª ecuación +3ª ecuación
1ª𝑒𝑐 + 2ª𝑒𝑐 =
{
𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 9
2𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 4
3𝑥 + 0𝑦 + 2𝑧 = 13
9. Nota Técnica preparada por Asturias Corporación Universitaria. Su difusión, reproducción o uso total o parcial
para cualquier otro propósito queda prohibida. Todos los derechos reservados.
1ª𝑒𝑐 + 2ª𝑒𝑐 =
{
𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 9
2𝑥 − 𝑦 + 6𝑧 = −1
3𝑥 + 0𝑦 + 4𝑧 = 8
Del resultado de estas operaciones hemos obtenido un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas, que ya sabemos resolver.
2º Paso. Resolvemos el sistema de dos ecuaciones.
• -Observamos a simple vista si sumando o restando las ecuaciones podeos eliminar
alguna incógnita.
• -Si no se da el caso anterior multiplicamos una de las ecuaciones por un número
de manera que el resultado nos dé una ecuación equivalente que nos permita
sumarla o restarla a la otra ecuación dada para eliminar alguna incógnita.
{
3𝑥 + 2𝑧 = 13
3𝑥 + 4𝑧 = 8
En este caso podemos restar la 1ª ecuación - 2ª ecuación y eliminamos la incógnita x
1ª𝑒𝑐 − 2ª𝑒𝑐 = {
3𝑥 + 2𝑧 = 13
3𝑥 + 4𝑧 = 8
= −2𝑧 = 5
Luego podemos obtener el valor de z
−2𝑧 = 5
𝑧 = −
5
2
Conocida la incógnita z podemos obtener el valor de la incógnita x sustituyendo el valor de
z en una de las dos ecuaciones anteriores.
Por ejemplo en la segunda ecuación
3𝑥 + 4𝑧 = 8
3𝑥 + 4 (−
5
2
) = 8
𝑥 =
18
3
= 6
𝑥 = 6
3º Paso. Conocidas dos incógnitas hallamos la tercera por sustitución. volvemos a escribir el
sistema de ecuaciones inicial (el que nos proporciona el enunciado).
{
𝒙 + 𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟗
𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟒
𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟔𝒛 = −𝟏
10. Nota Técnica preparada por Asturias Corporación Universitaria. Su difusión, reproducción o uso total o parcial
para cualquier otro propósito queda prohibida. Todos los derechos reservados.
Sustituimos los valores de x y z que ya conocemos, en una de las tres ecuaciones. Por
ejemplo en la 1ª ecuación.
𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 9
6 + 𝑦 − 2 (−
5
2
) = 9
6 + 𝑦 + 5 = 9
𝒚 = −𝟐
Las soluciones para este sistema son :
𝒙 = 𝟔, 𝒚 = −𝟐, 𝒛 = −
𝟓
𝟐
Comprobación:
Para comprobar que el sistema está bien resuelto, sustituimos los valores de las soluciones
y verificamos que se cumplen las tres igualdades.
{
𝟔 + (−𝟐) − 𝟐 ∗ (−
𝟓
𝟐
) = 𝟗
𝟐 ∗ 𝟔 − (−𝟐) + 𝟒 ∗ (−
𝟓
𝟐
) = 𝟒
𝟐 ∗ 𝟔 − (−𝟐) + 𝟔 ∗ (−
𝟓
𝟐
) = −𝟏
2 Resolver el siguiente sistema:
{
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟐
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟓𝒛 = 𝟏𝟏
𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟔𝒛 = 𝟐𝟗
1º Paso: elegimos dos pares de ecuaciones de los tres posibles.
En este caso vamos a elegir las siguientes:
2 * (1ª ecuación) - 2ª ecuación
1ª ecuación - 3ª ecuación
Nota: a la 1ª ecuación la multiplicamos por 2 para que al restarla la 2ª eliminemos una
incógnita.
1ª𝑒𝑐 − 2ª𝑒𝑐 =
{
2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 4
−(2𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧) = −(11)
0𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = −7
11. Nota Técnica preparada por Asturias Corporación Universitaria. Su difusión, reproducción o uso total o parcial
para cualquier otro propósito queda prohibida. Todos los derechos reservados.
1ª𝑒𝑐 − 3ª𝑒𝑐 =
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
−(𝑥 − 5𝑦 + 6𝑧) = −29
6𝑦 − 5𝑧 = −27
2º Paso: Resolvemos el sistema de dos ecuaciones que hemos obtenido.
{
−𝑦 − 3𝑧 = −7
6𝑦 − 5𝑧 = −27
Multiplicamos la 1ª ecuación por 6 y a continuación sumamos la 1ª ecuación + 2ª ecuación
para eliminar la incógnita y.
{
−6𝑦 − 18𝑧 = −42
6𝑦 − 5𝑧 = −27
→ 1º 𝑒𝑐 + 2º𝑒𝑐 = −23𝑧 = −69
−23𝑧 = −69
𝑧 =
69
23
= 3
3º Paso: Conocido el valor de z sustituimos en una de las ecuaciones del sistema de dos
ecuaciones y obtenemos el valor de y.
Por ejemplo en la 1ª ecuación
−𝑦 − 3𝑧 = −7
−𝑦 − 3 ∗ 3 = −7
𝑦 = −2
Conocido el valor de z y de y, sustituimos los valores en una de las ecuaciones del sistema
inicial y obtenemos el valor de x.
{
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟐
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟓𝒛 = 𝟏𝟏
𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟔𝒛 = 𝟐𝟗
Por ejemplo en la 1ª ecuación que es la más sencilla.
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟐
𝑥 − 2 + 3 = 2
𝑥 = 1
Las soluciones del sistema son x=1 y=-2 z=3. Si queremos cerciorarnos de que el sistema
está bien resuelto, sustituimos estos valores en el sistema de ecuaciones y comprobamos si
se cumplen las igualdades.
12. Nota Técnica preparada por Asturias Corporación Universitaria. Su difusión, reproducción o uso total o parcial
para cualquier otro propósito queda prohibida. Todos los derechos reservados.
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
2𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 = 11
𝑥 − 5𝑦 + 6𝑧 = 29
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1, 𝑦 = −2 𝑧 = 3
{
1 − 2 + 3 = 2
2 ∗ 1 + 3 ∗ (−2) + 5 ∗ 3 = 11
1 − 5 ∗ (−2) + 6 ∗ 3 = 29
Podemos concluir que el sistema está bien resuelto pues para los valores obtenidos de x y
z, se cumplen las tres ecuaciones.
5 Ejercicios Aplicados al Mundo Laboral
Ejercicio 1
Una aseguradora ofrece 2 tipos de productos: seguro para coches y un seguro para motos.
Eduardo ha conseguido vender 1 seguro de coche y 1 seguro de moto en el mes de Abril de
este año, por un importe de 7um.
Patricia ha vendido 2 seguros de coche y 3 seguros de moto por un importe de 19um.
a) ¿Cuánto cuesta contratar un seguro de coche? ¿y un seguro de moto?
b) Si su compañero Hugo, vende 5 seguros de coche y 2 seguros de moto, ¿Qué
resultado económico debe obtener por estas ventas?
Solución
a) ¿Cuánto cuesta contratar un seguro de coche? ¿y un seguro de moto?
Vamos a denominar x al seguro de coches e y al de motos. Para resolver el ejercicio
planteamos el siguiente sistema de ecuaciones-
{
𝑥 + 𝑦 = 7
2𝑥 + 3𝑦 = 19
Resolvemos por reducción.
Para resolver por reducción primero vamos a obtener un sistema equivalente aplicando el
criterio de equivalencia del producto, y multiplicamos la primera ecuación por 2
{
𝑥 + 𝑦 = 7
2𝑥 + 3𝑦 = 19
Sistema equivalente
{
2𝑥 + 2𝑦 = 14
2𝑥 + 3𝑦 = 19
13. Nota Técnica preparada por Asturias Corporación Universitaria. Su difusión, reproducción o uso total o parcial
para cualquier otro propósito queda prohibida. Todos los derechos reservados.
Resolvemos el sistema, primera ecuación menos segunda ecuación.
2𝑥 + 2𝑦 = 14
−2𝑥 − 3𝑦 = −19
−𝑦 = −5
𝑦 = 5um
Obtenemos el valor de x, para ello sustituimos en una de las dos ecuaciones del sistema
inicial, por ejemplo en la primera.
x + y = 7
x + 5 = 7
x = 2um
b) Si su compañero Hugo, vende 5 seguros de coche y 2 seguros de moto, ¿Qué
resultado económico debe obtener por estas ventas?
Si vende 5 seguros de coche sabiendo que cada seguro de coche es 2um
y 2 seguros de moto sabiendo que cada seguro de moto es 5um, entonces obtendrá el
siguiente resultado.
5𝑥 + 2𝑦 =¿ ?
5 ∗ 2 + 2 ∗ 5 = 20um
Ejercicio 2
Una fábrica textil que extiende su negocio al mercado internacional, suministra su producto
a tres empresas textiles A,B,C situadas en diferentes puntos del mundo. Para hacer llegar el
producto a cada una de las empresas textiles, en cada ruta se usan tres medios de
transporte, Barco =x Tren=y y camión=z.
• Para la ruta A, es necesario recorrer 8.000km en Barco 400km en tren y 200km en
camión. y el importe total por el transporte asciende a 58200um
• Para la ruta B, es necesario recorrer 4000km en Barco 700km en tren y 200km en
camión por un importe de 31700um
• Para la ruta C es necesario recorrer 4000km en Barco, 200km en tren y 50km en
camión. En este caso el importe es de 29050um
¿Cuánto cuesta el km en cada medio de transporte?
{
8000𝑥 + 400𝑦 + 200𝑧 = 58.200𝑢𝑚
4000𝑥 + 700𝑦 + 200𝑧 = 31.700𝑢𝑚
4000𝑥 + 200𝑦 + 50𝑧 = 29.050𝑢𝑚
Resolvemos el sistema por reducción:
14. Nota Técnica preparada por Asturias Corporación Universitaria. Su difusión, reproducción o uso total o parcial
para cualquier otro propósito queda prohibida. Todos los derechos reservados.
Podemos multiplicar la ruta B por x y realizar Ruta A-Ruta B
{
8000𝑥 + 400𝑦 + 200𝑧 = 58.200𝑢𝑚
8000𝑥 + 1400𝑦 + 400𝑧 = 63.400𝑢𝑚
4000𝑥 + 200𝑦 + 50𝑧 = 29.050𝑢𝑚
8000𝑥 + 400𝑦 + 200𝑧 = 58.200𝑢𝑚
−8000𝑥 − 1400𝑦 − 400𝑧 = −63.400𝑢𝑚
−𝟏𝟎𝟎𝟎𝒚 − 𝟐𝟎𝟎𝒛 = −𝟓. 𝟐𝟎𝟎
Para obtener la siguiente ecuación simplificada, podemos hacer Ruta B - Ruta C
4000𝑥 + 700𝑦 + 200𝑧 = 31.700𝑢𝑚
−4000𝑥 − 200𝑦 − 50𝑧 = −29.050𝑢𝑚
𝟓𝟎𝟎𝒚 + 𝟏𝟓𝟎𝒛 = 𝟐. 𝟔𝟓𝟎
De esta forma tenemos un sistema simplificado que también resolveremos por
reducción.
{
−𝟏𝟎𝟎𝟎𝒚 − 𝟐𝟎𝟎𝒛 = −𝟓. 𝟐𝟎𝟎
𝟓𝟎𝟎𝒚 + 𝟏𝟓𝟎𝒛 = 𝟐. 𝟔𝟓𝟎
Multiplicamos por 2 la segunda ecuación y Sumamos las dos ecuaciones.
{
−1.000𝑦 − 200𝑧 = −5.200
1.000𝑦 + 300𝑧 = 5.300
−1000𝑦 − 200𝑧 = −5.200
1000𝑦 + 300𝑧 = 5.300
100𝑧 = 100
𝑧 =
100
100
= 1𝑢𝑚
Sustituimos el valor de z en una de las ecuaciones y obtenemos el valor de y.
500𝑦 + 150𝑧 = 2.650
500𝑦 + 150 ∗ 1 = 2.650
𝑦 =
2.500
500
= 5𝑢𝑚
Conocido el valor de z y de y obtenemos el valor de x sustituyendo en una de las
ecuaciones del sistema inicial.
Por ejemplo en la tercera ecuación:
4000𝑥 + 200𝑦 + 50𝑧 = 29.050
4000𝑥 + 200 ∗ 5 + 50 ∗ 1 = 810.500𝑢𝑚
15. Nota Técnica preparada por Asturias Corporación Universitaria. Su difusión, reproducción o uso total o parcial
para cualquier otro propósito queda prohibida. Todos los derechos reservados.
𝑥 =
28.000
4000
= 7𝑢𝑚
Solución:
Por cada km que recorre en avión supone un coste de 7um cada km recorrido en tren
supone un coste de 5um y cada km recorrido en camión supone un coste de 1um.