Este documento explica conceptos matemáticos como teorías, teoremas, axiomas y demostraciones. Define qué es una teoría, menciona los tres tipos de teorías (descriptiva, explicativa y predictiva) y explica conceptos como teoremas, axiomas y demostraciones. Luego presenta demostraciones del Teorema de Pitágoras, Teorema de Euclides y menciona sus aplicaciones. Finalmente, concluye que el objetivo era aplicar conocimientos de LATEX para crear documentos matemáticos.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL
ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
LICENCIATURA EN MATEM´ATICAS
PASO 5
USO DE COMANDOS
AVANZADOS LATEX
Carlos Mario Posada Giraldo C´odigo 71314489
Presentado a:
Juan Carlos Benavides
Medell´ın
Agosto 15, 2018

2. Introducci´on
Con el presente trabajo se realiza un texto en LATEX realizando
los cambios o correcciones solicitadas por el tutor de curso en
la retroalimentaci´on de unidad 2, enriqueciendo con gr´aficos,
personalizando el documento al estilo del estudiante, para ello
se continuar´a con el tema que habla de las teor´ıas, teoremas,
axiomas, demostraciones y gr´aficos. Con este ejercicio se busca
que el estudiante Unadista desarrolle habilidades en el manejo
del programa LATEX, aplicando sus conocimientos a documentos,
tipos de estructuras, caracteres especiales, tipo y tama˜no de
letra, justificaci´on del texto, cita a pie de p´agina y ecuaciones.
1

3. DESARROLLO DEL TRABAJO
Teor´ıa, Teoremas, Axiomas, demostraciones
TEOR´IA: Es un conjunto de estructuras (conceptos, defini-
ciones y proposiciones) interrelacionados, que presentan una per-
spectiva sistem´atica de los fen´omenos especificando las rela-
ciones. Es el objetivo principal de la ciencia, es una combi-
naci´on que se proyecta en una perspectiva sistem´atica de los
fen´omenos con el fin de describir, explicar, predecir y controlar
los fen´omenos.
Existen 3 tipos de Teor´ıas: Descriptiva, Explicativa y Predic-
tiva.
Descriptiva: Identifica y describe caracter´ısticas espec´ıficas
de personas, grupos, situaciones o acontecimientos determina-
dos.
Explicativa: M´as compleja que la descriptiva esta describe
las relaciones entre diversos fen´omenos.
Predictiva: La m´as compleja y poderosas de todas predice
tipos espec´ıficos de relaciones entre fen´omenos y particulares.
La palabra teor´ıa, desde el punto de vista etimol´ogico, deriva
del griego observar y tiene como ra´ız the´os (dios, divinidad), por
lo cual su significado est´a intr´ınsicamente vinculado con algo
divino, superior, ideal, no cuestionable, digno de ser venerado
y hasta temido. Tal vez, por eso existe tanto respeto hacia las
teor´ıas en general, y tanto miedo a enfrentarlas o criticarlas 1
1
Pisemskaya, N. B. (2009). El concepto de teor´ıa: de las teor´ıas intradisciplinarias a
las transdisciplinarias, 18.s
2

4. Una teor´ıa es un sistema l´ogico compuesto de observaciones,
axiomas y postulados, que tienen como objetivo declarar bajo
qu´e condiciones se desarrollar´an ciertos supuestos, tomando como
contexto una explicaci´on del medio id´oneo para que se desar-
rollen las predicciones. A ra´ız de estas, se pueden especular,
deducir y/o postular mediante ciertas reglas o razonamientos,
otros posibles hechos.
Los seres humanos construyen teor´ıas para as´ı explicar, prede-
cir y dominar diferentes fen´omenos (cosas inanimadas, eventos,
o el comportamiento de los animales). En muchas circunstan-
cias, la teor´ıa es vista como un modelo de la realidad. Una teor´ıa
hace generalizaciones acerca de observaciones y consiste en un
conjunto coherente e interrelacionado de ideas.
Una teor´ıa tiene que ser de alguna manera verificable; por
ejemplo, uno puede teorizar que una manzana caer´a cuando se
le suelta, y entonces soltar una manzana para ver qu´e pasa. Mu-
chos cient´ıficos, aunque no todos, argumentan que las creencias
religiosas no son verificables y, por lo tanto, no son teor´ıas sino
materia de fe.
TEOREMAS: consiste en una proposici´on que puede ser de-
mostrada de manera l´ogica a partir de un axioma o de otros
teoremas que fueron demostrados con anticipaci´on. Este pro-
ceso de demostraci´on se lleva a cabo mediante ciertas reglas de
inferencia.
El teorema, por lo tanto, puede ser descripto como una afir-
maci´on de importancia. Existen otras de menor rango, como
ocurre con el lema (que pertenece a un teorema m´as largo),
el corolario (que sigue de manera inmediata al teorema) o la
proposici´on (un resultado que no se encuentra asociado a ning´un
teorema en espec´ıfico).
Algunos Teoremas
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5. TEOREMA DE PITAGORAS: consiste en una proposici´on
que puede ser demostrada de manera l´ogica a partir de un ax-
ioma o de otros teoremas que fueron demostrados con antici-
paci´on. Este proceso de demostraci´on se lleva a cabo mediante
ciertas reglas de inferencia.
Cabe destacar que, hasta que la afirmaci´on no logra ser de-
mostrada, se la define como hip´otesis o conjetura. De hecho,
muchas veces toma muchos a˜nos, e incluso d´ecadas o m´as, dar
con una comprobaci´on convincente. En algunos casos, cuando
se trata de teoremas que describen situaciones imposibles de re-
solver sin ayuda de la inform´atica, dada su complejidad o que
cubre un gran n´umero de combinaciones, las respuestas suelen
ser muy cuestionadas, ya que se debe confiar en un ordenador.
Demostraci´on Teorema de Pitagoras usando el ´Algebra
c2
= a2
+ b2
Podemos ver que c2
= a2
+ b2
usando el ´Algebra. Mira este
diagrama... tiene dentro un tri´angulo ”abc” (en realidad tiene
cuatro):
Es un gran cuadrado, cada lado mide a+b, as´ı que el ´area es:
A = (a+b)(a+b)
Ahora sumamos las ´areas de los trozos m´as peque˜nos:
Primero, el cuadrado peque˜no (inclinado) tiene ´area A = c2
4

6. Y hay cuatro tri´angulos, cada uno con ´area A =
1
2
ab
As´ı que los cuatro juntos son A = 4(
1
2
ab) = 2ab
Si sumamos el cuadrado inclinado y los 4 tri´angulos da:
A = c2
+ 2ab
El ´area del cuadrado grande es igual al ´area del cuadrado
inclinado y los 4 tri´angulos. Esto lo escribimos as´ı:
(a + b)(a + b) = c2
+ 2ab
Ahora, vamos a operar para demostrar el teorema de Pit´agoras:
(a + b)(a + b) = c2
+ 2ab
Empezamos con:
(a + b)(a + b) = c2
+ 2ab
Desarrollamos (a+b)(a+b):
a2
+ 2ab + b2
= c2
+ 2ab
Restamos 2ab de los dos lados, Su resultado es igual a
5

7. c2
= a2
+ b2
El Teorema de Pit´agoras nos ayuda a encontrar la longitud
del tercer lado de un triangulo rect´angulo, siempre y cuando se
conozca las longitudes de los otros dos lados
En griego, fil´osofo significa amante de la sabidur´ıa, y es Pit´agoras
el primer hombre que se describe a s´ı mismo como tal. A los
fil´osofos anteriores se les conoc´ıa como sofistas, t´ermino que sig-
nifica hombres sabios. Mucho se ha cuestionado el significado
de este ´ultimo t´ermino. Algunos sugieren que Pit´agoras, en su
modestia, no se consideraba a s´ı mismo un sabio, sino s´olo como
un hombre irremisiblemente atra´ıdo por la sabidur´ıa, en pos de
la cual corr´ıa sin cesar, si bien no llegaba nunca a alcanzarla.2
Adem´as es de gran importancia para hacer an´alisis geom´etrico
en diferentes ´areas del conocimiento. Por esto la comprensi´on y
destreza en su manejo es de vital importancia, particularmente
en el estudio de los fen´omenos f´ısicos.
Una de las aplicaciones del teorema de Pit´agoras m´as im-
portantes es la definici´on de las funciones trigonom´etricas seno,
coseno y tangente de un ´angulo. Aunque estas tambi´en pueden
ser definidas a partir de la circunferencia unidad, es mediante el
teorema de Pit´agoras cuando estas cogen m´as sentido y utilidad.
2
Libro Pit´agoras y su teorema - Paul Strathern: rese˜nas, resumen y comentarios. Paul
Strathern curs´o estudios de Filosof´ıa en el prestigioso Trinity College de Dubl´ın. Strathern
ha escrito numerosos ensayos sobre fil´osofos en los que presenta su pensamiento de manera
sencilla y directa, siendo considerado como uno de los mejores divulgadores de la filosof´ıa
de los ´ultimos cuarenta a˜nos
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8. TEOREMA DE EUCLIDES: El teorema fue descubierto e
hace ya m´as de dos mil a˜nos pues este de hombre vivi´o entre los
a˜nos 325 a.c. 265 a.c., el teorema ha tenido extensa aplicaci´on
pues de cierta forma completa la comprensi´on de las relaciones
geom´etricas existentes en el tri´angulo rect´angulo relacionando
los catetos del tri´angulo con sus proyecciones en la hipotenusa.
Demostraci´on Teorema de Euclides
Euclides se di´o cuenta de que al trazar la altura con respecto
a la hipotenusa en un tri´angulo rect´angulo se da origen a dos
tri´angulos m´as aparte del original , los cuales entre si son se-
mejantes y a la vez son semejantes tambi´en con el tri´angulo
original, lo que implica que sus lados hom´ologos respectivos son
proporcionales.
A continuaci´on se muestra gr´aficamente la altura trazada
desde la hipotenusa en el tri´angulo rect´angulo y los tri´angulos
que nacen a partir de su trazado
Figure 1: Teorema de Euclides
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9. Se puede apreciar los ´angulos que son congruentes en los
tri´angulos de esta forma se puede verificar la semejanza exis-
tente entre los tres tri´angulos involucrados seg´un el criterio de
semejanza AAA , que dice que si dos tri´angulos tienen todos sus
´angulos iguales son semejantes.
Luego de demostrar que los tri´angulos son semejantes es posi-
ble establecer las siguientes proporciones:
TEOREMA DE EUCLIDES REFERIDO A LA ALTURA
En cualquier tri´angulo rect´angulo la altura trazada seg´un la
hipotenusa es media proporcional geom´etrica entre los segmen-
tos que determina esta sobre la hipotenusa
q
h
=
h
p
→ h2
= q ∗ p
Adem´as, mediante un procedimiento algebraico entre las ecua-
ciones del teorema se puede demostrar que :
h =
a ∗ b
c
TEOREMA DE EUCLIDES REFERIDO A UN CATETO
En cualquier tri´angulo rect´angulo la medida de cada uno de
los catetos es media proporcional geom´etrica entre la hipotenusa
y la proyecci´on del cateto sobre ella.
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10. c
a
=
a
p
→ a2
= c ∗ p
c
b
=
b
q
→ b2
= c ∗ q
APLICACIONES: Desde que se propuso hasta la fecha el
teorema de Euclides ha sido ense˜nado sin cesar en las escuelas
y universidades modernas de todo el mundo, pues posee una
extensa gama de aplicaciones en diversas ramas del saber que
usan matem´aticas como ciencias ingenieriles, f´ısica, qu´ımica y
astronom´ıa por lo cual la dimensi´on de su aporte es incalculable.
EJEMPLO: Considere que en el tri´angulo que se muestra en
la figura 1 la altura con respecto a la hipotenusa tiene un valor
de 10 cm , y el segmento q tiene un valor de 5 cm , obtenga el
valor del segmento p.
la resoluci´on de este problema se usar´a el teorema de Euclides
referido a la altura que nos dice que:
h2
= p ∗ q
Por lo tanto reemplazando con los valores otorgados por el
problema se tiene que:
(10cm)2
= p ∗ 5cm
desarrollando la potencia y despejando p se tiene que
p =
100
5
= 20cm
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11. Conclusiones
Se realiza un texto en LATEX que contiene informaci´on rel-
evante acerca de teor´ıas, teoremas, axiomas, demostraciones y
gr´aficos. Con este ejercicio se busca que el estudiante Unadista
construye los documentos, tipos de estructuras, caracteres espe-
ciales, tipo y tama˜no de letra, justificaci´on del texto, cita a pie
de p´agina y ecuaciones.
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12. Referencias Bibliogr´aficas
Libro Pit´agoras y su teorema - Paul Strathern: rese˜nas, re-
sumen y comentarios. (s. f.). Recuperado 6 de agosto de 2018,
de http://www.lecturalia.com/libro/41316/pitagoras-y-su-teorema
Pisemskaya, N. B. (2009). El concepto de teor´ıa: de las
teor´ıas intradisciplinarias a las transdisciplinarias, 18.s
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