Este documento presenta los conceptos básicos de los sistemas lineales e invariantes en el tiempo (LIT). Explica que un sistema procesa señales de entrada para generar señales de salida, y que los sistemas LIT cumplen con las propiedades de linealidad, homogeneidad, aditividad e invarianza temporal. También describe que la respuesta de un sistema LIT ante cualquier entrada puede calcularse mediante la convolución de la señal de entrada con la respuesta a la muestra unitaria del sistema.

1. Facultad de Ingeniería Electrónica y Mecatrónica
Procesamiento Digital de Señales
(TC61)
Sesión: 5 y 6
Sistemas LIT
Ing. José C. Benítez P.

2. Sesión 5 y 6. Temas
Sistemas LIT
Sistemas
Ecuación de recurrencia
REE
RMU
Sistemas Lineales e Invariantes al tiempo (LIT).
Otras propiedades de los sistemas
Conexión de sistemas LIT.
Ecuaciones en Diferencia Lineales.
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3. Sistemas
Un sistema (también llamado procesador de
señal) es cualquier proceso que genera una señal de
salida como respuesta a una señal de entrada.
x y
SISTEMA
Esto puede extenderse a múltiples entradas y
salidas.
x1, x2, … xn y1, y2, … yn
SISTEMA
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4. Sistemas
En función de la distribución temporal de las señales que
procesa existen dos tipos de sistemas:
Sistemas continuos: procesan señales en tiempo
continuo.
x(t) y(t)
SISTEMA
Sistemas discretos: procesan señales en tiempo discreto.
x[n] y[n]
SISTEMA
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5. Sistemas
Nos centraremos en los segundos por lo que,
en adelante, cuando se hable de sistema nos
referiremos a sistemas en tiempo discreto.
x[n] SISTEMA y[n]
h[n]
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6. Sistemas
El flujo de señal a través de un sistema puede
representarse de dos formas. Suponiendo que la señal de
entrada es x[n] y la de salida es y[n] podemos decir que:
x[n] produce y[n]: lo que denotaremos como
x[n] → y[n]
y[n] es la respuesta ante x[n]: lo que denotaremos como
y[n] = T{x[n]}
Ambas representaciones son equivalentes.
x[n] y[n]
SISTEMA
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7. Ecuación de recurrencia
Modelo de un sistema: Es una representación
matemática de su comportamiento; y se
representa mediante su ecuación de
recurrencia, que determina cómo se calcula
su salida.
Este cálculo puede realizarse, en principio, a
partir de cualquier otra muestra; ya sea ésta
de entrada o de salida, o bien, previa, actual o
posterior.
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8. Ecuación de recurrencia
Sistema recursivo: y[n] depende de sí misma:
y[n] = x[n] + 3y[n - 1]
Sistema no recursivo: y[n] depende sólo de x[n]:
y[n] = 2x[n] - x[n - 1]
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9. Respuesta de estado estable (REE)
La respuesta de estado estable de un sistema se
define como su respuesta ante una determinada señal
una vez superados los efectos transitorios producidos
por la activación repentina de la entrada:
Ejemplo: promediador móvil de 5 términos.
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10. Respuesta a la muestra unitaria (RMU)
La respuesta a la muestra unitaria (también
llamada respuesta al impulso o respuesta
impulsional) es la respuesta del sistema ante la
secuencia muestra unitaria o secuencia delta:
h[n] = T{δ[n]}
La RMU de un determinado sistema caracteriza
inequívocamente su comportamiento ante
cualquier entrada, por lo que constituye un
modelo del mismo.
δ[n] h[n] x[n] SISTEMA y[n]
SISTEMA
h[n]
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11. Respuesta a la muestra unitaria (RMU)
La respuesta a la muestra unitaria es una
secuencia y, como tal, puede ser finita o
infinita:
Sistemas FIR (finite impulse response),
cuya respuesta a la muestra unitaria es
finita.
Sistemas IIR (infinite impulse response),
cuya respuesta a la muestra unitaria es
infinita.
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12. RMU
¿Un sistema recursivo es siempre de tipo IIR?. No siempre?
y[n] = x[n] - 0,25x[n - 2] + 0,5y[n - 1]
h[n] = d[n] - 0,25d[n - 2] + 0,5h[n - 1]
h[0] = d[0] - 0,25d[-2] + 0,5h[-1] = 1
h[1] = d[1] - 0,25d[-1] + 0,5h[0] = 0,5
h[2] = d[2] - 0,25d[0] + 0,5h[1] = 0
h[3] = d[3] - 0,25d[1] + 0,5h[2] = 0
h[4] = d[4] - 0,25d[2] + 0,5h[3] = 0
...
¿Un sistema recursivo es siempre de tipo FIR?. No siempre?
y[n] = x[n] – 2 x[n - 3] + 2 y[n - 2]
Graficar las respuestas de los sistemas recursivos dados.
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13. Sistemas LIT
Lineal Principio de superposición
- Homogéneo
(escalado)
Principio de superposición
- Aditivo
(no interacción)
Un sistema es lineal si cumple el principio de
superposición (si cumple la homogeneidad y la
aditividad)
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14. Sistemas LIT
Un sistema cumple la propiedad de homogeneidad
(también llamada de escalado) si un cambio de amplitud
en la entrada produce el mismo cambio de amplitud en la
salida:
T{Ka[n]} = KT{a[n]
Un sistema cumple la propiedad de aditividad si dos
señales sumadas lo atraviesan sin interactuar entre ellas:
T{a[n] + b[n]} = T{a[n]} + T{b[n]}
Así, si un sistema es homogéneo y aditivo cumple el
principio de superposición; el cual puede formularse
como:
T{Ka[n] + Lb[n]} = KT{a[n]} + LT{b[n]}
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15. Sistemas LIT
Un sistema es invariante con el tiempo si un
desplazamiento en la señal de entrada produce otro
desplazamiento igual en la señal de salida. Es decir,
si se cumple que:
y[n] = T{x[n]} => T{x[n - k]} = y[n - k]
Cuando un sistema cumple todas estas propiedades
se dice que es lineal e invariante con el tiempo
(LIT).
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16. Sistemas LIT
En los sistemas LIT, la respuesta ante cualquier
entrada puede calcularse como la convolución de la
señal de entrada y de su respuesta a la muestra
unitaria.
Esto se refleja en lo que se conoce como ecuación de
convolución:
y[n] = T{x[n]} = x[n] * h[n] = Σk=-∞,∞ x[k]h[n - k]
x[n] SISTEMA y[n]
h[n]
y[n]=x[n] * h[n]
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17. Otras propiedades de los sistemas
Un sistema no tiene memoria si y sólo si la muestra
de salida para cualquier valor de n depende
exclusivamente de la muestra de entrada para ese
valor.
Un ejemplo de este tipo de sistemas sería el sistema
amplificador en el que:
y[n] = Gx[n], siendo G una constante
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18. Otras propiedades de los sistemas
Un sistema es causal si y sólo si cumple el principio
de causalidad.
Este principio dice que el efecto no puede preceder a
la causa.
En un sistema esto se traduce en que la muestra de
salida y[n] sólo puede calcularse a partir de las
muestras anteriores.
Formalmente, un sistema es causal si y sólo si su
respuesta a la muestra unitaria lo es:
T{} es causal ↔ T{d[n]} = 0, n < 0
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19. Otras propiedades de los sistemas
Un sistema es estable si y sólo si cualquier
secuencia acotada a su entrada produce otra
secuencia a su salida también acotada.
Esto es equivalente a decir que un sistema es
estable si y sólo si su respuesta a la muestra
unitaria es módulo sumable:
T{} es estable ↔ Σn=-∞,∞ |h[n]| < ∞
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20. Conexión sistemas LIT
h1[n] h2[n]
Si dos sistemas LIT (definidos por h1[n] y
h2[n]) se encuentran conectados en serie, la
respuesta a la muestra unitaria del sistema,
equivalente h3[n] es la convolución de h1[n] y
h2[n]:
h3[n] = h1[n] * h2[n]
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21. Conexión sistemas LIT
h1[n]
h2[n]
Si dos sistemas LIT (definidos por h1[n] y
h2[n]) se encuentran conectados en paralelo,
la respuesta a la muestra unitaria del sistema,
equivalente h3[n] es la suma de h1[n] y h2[n]:
h3[n] = h1[n] + h2[n]
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22. Ecuación en diferencias lineal
Una subclase importante de los sistemas LIT son
aquellos sistemas en que la entrada y la salida
satisfacen una ecuación en diferencias
finitas.
Para ser estrictos debemos hablar de una
ecuación en diferencias lineal con coeficientes
constantes de la forma:
y[n] = Σk=0,Q b[k]x[n - k] - Σk=1,P a[k]y[n - k]
Si se diseña un sistema cuya ecuación de
recurrencia sea una ecuación de este tipo, ese
sistema será: (a) lineal, y (b) invariante con el
tiempo.
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23. Ecuación en diferencias lineal
Esta ecuación puede expresarse de forma equivalente:
Σk=0,P a[k]y[n - k] = Σk=0,Q b[k]x[n - k] (a[0] = 1)
De manera simplificada, podemos expresar esta ecuación
mediante operaciones de convolución:
b[n] * x[n] = a[n] * y[n]
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24. Revisión
• En este capítulo se estudiaron diversas propiedades de los
sistemas.
• Dos de ellas, la linealidad y la invarianza con el tiempo juegan un
papel fundamental en el análisis de señales y sistemas, debido a
que muchos fenómenos físicos se pueden modelar mediante
sistemas LIT.
• Un problema fundamental en el análisis de sistemas es hallar la
respuesta a una entrada determinada.
• Esto se puede obtener mediante ecuaciones en diferencias o
explotando el hecho de la linealidad e invarianza en el tiempo. De
lo anterior surge el concepto de sumatoria de convolución.
• Un sistema LIT se puede formular mediante una ecuación en
diferencias de coeficientes constantes, la cual presenta la forma
general siguiente:
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25. Revisión
• Resolver la ecuación en diferencias consiste en
encontrar una expresión para y[n], es decir, generar la
secuencia:
{y(0), y(1), y(2), ....,y(N),...}
• Antes de estudiar apropiadamente los métodos de
solución de una ecuación en diferencias, presentaremos
algunas propiedades importantes de los sistemas
lineales invariantes.
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26. Revisión
Propiedades de los sistemas LIT.
1 Superposición.
El principio de superposición establece que:
a) Si un sistema se excita con K veces una función, la
respuesta es K veces la respuesta original.
b) Si el sistemas se excita con la suma de dos funciones, la
respuesta es la suma de las respuestas
individuales.
Entrada Salida
x[n] y[n]
Kx[n] Ky[n]
Kx1[n] + Kx2[n] Ky1[n] + Ky2[n]
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27. Revisión
Propiedades de los sistemas LIT.
2 Desplazamiento.
Si la excitación de un sistema lineal invariante se traslada en el
tiempo, entonces la respuesta se traslada en la misma cantidad:
Entrada Salida
x[n-n0] y[n-n0]
3 Respuesta natural.
Es la respuesta de un sistema cuando se excita con el impulso
digital unitario. La denotamos por: h(n).
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28. Revisión
Propiedades de los sistemas LIT.
4. Convolución.
Cuando un sistema lineal invariante se excita con una señal
cualquiera: x(n), la respuesta es la convolución entre la entrada
y la respuesta natural, así:
y[n] = conv( x[n] , h[n] )
La convolución de dos funciones de variable discreta: x[n] y
h[n], se define de la siguiente manera:
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29. Revisión
Propiedades de los sistemas LIT.
A continuación se presenta una deducción poco rigurosa de la
sumatoria de convolución de dos funciones.
Supongamos que la respuesta al impulso unitario es h[n], esto es:
Ahora aplicamos la importante propiedad de la función impulso:
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30. Revisión
Ahora bien, si sumamos las entradas correspondientes a k desde
menos infinito hasta infinito, tenemos:
Teniendo en cuenta que la entrada así expresada corresponde
a la función: x[n], obtenemos finalmente que:
Entrada Salida
x[n] y[n]=conv(x[n],h[n])
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31. Revisión
Ejemplo 1.
Encuentre la fórmula para expresar la siguiente suma:
Restando las expresiones anteriores, tenemos:
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32. Revision
Ejemplo 2.
Encuentre una fórmula para la suma:
Hacemos uso de la fórmula encontrada
previamente, teniendo en cuenta que
la suma dada se puede escribir como:
De lo anterior podemos concluir que si,
la sumatoria llevada hasta el infinito es
convergente y está dada por:
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33. Revisión
Ejemplo 3.
Si la señal de entrada: x[n]= 3 δ(n-2) se aplica a un
sistema lineal, causal e invariante con el tiempo la
salida es:
para n >=2.
Encontrar la respuesta al impulso, h[n] del sistema.
Solución:
Por definición, h[n] es la respuesta del sistema a la
entrada δ[n]. Como el sistema es lineal e invariante
con el tiempo, se tiene:
x[n+2] = 3 δ[n], o sea que δ[n] = 1/3 x[n+2]. Como
la convolución de h[n] con δ[n] es por definición igual
a h[n] , se tiene que h[n] = 1/3 y[n+2].
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34. Revisión
La salida se puede expresar en la siguiente forma:
De forma que, h[n] = 1/3 y[n+2]:
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35. Revisión
Ejemplo 4.
Encuentre la convolución entre las funciones:
a) h(n)= 2-n .u(n)) y x1(n)= u(n) .Represéntela gráficamente
b) h(n)= 2-n .u(n)) y x2(n)= u(n) -u(n-5). Represéntela gráficamente
Solución:
Hacemos la correspondientes asignaciones.
Podemos calcular las convoluciones de manera simbólica, asi:
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36. Revisión
Puede notarse que u(n - k)=1 para K = 0,1,2,....n con lo que
podemos escribir;
Simplificando y denotando la convolución por y1(n), se obtiene y1[n]=
2(1-2-(n+1))u(n).
Para el caso b), se obtiene: x2[n]= u(n)-u(n-5).
Por tanto, usando la propiedad de traslación y el resultado anterior,
tenemos:
y2[n]= y1[n]-y1[n-5].
y2[n]= 2(1-2-(n+1))u(n)- 2(1-2-(n-5+1))u(n-5).
Simplificado, se encuentra que: y2[n]= 2(1-2-(n+1))u(n)- 2(1-24-n)u(n-5).
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37. Revisión
Si se hacen las
correspondientes
asignaciones, se tiene
que:
y1[n]= 2(1-2-(n+1))u(n).
y2[n]= 2(1-2-(n+1))u(n)-
2(1-24-n)u(n-5).
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38. Revisión
Ejemplo 5.
En un sistema lineal e invariante con el
tiempo, determine y(n) sabiendo que:
Solución.
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39. Revisión
Se sabe que u(m) u( n-m) =1 para y 0 para otra asignación.
Se sabe que u(m-7) u(n-m) = 1 para y 0 para otra asignación.
Por tanto
Cuando la excitación es u[n-5], la respuesta será y[n-5]. Por tanto,
para la excitación dada, la respuesta es:
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40. Revisión
Ejercicios
1. Sean
calcule las siguientes convoluciones:
a) x [n]* h[n]
b) x [n]* h[n-2]
c) x[n-2]* h[n]
2. Considere una entrada y una respuesta al impulso unitario dado
por:
determine y dibuje la salida y[n] .
3. Calcule y dibuje y[n] = x[n] * h[n] donde
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41. Revisión
4. Sea:
es un entero.
Determine y[n] = x[n] * h[n] si y[4] = 5 y y[14] = 0
5. Un sistema lineal invariante con el tiempo se excita con el impulso
digital unitario y su respuesta es:
Determine y[k] sabiendo que
x[k]= u(k)-u(k-4). Represente x[k] y
6. Un sistema lineal S tiene la relación :
donde g[n]=u(n)-u(n-4).
Determine y[n] cuando:
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42. Revisión
7. Considere el sistema discreto cuya
respuesta al impulso es:
Determinar el entero A tal que:
8. En el sistema lineal invariante cuyas
respuestas al impulso son:
¿Cuales corresponden a sistemas
causales y cuales a sistemas estables?
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43. Tarea 4
1. Realizar los mapas semántico y/o mapas conceptuales de
todo el contenido de la Diapositiva de la Sesión 7 y 8. DFT
y FFT.
2. Adjuntar fuentes que le han ayudado a consolidar la tarea.
Presentación:
• Impreso y en USB el desarrollo de la tarea.
• Los mapas semánticos se deben hacer en PowerPoint y los mapas
conceptuales en CMapTools.
• En USB adjuntar las fuentes (05 PDFs, 05 PPTs y 01 Video.).
• La fuente debe provenir de una universidad.
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44. Presentación
Todas las fuentes deben presentarse en formato digital
(USB), dentro de una carpeta que lleve las iniciales del curso,
sus Apellidos, guion bajo y luego el numero de la Tarea.
Ejemplo:
PDS_BenitezPalacios_T4
La fuente debe conservar el nombre original y agregar
_tema.
Las Tareas que no cumplan las indicaciones
no serán recepcionados por el profesor.
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45. Sesión 5 y 6. Sistemas LIT
Procesamiento Digital de Señales
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