Este documento presenta los conceptos fundamentales de la transformada discreta de Fourier (DFT) y la transformada rápida de Fourier (FFT). Explica las representaciones cartesiana y polar de los números complejos, el teorema de De Moivre, la transformada de Fourier, la periodicidad y simetría de la DFT, la inversa de la DFT, la respuesta en frecuencia, los tipos básicos de secuencias, la mariposa de N puntos y las propiedades de una secuencia. Finalmente, describe cómo la FFT calcula la DFT de forma más eficiente en tiempo

1. Facultad de Ingeniería Electrónica y Mecatrónica
Procesamiento Digital de Señales
(TC61)
Sesión: 7 y 8
DFT y FFT
Ing. José C. Benítez P.

2. Sesión 7 y 8. FFT
Números complejos:
Representación cartesiana: Operaciones básicas
Representación polar: Operaciones básicas
Teorema de De Moivre
Transformada de Fourier
Twiddle
Ejemplo de DFT
Periodicidad de la DFT
Simetría de la DFT
Inversa de la DFT
Respuesta en frecuencia de un sistema
Transformada rápida de Fourier (FFT)
Tipos básicos de secuencias
Mariposa de N puntos
Propiedades de una secuencia
Aplicaciones de la FFT
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3. Representación cartesiana de complejos
El conjunto de los números complejos (C) supone la
conjunción de los números reales y de los números
imaginarios.
Cualquier número complejo x será un vector de dos
componentes: una real, denominada parte real,
Re(x), y otra imaginaria, parte imaginaria, Im(x):
x = Re(x) + j Im(x)
Para representar un número complejo, es necesario
hacerlo en un diagrama de Argand: diagrama
bidimensional cuyos ejes de abscisas y ordenadas
representan la parte real e imaginaria
respectivamente.
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4. Operaciones básicas con complejos en
notación cartesiana
Igualdad:
a + jb = c + jd <=> a = c y b = d
Adición:
(a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d)
Sustracción:
(a + jb) - (c + jd) = (a - c) + j(b - d)
Producto:
(a + jb)(c + jd) = (ac - bd) + j(ad + bc)
Cociente:
(a + jb) / (c + jd) = [(ac + bd) + j(bc - ad)] / (c2 - d2)
Conjugación:
(a + jb)* = a - jb
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5. Representación polar de complejos
Complejo:
x = Re(x) + j Im(x)
Equivalencias:
|x| = √(Re2(x) + Im2(x)) = A
fase(x) = arctan[Im(x) / Re(x)] = a
Re(x) = |x|cos fase(x)
Im(x) = |x|sen fase(x)
Función exponencial compleja:
x = |x|ej fase(x) = Aeja
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6. Operaciones básicas con complejos en
notación polar
Producto:
Aeja Bejb = ABej(a + b)
Cociente:
Aeja / Bejb = (A / B)ej(a - b)
Equivalencia trigonométrica:
Aeja = A(cos a + j sen a)
Conjugación:
(Aeja)* = Ae-ja
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7. Teorema de De Moivre
En la exponenciación de complejos no pueden emplearse
las reglas algebraicas. Hay que seguir el teorema de De
Moivre:
Zk => [A(cos a + j sen a)]k
=> (Aeja)k = Akejka
=> Ak(cos ka + j sen ka)
Para Zk existe más de una solución por lo que hay que
poner especial cuidado en la exponenciación de
complejos.
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8. Transformada de Fourier
Debe su nombre al matemático francés Jean Baptiste
Joseph Fourier (1768-1830).
Esta transformación consigue llevar una señal expresada
en el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia
expresándola como la suma de muchas funciones
exponenciales complejas.
En función de su continuidad, existen dos transformadas
de Fourier utilizadas en el PDS:
Discrete Time Fourier Transform (DTFT)
Discrete Fourier Transform (DFT)
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9. Transformada de Fourier
Transformación: llevar una señal expresada en el dominio
del tiempo al dominio de la frecuencia expresándola
como la suma de muchas funciones exponenciales
complejas.
Discrete Time Fourier Transform (DTFT):
Transforma una secuencia en el tiempo, a su equivalente
frecuencial en forma de función compleja continua:
X(ω) = DTFT{x[n]} = Σn=-∞,∞ x[n]e-jωn
Discrete Fourier Transform (DFT):
Transforma una secuencia en el tiempo, a su equivalente
frecuencial en forma de función compleja discreta (es la
que puede calcularse en un computador):
X[k] = DFT{x[n]} = Σn=0,N-1 x[n]e-j2πnk/N
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10. Twiddle
Considerando la ecuación de la DFT:
X[k] = DFT{x[n]} = Σn=0,N-1 x[n]e-j2πnk/N
Teniendo en cuenta que N es la longitud de x[n], es muy
común extraer el factor WN = e-j2π/N, llamado twiddle, con lo
que la ecuación de la DFT queda así:
X[k] = DFT{x[n]} = Σn=0,N-1 x[n]WNnk
= x[0]WN0k + x[1]WN1k + … + x[N-1]WN(N-1)k
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11. Ejemplo de DFT
Ejemplo de DFT: Señal suma de
dos sinusoides de 1 Hz y 2 Hz
respectivamente (fs = 5 Hz)
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12. Ejemplo de DFT
• Ejercicio. Visualizar la DFT de una señal discreta, que es
calculada como un conjunto finito de frecuencias. Sea la
señal (secuencia)
h[n] = δ [n] + 0.5 δ [n − 1] + 0.2 δ[n − 2]
>> h=[1 0.5 0.2]
>> stem(h)
Calculamos 128 valores de la DFT:
>> H=fft(h,128);
El vector H recoge los valores de la
función H(ejw) en las siguientes
frecuencias:
wk =2πk/128 , k = 0, · · · , 127
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13. Ejemplo de DFT
Para visualizar la DFT hay que tener en cuenta que el vector
H contiene valores complejos, por lo que tendremos que
representar por separado su magnitud y su fase:
>> stem(2*pi*(0:127)/128,abs(H));
>> stem(2*pi*(0:127)/128,angle(H));
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14. Periodicidad de la DFT
Consiste en que la DFT, X[k], de una señal en tiempo
discreto x[n], es periódica (su periodo es la longitud de
x[n]: N)
Sea x[n] una señal en tiempo discreto
de longitud N. Se cumple que:
X[k] = DFT{x[n]} => X[k] = X[k mod N]
Lo que equivale a decir que:
X[k] = DFT{x[n]} => X[k] = X[k + aN], a ε Z
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15. Simetría de la DFT
Consiste en que la transformada discreta de
Fourier, X[k], de una señal real en tiempo
discreto, x[n], presenta simetría hermítica:
x[n] ∈ ℝ y
X[k] = DFT{x[n]} => X[k] = X[-k]*
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16. Inversa de la DFT
La transformada discreta de Fourier (DFT), se calcula:
X[k] = DFT{x[n]} = Σn=0,N-1 x[n] e-j2πnk/N
X[k] = DFT{x[n]} = Σn=0,N-1 x[n] WNnk ; WN = e-j2π/N
La inversa de la transformada discreta de Fourier (Inverse
Discrete Fourier Transform, IDFT) se calcula de manera muy
similar a la transformada directa de acuerdo con la siguiente
ecuación (N es la longitud de x[n]):
x[n] = IDFT{X[k]} = (1 / N) Σn=0,N-1 X[k] WN-nk
Como se verá más adelante esta similitud entre las dos formas
de la transformada (forma directa y forma inversa) nos permite
calcular la inversa a partir de la directa y, por tanto, aprovechar
cualquier algoritmo que calcule la transformada directa para
obtener la forma inversa.
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17. Respuesta en frecuencia de un sistema
El modelo de respuesta en frecuencia de un sistema
describe su comportamiento en términos de su
efecto en la amplitud y la fase de las
componentes frecuenciales que lo atraviesan.
Esta descripción se realiza mediante la función de
respuesta en frecuencia que se calcula como la
transformada de Fourier de la respuesta al impulso
unitario del sistema:
H(ω) = DTFT{h[n]}
H[k] = DFT{h[n]}
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18. Tipos básicos de secuencias
Cuadro resumen
H[k] = DFT{h[n]}
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19. Transformada rápida de Fourier (FFT)
La transformada rápida de Fourier (Fast Fourier
Transform, FFT) fue descrita por James Cooley y
John W. Tukey en 1965 y no es propiamente una
transformada.
Se trata en realidad de un algoritmo que permite
calcular la DFT en tiempo logarítmico.
Debería por tanto considerarse más bien como
algoritmo FFT para hallar la DFT.
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20. Transformada rápida de Fourier (FFT)
Si observamos la fórmula de la DFT:
X[k] = DFT{x[n]} = Σn=0,N-1 x[n]e-j2πnk/N
vemos que su aplicación directa es de orden: o(n2).
El objetivo de la FFT es calcular la DFT en orden
logarítmico: o(n log2 n).
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21. Transformada rápida de Fourier (FFT)
Diagrama de flujo de una FFT de una señal de 4 elementos
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22. Transformada rápida de Fourier (FFT)
Diagrama de flujo de una FFT de una señal de 8 elementos
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23. Transformada rápida de Fourier (FFT)
Diagrama de flujo de una FFT de
una señal de 16 elementos
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24. Mariposa de N puntos
• Cómo puede observarse, el algoritmo FFT es
recursivo.
• El caso base de cualquier procesamiento FFT es
la mariposa.
• Una mariposa de N puntos es una
función/circuito (según se trate de una
implementación software o hardware) capaz de
calcular la FFT de una secuencia de N elementos
de manera directa (sin necesidad de recursión).
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25. Propiedades de una secuencia
• El caso base más habitual es la mariposa de 2 puntos:
X[k] = DFT{x[n]} = Σn=0,N-1 x[n]e-j2πnk/N
Y[0] = x[0] + x[1]
Y[1] = x[0] - x[1]
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26. Propiedades de una secuencia
The standard strategy to speed up an algorithm is to divide and
conquer. We have to find some way to group the terms in the equation
V[k] = Σn=0..N-1 WNkn v[n]
Let's see what happens when we separate odd ns from even ns (from
now on, let's assume that N is even):
V[k] = Σn even WNkn v[n] + Σn odd WNkn v[n]
= Σr=0..N/2-1 WNk(2r) v[2r] + Σr=0..N/2-1 WNk(2r+1) v[2r+1]
= Σr=0..N/2-1 WNk(2r) v[2r] + Σr=0..N/2-1 WNk(2r) WNk v[2r+1]
= Σr=0..N/2-1 WNk(2r) v[2r] + WNk Σr=0..N/2-1 WNk(2r) v[2r+1]
= (Σr=0..N/2-1 WN/2kr v[2r]) + WNk (Σr=0..N/2-1 WN/2kr v[2r+1])
where we have used one crucial identity:
WNk(2r) = e-2πi*2kr/N = e-2πi*kr/(N/2) = WN/2kr
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27. Propiedades de una secuencia
Notice an interesting thing: the two sums are nothing else but N/2-
point Fourier transforms of, respectively, the even subset and the
odd subset of samples. Terms with k greater or equal N/2 can be
reduced using another identity:
WN/2m+N/2 = WN/2mWN/2N/2 = WN/2m
which is true because Wmm = e-2πi = cos(-2π) + i sin(-2π)= 1.
If we start with N that is a power of 2, we can apply this subdivision
recursively until we get down to 2-point transforms.
We can also go backwards, starting with the 2-point transform:
V[k] = W20*k v[0] + W21*k v[1], k=0,1
The two components are:
V[0] = W20 v[0] + W20 v[1] = v[0] + W20 v[1]
V[1] = W20 v[0] + W21 v[1] = v[0] + W21 v[1]
We can represent the two equations for the components of the 2-
point transform graphically using the, so called, butterfly
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28. Propiedades de una secuencia
This graph can be further
simplified using this identity:
WNs+N/2 = WNs WNN/2
= -WNs
which is true because
WNN/2 = e-2πi(N/2)/N
= e-πi
= cos(-π) + isin(-π)
= -1
Here's the simplified butterfly:
Y[0] = x[0] + x[1]
Y[1] = x[0] - x[1]
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29. Propiedades de una secuencia
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30. Aplicaciones de la FFT
Tiene 3 aplicaciones fundamentales en DSP:
Cálculo de la DFT en tiempo logarítmico.
Cálculo de la IDFT en tiempo logarítmico.
Interpolación de señales.
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31. Cálculo de la DFT mediante FFT
• Esta aplicación es obvia y consiste
simplemente en aplicar el algoritmo FFT a la
señal:
X[k] = DFT{x[n]} = FFT{x[n]}
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32. Cálculo de la IDFT mediante FFT
• Para comprender la aplicación de la transformada
rápida al cálculo de la inversa de la transformada
discreta basta analizar la ecuación de esta última y
comprobar cómo puede obtenerse a partir de la
transformada discreta:
x[n] = IDFT{X[k]}
= (1 / N) (Σn=0,N-1 X[k]ej2πnk/N)**
= (1 / N) (Σn=0,N-1 X[k]*e-j2πnk/N)*
= (1 / N) DFT{X[k]*}*
= (1 / N) FFT{X[k]*}*
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33. Interpolación mediante FFT
• Consiste en interpolar una secuencia mediante su
paso al dominio frecuencial y posterior paso al dominio
del tiempo.
• Esta técnica se basa en calcular la transformada
discreta y rellenarla con ceros en su zona central.
Al calcular ahora la inversa de la transformada se
obtiene la secuencia original pero interpolada.
• Sin embargo, durante este cambio de dominio se
produce un desajuste en la amplitud de las muestras
de la secuencia debido a que la longitud de la secuencia
original es menor que la longitud de la nueva
secuencia. Este efecto puede compensarse de una
manera muy sencilla tal como se verá a continuación.
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34. Interpolación mediante FFT
El proceso de interpolación puede realizarse a través
de los siguientes pasos:
1. Sean v[n] la secuencia original, N su longitud y M
la cantidad de muestras deseada en la secuencia
resultante. M > N.
2. Calculamos la transformada discreta de v[n]:
V[k] = DFT{v[n]}
3. Dividimos la secuencia V[k] en dos mitades:
V[k] = {V1[k]; V2[k]}
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35. Interpolación mediante FFT
4. Creamos una nueva secuencia W[k] a partir de
estas dos mitades insertando en su centro los ceros
necesarios para que su longitud sea igual a M:
W[k] = {V1[k]; 0; 0; 0; ...; 0; 0; 0; V2[k]}
5. Calculamos la transformada inversa de W[k]:
w0[n] = IDFT{W[k]}
6. Corregimos el desajuste de amplitud:
w[n] = (M / N) w0[n]
7. Una vez terminado el proceso, la secuencia w[n]
interpola a la secuencia v[n]
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36. Interpolación mediante FFT
NOTA: Como se verá en el último capítulo, cuando
se comente la transformada discreta en dos
dimensiones, esta técnica de interpolación puede
extrapolarse a datos bidimensionales con lo que se
convierte también en una técnica de zoom para
imágenes digitales.
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37. Ejemplo de interpolación
Ejemplo de interpolación (de 16 a 256 muestras)
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38. Tarea 5
1. Realizar los mapas semántico y/o mapas conceptuales de
todo el contenido de la Diapositiva de la Sesión 9 y 10.- La
Transformada Z.
2. Adjuntar fuentes que le han ayudado a consolidar la tarea.
Presentación:
• Impreso y en USB el desarrollo de la tarea.
• Los mapas semánticos se deben hacer en PowerPoint y los mapas
conceptuales en CMapTools.
• En USB adjuntar las fuentes (05 PDFs, 05 PPTs y 01 Video.).
• La fuente debe provenir de una universidad.
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39. Presentación
Todas las fuentes deben presentarse en formato digital
(USB), dentro de una carpeta que lleve las iniciales del curso,
sus Apellidos, guion bajo y luego el numero de la Tarea.
Ejemplo:
PDS_BenitezPalacios_T5
La fuente debe conservar el nombre original y agregar
_tema.
Las Tareas que no cumplan las indicaciones
no serán recepcionados por el profesor.
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40. Sesión 7 y 8. DFT y FFT
Procesamiento Digital de Señales
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