Vectores y Marco de referencia para segundo medios Chile

1. U1: Movimiento rectilíneo
OA 9 Analizar, sobre la base de la experimentación, el movimiento
rectilíneo uniforme y acelerado de un objeto respecto de un sistema de
referencia espacio-temporal, considerando variables como la posición,
la velocidad y la aceleración en situaciones cotidianas.

2. Contenido de esta presentación.
Vectores.
• Características del Vector.
• Cálculo de modulo.
• Tipos de escritura.
• Representación en el plano.
• Cálculo de componentes.
Marcos de referencia.
• Relación con vectores.
• Definición de trayectoria,
desplazamiento y posición.
• Aplicación en la vida cotidiana.

3.  VECTORES
O
P ¿Qué es un vector?
Un vector es un segmento orientado
(flecha) que indica el avance de un
punto inicial (O) a uno final (P).
Ahora vamos con sus características.

4. Los vectores tienen:
• Magnitud o Módulo: Longitud o valor numérico del vector
O
P
a
a: Cualquier número
O: Punto inicial
P: Punto final
𝑂𝑃 = 𝑎 (𝑚)
• Para poder nombrar un vector normalmente se
toma en cuenta su inicio y su final por lo tanto
en este caso sería OP y para indicar que es un
vector se escribe una flecha arriba.
Esto quiere decir que el
vector OP mide a
metros.

5. Los vectores tienen:
• Dirección: Corresponde al ángulo (∡) que forma con una línea
horizontal imaginara o en su efecto con el eje X del plano cartesiano.
a
P
O X
Y
∡
∡: Cualquier ángulo
Si tomamos como ejemplo el caso anterior
y agregamos una dirección, el vector OP
ahora tendría como nombre:
𝑂𝑃 = 𝑎 𝑚 ∡° Esto quiere decir que el
vector OP mide a
metros y tiene una
inclinación de ∡°.

6. Los vectores tienen:
• Sentido: Corresponde hacia donde apunta del vector. Normalmente
sentido puede ser representado con puntos cardinales como el norte,
sur, este y oeste.
a
P
E
N
∡
O
Si tomamos el ejemplo anterior y agregamos
además el sentido (que en el dibujo esta
entre el Norte (N) y el Este (E), el vector OP
tendría como nombre:
𝑂𝑃 = 𝑎 𝑚 ∡° 𝑁𝐸 Esto quiere decir que el
vector OP mide a
metros, tiene una
inclinación de ∡° y esta
entre el Norte y el Este.

7.  Cálculo del módulo y representación de un
vector en el plano
• Los vectores pueden representarse como un punto en un plano
cartesiano, esto quiere decir que tiene componentes (x , y).
Entonces el vector OP puede ser escrito como
𝑂𝑃(𝑥, 𝑦)
Esto quiere decir que tiene componentes en X
e Y, por lo tanto, puede graficarse en el plano
cartesiano.
X
O
P
Y

8. Entonces ¿Cómo se calcula el módulo?
• Si nos fijamos las líneas punteadas, los ejes y el mismo vector forman
un triángulo rectángulo.
X
O
P
Y
Y
X
P
O

9. X
P
O
Y Si nos fijamos, el módulo del vector
corresponde a la hipotenusa del triángulo, esto
quiere decir que para calcular el módulo
solamente necesitamos los puntos X e Y del
vector y aplicar Pitágoras.
Entonces para calcular el módulo podemos usar
la siguiente formula:
𝑂𝑃 = (𝑥2 + 𝑦2)

10. Ejemplo: Ejercicios a) de la guía.
a) La formula es:
(𝑥2 + 𝑦2)
Si nos fijamos x= 3 e y= 8. Si reemplazamos los
valores en la formula quedaría.
(32 + 82)
Ahora solo tenemos que resolver.

11. (32 + 82)
(9 + 64)
73
8,54
Puede dejar el resultado
como raíz expresado si no
posee calculadora.

12.  Tipos de escritura
Los vectores pueden
escribirse de muchas
formas. Por ejemplo:
𝑂𝑃 = 2 𝑚 45° 𝑁𝐸
𝑂𝑃: (2 , 2)
Sin embargo, existe una tercera forma y esta
es a través de vectores unitarios.
¿Cómo se usan?
Los vectores unitarios son aquellos que
dependen de las componentes X e Y.
Si tenemos un vector OP: (x , y) si lo
escribimos con vectores unitarios seria:
𝑂𝑃 = ±x𝑖 ± 𝑦𝑗

13. Ejemplos:
𝑂𝑃 2,3 = 2𝑖 + 3𝑗
𝐴𝐵 −2,1 = −2𝑖 + 3𝑗
𝑃𝑄 0,3 = 0𝑖 + 3𝑗 = 3𝑗
𝐸𝐹 −3, −7 = −3𝑖 − 7𝑗

14.  Cálculo de componentes
• A lo largo de las clases, si se fijan, los vectores se representan en un
plano cartesiano de coordenadas X e Y.
Con la información del módulo y dirección de un vector, podemos
obtener las componentes X e Y el mismo.
• Para calcular las componentes de un vector necesitamos conocer la
función seno y la función coseno, funcionan a partir de la dirección
del vector.
RECUERDE: Cuando se habla sobre la dirección del
vector, nos estamos refiriendo al ÁNGULO de
inclinación de este.

15. Como funciona el seno y el coseno
• Para calcular el seno y el coseno debemos volver a la imagen donde
calculábamos el módulo del vector.
Y
X
P
O
Supongamos que el valor del módulo es a
y el ángulo del vector es cualquier
número entre 0° y 90° que llamaremos α.
Recordemos que el vector OP tiene
componentes en X e Y por lo tanto
podemos escribirlo como 𝑂𝑃(x, y).
a
α
x
y

16. Entonces lo que queremos calcular con esta
información, es el valor de x y de y.
Entonces para calcular el seno y el coseno
tenemos la siguientes formulas:
𝑆𝑒𝑛𝑜 =
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑜 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
𝐶𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 =
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑜 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
X
P
O
a
α
x
y
LADO
OPUESTO
LADO ADYACENTE

17. X
P
O
a
α
x
y
LADO
OPUESTO
LADO ADYACENTE
Con esas formulas podemos calcular seno y
coseno, pero, no olvidemos que nuestro
objetivo es calcular x e y.
A partir de las fórmulas anteriores solamente
nos queda por despejar o dejar solitos los lados
adyacente y opuesto. Tendríamos lo siguiente:
𝑆𝑒𝑛𝑜 ∗ ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑜 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 = 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
𝐶𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 ∗ ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑜 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 = 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

18. Ejemplos: Ejercicios 2 del Ítem III
Ejercicio 2:
9 km 170° NO
O
9 km
N
170°
Este ejercicio tiene algo curioso y es que no se
puede encontrar el lado adyacente y lado
opuesto normalmente, ya que, el ángulo esta en
dos cuadrantes, sin embargo podemos usar la
lógica.
Si recordamos el ángulo extendido es de 180° y
se ve así
180°

19. ¿Cuántos grados le falta al 170° para ser de 180°? Claro 10°
9 km
N
170°
10°
Ahora podemos trabajar con los 10° en vez de
los 170°.
¿Cuál es el lado adyacente y opuesto si
trabajamos en torno a los 10°?
10°
9 km
LADO ADYACENTE
LADO
OPUESTO
Si nos fijamos en este
caso el lado Opuesto
es la componente Y
(Norte), y el lado
Adyacente es la
componente X
(Oeste).
O

20. Ahora, solo nos queda tomar las formulas y reemplazar los valores.
𝑆𝑒𝑛𝑜 ∗ ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑜 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 = 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
𝑠𝑒𝑛 10° ∗ 9 = 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
0,17 ∗ 9 = 1,53
Lado opuesto = 1,53

21. Ahora, solo nos queda tomar las formulas y reemplazar los valores.
𝐶𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 ∗ ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑜 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
= 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
cos (10°) ∗ 9 = 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
0,98 ∗ 9 = 8,82
Lado opuesto = 8,82

22.  Marco de referencia.
• Un marco o sistema de referencias en es un conjunto de
convenciones usado por un observador para poder medir la posición
y otras magnitudes físicas de un sistema físico y de mecánica.
• Ejemplos más conocidos:
MAPAS PLANOS
CARTESIANOS
IMPORTANTE: Los sistemas de referencia
dependen del OBSERVADOR, es decir que
el observador pone las reglas en el mapa,
plano cartesiano, lo que vea los ojos del
observador.

23.  Trayectoria, desplazamiento y posición
Trayectoria: Es el camino recorrido
por el observador o el objeto de
estudio. Todo tramo caminado,
recorrido, nadado o lo que sea
cuenta como camino recorrido o
trayectoria.

24.  Trayectoria, desplazamiento y posición
Desplazamiento: Es la distancia
recorrida por un objeto o cuerpo,
tiene un inicio y un final, además,
siempre se representa con una línea
recta entre el inicio y el final
establecidos por el observador.
Si se da la ocasión de que el inicio y el
final son el mismo punto, el
desplazamiento es igual a cero.

25.  Trayectoria, desplazamiento y posición
Posición (𝒓):Es un punto en el marco
de referencia establecido, se puede
representar como un vector o punto
en el plano según le convenga al
observador y por lo tanto tiene
coordenadas X e Y.