Gregorio Sáez CI 27.585.197 Universidad Fermín Toro

1. COORDENADAS POLARES
ALUMNO:
GREGORIO SAEZ
DOCENTE:
DOMINGO MENDEZ

2. • En el año 1635 Bonaventura Cavalieri introdujo al mundo matemático
un sistema que permite graficar puntos y funciones, este fue llamado
“sistema de coordenadas polares” por basar la ubicación de los puntos
en su posición con respecto a un polo u origen del cual surge una
semirecta denotada eje polar.
Dentro de este sistema, un par ordenado P(r,θ) denotan la ubicación
de un punto.
P: Es el nombre dado a dicho punto
r: Es la distancia entre el punto y el polo
Θ:Es el ángulo que forma la recta imaginaria de r con el eje polar
(expresado en radianes)
Bonaventura Cavalieri.
matemático italiano

3. • UBICAR UN PUNTO:
-Se traza una recta que forme el
ángulo θ (del par ordenado) con
respecto al eje polar. De aquí surgen 2
variantes:
θ > 0 para lo cuál se mide el ángulo en
sentido anti-horario
θ < 0 en este caso el ángulo se medirá
en sentido horario
Por otra parte, si θ = 0 entonces, el punto
estará ubicado sobre el eje polar.

4. -Se mide la distancia r desde el polo y en su extremo se ubica el punto, esta
distancia r a su vez nos proporciona 2 variantes:
r > 0 ,en este caso se mide desde el polo hacia la línea trazada por el ángulo.
r < 0 , en este caso se reflejará esta distancia en la dirección opuesta a la recta
formada por θ.
Por otra parte, si r=0 el punto estará sobre el polo.

5. CONVERSIÓN DE COORDENADAS
Para convertir coordenadas rectangulares en polares y viceversa se tienen las siguientes
ecuaciones:
1.𝒙 = 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝜽
2.𝒚 = 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽
3.𝒓 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐
4.𝐭𝐚𝐧 𝜽 =
𝒚
𝒙

6. • GRAFICO DE ECUACIONES
Una parte fundamental de las ecuaciones la constituyen las
funciones.
𝑟 = 𝑓 𝜃
Debemos considerar que las coordenadas 𝑟, 𝜃 y
( −1 𝑛 𝑛 , 𝜃 + 𝑛𝜋) representan al mismo punto, por lo que la
gráfica de 𝑟 = 𝑓 𝜃 es la misma que la de:
(−1) 𝑛 𝑟 = 𝑓 𝜃 + 𝑛𝜋 , 𝑛 ∈ 𝕫
Recordemos que en el gráfico en coordenadas rectangulares de
una función 𝒚 = 𝒇(𝒙 ± 𝒄) se obtiene del gráfico de 𝒚 = 𝒇(𝒙)
trasladada C unidades hacia la izquierda o derecha si C es
positivo o negativo respectivamente, en coordenadas polares
ocurre algo similar: el gráfico de 𝑟 = 𝑓 𝜃 ± 𝑎 se obtiene de
rotar el grafico de 𝒓 = 𝒇(𝜽) 𝑎 radianes en sentido horario ( si 𝑎
es positivo) o anti-horario (si 𝑎 es negativo).

7. • Criterios de Simetría:
El gráfico de una ecuación polar es simétrico al:
-Eje polar si al reemplazar (𝑟, 𝜃) por (𝑟, −𝜃) en la ecuación se obtiene, una
ecuación equivalente.
-Eje
𝝅
𝟐
si al reemplazar (𝑟, 𝜃) por (−𝑟, −𝜃) en la ecuación, se obtiene una
ecuación equivalente.
-Polo si al reemplazar (𝑟, 𝜃) por (−𝑟, 𝜃) en la ecuación, se obtiene una ecuación
equivalente.

8. INTERSECCIÓN DE GRAFICAS
Debido a que existen diversas formas de escribir el mismo
punto dentro del sistema polar, el encontrar los puntos de
intersección de 2 funciones puede requerir de pasos más
extensos que en coordenadas polares, ya que se deben
considerar ciertas variables, sin embargo Existen cuatro pasos
generales para encontrar los puntos de intersección de dos
gráficas en coordenadas polares:
1.- Dibujar las curvas para ver cuantos puntos en común
existen.
2.-Resolver el sistema de ecuaciones:
𝒓 = 𝒇 𝜽
𝒓 = 𝒈(𝒙)
3.- Comprobar si el polo es un punto de intersección,
esto sucede cuando existen ángulos 𝜃1 y 𝜃2 tales que
𝑓(𝜃1) y 𝑔(𝜃2)
4.-Si no se han obtenido todos los puntos graficados
Considerar las otras formas de las ecuaciones:
(−1) 𝑛 𝑟 = 𝑓(𝜃 + 𝑛𝜋) o (−1) 𝑛 𝑟 = 𝑔(𝜃 + 𝑛𝜋)

9. Áreas de regiones entre gráficos polares
• Recordemos que el área de un sector circular
de radio r y ángulo central 𝜃 es:
𝐴 =
1
2
𝑟2
𝜃
• Del mismo modo que para la integral
definida, se toma una partición del intervalo
[𝛼, 𝛽] en 𝑛 sub-intervalos de igual longitud, y
al hacer 𝑛 → +∞ se obtiene la ecuación:
𝐴 =
1
2 𝛼
𝛽
[𝑓 𝜃 ]2
𝑑𝜃

10. FUNCIONES CON GRÁFICAS ARTÍSTICAS:
Existen funciones cuya representación en sus
coordenadas polares resultan interesantes e incluso
atractivas a la vista, como lo son los caracoles (muy
Comunes dentro de la naturaleza) y los corazones.