Este documento presenta una demostración para calcular el volumen de una esfera parcialmente sumergida en un medio, usando una integral triple en coordenadas esféricas. El volumen es la suma de la porción de semiesfera por encima del nivel del medio más la otra mitad de la semiesfera por debajo, donde el nivel del medio se define por la distancia h desde el centro de la esfera.

1. VOLUMEN DE UNA ESFERA SUMERGIDA PARCIALMENTE EN UN MEDIO
Figura 1: esfera sumergida parcialmente
Donde:
es la parte sombreada de la esfera
es
es (por demostrar)
Demostración:
Figura 2: Aplicando una integral triple se puede hallar una fórmula(la barra verde es un diferencial de volumen)

2. La parte superior de una esfera es , el plano , entonces la región
proyectada en el plano es el corte de la parte superior de la esfera con el plano con ecuación
igual a (figura 3)
Figura 3: proyección del corte entre la esfera y el plano
La integral triple sería la siguiente:
Haciendo un cambio de variables a coordenadas esféricas tenemos:
La relación sale del análisis de las coordenadas esféricas (triangulo rectángulo).
Figura 4: cambio de variables a coordenadas esféricas

3. Al resolver la integral triple nos queda:
Pero este volumen solo es la diferencia de la porción de semiesfera, así que debemos sumarle la
otra parte del volumen de la semiesfera de la parte negativa, entonces:
Lqqd.
Comprobación:
Si tenemos que solo está sumergida la mitad
Si tenemos que la esfera está totalmente salida del medio en la que flota

4. Si tenemos toda la esfera sumergida:

5. Hecho por Ivanovich ;-)