Los documentos presentan 7 ejercicios de cálculo de fuerzas y momentos. En cada ejercicio se dan las fuerzas actuantes sobre un sistema y se pide calcular otras fuerzas o momentos. Se resuelven sistemáticamente aplicando las leyes de la estática y el cálculo vectorial.

1. Ejercicio 1
El tornillo de la prensa ajustable en forma de C ejerce una fuerza vertical de 𝑭 = 𝟖𝟎𝟎 𝑵 en 𝑨 sobre el bloque fijador
𝑩. Determine las fuerzas que ejerce el bloque sobre el tubo liso en 𝑪 y 𝑫 y la fuerza que ejerce el tubo sobre el cojín
𝑷. Desprecie los pesos tanto del bloque como del tubo.
𝑅 𝑐 cos 30° = 𝑅 𝐷 cos 30°
𝑅 𝑐 = 𝑅 𝐷
𝑅 𝑐 sen 30° + 𝑅 𝐷 sen 30° = 800
𝑅 𝑐 (
1
2
) + 𝑅 𝑐 (
1
2
) = 800
𝑅 𝑐 = 800 𝑁
𝑅 𝐷 = 800 𝑁
𝑹 𝑷 = 𝟖𝟎𝟎 𝑵

2. Ejercicio 2
Se tiene una placa donde se dan las coordenadas de las intersecciones de CD y AB con los planos x-y e y-z expresadas
en metros. Determinar el momento de la tensión de 5000 N del cable respecto a C.
𝑟⃗𝐶𝐴 = 𝐴 − 𝐶 = (0, 1.5, 0.9) − (1.2, 1.8, 0) = (−1.2, −0.3, 0.9)
𝑇⃗⃗ = 𝑇 𝑢⃗⃗⃗⃗
𝑢⃗⃗ =
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (1.8, 0.9, 0) − (0, 1.5, 0.9) = (1.8, −0.6, −0.9)
|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √(1.8)2 + (−0.6)2 + (−0.9)2 = 2.1
𝑢⃗⃗ =
(1.8, −0.6, −0.9)
2.1
𝑇⃗⃗ = 5000
(1.8, −0.6, −0.9)
2.1
=
5000
2.1
(1.8, −0.6, −0.9)
𝑀 𝐶 = 𝑟⃗𝐶𝐴 × 𝑇⃗⃗ =
5000
2.1
|
𝑖⃗⃗ 𝑗⃗⃗⃗ 𝑘⃗⃗⃗⃗
−1.2 −0.3 0.9
1.8 −0.6 −0.9
|
𝑀 𝐶 =
5000
2.1
(0.81 𝑖⃗⃗ + 0.54 𝑗⃗⃗⃗ + 1.26 𝑘⃗⃗⃗⃗)
𝑴 𝑪 =
𝟓𝟎𝟎𝟎
𝟕
(𝟐𝟕 𝒊⃗⃗⃗ + 𝟏𝟖 𝒋⃗⃗⃗ + 𝟒𝟐 𝒌⃗⃗⃗⃗) 𝑵 𝒎

3. Ejercicio 3
Tratando de derribar una rama casi aserrada, el podador tira con una fuerza de 400 N de la cuerda enlazada en A a la
rama. Hallar el momento respecto al punto C de la fuerza que se ejerce sobre la rama y consignar el módulo de ese
momento.
𝑟⃗𝐶𝐴 = 𝐴 − 𝐶 = (0, 8, 11) − (0, 2, 8) = (0, 6, 3)
𝑇⃗⃗ = 𝑇 𝑢⃗⃗⃗⃗
𝑢⃗⃗ =
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (6, 10, 2) − (0, 8, 11) = (6, 2, −9)
|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √(0)2 + (2)2 + (−9)2 = 11
𝑢⃗⃗ =
(6, 2, −9)
11
𝑇⃗⃗ = 400
(6, 2, −9)
11
=
400
11
(6, 2, −9)
𝑀 𝐶 = 𝑟⃗𝐶𝐴 × 𝑇⃗⃗ =
400
11
|
𝑖⃗⃗ 𝑗⃗⃗⃗ 𝑘⃗⃗⃗⃗
0 6 3
6 2 −9
|
𝑀 𝐶 =
400
11
(−60 𝑖⃗⃗ + 18 𝑗⃗⃗⃗ − 36 𝑘⃗⃗⃗⃗)
|𝑀 𝐶| =
400
11
√(−60)2 + (18)2 + (−36)2
|𝑀 𝐶| = 2 627.3 𝑁𝑚
𝑀 𝐶 =
5000
7
(27 𝑖⃗⃗ + 18 𝑗⃗⃗⃗ + 42 𝑘⃗⃗⃗⃗) 𝑁𝑚
𝑴 𝑪 = −𝟐𝟏𝟖𝟏. 𝟖 𝒊⃗⃗⃗ + 𝟔𝟓𝟒. 𝟓𝟓 𝒋⃗⃗⃗ − 𝟏𝟑𝟎𝟗 𝒌⃗⃗⃗⃗ 𝑵𝒎

4. Ejercicio 4
Las dos fuerzas que actúan sobre los mangos de las llaves para tubos constituyen un par M. Expresar éste en forma de
vector.
𝑟⃗𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = (−0.15, −0.25, 0) − (0, 0.25, 0) = (−0.15, −0.5, 0) = −0.15 𝑖⃗⃗ − 0.5 𝑗⃗⃗⃗
𝐹⃗1 = 150 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝑁
𝑀 = 𝑟⃗𝐴𝐵 × 𝐹⃗1 = (−0.15 𝑖⃗⃗ − 0.5 𝑗⃗⃗⃗ ) × 150 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑀 = 22.5 𝑗⃗⃗⃗ − 75 𝑖⃗⃗
𝑴 = −𝟕𝟓 𝒊⃗⃗⃗ + 𝟐𝟐. 𝟓 𝒋⃗⃗⃗ 𝑵𝒎
Ejercicio 5
La fresa especial está sometida a la fuerza de 1200 N y al par de 240 N m que se muestran. Hallar el momento de este
sistema respecto al punto O.
𝐹⃗ = 240 sin 30 𝑗⃗⃗⃗ − 240 cos30 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝐹⃗ = 120 𝑗⃗⃗⃗ − 120√3 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑀 𝑂 = 𝑀 + 𝑟⃗𝑂𝐴 × 𝐹⃗ = 120 𝑗⃗⃗⃗ − 120√3 𝑘⃗⃗⃗⃗ − 150 𝑖⃗⃗ + 120√3 𝑗⃗⃗⃗ + 120 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑴 𝑶 = −𝟏𝟓𝟎 𝒊⃗⃗⃗ + 𝟏𝟐𝟎(𝟏 + √𝟑) 𝒋⃗⃗⃗ + 𝟏𝟐𝟎(𝟏 − √𝟑) 𝒌⃗⃗⃗⃗ 𝑵𝒎

5. Ejercicio 6
Una mesa ejerce cuatro fuerzas que se indican sobre la superficie del suelo. Reducir ese sistema a un sistema fuerza-
par en el punto O. Demostrar que R es perpendicular a Mo.
𝐹⃗1 = −200 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝑁, 𝐹⃗2 = −160 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝑁, 𝐹⃗3 = −80 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝑁, 𝐹⃗4 = −160 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝑁
𝑟⃗1 = 0.6 𝑗⃗⃗⃗ , 𝑟⃗2 = 0⃗⃗⃗⃗ , 𝑟⃗3 = 0.9 𝑖⃗⃗ , 𝑟⃗4 = 0.9 𝑖⃗⃗ + 0.6 𝑗⃗⃗⃗
𝑅⃗⃗ = 𝐹⃗1 + 𝐹⃗2 + 𝐹⃗3 + 𝐹⃗4
𝑅⃗⃗ = −200 𝑘⃗⃗⃗⃗ − 160 𝑘⃗⃗⃗⃗ − 80 𝑘⃗⃗⃗⃗ − 160 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑅⃗⃗ = −600 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝑁
𝑀 𝑂 = 𝑟⃗1 × 𝐹⃗1 + 𝑟⃗2 × 𝐹⃗2 + 𝑟⃗3 × 𝐹⃗3 + 𝑟⃗4 × 𝐹⃗4
𝑀 𝑂 = 0.6 𝑗⃗⃗⃗ × (−200 𝑘⃗⃗⃗⃗) + 0⃗⃗⃗⃗ × (−160 𝑘⃗⃗⃗⃗) + 0.9 𝑖⃗⃗ × (−80 𝑘⃗⃗⃗⃗) + 0.9 𝑖⃗⃗ + 0.6 𝑗⃗⃗⃗ × (−160 𝑘⃗⃗⃗⃗ )
𝑀 𝑂 = −120 𝑖⃗⃗ + 72 𝑗⃗⃗⃗ + 144 𝑗⃗⃗⃗ − 96 𝑖⃗⃗
𝑀 𝑂 = −216 𝑖⃗⃗ + 216 𝑗⃗⃗⃗ 𝑁𝑚
𝑅⃗⃗ . 𝑀 𝑂 = (−600 𝑘⃗⃗⃗⃗ ) . (−216 𝑖⃗⃗ + 216 𝑗⃗⃗⃗ )
𝑅⃗⃗ . 𝑀 𝑂 = 600 (216 ) ( 𝑘⃗⃗⃗⃗ . 𝑖⃗⃗ − 𝑘⃗⃗⃗⃗ . 𝑗⃗⃗⃗ )
𝑅⃗⃗ . 𝑀 𝑂 = 600 (216 ) (0 − 0)
𝑅⃗⃗ . 𝑀 𝑂 = 0 (𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑘⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝑖⃗⃗, 𝑘⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝑗⃗⃗⃗)
→ 𝑹⃗⃗⃗ ⊥ 𝑴 𝑶

6. Ejercicio 7
Sustituir las dos fuerzas y el par único por un sistema fuerza-par equivalente en el punto A.
𝐹⃗1 = −20 𝑖⃗⃗ 𝐾𝑁
𝐹⃗2 = −40 cos 𝜃° 𝑗⃗⃗⃗ − 40 sen 𝜃° 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝐾𝑁
𝐹⃗2 = −40 (
3
√10
) 𝑗⃗⃗⃗ − 40 (
1
√10
) 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝐾𝑁
𝐹⃗2 = −12√10 𝑗⃗⃗⃗ − 4 √10 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝐾𝑁
𝑅⃗⃗ = 𝐹⃗1 + 𝐹⃗2
𝑅⃗⃗ = −20 𝑖⃗⃗ − 12√10 𝑗⃗⃗⃗ − 4 √10 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝐾𝑁
𝑅⃗⃗ = 120 𝑖⃗⃗ − 37.95 𝑗⃗⃗⃗ − 12.65 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝐾𝑁
𝑟⃗1 = (2, 0, 1) − (2, 0, 0) = (0, 0, 1)
𝑟⃗1 = 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑟⃗2 = (0, 3, 1) − (2, 0, 0) = (−2, 3, 1)
𝑟⃗2 = −2 𝑖⃗⃗ + 3 𝑗⃗⃗⃗ + 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑀 = 𝑟⃗1 × 𝐹⃗1 + 𝑟⃗2 × 𝐹⃗2 + 35 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑀 = 𝑘⃗⃗⃗⃗ × (−20 𝑖⃗⃗) + |
𝑖⃗⃗ 𝑗⃗⃗⃗ 𝑘⃗⃗⃗⃗
−2 3 1
0 −12√10 −4√10
| + 35 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑀 = −20 𝑗⃗⃗⃗ − 8√10 𝑗⃗⃗⃗ + 24√10 𝑘⃗⃗⃗⃗ + 35 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑴 = −𝟒𝟓. 𝟑 𝒋⃗⃗⃗ + 𝟏𝟏𝟎. 𝟖𝟗 𝒌⃗⃗⃗⃗ 𝑵𝒎

7. Ejercicio 8
Representar la resultante del sistema de fuerzas que actúa sobre el conjunto de tubos mediante un sistema fuerza-par
en A.
𝐹⃗1 = 120 𝑖⃗⃗ 𝑁
𝐹⃗2 = −100 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝑁
𝐹⃗3 = −180 𝑗⃗⃗⃗ 𝑁
𝐹⃗4 = 160 sen 25° 𝑖⃗⃗ + 160 cos 25° 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝑁
𝐹⃗5 = −160 sen 25° 𝑖⃗⃗ − 160 cos 25° 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝑁
𝑅⃗⃗ = 𝐹⃗1 + 𝐹⃗2 + 𝐹⃗3 + 𝐹⃗4 + 𝐹⃗5 + 𝐹⃗6
𝑅⃗⃗ = 120 𝑖⃗⃗ − 100 𝑘⃗⃗⃗⃗ − 180 𝑗⃗⃗⃗ 160 sin 25 𝑖⃗⃗ + 160 cos 25° 𝑘⃗⃗⃗⃗ − 160 sin 25 𝑖⃗⃗ − 160 cos 25° 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑹⃗⃗⃗ = 𝟏𝟐𝟎 𝒊⃗⃗⃗ − 𝟏𝟖𝟎 𝒋⃗⃗⃗ − 𝟏𝟎𝟎 𝒌⃗⃗⃗⃗
𝑟⃗⃗⃗ = (0.3 − 0.1 cos 25° , 0.2, 0.1 sen 25°) − (0.3 + 0.15 cos 25° , 0.2, −0.15 sen 25°)
𝑟⃗⃗⃗ = (−0.25 cos 25° , 0, 0.25 sen 25°)
𝑀 = 𝑟⃗ × 𝐹⃗4 = |
𝑖⃗⃗ 𝑗⃗⃗⃗ 𝑘⃗⃗⃗⃗
−0.25 cos25° 0 0.25 sen 25°
160 sen 25° 0 160 cos 25°
|
𝑀 = 40 𝑗⃗⃗⃗
𝑟⃗1 = 0.25 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑟⃗2 = 0.3 𝑖⃗⃗
𝑀⃗⃗⃗𝐴 = 𝑟⃗1 × 𝐹⃗1 + 𝑟⃗2 × 𝐹⃗2 + 𝑀 + 50 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑀⃗⃗⃗𝐴 = 0.25 𝑘⃗⃗⃗⃗ × (120 𝑖⃗⃗) + 0.3 𝑖⃗⃗ × (−100 𝑘⃗⃗⃗⃗) + 40 𝑗⃗⃗⃗ + 50 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑴⃗⃗⃗⃗ 𝑨 = 𝟏𝟎𝟎 𝒋⃗⃗⃗ + 𝟓𝟎 𝒌⃗⃗⃗⃗ 𝑵𝒎

8. Ejercicio 9
Al espárrago B del soporte rígido se aplica un par del sentido que se indica y de momento 290 Nm junto con las dos
fuerzas indicadas. Si se aplicaran las dos fuerzas en A en vez de en B, calcular el momento resultante M (incluido en
par dado) aplicado en B que compensara totalmente el traslado de las fuerzas en lo que concierne a la respuesta del
soporte como cuerpo rígido.
𝐹⃗1 = −900 𝑗⃗⃗⃗ 𝑁
𝐹⃗2 = −1250 cos60° 𝑖⃗⃗ − 1250 sen 60° 𝑗⃗⃗⃗ 𝑁
𝐹⃗2 = −625 𝑖⃗⃗ − 625 √3 𝑗⃗⃗⃗ 𝑁
𝑟⃗⃗⃗ = 0.3 𝑖⃗⃗ − 0.275 𝑗⃗⃗⃗ + 0.45 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑀 = 𝑟⃗⃗⃗ × 𝐹⃗1 + 𝑟⃗⃗⃗ × 𝐹⃗2 + 290 𝑖⃗⃗
𝑀 = (0.3 𝑖⃗⃗ − 0.275 𝑗⃗⃗⃗ + 0.45 𝑘⃗⃗⃗⃗) × (−900 𝑗⃗⃗⃗) + |
𝑖⃗⃗ 𝑗⃗⃗⃗ 𝑘⃗⃗⃗⃗
0.3 −0.275 0.45
−625 −625√3 0
| + 290 𝑖⃗⃗
𝑀 = −270 𝑘⃗⃗⃗⃗ + 405 𝑖⃗⃗ + 281.25√3 𝑖⃗⃗ − 281.25 𝑗⃗⃗⃗ − (187.5√3 + 171.875) 𝑘⃗⃗⃗⃗ + 290 𝑖⃗⃗
𝑴 = 𝟏𝟏𝟖𝟐. 𝟏𝟒 𝒊⃗⃗⃗ − 𝟐𝟖𝟏. 𝟐𝟓 𝒋⃗⃗⃗ − 𝟕𝟔𝟔. 𝟔𝟑 𝒌⃗⃗⃗⃗

9. Ejercicio 10
El motor de 30 Kb está montado sobre el soporte y su eje resiste el empuje de 15 kp y el par de 2,5 m kp aplicados a
él. Determinar la resultante del sistema de fuerzas indicado, en función de una fuerza R en A y un par M.
𝐹⃗1 = −15 𝑖⃗⃗ 𝑘𝑝
𝐹⃗2 = −20 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝑘𝑝
𝑅⃗⃗⃗⃗ = 𝐹⃗1 + 𝐹⃗2
𝑅⃗⃗⃗⃗ = −15 𝑖⃗⃗ − 20 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝑘𝑝
𝑟⃗⃗⃗ = 0.075 𝑖⃗⃗ + 0.2 𝑗⃗⃗⃗ + 0.025 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑀 = 𝑟⃗⃗⃗ × 𝐹⃗1 + 𝑟⃗⃗⃗ × 𝐹⃗2 − 2.5 𝑖⃗⃗
𝑀 = 𝑟⃗⃗⃗ × 𝑅⃗⃗⃗⃗ − 2.5 𝑖⃗⃗
𝑀 = (0.075 𝑖⃗⃗ + 0.2 𝑗⃗⃗⃗ + 0.025 𝑘⃗⃗⃗⃗) × (−15 𝑖⃗⃗ − 20 𝑘⃗⃗⃗⃗ ) − 2.5 𝑖⃗⃗
𝑀 = 3 𝑘⃗⃗⃗⃗ − 0.375 𝑗⃗⃗⃗ + 1.5 𝑗⃗⃗⃗ − 5 𝑖⃗⃗ − 2.5 𝑖⃗⃗
𝑴 = −𝟕. 𝟓 𝒊⃗⃗⃗ + 𝟏. 𝟏𝟐𝟓 𝒋⃗⃗⃗ + 𝟑 𝒌⃗⃗⃗⃗ 𝒌𝒑 𝒎

10. Ejercicio 11
Apartado a
𝐹⃗1 = −84 𝑗⃗⃗⃗ 𝑁
𝐹⃗2 = −80 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝑁
𝑅⃗⃗⃗⃗ = 𝐹⃗1 + 𝐹⃗2
𝑹⃗⃗⃗⃗ = −𝟖𝟒 𝒋⃗⃗⃗ − 𝟖𝟎 𝒌⃗⃗⃗⃗ 𝑵
Apartado b
𝑃 =
𝑅⃗⃗ ∙ 𝑀 𝑂
𝑅
𝑅2
𝑅 = √(−84)2 + (−80)2 = 116 𝑁
𝑟⃗1 = 0.6 𝑖⃗⃗ + 𝑎 𝑗⃗⃗⃗ + 0.1 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑟⃗2 = 0.4 𝑖⃗⃗ + 0.3 𝑗⃗⃗⃗ + 𝑏 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑀 𝑂
𝑅
= 𝑟⃗1 × 𝐹⃗1 + 𝑟⃗2 × 𝐹⃗2 − 30 𝑗⃗⃗⃗ − 32 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑀 𝑂
𝑅
= (0.6 𝑖⃗⃗ + 𝑎 𝑗⃗⃗⃗ + 0.1 𝑘⃗⃗⃗⃗) × (−84 𝑗⃗⃗⃗ ) + (0.4 𝑖⃗⃗ + 0.3 𝑗⃗⃗⃗ + 𝑏 𝑘⃗⃗⃗⃗) × (−80 𝑘⃗⃗⃗⃗) − 30 𝑗⃗⃗⃗ − 32 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑀 𝑂
𝑅
= −50.4 𝑘⃗⃗⃗⃗ + 8.4 𝑖⃗⃗ + 32 𝑗⃗⃗⃗ − 24 𝑖⃗⃗ − 30 𝑗⃗⃗⃗ − 32 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑀 𝑂
𝑅
= −15.6 𝑖⃗⃗ + 2 𝑗⃗⃗⃗ − 82.4 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝑁𝑚
𝑅⃗⃗ ∙ 𝑀 𝑂
𝑅
= (−84 𝑗⃗⃗⃗ − 80 𝑘⃗⃗⃗⃗ ) ∙ (−15.6 𝑖⃗⃗ + 2 𝑗⃗⃗⃗ − 82.4 𝑘⃗⃗⃗⃗)
𝑅⃗⃗ ∙ 𝑀 𝑂
𝑅
= −168 + 6592
𝑅⃗⃗ ∙ 𝑀 𝑂
𝑅
= 6424 𝑁2
𝑚
𝑃 =
6424
1162
𝑷 = 𝟎. 𝟒𝟕𝟕 𝒎

11. Apartado c
𝑟⃗⃗⃗ = 𝑥 𝑖⃗⃗ + 𝑧 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑀⃗⃗⃗1 = 𝑃 𝑅⃗⃗ = 0.477 (−84 𝑗⃗⃗⃗ − 80 𝑘⃗⃗⃗⃗) = −40.068 𝑗⃗⃗⃗ − 38.16 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑟⃗⃗⃗ × 𝑅⃗⃗ = |
𝑖⃗⃗ 𝑗⃗⃗⃗ 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑥 0 𝑧
−625 −625√3 0
| = 84𝑧 𝑖⃗⃗ + 80𝑥 𝑗⃗⃗⃗ − 84𝑥 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑀⃗⃗⃗1 + 𝑟⃗⃗⃗ × 𝑅⃗⃗ = 𝑀 𝑂
𝑅
−40.068 𝑗⃗⃗⃗ − 38.16 𝑘⃗⃗⃗⃗ + 84𝑧 𝑖⃗⃗ + 80𝑥 𝑗⃗⃗⃗ − 84𝑥 𝑘⃗⃗⃗⃗ = −15.6 𝑖⃗⃗ + 2 𝑗⃗⃗⃗ − 82.4 𝑘⃗⃗⃗⃗
84𝑧 𝑖⃗⃗ + 80𝑥 𝑗⃗⃗⃗ − 84𝑥 𝑘⃗⃗⃗⃗ = −15.6 𝑖⃗⃗ + 42.068 𝑗⃗⃗⃗ − 44.24 𝑘⃗⃗⃗⃗
84𝑧=−15.6
𝒛 = −𝟎. 𝟏𝟖𝟔
80𝑥 = 42.068
𝒙 = 𝟎. 𝟓𝟐𝟔

12. Ejercicio 12
Dos pernos A y B se aprietan aplicando las fuerzas y el par mostrados en la figura. Reemplace las dos llaves de torsión
por una sola llave de torsión equivalente y determine:
a) la resultante R,
b) el paso de la llave de torsión equivalente y
c) el punto donde el eje de la llave de torsión interseca al plano xz.
Apartado a
𝐹⃗1 = −26.4 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝒍𝒃
𝐹⃗2 = −17 sen θ° 𝑖⃗⃗ − 17 cos θ° 𝑗⃗⃗⃗ = −17 (
16
34
) 𝑖⃗⃗ − 17 (
30
34
) 𝑗⃗⃗⃗
𝐹⃗2 = −8 𝑖⃗⃗ − 15 𝑗⃗⃗⃗ 𝒍𝒃
𝑅⃗⃗⃗⃗ = 𝐹⃗1 + 𝐹⃗2
𝑹⃗⃗⃗⃗ = −𝟖 𝒊⃗⃗⃗ − 𝟏𝟓 𝒋⃗⃗⃗ − 𝟐𝟔. 𝟒 𝒌⃗⃗⃗⃗ 𝒍𝒃
Apartado b
𝑃 =
𝑅⃗⃗ ∙ 𝑀 𝐵
𝑅
𝑅2
𝑅 = √(−8)2 + (−15)2 + (−26.4)2 = 31.4 𝑙𝑏
𝑀 𝐵
𝑅
= 𝑟⃗1 × 𝐹⃗1 − 220 𝑘⃗⃗⃗⃗ − 238 sen θ° 𝑖⃗⃗ − 238 cosθ° 𝑗⃗⃗⃗
𝑟⃗1 = −10 𝑗⃗⃗⃗ + 10 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑀 𝐵
𝑅
= (−10 𝑗⃗⃗⃗ + 10 𝑘⃗⃗⃗⃗ ) × (−26.4 𝑘⃗⃗⃗⃗) − 220 𝑘⃗⃗⃗⃗ − 238(
16
30
) 𝑖⃗⃗ − 238(
30
34
) 𝑗⃗⃗⃗
𝑀 𝐵
𝑅
= 264 𝑖⃗⃗ − 220 𝑘⃗⃗⃗⃗ − 112 𝑖⃗⃗ − 210 𝑗⃗⃗⃗
𝑀 𝐵
𝑅
= 152 𝑖⃗⃗ − 210 𝑗⃗⃗⃗ − 220 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝑙𝑏 𝑖𝑛
𝑅⃗⃗ ∙ 𝑀 𝐵
𝑅
= (−8 𝑖⃗⃗ − 15 𝑗⃗⃗⃗ − 26.4 𝑘⃗⃗⃗⃗ ) ∙ (152 𝑖⃗⃗ − 210 𝑗⃗⃗⃗ − 220 𝑘⃗⃗⃗⃗)
𝑅⃗⃗ ∙ 𝑀 𝐵
𝑅
= −1216 + 3150 + 5808
𝑅⃗⃗ ∙ 𝑀 𝐵
𝑅
= 7742 𝑁2
𝑚
𝑃 =
7742
(31.4)2
𝑷 = 𝟕. 𝟖𝟓 𝒊𝒏

13. Apartado c
𝑟⃗⃗⃗ = 𝑥 𝑖⃗⃗ + 𝑧 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑀⃗⃗⃗1 = 𝑃 𝑅⃗⃗ = 7.85 (−8 𝑖⃗⃗ − 15 𝑗⃗⃗⃗ − 26.4 𝑘⃗⃗⃗⃗) = −62.8 𝑖⃗⃗ − 117.75 𝑗⃗⃗⃗ − 207.24 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑟⃗⃗⃗ × 𝑅⃗⃗ = |
𝑖⃗⃗ 𝑗⃗⃗⃗ 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑥 0 𝑧
−8 −15 26.4
| = 15𝑧 𝑖⃗⃗ − ( 8𝑧 − 26.4𝑥) 𝑗⃗⃗⃗ − 15𝑥 𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑀⃗⃗⃗1 + 𝑟⃗⃗⃗ × 𝑅⃗⃗ = 𝑀 𝐵
𝑅
−62.8 𝑖⃗⃗ − 117.75 𝑗⃗⃗⃗ − 207.24 𝑘⃗⃗⃗⃗ + 15𝑧 𝑖⃗⃗ − ( 8𝑧 − 26.4𝑥) 𝑗⃗⃗⃗ − 15𝑥 𝑘⃗⃗⃗⃗ = 152 𝑖⃗⃗ − 210 𝑗⃗⃗⃗ − 220 𝑘⃗⃗⃗⃗
15𝑧 𝑖⃗⃗ − ( 8𝑧 − 26.4𝑥) 𝑗⃗⃗⃗ − 15𝑥 𝑘⃗⃗⃗⃗ = 214.8 𝑖⃗⃗ − 92.25 𝑗⃗⃗⃗ − 12.76 𝑘⃗⃗⃗⃗
15𝑧 = 214.8
𝒛 = 𝟏𝟒. 𝟑𝟐 𝒊𝒏
15𝑥 = 12.76
𝒙 = 𝟎. 𝟖𝟓 𝒊𝒏

14. Ejercicio 13
Calcular el momento Mo de la fuerza de 350 N respecto al punto O de la base del robot si 𝜽 = 𝟐𝟎°.
𝑀 𝑂 = (350 cos20°)(0.965)
𝑴 𝑶 = 𝟑𝟏𝟕. 𝟑𝟖 𝑵𝒎
Ejercicio 14
El sistema de cables poleas mostrado soporta la mitad del peso de 600 lb de la plataforma de trabajo. Si la fuerza
ejercida hacia arriba en E por el cable EF la fuerza hacia arriba ejercida en G por el cable GH se representa con una sola
fuerza equivalente F, ¿cuál es el valor de F y en qué punto corta su línea de acción al eje x?
𝐹 =
600
2
𝑙𝑏
𝑭 = 𝟑𝟎𝟎 𝒍𝒃
𝑆𝑒 𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎 𝑎 4 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥.

15. Ejercicio 15
Reemplazar las fuerzas y los pares que se muestran actuando sobre el aparato por una única fuerza. Precisar la línea
de acción de esta fuerza.
𝐹⃗1 = −1000 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝑁
𝐹⃗2 = 500 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝑁
𝐹⃗3 = −500 𝑘⃗⃗⃗⃗ 𝑁
𝑅⃗⃗⃗⃗ = 𝐹⃗1 + 𝐹⃗2 + 𝐹⃗3
𝑹⃗⃗⃗⃗ = −𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒌⃗⃗⃗⃗ 𝑵
𝑟⃗ = 0.9 𝑖⃗⃗
𝑀 = 𝑟⃗ × 𝐹⃗2 = 0.9 𝑖⃗⃗ × (500 𝑘⃗⃗⃗⃗ )
𝑀 = −450 𝑗⃗⃗⃗ 𝑁𝑚
𝑟⃗1 = −3 𝑖⃗⃗ + 12 𝑗⃗⃗⃗
𝑀 𝑂 = 𝑟⃗ × 𝐹⃗1 + M + 140 𝑗⃗⃗⃗
𝑀 𝑂 = (−3 𝑖⃗⃗ + 12 𝑗⃗⃗⃗ ) × (−1000 𝑘⃗⃗⃗⃗) − 450 𝑗⃗⃗⃗ + 140 𝑗⃗⃗⃗
𝑀 𝑂 = 3000 𝑗⃗⃗⃗ − 12 000 𝑖⃗⃗ − 450 𝑗⃗⃗⃗ + 140 𝑗⃗⃗⃗
𝑴 𝑶 = −𝟏𝟐 𝟎𝟎𝟎 𝒊⃗⃗⃗ + 𝟐𝟔𝟗𝟎 𝒋⃗⃗⃗ 𝑵𝒎