Este documento describe la esfera, incluyendo su definición, elementos, volumen, área, secciones, ecuaciones y problemas relacionados. Explica que una esfera es un cuerpo geométrico cuyos puntos equidistan de un centro, y describe su radio, diámetro, cuerdas y polos. También cubre cómo calcular el volumen y área de una esfera y la intersección de un plano y una esfera.

1. La esfera
Integrantes:
.Liyan Incarroca Tintaya
.Laura Sivincha Sapacayo
.Roció Rojas Estrada
.Analiz Torres Torres
.Mariory Charcape Bobadilla
Grado y sección: 5to b

2. CONCEPTO
En geometría, una esfera es un cuerpo
geométrico limitado por una superficie
curva cerrada cuyos puntos equidistan de
otro interior llamado centro esférico.
La esfera, como sólido de revolución, se
genera haciendo girar una superficie
semicircular alrededor de su diámetro.
• Es la región del espacio que se encuentra
en el interior de una superficie esférica.

3. ELEMENTOS DE LA ESFERA
• Centro: el centro de la esfera es el centro del circulo.
• Radio: cualquier segmento que une el centro con cualquier punto
de la superficie se denomina radio.
• Diámetro: cualquier cuerda que pasa por el centro.
• Cuerda: segmento que une dos puntos de la superficie esférica.
• Polos: son los puntos de intersección del eje de giro con la
superficie esférica.

4. VOLUMEN
El volumen de una esfera es 2/3 del volumen del cilindro
circunscrito a la esfera. Su base es un círculo del mismo
diámetro que la esfera. Su altura tiene la misma medida
que dicho diámetro:

5. Donde:
V :es el volumen de la esfera
r: el radio.
Esta relación de volúmenes se adjudica a
Arquímedes.
Es posible calcular el volumen de una esfera con
un margen de error aproximado al 0.04% sin
utilizar el valor de π.

6. • El área es cuatro veces pi por su radio al
cuadrado.
DEMOSTRACION:
DEMOSTRACION:

7. El área de la esfera es también igual a la derivada
de su volumen con respecto a r.
Arquímedes demostró que el área
de la esfera es dos tercios respecto
al del cilindro.

8. PROBLEMAS DE LA ESFERA
1.-Calcular el área y el volumen de una esfera
inscrita en un cilindro de 2 m de altura.
SOLUCION:

9. 2.-Calcula el área y el volumen del siguiente
casquete esférico.
SOLUCIÓN:

10. 3.-Calcular el área y el volumen de una zona
esférica cuyas circunferencias tienen de radio 10
y 8cm, y la distancia entre ellas es de 5 cm.
SOLUCIÓN:

11. 4.-Calcular el área del círculo resultante de cortar
una esfera de 35 cm de radio mediante un plano
cuya distancia al centro de la esfera es de 21 cm.
Solución:

12. 5.-Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita en un
cilindro de 2 m de altura.
solución

13. Secciones
La intersección de un plano y una
esfera siempre es una circunferencia.
La esfera es el único volumen que
tiene esta propiedad. Lógicamente, si
el plano es tangente, el área de contacto
queda reducido a un punto (puede
considerarse el caso límite de la
intersección).
Si el plano pasa por el centro de la
esfera, el radio del círculo es el mismo
que el de la esfera, r. En este caso, la
circunferencia puede llamarse ecuador
o círculo máximo.

14. Ecuaciones de la
esfera

Ecuación cartesiana
 En un sistema de coordenadas cartesianas en un espacio
euclídeo tridimensional, la ecuación de la esfera unitaria (de
radio 1), con centro en el origen, es:

 Esta ecuación se obtiene considerando que en el punto M
(x, y, z) de la esfera, el vector normal OM es igual a 1.

15. Ecuación paramétrica

 φ
θ

16. INTERSECCION DE DOS ESFERAS

17. Coordenadas sobre la
esfera