Arquímedes ideó una fórmula para calcular el volumen de una esfera comparando el volumen de una semiesfera, un cono y un cilindro con la misma base y altura. Cortó estas figuras con un plano paralelo a su base y observó que el área de la sección de la semiesfera era igual a la suma del área de la sección del cilindro y el cono. Esto le permitió deducir que el volumen de una esfera es el doble del volumen de una semiesfera.

1. Medici ón del volumen de la esfera Prof. Iv án Pérez

2. Arquímedes ide ó una fórmula para determinar el volumen de una esfera. Imagin ó una esfera, un cono y un cilindro.

3. Supuso que la esfera ten ía radio R y tanto el cono como el cilindro con el mismo radio basal R . También supuso que las alturas del cono y el cilindro medían R .

4. Son conocidos los vol úmenes: Radio R y altura R Radio R y altura R Cono Cilindro

5. Luego cort ó las figuras con un plano paralelo a la base del cilindro y del cono y a una distancia d de la parte superior de las figuras. Se preguntó cómo serían las secciones determinadas por este plano en la semiesfera, el cono y el cilindro:

6. La secci ón del cilindro En el cilindro la secci ón que determina el plano es un círculo de radio R y su área es:

7. La secci ón de la semiesfera La secci ón circular que determina el plano que corta a la semiesfera, tiene un radio r (menor a R ) que depende de la distancia d. El área del círculo de radio r es: Usando Teorema de Pit ágoras, el triángulo rectángulo de lados R, d y r se cumple que:

8. La secci ón en el cono El cono de altura y radio basal R , por lo tanto el tri ángulo formado por dicho radio basal, la altura y la pared del cono es rectángulo e isósceles. Por semejanza de triángulos, el círculo que determina el plano que corta al cono tiene radio d .

9. Juntando f órmulas Sabemos que: pero de la semiesfera obtuvimos que: si en el área del cilindro reemplazamos R 2 por r 2 + d 2

10. Esto ocurre para cualquier valor de d , por lo tanto, si consideramos las secciones como rebanadas finas, para cada tr ío de rebanadas tendríamos que: De la relación anterior podríamos suponer que: Reb cilindro = Reb semiesfera + Reb cono Vol cilindro = Vol semiesfera + Vol cono

11. Reemplazamos Despejando, Por lo tanto, el volumen de la esfera es el doble de la semiesfera Vol semiesfera Vol semiesfera Vol cilindro = Vol semiesfera + Vol cono

12. El m étodo de Arquímedes para encontrar el volumen de la esfera es simple e ingenioso. Quedó tan maravillado con él, que dispuso grabar en su tumba esta figura en recuerdo de su idea.