![4.- sen α =
1 − cos 2α
2
5.- cos α =
1 + cos 2α
2
E) Angulos medios
1.- sen α = 2 sen (α/2) cos (α/2)
2.- cos α = cos 2(α/2) − sen 2(α/2)
3.- sen 2(α/2) =
A) B´asicas
1.- cos α · sec α = 1
2.- sen α · csc α = 1
3.- tg α · ctg α = 1
4.- tg α =
1 − cos α
2
2(1 cos 4.- cos 2) + α
α/=
2
sen net
5.- tg (2) α
α/=
1 + cos α
guiamath.1 − cos α
=
sen α
www.± ± 2.- cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sen α sen β
3.- tg (α ± β ) =
tg α ± tg β
1 ∓ tg α · tg β
D) Angulos dobles
1.- sen 2α = 2 sen α cos α
2.- cos 2α = cos 2α − sen 2α
= 2 cos 2α − 1
= 1 − 2 sen 2α
3.- tg 2α =
sen α
cos α
2 tg α
1 − tg 2α
5.- ctg α =
cos α
sen α
4.- sen α =
1 − cos 2α
2
5.- cos α =
1 + cos 2α
2
E) Angulos medios
1.- sen α = 2 sen (α/2) cos (α/2)
2.- cos α = cos 2(α/2) − sen 2(α/2)
1 cos 3.- sen 2(2) − α
α/=
2
4.- cos 2(α/2) =
1 + cos α
2
5.- tg (α/2) =
sen α
1 + cos α
=
1 − cos α
sen α
F) de Producto a Suma
1.- sen A · cos B =
1
2
[sen (A + B) + sen (A − B)]
2.- cos A · cos B =
1
2
[cos (A + B) + cos (A − B)]
3.- sen A · sen B = −
1
2
[cos (A + B) − cos (A − B)]
G) de Suma a Producto
1.- sen X + sen Y = 2 sen
X + Y
2
· cos
X − Y
2
2.- sen X − sen Y = 2 sen
X − Y
2
· cos
X + Y
2
3.- cos X + cos Y = 2 cos
X + Y
2
· cos
X − Y
2
4.- cos X − cos Y = −2 sen
X + Y
2
· sen
X − Y
2
b a
CA
LA SOLUCION A TUS PROBLEMAS DE MATEMATICAS
http://www.guiamath.net — Centro de Estudios Científicos
F) de Producto a Suma
1.- sen A · cos B =
1
2
[sen (A + B) + sen (A − B)]
2.- cos A · cos B =
1
2
[cos (A + B) + cos (A − B)]
3.- sen A · sen B = −
1
2
[cos (A + B) − cos (A − B)]
G) de Suma a Producto
1.- sen X + sen Y = 2 sen
X + Y
2
· cos
X − Y
2
2.- sen X − sen Y = 2 sen
X − Y
2
· cos
X + Y
2
3.- cos X + cos Y = 2 cos
X + Y
2
· cos
X − Y
2
4.- cos X − cos Y = −2 sen
X + Y
2
· sen
X − Y
2
H) Periodicidad
Si k ∈ ZZ ,
1.- sen (α ± 2kπ) = sen α
2.- cos (α ± 2kπ) = cos α
3.- tg (α ± kπ) = tg α
4.- ctg (α ± kπ) = ctg α
5.- sec (α ± 2kπ) = sec α
6.- csc (α ± 2kπ) = csc α
I) Formulas de Reduccio´n (Ley del Burro)
Sea f cualesquiera de las funciones trigonom´etricas y c f su
co-funcio´n. Si s denota el signo que tiene la funcio´n f en el
cuadrante correspondiente, se cumple que:
1.- f
π
2π ± θ
= s f (θ) 24 f´ormulas.
2.- f
π/2
3π/2 ± θ
= s c f (θ) 24 fo´rmulas.
J) Teorema del Seno
En cualquier tri´angulo, si L1 representa la medida del lado op-uesto
al ´angulo 1 y L2 es la medida de cualquier otro lado op-uesto
de un cierto ´angulo 2, siempre se cumple que:
sen (1)
L1
=
sen (2)
L2
Esto quiere decir que en el siguiente tri´angulo, se cumplen las
fo´rmulas:
1.-
sen α
a =
sen β
b
2.-
sen β
b =
sen γ
c
3.-
sen α
a =
sen γ
c
K) Teorema del Coseno
Si L1 , L2 y L3 representan las medidas de cada uno de los lados de un
tri´angulo cualquiera, y si 1 es la medida del ´angulo opuesto al lado L1,
siempre se cumple que:
L2
1 = L2
2 + L2
3 − 2 L2 L3 cos (1)
Es decir, en el siguiente tria´ngulo se cumplen las fo´rmulas:
A B
C
c
1.- a2 = b2 + c2 − 2 b c cos α
2.- b2 = a2 + c2 − 2 a c cos β
3.- c2 = a2 + b2 − 2 a b cos γ
B
C A
a
c
b
α
β
γ
α
β
γ
α
β
γ
α
β
γ
α
β
γ
α
β
γ
L) Relaciones en el Tri´angulo Rect´angulo
En todo tri´angulo rect´angulo, siempre se cumple que:
1.- sen α =
cateto opuesto
hipotenusa =
CO
HIP
2.- cos α =
cateto adyacente
hipotenusa =
CA
HIP
3.- tg α =
cateto opuesto
cateto adyacente =
CO
CA
4.- ctg α =
cateto adyacente
cateto opuesto =
CA
CO
5.- sec α =
hipotenusa
cateto adyacente =
HIP
CA
6.- csc α =
hipotenusa
cateto opuesto =
HIP
CO
L) Relaciones en el Tri´angulo Rect´angulo
En todo tri´angulo rect´angulo, siempre se cumple que:
1.- sen α =
cateto opuesto
hipotenusa =
CO
HIP
2.- cos α =
cateto adyacente
hipotenusa =
CA
HIP
3.- tg α =
cateto opuesto
cateto adyacente =
CO
CA
4.- ctg α =
cateto adyacente
cateto opuesto =
CA
CO
5.- sec α =
hipotenusa
cateto adyacente =
HIP
CA
6.- csc α =
hipotenusa
cateto opuesto =
HIP
CO
A
C
B α
β
γ
CO
HIP
*recordar el: cocacoca-hiphip
CO
CA
CO
CA
HIP
HIP
HIP
CA
CO
CA
HIP
CO
J) Teorema del Seno
En cualquier tri´angulo, si L1 representa la medida del lado opuesto
al ´angulo 1 y L2 es la medida de cualquier otro lado opuesto de un
cierto ´angulo 2 , siempre se cumple que:
sesnesnen cocsocoss tgtgtg ctcgtcgtg sescescec csccsccsc
A) B´asicas
1.- cos α · sec α = 1
2.- sen α · csc α = 1
3.- tg α · ctg α = 1
4.- tg α =
sen α
cos α
5.- ctg α =
cos α
sen α
B) Pitago´ricas
1.- cos 2α + sen 2α = 1
2.- 1 + tg 2α = sec 2α
3.- 1 + ctg = csc B) Pitago´ricas
1.- cos 2α + sen 2α
= 1
2.- 1 + tg 2α = sec 2α
3.- 1 + ctg 2α = csc 2α](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
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- 1. FORMULARIO - TRIGONOMETRIA (−A, B) net (A, B) guiamath.www.(sen y csc positivas) (todas positivas) √3 2 , 1 2 √2 2 , √2 2 1 2 , √3 2 (1, 0) (0, 1) (−1, 0) (0, −1) π 2 (90o. ) 2π 3 (120o. ) π 4 (45o. ) I cuadrante π 6 (30o. ) π 3 (60o. ) II cuadrante 3π 4 (135o. ) 5π 6 (150o. ) π (180o. ) 7π 6 (210o. ) 5π 4 (225o. ) (tg y ctg positivas) (cos y sec positivas) 4π 3 A) B´asicas 1.- cos α · sec α = 1 2.- sen α · csc α = 1 3.- tg α · ctg α = 1 4.- tg α = (240o. ) III cuadrante IV cuadrante 3π 2 (270o. ) 5π 3 (300o. ) 7π 4 11π 6 (315o. ) 0 (0o. ) (330o. ) (−A, −B) (A, −B) A) B´asicas 1.- cos α · sec α = 1 2.- sen α · csc α = 1 3.- tg α · ctg α = 1 4.- tg α = sen α cos α 5.- ctg α = cos α sen α C) Suma y Resta de ´angulos 1.- sen (α ± β ) = sen α cos β ± cos α sen β 2.- cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sen α sen β 3.- tg (α ± β ) = tg α ± tg β 1 ∓ tg α · tg β D) Angulos dobles 1.- sen 2α = 2 sen α cos α 2.- cos 2α = cos 2α − sen 2α sen α cos α 5.- ctg α = cos α sen α B) Pitago´ricas 1.- cos 2α + sen 2α = 1 2.- 1 + tg 2α = sec 2α 3.- 1 + ctg 2α = csc 2α B) Pitago´ricas 1.- cos 2α + sen 2α = 1 = 2 cos 2α − 1 2.- 1 + tg 2α = sec 2α = 1 − 2 sen 2α 3.- 1 + ctg 2α = csc 2α LA SOLUCION A TUS PROBLEMAS DE MATEMATICAS 3.- tg 2α = 2 tg α 1 − tg 2α http://www.guiamath.net — Centro de Estudios Científicos
- 2. 4.- sen α = 1 − cos 2α 2 5.- cos α = 1 + cos 2α 2 E) Angulos medios 1.- sen α = 2 sen (α/2) cos (α/2) 2.- cos α = cos 2(α/2) − sen 2(α/2) 3.- sen 2(α/2) = A) B´asicas 1.- cos α · sec α = 1 2.- sen α · csc α = 1 3.- tg α · ctg α = 1 4.- tg α = 1 − cos α 2 2(1 cos 4.- cos 2) + α α/= 2 sen net 5.- tg (2) α α/= 1 + cos α guiamath.1 − cos α = sen α www.± ± 2.- cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sen α sen β 3.- tg (α ± β ) = tg α ± tg β 1 ∓ tg α · tg β D) Angulos dobles 1.- sen 2α = 2 sen α cos α 2.- cos 2α = cos 2α − sen 2α = 2 cos 2α − 1 = 1 − 2 sen 2α 3.- tg 2α = sen α cos α 2 tg α 1 − tg 2α 5.- ctg α = cos α sen α 4.- sen α = 1 − cos 2α 2 5.- cos α = 1 + cos 2α 2 E) Angulos medios 1.- sen α = 2 sen (α/2) cos (α/2) 2.- cos α = cos 2(α/2) − sen 2(α/2) 1 cos 3.- sen 2(2) − α α/= 2 4.- cos 2(α/2) = 1 + cos α 2 5.- tg (α/2) = sen α 1 + cos α = 1 − cos α sen α F) de Producto a Suma 1.- sen A · cos B = 1 2 [sen (A + B) + sen (A − B)] 2.- cos A · cos B = 1 2 [cos (A + B) + cos (A − B)] 3.- sen A · sen B = − 1 2 [cos (A + B) − cos (A − B)] G) de Suma a Producto 1.- sen X + sen Y = 2 sen X + Y 2 · cos X − Y 2 2.- sen X − sen Y = 2 sen X − Y 2 · cos X + Y 2 3.- cos X + cos Y = 2 cos X + Y 2 · cos X − Y 2 4.- cos X − cos Y = −2 sen X + Y 2 · sen X − Y 2 b a CA LA SOLUCION A TUS PROBLEMAS DE MATEMATICAS http://www.guiamath.net — Centro de Estudios Científicos F) de Producto a Suma 1.- sen A · cos B = 1 2 [sen (A + B) + sen (A − B)] 2.- cos A · cos B = 1 2 [cos (A + B) + cos (A − B)] 3.- sen A · sen B = − 1 2 [cos (A + B) − cos (A − B)] G) de Suma a Producto 1.- sen X + sen Y = 2 sen X + Y 2 · cos X − Y 2 2.- sen X − sen Y = 2 sen X − Y 2 · cos X + Y 2 3.- cos X + cos Y = 2 cos X + Y 2 · cos X − Y 2 4.- cos X − cos Y = −2 sen X + Y 2 · sen X − Y 2 H) Periodicidad Si k ∈ ZZ , 1.- sen (α ± 2kπ) = sen α 2.- cos (α ± 2kπ) = cos α 3.- tg (α ± kπ) = tg α 4.- ctg (α ± kπ) = ctg α 5.- sec (α ± 2kπ) = sec α 6.- csc (α ± 2kπ) = csc α I) Formulas de Reduccio´n (Ley del Burro) Sea f cualesquiera de las funciones trigonom´etricas y c f su co-funcio´n. Si s denota el signo que tiene la funcio´n f en el cuadrante correspondiente, se cumple que: 1.- f π 2π ± θ = s f (θ) 24 f´ormulas. 2.- f π/2 3π/2 ± θ = s c f (θ) 24 fo´rmulas. J) Teorema del Seno En cualquier tri´angulo, si L1 representa la medida del lado op-uesto al ´angulo 1 y L2 es la medida de cualquier otro lado op-uesto de un cierto ´angulo 2, siempre se cumple que: sen (1) L1 = sen (2) L2 Esto quiere decir que en el siguiente tri´angulo, se cumplen las fo´rmulas: 1.- sen α a = sen β b 2.- sen β b = sen γ c 3.- sen α a = sen γ c K) Teorema del Coseno Si L1 , L2 y L3 representan las medidas de cada uno de los lados de un tri´angulo cualquiera, y si 1 es la medida del ´angulo opuesto al lado L1, siempre se cumple que: L2 1 = L2 2 + L2 3 − 2 L2 L3 cos (1) Es decir, en el siguiente tria´ngulo se cumplen las fo´rmulas: A B C c 1.- a2 = b2 + c2 − 2 b c cos α 2.- b2 = a2 + c2 − 2 a c cos β 3.- c2 = a2 + b2 − 2 a b cos γ B C A a c b α β γ α β γ α β γ α β γ α β γ α β γ L) Relaciones en el Tri´angulo Rect´angulo En todo tri´angulo rect´angulo, siempre se cumple que: 1.- sen α = cateto opuesto hipotenusa = CO HIP 2.- cos α = cateto adyacente hipotenusa = CA HIP 3.- tg α = cateto opuesto cateto adyacente = CO CA 4.- ctg α = cateto adyacente cateto opuesto = CA CO 5.- sec α = hipotenusa cateto adyacente = HIP CA 6.- csc α = hipotenusa cateto opuesto = HIP CO L) Relaciones en el Tri´angulo Rect´angulo En todo tri´angulo rect´angulo, siempre se cumple que: 1.- sen α = cateto opuesto hipotenusa = CO HIP 2.- cos α = cateto adyacente hipotenusa = CA HIP 3.- tg α = cateto opuesto cateto adyacente = CO CA 4.- ctg α = cateto adyacente cateto opuesto = CA CO 5.- sec α = hipotenusa cateto adyacente = HIP CA 6.- csc α = hipotenusa cateto opuesto = HIP CO A C B α β γ CO HIP *recordar el: cocacoca-hiphip CO CA CO CA HIP HIP HIP CA CO CA HIP CO J) Teorema del Seno En cualquier tri´angulo, si L1 representa la medida del lado opuesto al ´angulo 1 y L2 es la medida de cualquier otro lado opuesto de un cierto ´angulo 2 , siempre se cumple que: sesnesnen cocsocoss tgtgtg ctcgtcgtg sescescec csccsccsc A) B´asicas 1.- cos α · sec α = 1 2.- sen α · csc α = 1 3.- tg α · ctg α = 1 4.- tg α = sen α cos α 5.- ctg α = cos α sen α B) Pitago´ricas 1.- cos 2α + sen 2α = 1 2.- 1 + tg 2α = sec 2α 3.- 1 + ctg = csc B) Pitago´ricas 1.- cos 2α + sen 2α = 1 2.- 1 + tg 2α = sec 2α 3.- 1 + ctg 2α = csc 2α