Este documento presenta los fundamentos de las funciones trigonométricas. Define las funciones seno y coseno mediante la relación entre el arco y las coordenadas del punto asociado en una circunferencia unitaria. Luego introduce las funciones tangente, secante, cosecante y cotangente y establece sus relaciones con seno y coseno. Finalmente presenta algunas fórmulas fundamentales como la adición de ángulos y la periodicidad de la función tangente.
En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos
SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptxOsiris Urbano
Evaluación de principales hallazgos de la Historia Clínica utiles en la orientación diagnóstica de Hemorragia Digestiva en el abordaje inicial del paciente.
Documento sobre las diferentes fuentes que han servido para transmitir la cultura griega, y que supone la primera parte del tema 4 de "Descubriendo nuestras raíces clásicas", optativa de bachillerato en la Comunitat Valenciana.
IMÁGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁClaude LaCombe
Recuerdo perfectamente la primera vez que oí hablar de las imágenes subliminales de los Testigos de Jehová. Fue en los primeros años del foro de religión “Yahoo respuestas” (que, por cierto, desapareció definitivamente el 30 de junio de 2021). El tema del debate era el “arte religioso”. Todos compartíamos nuestros puntos de vista sobre cuadros como “La Mona Lisa” o el arte apocalíptico de los adventistas, cuando repentinamente uno de los participantes dijo que en las publicaciones de los Testigos de Jehová se ocultaban imágenes subliminales demoniacas.
Lo que pasó después se halla plasmado en la presente obra.
LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJEjecgjv
La Pedagogía Autogestionaria es un enfoque educativo que busca transformar la educación mediante la participación directa de estudiantes, profesores y padres en la gestión de todas las esferas de la vida escolar.
Durante el período citado se sucedieron tres presidencias radicales a cargo de Hipólito Yrigoyen (1916-1922),
Marcelo T. de Alvear (1922-1928) y la segunda presidencia de Yrigoyen, a partir de 1928 la cual fue
interrumpida por el golpe de estado de 1930. Entre 1916 y 1922, el primer gobierno radical enfrentó el
desafío que significaba gobernar respetando las reglas del juego democrático e impulsando, al mismo
tiempo, las medidas que aseguraran la concreción de los intereses de los diferentes grupos sociales que
habían apoyado al radicalismo.
1. TRIGONOMETRÍA
Fundamentos de la Matemática − 2012
Primera aproximación a las definiciones de las funciones trigonométricas1
Dado un punto P de la circunferencia de coordenadas 0 0( , ),x y queda determinado un
arco AP, cuya medida será un número real [ )∈ 0,2 ,α π y recíprocamente, dado
[ )∈ 0,2 ,α π queda determinado un punto P perteneciente a la circunferencia.
Podemos establecer entonces una función de dominio [ )π0,2 ,en la que a cada real α
le corresponda la abscisa de P y otra en la que a cada real α le corresponda la
ordenada de P; a la primera se la denomina función coseno y a la segunda función
seno.
Actividad
1) Utilizando esta definición, hallar seno y coseno de π π π π π3, , , y .
6 4 2 2
2) ¿Cómo podríamos extender esta definición para poder hallar seno o coseno de
π π3 ,180 y 8?
Teorema
,α∀ ∈ ℝ existen y son únicos [ )β π α β π∈ ∈ = +0,2 y ; 2 .k kℤ
Dem
Existencia παβπβα kk 22 −=⇔+=
1
Para la elaboración de este material se utilizó:
Siberio, D. Ficha Nº 1. Álgebra I. Montevideo: Centro de Impresiones y Publicaciones del CEIPA.
A (1, 0)
0 0( , )P x y
Consideremos una circunferencia OV centrada en
el origen de un sistema de ejes cartesianos
ortogonales y de radio 1, denominada usualmente
circunferencia trigonométrica
2. Trigonometría
2
Ahora:
[ ) 1
2
)1(22220202,0 +<≤⇔+<≤⇔<−≤⇔<≤⇔∈ kkkkk
π
α
παπππαπβπβ
Basta entonces considerar
=
π
α
2
k (parte entera de π
α
2 ) y tendremos que:
α
π
≤ < +1.
2
k k
Volviendo atrás en el razonamiento anterior llegamos a que: ππα 220 <−≤ k
En resumen: [ )
α
α β α π π α β π
π
∀ ∈ℜ ∃ = ∈ ∃ = − ∈ = +
, y 2 0,2 tal que 2 .
2
k k kℤ
Unicidad
Supongamos que:
[ )
[ )
α β π β π
β π β π π β β
α β π β π
= + ∈ ∈
′ ′ ′ ′⇒ + = + ⇒ − = −
′ ′ ′ ′= + ∈ ∈
2 ; 0,2
2 2 ( )2
2 ; 0,2
k y k
k k k k
k y k
ℤ
ℤ
β π
π β β π π π π
β π π β
′≤ <
′ ′⇒ − < − < ⇒ − < − < ⇒
≤ < ⇒ − < − ≤
Ahora: 0 2
2 2 2 ( )2 2
0 2 2 0
k k
β β′ ′ ′ ′ ′⇒ − < − < − ∈ ⇒ − = ⇒ = ⇒ =1 1 0k k como k k k k k kℤ
Nota
Utilizando el teorema anterior podemos definir la función
[ )ϕ π ϕ α βℜ → =: 0,2 ; ( ) . Por lo dicho anteriormente también existe una función
[ )π β β→ = ∈ =: 0,2 ; ( ) , , ( ) .O Of f P con P tal que lamedidadel arco APV V
Componiendo ϕ y f tenemos una función mediante la cual a cada número real α le
corresponde un punto P de :OV
f
P
ϕ
α β→ →
Si ( )f Pϕ α = (si la imagen según la mencionada función compuesta del real α es
el punto P) diremos que P es el asociado de .α
Observemos que ϕ ϕy f no son inyectivas.
Es más: ϕ α π ϕ α α ϕ α π ϕ α α+ = ∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ + = ∀ ∈ ∀ ∈ℤ ℝ ℤ ℝ( 2 ) ( ), , ( 2 ) ( ), , .h h f h f h
Así .......................,1034,.............,2,4,2, παπαπαπαα −−++ tienen el mismo punto
asociado. Realice una interpretación geométrica.
3. Trigonometría
3
Definición
Consideramos α ∈ℜ ∈0 0y ( , ) OP x y V su asociado.
Llamamos coseno de α (anotamos cosα ) a la abscisa del punto P; en otras
palabras: α = 0cos x . Y denominamos seno de α (anot. senα ) a la ordenada de P; o
sea: α = 0sen .y
Observaciones
Como el asociado de y de 2 , ,α α π+ ∀ ∈k k ℤ , es el mismo entonces:
Ejercicio
Calcular ( ) ( )π π−573 241cos y sen .
4 3
Observaciones
Si consideramos las funciones → = → =ℝ ℝ ℝ ℝ: ; ( ) sen y : ; ( ) cosf f x x g g x x las
observaciones realizadas nos permiten afirmar que f y g son funciones periódicas (de
periodo 2π ) y acotadas (entre –1 y 1).
Realicen un bosquejo gráfico de dichas funciones.
ϕ
α β→ →
f
P )y,x( 00
Definimos α = 0cos x y α = 0sen .y
Recordemos que:
[ )α β π β π
β
= + ∈ ∈ ∈
=
2 , con 0,2 , ;
( ) .
Ok k P
y lamedidadel arco AP
Vℤ
c o s ( 2 ) c o s , ,
s e n ( 2 ) s e n , ,
α π α α
α π α α
+ = ∀ ∈ ∀ ∈
+ = ∀ ∈ ∀ ∈
k k
k k
ℝ ℤ
ℝ ℤ
α α
α α
− ≤ ≤ ∀ ∈
− ≤ ≤ ∀ ∈
ℝ
ℝ
1 cos 1,
1 sen 1,
A (1, 0)
0 0( , )P x y
4. Trigonometría
4
Definición
Consideramos .ℝ∈α
1) Si 2 ( )
2
ℤ≠ ± + ∈πα πk k definimos tangente de α (anotamos
sen
tg ): tg
cos
=
α
α α
α
2) Si 2 ( )
2
ℤ≠ ± + ∈πα πk k definimos secante de
1
(anotamos sec ): sec
cos
=α α α
α
3) Si ( )α π≠ ∈k k ℤ definimos cosecante de
1
(anotamos cosec ): cosec
sen
=α α α
α
4) Si ( )α π≠ ∈k k ℤ definimos cotangente de
cos
(anotamos cotg ): cotg
sen
=
α
α α α
α
Nota Consideramos ; 0
2
πα α∈ < <ℝ y P su asociado.
Hacer las correspondientes interpretaciones geométricas cuando:
3 3ó ó 2 .
2 2 2
π π πα π π α α π< < < < < <
A los segmentos AT, OT, OT’ y BT’, se los suele denominar segmentos generadores o
asociados a la tangente, a la secante, a la cosecante y a la cotangente,
respectivamente.
¿Que relación tiene lo anterior con que el seno de α es igual a cateto opuesto sobre
hipotenusa?
El triángulo 1OPP es semejante al OAT, entonces:
=1
1
,
PP AT
OP OA
como = 1,OA α= =1 2 senPP OP
y
α
α α
α
= ⇒ = ⇒ =1
sen
cos tg .
cos
OP AT AT
Probar que:
α α α′ ′= = =sec , cos y cot .OT ec OT g BT
O P1
T
A
P
P2
T’
B
5. Trigonometría
5
Algunas fórmulas
Fórmulas fundamentales
Ejercicio
Probar: i) π
α α α α π
α
+ = = ∀ ∈ ≠ + ∈ℝ ℤ2 2
22
1
1 sec , ; ( )
cos
tg k k
ii) α α α α π
α
+ = = ∀ ∈ ≠ ∈ℝ ℤ2 2
2
1
1 cotg cosec , ; ( )
sen
k k
Además si [ )α α π α π α′ ′ ′= + ∈ ∈ ⇒ =2 ; 0,2 yk k APℤ
[ )β β π β π β′ ′ ′= + ∈ ∈ ⇒ =2 ; 0,2 yh h AQℤ
Supongamos que α β α β′ ′ ′ ′> ⇒ = − = −QP AP AQ
2 2cos sen 1α α α+ = ∀ ∈ℜ
1)
Consideramos ℜ∈α y P su asociado α α⇒ (cos ,sen )P
Ahora 2 2
( , ) 1 (cos 0) (sen 0) 1α α= ⇒ − + − = ⇒d O P
2 2 2 2
cos sen 1 cos sen 1α α α α⇒ + = ⇒ + =
2)
α β α β α β α β− = + ∀ ∈ ℝcos( ) cos cos sen sen , ,
A
R
Q
P
O
Consideramos ,α β ∈ℝ
Denominamos: P, Q y R a los asociados de
,α β α β−y respectivamente.
Entonces: α α β β(cos ,sen ), (cos ,sen )P Q y
α β α β− −(cos( ),sen( ))R
A (1, 0)
0 0( , )P x y
6. Trigonometría
6
Además [ )α β π′ ′− ∈ 0,2
Como [ )α β α β π α β π α β′ ′ ′ ′ ′ ′− = − + − − ∈ − ∈ ⇒ = −2( ) 0,2k h con y k h ARℤ
Por lo tanto:
2 2 2 2
( , ) ( , )
(cos cos ) (sen sen ) (cos( ) 1) (sen( ) 0)α β α β α β α β
= ⇒ = ⇒
⇒ − + − = − − + − − ⇒
QP AR d Q P d A R
( )α β α β α β α β⇒ − + − = − − + − ⇒
22 2 2
(cos cos ) (sen sen ) cos( ) 1 sen ( )
2 2 2 2 2 2
1 1 1
cos sen cos sen 2cos cos 2sen sen cos ( ) sen ( ) 1 2cos( )α α β β α β α β α β α β α β⇒ + + + − − = − + − + − −
Entonces:
α β α β α β α β α β α β− − = − − ⇒ − = +2 2cos cos 2sen sen 2 2cos( ) cos( ) cos cos sen sen
Nota:
α∀ ∈ ℝ, se cumple:
Además
cos( ) cos cos sen sen
sen ( ) sen cos cos sen
sen ( ) sen cos cos sen
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
+ = −
− = −
+ = +
( )
1
tg tg
tg
tg tg
α β
α β
α β
+
+ =
−
( )
1
tg tg
tg
tg tg
α β
α β
α β
−
− =
+
( ) 1
tg cot
2 tg
gπα α
α
−
+ = = −
( ) 1
cot
2
tg g
tg
πα α
α
−
− = = −
i) ( )cos
2
senπ α α− =
ii) cos( ) cosπ α α− = −
iii) ( )sen senπ α α− =
iv) cos( ) cosα α− =
v) ( )sen senα α− = −
vi) cos( ) cosπ α α+ = −
vii) ( )sen senπ α α+ = −
7. Trigonometría
7
sen 2 2sen cos
2 2cos 2 cos sen
2tg
tg 2
21 tg
α α α
α α α
α
α
α
=
= −
=
−
sen sen 2sen cos
2 2
sen sen 2cos sen
2 2
+ −+ =
+ −− =
a b a ba b
a b a ba b
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sen sen
2 2
+ −+ =
+ −− = −
a b a ba b
a b a ba b
21 tg
2cos
21 tg
2
−
=
+
x
x
x
2tg
2sen
21 tg
2
=
+
x
x
x
2tg
2tg
21 tg
2
=
−
x
x
x
Nota
0
tg tg
tg( )
1 tg tg
0
α π
α π
α π
+
+ =
−
= tgα
Analicemos un caso más general
( ) , , ,α π α α+ = ∀ ∈ ∀ ∈tg k tg k ℤ ℝ en condiciones de existencia. Probémoslo.
sen ( 2 ) senα
2 2 ; tg( ) tg( 2 ) tg
cos( 2 ) cos
α π
α π α π α
α π α
• +
= ⇒ = ∈ ⇒ + = + = = =
+
ℤ
h
Si k k h h k h
h
2 2 1; tg( ) tg ( (2 1) ) tg( 2 ) tg( 2 ) tgα π α π α π π α π α
•
≠ ⇒ = + ∈ ⇒ + = + + = + + = + =ℤSi k k h h k h h h
Por lo tanto:
En otras palabras hemos probado que la función tangente es periódica de periodo .π
Realiza un bosquejo gráfico de dicha función.
( ) en condiciones de existencia.α π α α+ = ∀ ∈ ∀ ∈tg k tg k yℤ ℝ
8. Trigonometría
8
Ejercicios
1. sen senα β α β= ⇔ = ¿es falsa o verdadera?
2. Demuestra que
2 ( )
sen sen
2 ( )
α β π
α β
α π β π
= + ∈
= ⇔ ∨
= − + ∈
ℤ
ℤ
k k
k k
3. Demuestra que
2 ( )
cos cos
2 ( )
α β π
α β
α β π
= + ∈
= ⇔ ∨
= − + ∈
k k
k k
ℤ
ℤ
4. Demuestra que ( )α β α β π= ⇔ = + ∈tg tg k k ℤ
5. Resolver en ( ]0,2 :π
i)
1
cos
2
x = − ii) ( ) 1
2
tg x π− = iii) tg(2 ) tg4
3
π− =x x
iv) sen3 cos 2 0+ =x x v) 4 2sen sen 4+ =x x vi) 4 24cos 5sen 4+ =x x
6. Resolver en ℝ:
i) cos(2 ) sen 4
6
x xπ+ = ii) cos3 cos( )
4
x x π= +
iii) sen cos 3x x− = iv) cos2 2sen 2 1x x− =
7. Resolver en [ )0,2π :
i) 2sen 1 0− >x ii) tg 3x > iii) 24cos 3 0x − <
8. Resolver en ℝ:
i) 2 2sen 5sen cos 2+ ≥ +x x x ii) 2 2cos 3sen 0− ≤x x
9. Resolver en [ )0,2π :
i)
cos2
cos sen
1 sen2
+ =
−
x
x x
x
ii)
3
2
sen
sen 2cos 0
cos
+ − =
x
x x
x
10. (Examen Fundamentos – Diciembre de 2009).
Resuelve en π π[2 ,4 ) :
− +
− − ≤
(sen 1)(sen 1)
3(sen 1) 0
sen
x x
x
x
11. (Examen Álgebra – Julio de 2010).
Resuelve en ( )π π
− + − + =
3 32cos
,2 : 1 sen 2 tg cos 2cos .
sen
x
x x x x
x
9. Trigonometría
9
Algunos ejercicios resueltos
Ejemplo 1: Resolver en π+ ≤ + =ℝ
3
( , ,·, ) : sen(2 )
2
x
π π
π π
π π π
π
π π π
∗
+ = + ⇔ = − + ∈
+ = ⇔
+ = + ⇔ = − +
ℤ3 3
( ) 2
3 6
2 2 ( )3
sen(2 )
2 2 2
x k x k k
x
x k x k
(*) Tengamos en cuenta que la función seno es una función periódica de periodo π2 . Por lo tanto una
posible estrategia consiste en hallar las preimágenes de 2
3
en el intervalo [ )π2,0 lo cual hacemos en
este caso mediante la tabla de arcos notables, que se adjunta al final de estas notas, y luego cada uno
de esas soluciones ( )3
2
3
y ππ
genera una familia de raíces que difieren entre sí en πk2 ∈ ℤ( )k . En el
último paso simplemente “despejamos” x.
Ejercicios: Resolver en π+ ≤ = − + =ℝ( , ,·, ) : ) tg 1 ) sec(2 ) 2i x ii x
Respuestas: i) π+= π
kx 4
7
ii) π ππ π= − + ∨ = + ∈ ℤ3 3
( )x k x k k
Ejemplo 2: Resolver en π+ ≤ = +ℝ( , ,·, ) : cos(2 ) sen( )x x
Intentemos utilizar las condiciones necesarias y suficientes para que dos senos o dos
cosenos sean iguales vistas en los ejercicios 2) y 3) de la página anterior. Para lo cual
necesitamos tener una igualdad entre senos o entre cosenos; para ello usamos que:
( )πα α α= − ∀ ∈ ℝ2
sen cos ,
( ) ( ) ⇔−−=⇔π+−=⇔π+= ππ
xcosx2cos)x(cosx2cos)x(senx2cos 22
π+=⇔π++=
∨
+−=⇔π+−−=
⇔
ππ
πππ
k2xk2xx2
k2xk2xx2
22
362
∈ ℤ( )k
Ejercicio: Resolver en π+ ≤ + =ℝ( , ,·, ) : sen(2 ) sen3x x
Respuesta: 5
k2xk2x π
=∨π+π=
Ejemplo 3: Resolver en 2xcosxsen5xsen:),·,,( 22
+=−≤+ℜ
03xsen5xsen22xsen1xsen5xsen2xcosxsen5xsen 22222
=−−⇔+−=−⇔+=−
Si denominamos xsenz = sustituyendo nos queda:
3zz03z5z2 2
12
=∨−=⇔=−−
Como
ℝ
= − ⇔ = + ∨ = +
= ⇒
= − ≤ ≤ ∀ ∈
7 111
2 6 6
sen 2 2
sen
sen 3 ec. con conj. solución vacío, ya que 1 sen 1,
x x k x k
x z
x x x
π ππ π
Ejercicio: Resolver en + ≤ − − =ℝ 2
( , ,·, ) : 2cos cos 3 0x x
Respuesta: π π= + ∈ ℤ2 ( )x k k
10. Trigonometría
10
Ejemplo 4: + ≤ + =ℝ 2
( , ,·, ) : sen2 4cos 3x x
3xcos4xcosxsen23xcos4x2sen 22
=+⇔=+
Dividimos entre xcos2
(observemos que ∀ ∈ =ℝ; cos 0,x x x no es solución):
xcos
3
xcos
xcos
4
xcos
xcosxsen2
22
2
2
=+ Como xtg33
xcos
3
xtg1
xcos
1 2
2
2
2
+=⇒+=
Sustituyendo nos queda: zxtgsi01xtg2xtg3xtg334xtg2 22
==−−⇔+=+
3
12
z1z01z2z3 −=∨=⇔=−−
Como tgx = z
( )
π+−=⇔−=
π+=⇔=
⇔
π
ktgArcxxtg
kx1xtg
3
1
3
1
4
Nota Denominamos ( )3
1tgArc − al único real del intervalo ( )22
, ππ− cuya tangente vale 3
1−
Ejercicio: Resolver en + ≤ − − =ℝ 2 2
( , ,·, ) : 3cos sen sen2 0x x x
Respuesta: ( )= + ∨ = − +4
Arctg 3x k x kπ π π
Ejemplo 5: Resolver en [ ) 01xsen2:2,0 ≤+π
6
11
6
7
2
1 xxsen01xsen2 ππ ≤≤⇔−≤⇔≤+
Ejercicio: Resolver en [ ) 3xcos2:2,0 >π
Respuesta: [ ) ( )0,,0 6
11
6
ππ ∪
Ejemplo 6: Resolver en [ ) 01xcos2:2,0 2
≤−π
Si denominamos xcosz = sustituyendo nos queda: 01z2 2
≤−
2
2
2
22
z01z2 ≤≤−⇔≤−
Entonces:
≤≤
∨
≤≤
⇔≤≤−⇔≤−
ππ
ππ
4
7
4
5
4
3
4
2
2
2
22
x
x
xcos01xcos2
2
1−
6
7π
6
11π