I. El documento presenta fórmulas básicas de trigonometría en función del seno, coseno, tangente y cotangente. También cubre funciones de ángulos múltiples, sumas y diferencias, y transformaciones entre productos y sumas. II. Se introducen funciones hiperbólicas básicas como seno hiperbólico, coseno hiperbólico y tangente hiperbólica, y sus relaciones con funciones circulares.

1. I. - TRIGONOMETRÍA
DETERMINACION DE UNA RAZON EN FUNCION
DE OTRA
En función del coseno del ángulo doble:
FÓRMULAS BÁSICAS
En función del seno: (Usadas para integrar)
senα =
c
a
cosec
1 a
= =
sen
α
α
c
cosec
sen
α
α
=
1 cosα = 1− sen2α
sen
cos
α
α
=
1−
2
2 sen
1
cosα α
=
2
2
−
cosα =
b
a
sec
1 a
= =
cos
α
α
b
sec
sen
α
α
=
−
1
1 2
tan
sen
sen
α
α
α
=
1− 2
cos
cos
α
α
=
1+
2
2 cos
1
cosα α
=
2
2
+
tan
sen
cos
α
α
α
= =
c
b
cotan
1 b
= =
tan
α
α
c
ctg
sen
sen
α
α
α
=
1− 2
tan
cos
cos
α
α
α
=
−
+
1
1
2
2
tan
1
cos
α α
=
2 1
cos
α
−
+
sen2α + cos2α = 1 tanα × cotanα = 1
En función del coseno:
RAZONES DEL ÁNGULO SUMA/DIFERENCIA
1 2 1
+ tan α = = sec
2
2
cos
α
α
a
b
c
α
senα = 1− cos2α
sen(α ± β ) = senα cosβ ± cosα senβ
cos(α ± β ) = cosα cosβ m senα senβ
1
1 2
+ cotan α = = cosec
2
2
sen
α
α
sec
cos
α
α
=
1
cosec
cos
α
α
=
−
1
1 2
tan( )
tan tan
tan tan
α β
α β
α β
± =
±
1 m
( )
( )
sen sen
sen sen
tan
tan
α β
α β
α β
α β
+
−
=
+
−
1
2
1
2
LINEAS TRIGONOMÉTRICAS
cotg cotg cotg cotg
cos cos
cos cos
tan
sen
sen
sen
sen
tan
tan
tan
Primer Cuadrante Segundo Cuadrante Tercer Cuadrante Cuarto Cuadrante
tan
cos
cos
α
α
α
=
1− 2
En función de la
tangente:
ctg
cos
cos
α
α
α
=
1− 2
cos
tan
α
α
=
+
1
1 2
ctg( )
ctg ctg
ctg ctg
α β
α β
α β
± =
±
m 1 cos cos
cos cos
cotan
sα β
α β
+ α β α β
= −
−
+ −
2 2
TRANSFORMACION DE SUMAS A PRODUCTOS Y VICEVERSA
(Estas expresiones se utilizan en la resolución de triángulos con el empleo de logaritmos)
SUMAS a PRODUCTOS
Ángulos complementarios:
Su suma vale π/2 radianes (90°)
ctg
tan
α
α
=
1
secα = 1+ tan2α
α β α β
sen+ senα =
β sen cos
+ −
2
2 2
α β α β
sen− senα =
β cos sen
+ −
2
2 2
REDUCCION AL 1er
CUADRANTE
sen (π/2 − α) = cos α
cos (π/2 − α) = sen α
tan (π/2 − α) = ctg α
cosec
tan
tan
α
α
α
=
1+ 2
sen
tan
tan
α
α
α
=
1+ 2
α β α β
cos+ cosα =
β cos cos
+ −
2
2 2
α β α β
cos− cosα =−
β sen sen
+ −
2
2 2
Ángulos suplementarios:
Su suma vale π radianes (180°)
Ángulos que difieren
en π/2 radianes:
En función de la tangente del ángulo mitad
(Usadas para integrar)
tan tan
α β
α β
sen ( )
cos cos
+ α =
β
+
PRODUCTOS a SUMAS
sen (π − α) = sen α
cos (π − α) = − cos α
tan (π − α) = − tan α
sen (π/2 + α) = cos α
cos (π/2 + α) = − sen α
tan (π/2 + α) = − ctg α
( )
α
α
2 tan /
2
2 sen
1 tan /
2 α
=
sen ( )
+
2
tan
α
1 tan
2 2
α
α
=
+
tan tan
α β
α β
sen ( )
cos cos
− α =
β
+
1
2
senα senβ = [cos(α − β ) − cos (α + β )]
Ángulos que se diferencian
π radianes:
Ángulos opuestos:
( )
2
2 cos
α
α
1 tan /
2
1 tan /
2
α
=
−
+
cos ( )
tan
tan
2α
α
α
=
−
+
1
1
2
2
ctg ctg
α β
α β
sen ( )
sen sen
+ α =
β
+
1
2
senα cosβ = [sen (α + β ) + sen (α − β )]
sen (π + α) = − sen α
cos (π + α) = − cos α
tan (π + α) = tan α
sen (− α) = − sen(α)
cos (− α) = cos α
tan (− α) = − tan α
( )
α
α
2 tan /
2
2 tan
1 tan /
2 α
=
tan ( )
−
2
2 α
tan
tan
2
2
1
α
α
=
−
ctg ctg
β α
α β
sen ( )
sen sen
− α =
β
−
1
2
cosα cosβ = [cos (α + β ) + cos (α − β )]

2. FUNCIONES DE LOS MÚLTIPLOS DE UN ÁNGULO
Ángulo doble Ángulo triple
TEOREMAS IMPORTANTES:
Teorema de los senos:
FUNCIONES DEL ÁNGULO SUMA/DIFERENCIA
sen 2α = 2 senα cosα sen 3α = 3senα − 4sen3α
cos2α = cos2α − sen2α cos3α = 4cos3α − 3cosα
tan
2
tan
α
1 tan
2 2
α
α
=
−
tan
3
1 3 2 α
tan
tan
3
α
α
=
−
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
2 π
arc sen x = arccos 1 − x = − arccos x
2
c a
A
B
C
b
R
cosB
a c b
ac
=
2 + 2 − 2
2
a
A
b
B
c
C
R
= = =2
sen sen sen
Teorema de los cosenos:
cos A
b c a
bc
=
2 + 2 − 2
2
cosC
a b c
ab
=
2 + 2 − 2
2
Sh (α +β ) = Shα Chβ + Shβ Chα Sh (α − β ) = Shα Chβ − Shβ Chα
Ch (α +β ) = Chα Chβ + Shβ S hα Ch (α −β ) = Chα Chβ − Shα Shβ
Th ( )
Th Th
Th Th
α β
α β
α β
+ =
+
1 +
Th ( )
Th Th
Th Th
α β
α β
α β
− =
−
1 −
FUNCIONES DEL ÁNGULO DOBLE/MITAD
Sh 2α = 2Shα Chα Ch 2α = Sh2α + Ch2α Th
Sh Ch
Sh Ch
2
2 2 α
2
α α
α α
=
+
2 π
arc cos x = arcsen 1 − x = − arcsen x
2
Teorema de las tangentes
α
Sh (Ch α
)
2
1
2
α
= −1 Ch (Ch α
)
2
1
2
= + 1
Th
α α
2 α
Ch
Ch
1
1
=
−
+
x
x
π
= x
arctan x arcsen arctg
+
= −
1 2 2
arcsen x + arcsen y = arcsen (x 1 − y2 + y 1 − x2 )
a b
a b
A B
A B
A B
A B
+
−
=
+
−
=
+
−
sen sen
sen sen
tan
tan
2
2
TRANSFORMACION DE PRODUCTOS A SUMAS
1
2
Shα Shβ = [Ch (α + β ) − Ch (α − β )]
1
2
Chα Ch β = [Ch (α + β ) + Ch (α − β )]
arcsen x − arcsen y = arcsen (x 1 − y2 − y 1 − x2 )
arccos x + arccos y = arccos [xy − (1 − x2 )(1 − y2 )]
AREA DEL TRIÁNGULO
1
2
1
2
1
2
S = ab sen C = cb sen A = ac sen
B
1
2
Shα Chβ = [Sh (α + β ) + Sh (α − β )]
(Chα ± Shα ) = Ch α ± Sh α n n n
FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
ArgSh x = ln(x + x2 + 1) ArgCh x = ln(x + x2 − 1)
arccos x − arccos y = arccos [xy + (1 − x2 )(1 − y2 )]
arctan x arctan y
x y
xy
+ =
+
1 −
arctan x arctan y
x y
xy
− =
−
1 +
FÓRMULAS DE BRIGGS
Para las tangentes de los ángulos mitad, se dividen las expresiones
análogas miembro a miembro. Para el ángulo entero se utilizan las
fórmulas que dan
(Fórmula de Herón)
S = p ( p − a)( p − b)( p − c)
S pr
abc
R
p
R
= = =
4 2
p
a b c
=
+ +
2
c a
A
B
r R
C
b
ArgTh x ln
x
x
=
+
−
1
2
1
1
ArgSh x ArgCh x ArgTh
x
x
= + =
+
2
2 1
1
ArgCth x ln
x
x
=
+
−
1
2
1
1
− 2
ArgCh x ArgSh x ArgTh
x
x
= − =
2
1
1
x
x
x
x x
ArgTh x =
ArgSh ArgCh ArgCth
−
=
−
=
1 1
1
2 2
las razones de un ángulo en función del coseno del ángulo doble. Estas
fó
AREA DE UN CUADRILÁTERO
mulas ya se han tratado anteriormente.
( )( ) sen
A
2
=
p − b p − c
bc
A
B
C
a
b
c
S
AC BD
=
2
senα
A
B
D
C
α
RELACIONES ENTRE FUNCIONES CIRCULARES E HIPERBÓLICAS
sen x = (e x − e− x ) 1
2i
i i cos x = (e x + e− x ) 1
2
i i
( )( )
sen
B
2
=
p − a p − c
ac
( ) cos
B
2
=
p p − b
ac
II.- FUNCIONES HIPERBÓLICAS
FÓRMULAS BÁSICAS
Sh ix = i sen x sen ix = i Sh x eix = cosx + i sen x
Ch ix = cos x cos ix = Ch x e− ix = cos x − i sen x
( )( ) sen
C
2
=
p − b p − a
ab
( ) cos
C
2
=
p p − c
ab
( ) cos
A
2
=
p p − c
bc
p
a b c
=
+ +
2
Shα
e α − e−
α
=
2
Chα
e α + e−
α
=
2
Shα + Chα = eα
Th
α α
α α = =
Sh
Ch
α
α
α
−
+
−
−
e e
e e
Chα − Shα
= e−C h2α − S h2α = 1
Th ix = i tan x tan ix = i Th x arcsen ix = i Arg Sh x
sen(x + iy) = sen xCh y + icos xSh y arccos ix = − i Arg Ch x
cos(x + iy) = cos xCh y − i sen xSh y arctan ix i ArgTh x i ln
x
x
= =
+
−
1
2
1
1