1. La transformada de Laplace mapea funciones del tiempo a funciones complejas y posee propiedades útiles como la linealidad, la translación y la derivación/integración. 2. Las funciones que tienen transformada de Laplace deben ser continuas por tramos y cumplir ciertas condiciones de crecimiento. 3. Las propiedades básicas de la transformada de Laplace incluyen linealidad, translación, derivación/integración y periódicidad.

1. GUIA 7
La transformada de Laplace
1. Concepto de la transformada de Laplace
De¯nici¶on. Una funci¶on u(t) de¯nida en 0 · t < 1 tiene transformada de
Laplace si existe un real a > 0 tal que la integral
R 1
0 e¡stu(t) dt converge para s > a.
En este caso, la transformada de Laplace de la funci¶on u es la funci¶on ^u de¯nida en
el intervalo a < s < 1 cuyo valor en cada s est¶a dado por
^u(s) =
Z 1
0
e¡stu(t) dt: (1)
A veces conviene denotar la transformada de Laplace ^u de u mediante Lfug.
Recu¶erdese que la integral impropia
R 1
R e¡st u(t) R dt converge si la integral ¯nita 0 B
e¡stu(t) dt existe para todo B > 0 y si l¶³mB!1
B
e¡stu(t) dt existe y es ¯nito.
0 0 Entonces, por de¯nici¶on,
Z 1
0
e¡stu(t) dt = l¶³m
B!1
Z B
0
e¡stu(t) dt
Ejemplos.
(Funci¶on constante). La funci¶on constante u(t) = 1 tiene transformada de Laplace
^u(s) = 1
s de¯nida en 0 < s < 1. En efecto,
^u(s) =
Z 1
0
e¡st dt = l¶³m
B!1
Z B
0
e¡st dt = l¶³m
(¡
B!1
e¡sB
s
+
1
s
) =
1
s
,
para 0 < s < 1. Se observa que la integral
R 1
0 e¡st dt diverge para s · 0.
(Funci¶on exponencial). La funci¶on u(t) = eat tiene transformada de Laplace
^u(s) = 1
s¡a de¯nida en a < s < 1 . En este caso,
^u(s) =
Z 1
0
e¡steat dt =
Z 1
0
e(a¡s)t dt =
1
s ¡ a
para s > a.
(Funci¶on tn, n > 0 entero). La funci¶on u(t) = tn (n > 0 entero) tiene transformada
de Laplace ^u(s) = n!
sn+1 de¯nida en 0 < s < 1.
Primero, para n = 1, integrando por partes obtenemos
Lftg =
Z 1
0
t e¡st dt = l¶³m
(¡
B!1
t
s
e¡st
¯¯
t=B
t=0 ) +
1
s
Z 1
0
e¡st dt =
1
s2
1

2. para 0 < s < 1.
Para n > 1, la integraci¶on por partes da
Lftng =
Z 1
0
tn e¡st dt = l¶³m
(¡
B!1
tn
s
e¡st
¯¯
t=B
t=0 ) .
+
n
s
Z 1
0
tn¡1e¡st dt =
n
s
L
©
tn¡1ª
.
Y aplicando esto repetidamente, obtenemos
Lftng =
n
s
L
©
tn¡1ª
=
n(n ¡ 1)
s2
L
©
tn¡2ª
= ¢ ¢ ¢ =
n(n ¡ 1)(n ¡ 2) : : : 1
sn
Lf1g =
n!
sn+1
para 0 < s < 1.
(Funciones seno y coseno). Se tiene
Lfcos atg =
s
s2 + a2 , Lfsen atg =
a
s2 + a2
para 0 < s < 1, donde a6= 0.
Integrando por partes obtenemos
Lfcos a tg =
Z 1
0
e¡s t cos a t dt =
1
a
e¡s tsen a t
¯ ¯t=1
t=0
+
s
a
Z 1
0
e¡s tsen a t dt =
s
a
Lfsen a tg :
(2)
Y volviendo a integrar por partes,
Lfsen a tg =
Z 1
0
e¡s tsen a t dt = ¡
1
a
e¡st cos at
¯ ¯t=1
t=0
¡
s
a
Z 1
0
e¡s t cos a t dt =
1
a
¡
s
a
Lfcos a tg :
Luego
Lfsen a tg =
1
a
¡
s2
a2
Lfsen a tg
De aqu¶³ se obtiene la expresi¶on para Lfsen a tg y de (2) se obtiene la expresi¶on para
Lfcos a tg.
(Funci¶on de Heaviside). La funci¶on escal¶on de Heaviside o salto unitario es la
funci¶on H de¯nida para todo t, ¡1 < t < 1, por
H(t) =
½
0, t < 0
1, t ¸ 0
2

3. a t
1
Figura 1: Funci¶on de Heaviside de salto unitario
La funci¶on salto unitario en a es la translaci¶on H(t ¡ a) de H (v¶ease ¯gura 1):
H(t ¡ a) =
½
0, t < a
1, t ¸ a
Para a > 0 y 0 < s < 1; se tiene
LfH(t ¡ a)g =
Z 1
a
e¡stdt =
e¡as
s
:
En general
LfH(t ¡ a) u(t ¡ a)g =
Z 1
a
e¡stu(t ¡ a) dt
=
Z 1
0
e¡s(x+a)u(x) dx = e¡asLfug :
Es decir,
LfH(t ¡ a) u(t ¡ a)g = e¡asLfug , para a > 0, 0 < s < 1.
(Una funci¶on sin transformada de Laplace). La funci¶on u(t) = et2 no tiene trans-
formada de Laplace. Pues la integral
Z 1
0
e¡st et2
dt =
Z 1
0
e¡s2
4 e(t¡s
2 )2
dt
diverge para todo s.
>Para cu¶ales funciones u(t) existe la transformada de la Laplace? Los ejemplos
anteriores sugieren el siguiente criterio:
Teorema 1 (Criterio de Existencia). Sup¶ongase que u(t) es una funci¶on de¯nida en
0 · t < 1 que satisface las siguientes condiciones:
3

4. L1 Cada intervalo ¯nito [0;B] se puede dividir en un n¶umero ¯nito de intervalos
[b0; b1] = [0; b1]; [b1; b2] ; : : : [bn¡1; bn] = [bn¡1;B] tales que u(t) es continua en
( bk¡1; bk) y l¶³mt!b+
k¡1
u(t); l¶³mt!b¡
k
u(t) existen y son ¯nitos.
L2 Existen constantes, a real y M > 0 ,tales que
ju(t)j · Meat para 0 · t < 1:
Entonces u(t) tiene transformada de Laplace ^u(s) de¯nida en el intervalo a <
s < 1.
Demostraci¶on. Esto es consecuencia del criterio de comparaci¶on para la convergen-
cia de integrales impropias, pues por la condici¶on (L2) se tiene
Z 1
0
¯¯
¯¯
e¡stu(t)
dt ·
Z 1
0
e¡st Meat dt = M
Z 1
0
e¡( s¡a) tdt =
M
s ¡ a
para a < s < 1.
La condici¶on (L1) garantiza que las integrales ¯nitas
R B
0 e¡stu(t) dt existen para
todo B > 0.
Funciones de orden exponencial. Las funciones u(t) de¯nidas en 0 · t < 1
que satisfacen las condiciones (L1) y (L2) se denominan funciones continuas por tra-
mos de orden exponencial en 0 · t < 1. Para abreviar las denominaremos funciones
de orden exponencial.
El Criterio de Existencia se puede enunciar brevemente diciendo:
Toda funci¶on u(t) de orden exponencial en 0 · t < 1 tiene transformada
de Laplace ^u(s) de¯nida en alg¶un intervalo a < s < 1.
El mismo argumento utilizado para establecer el Criterio de Existencia demuestra
la siguiente propiedad que se observa en los ejemplos 1 al 4 (Anulaci¶on de ^u en 1):
(Anulaci¶on de ^u en 1) Para toda funci¶on u(t)de orden exponencial en
0 · t < 1 , la transformada de Laplace ^u(s) satisface
l¶³m
s!1
^u(s) = 0
Utilizando argumentos un poco m¶as so¯sticados se puede demostrar que la pro-
piedad de anulaci¶on de ^u en 1 es v¶alida para toda funci¶on u que posea transformada
de Laplace. Esta propiedad sirve para determinar que ciertas funciones no son una
transformada de Laplace:
4

5. Si g(s) es una funci¶on de¯nida en un intervalo a < s < 1 tal que
l¶³m
s!1
g(s) no existe o l¶³m
s!1
g(s)6= 0;
entonces g(s) no es transformada de Laplace de funci¶on alguna
Por ejemplo, las funciones detalladas a continuaci¶on no son transformadas de
Laplace de funci¶on alguna:
Polin¶omicas
p(s) =
Xn
k=0
ak sk;
Trigonom¶etricas, exponenciales y logar¶³tmicas
cos !s, sen !s, eas (a > 0), ln s,
Racionales,p(s)
q(s) , con grado(p)¸grado (q).
2. Propiedades b¶asicas de la transformada de La-
place
Conviene imaginar la transformada de Laplace como un operador
u ! Lfug = ^u
que a cada funci¶on u(t) de¯nida en 0 · t < 1 y de orden exponencial la transforma
en una funci¶on ^u(s) de¯nida en alg¶un intervalo a < s < 1. Este operador tiene las
siguientes propiedades b¶asicas que, en particular, lo hacen de utilidad en el c¶alculo
de soluciones de problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales lineales con
coe¯cientes constantes.
Teorema 2 . (Propiedades b¶asicas). Sean u(t), v(t) funciones de orden exponencial
en 0 · t < 1 y a, b constantes reales.
1. ( Linealidad). Lfau + bvg = aLfug + bLfvg.
2. (Translaci¶on). Si ^u(s) =Lfu(t)g(s) est¶a de¯nida en el intervalo b < s < 1,
entonces
Lfeatu(t)g(s) = ^u(s ¡ a)
para a + b < s < 1.
5

6. 3. (Translaci¶on y truncamiento). Si a > 0
LfH(t ¡ a) u(t ¡ a)g(s) = e¡asLfug (s):
4. (Transformada de la derivada). Lfu0(t)g = sLfug ¡ u(0). En general, para
n 2 N
Lfu(n)(t)g = snLfug ¡ sn¡1u(0) ¡ sn¡2u0(0) ¡ : : : ¡ s u(n¡2)(0) ¡ u(n¡1)(0):
dsLfug. En general, para n 2 N
5. (Derivada de la transformada). Lftu(t)g = ¡ d
Lftnu(t)g = ¡
d
ds
Lftn¡1u(t)g
= (¡1)2 d2
ds2
Lftn¡2u(t)g
=
...
= (¡1)n dn
dsn
Lfug .
6. (Transformada de la integral). Lf
R t
0 u(r) drg = 1
s Lfug.
7. (Periodicidad). Si u(t) es peri¶odica con per¶³odo p > 0 , es decir, u(t+p) = u(t)
para todo t ¸ 0 , y si u(t) es continua en [0; p] , entonces
Lfug =
R p
0 e¡stu(t) dt
1 ¡ e¡ps .
Demostraci¶on. Todas estas propiedades son consecuencia directa de la de¯nici¶on.
A modo de ejemplos, veri¯caremos desde 4 al 7.
4. Por sencillez, supondremos que u0(t) es continua en 0 · t < 1. Integrando por
partes
Lfu0(t)g =
Z 1
0
e¡stu0(t) dt = e¡stu(t)
¯ ¯t=1
t=0 + s
Z 1
0
e¡stu(t) dt
Lfu0(t)g = ¡u(0) + sLfug .
Aqu¶³ se usa el hecho de que ju(t)j · Meat, esto implica que e¡stu(t) jt=1 =
l¶³mt!1 e¡stu(t) = 0, para s > a.
La identidad para Lfu(n)(t)g se obtiene aplicando repetidamente la identidad
para Lfu0(t)g.
6

7. 5. Suponiendo que es v¶alido el intercambiar el orden de la derivaci¶on y la integraci¶on
en d
Lfug, se obtiene
dsd
d
Lfug =
ds
ds
Z 1
0
e¡stu(t) dt =
Z 1
0
d
ds
e¡stu(t) dt = ¡
Z 1
0
te¡stu(t) dt
d
ds
Lfug = ¡Lftu(t)g
La identidad para n > 1 se obtiene aplicando repetidamente el caso n = 1.
6. Se deduce de (iv) tomando
R t
0 u(r) dr en vez de u.
7. Se tiene
Lfug =
Z 1
0
e¡stu(t) dt =
X1
k=0
Z (k+1) p
kp
e¡stu(t) dt
Lfug =
X1
k=0
e¡kps
Z p
0
e¡stu(t) dt =
R p
0 e¡stu(t) dt
1 ¡ e¡ps ,
para s > a > 0. Aqu¶³ utilizamos primero el hecho de que mediante el cambio de
variable r = t ¡ kp,
Z (k+1) p
kp
e¡stu(t) dt =
Z p
0
e¡s( r+kp)u( r + kp) dr = e¡kps
Z p
0
e¡stu(r) dr,
y, segundo, que
X1
k=0
xk =
1
1 ¡ x
para j xj < 1 con x = e¡sp.
C¶alculo de transformadas de Laplace. Con ayuda de la de¯nici¶on, de un
peque~no repertorio o tabla de transformadas de Laplace, y de las propiedades b¶asicas
se puede calcular f¶acilmente la transformada de Laplace de las funciones elementales
de uso corriente en la soluci¶on de problemas de valor inicial para ecuaciones lineales
con coe¯cientes constantes.
Ejemplos.
(Polinomios).
L
©
t3 ¡ 10t + 1
ª
= L
©
t3ª
¡ 10Lftg + Lf1g
=
3!
s4
¡
10
s2 +
1
s
=
6
s4
¡
10
s2 +
1
s
para s > 0, utilizando la linealidad de L y Lftng = n!
sn+1 .
7

8. 1 2 3 4 5
Figura 2: Funci¶on encendido-apagado
(Seno y coseno hiperb¶olicos). Si cosh at = eat+e¡at
2 y senh at = eat¡e¡at
2 , entonces
por la linealidad y el ejemplo (1) de la secci¶on 1,
Lfcosh atg =
1
2
¡
L
©
eatª
+ L
©
e¡atª¢
=
1
2
µ
1
s ¡ a
+
1
s + a
¶
=
s
s2 ¡ a2 , para s > jaj
An¶alogamente, Lfsenh atg = a
s2¡a2 para s > jaj.
(Onda cuadrada entre a y b , 0 < a < b). La funci¶on u(t) de¯nida (conviene trazar
su gr¶a¯ca)
u(t) =
½
0 si t < a ¶o t ¸ b
1 si a · t < b
se puede expresar en t¶erminos de la funci¶on de Heaviside como u(t) = H(t ¡ a) ¡
H(t ¡ b). Entonces por la linealidad de L y el ejemplo (4) de la secci¶on 1,
^u(s) =
e¡as ¡ e¡bs
s
(Otras funciones de inter¶es)
Lftsen atg = ¡ d
dsLfsen atg = ¡ d
ds ( a
s2+a2 ) = 2as
( s2+a2)2
Lftneatg = (¡1)n dn
dsnLfeatg = (¡1)n dn
dsn
¡
1
s¡a
¢
= n!
(s¡a)n+1 s > a
(Funci¶on encendido-apagado). La funci¶on (ve¶ase ¯gura 2.)
u(t) =
1
2
(1 + (¡1)[jatj] ) =
½
1, 2ka · t < (2k + 1) a
0, (2k + 1) a · t < 2(k + 1) a
k entero.
es peri¶odica con per¶³odo p = 2a. Aqu¶³ [j x j] denota el mayor entero n menor o
igual que x.
8

9. Por la propiedad de periodicidad (vii),
Lfug =
1
1 ¡ e¡2as
Z 2a
0
e¡stu(t) dt =
1
1 ¡ e¡2as
Z a
0
e¡st dt
Lfug =
1 ¡ e¡as
s(1 ¡ e¡2as)
=
1
s (1 + e¡as)
Producto de transformadas de Laplace. El ejemplo de u(t) = v(t) = t mues-
tra que, en general, Lfu vg6= Lfug Lfvg. Sin embargo, se puede expresar LfugLfvg
como transformada de Laplace de una funci¶on obtenida a partir de u y v como sigue.
Primero,
LfugLfvg =
µZ 1
0
e¡sxu(x) dx
¶µZ 1
0
e¡syv(y) dy
¶
=
Z 1
0
f
Z 1
0
e¡s(x+y)u(x)v(y) dxgdy
Ahora, para cada y ¯jo (0 · y · 1), hacemos el cambio de variable t = x + y en la
integral interna, de modo que x = t¡y , dt = dx, t = y cuando x = 0, t = 1 cuando
x = 1, y Z 1
y
e¡stu(t ¡ y) v(y) dt:
Luego
LfugLfvg =
Z 1
0
Z 1
f
y
e¡stu(t ¡ y) v(y) dtgdy:
Supongamos ahora que es posible considerar esta integral iterada como una integral
doble sobre la regi¶on
R = f(t; y)j 0 · y < 1; y · t < 1g = f(t; y)j 0 · t < 1; 0 · y · tg;
y que es posible invertir el orden de integraci¶on. Entonces
LfugLfvg =
ZZ
R
e¡stu(t ¡ y) v(y) dt dy
=
Z 1
0
Z t
f
0
e¡stu(t ¡ y) v(y) dygdt =
Z 1
0
Z t
e¡stf
0
u(t ¡ y) v(y) dygdt
=Lf
Z t
0
u(t ¡ y) v(y) dyg:
De¯nici¶on.(Convoluci¶on). La convoluci¶on de dos funciones u(t), v(t) continuas
por tramos de orden exponencial en 0 · t < 1 es la funci¶on u ¤ v de¯nida en
0 · t < 1 por
(u ¤ v)(t) =
Z t
0
u(t ¡ y) v(y) dy:
Suponiendo v¶alido el cambio de orden en la integraci¶on indicado antes podemos es-
tablecer el siguiente teorema.
9

10. Teorema 3 ( Propiedad de convoluci¶on)
Lfu ¤ vg = LfugLfvg
Ejemplo.
Sea u(t) = t y v(t) = sen at. Entonces
u ¤ v(t) =
Z t
0
(t ¡ y) sen ay dy =
t
a
¡
1
a2 sen at,
Lfu ¤ vg = Lf
t
a
¡
1
a2 sen atg = LftgLfsen atg =
a
t2(t2 + a2)
.
3. Transformada inversa de Laplace
Una propiedad fundamental de la transformada de Laplace es:
Teorema 4 . (Propiedad de inversi¶on). Sean u1(t) y u2(t) funciones continuas por
tramos de orden exponencial en 0 · t < 1 . Si Lfu1g(s) = Lfu2g(s) en un intervalo
a < s < 1 , entonces en cada intervalo ¯nito [0;B]se tiene
u1(t) = u2(t);
salvo a lo m¶as en un n¶umero ¯nito de puntos.
La demostraci¶on de este resultado requiere t¶ecnicas de an¶alisis que no est¶an al alcance
de este curso. (Ver: R.V. Churchill. Operational Mathematics ., McGraw-Hill, New
York, 1972.)
La propiedad de inversi¶on implica que dada una funci¶on v(s) de¯nida en un in-
tervalo a < s < 1, si existe una funci¶on u(t) de¯nida en 0 · t < 1 tal que
Lfug = v;
entonces la funci¶on u es esencialmente ¶unica. Esto signi¯ca que si u1 es otra funci¶on
tal que Lfu1g = v, entonces en cada intervalo [0;B] las funciones u y u1 coinciden,
con la posible excepci¶on de un n¶umero ¯nito de puntos.
Por ejemplo, es f¶acil veri¯car que, para a > 0, las funciones
H(t ¡ a) =
½
0, t < a
1, t ¸ a
, H1(t) =
½
0, t · a
1, t > a
,
H2(t) =
½
0, t < a ¶o t 2 Z
1, en otra parte
10

11. son tres funciones diferentes esencialmente iguales en 0 · t < 1 tales que
LfH(t ¡ a)g = LfH1g = LfH2g =
1
s
.
En lo que sigue no distinguiremos entre funciones que sean esencialmente iguales.
De¯nici¶on. Una funci¶on v(s) de¯nida en un intervalo a < s < 1 tiene trans-
formada inversa de Laplace si existe una funci¶on u(t) de¯nida en 0 · t < 1 tal
que
Lfug = v;
En este caso se dice que u es la transformada inversa de Laplace de v y se denota por
L¡1fvg.
Recordamos que por la propiedad de anulaci¶on de las transformadas de Laplace
en 1, una condici¶on necesaria para que una funci¶on v(s) posea transformada inversa
de Laplace es que
l¶³m
s!1
v(s) = 0:
Tambi¶en, las propiedades b¶asicas de la transformada de Laplace implican propie-
dades de la transformada inversa de Laplace. Por ejemplo, si v y w tienen transfor-
mada inversa , se tiene:
(Linealidad)
L¡1fav + bwg = aL¡1fug + bL¡1fwg.
(Translaci¶on)
L¡1fv(s ¡ a)g = easL¡1fvg.
(Derivada)
L¡1f
dn
dsn v(s)g = (¡1)ntnL¡1fvg.
(Integraci¶on 1)
L¡1f
v(s)
s
g =
Z t
0
L¡1fvg(r) dr .
(Convoluci¶on)
L¡1fv(s)w(s)g = L¡1fvg ¤ L¡1fwg.
(Integraci¶on 2)
L¡1f
Z 1
s
v(r) drg =
1
t
L¡1fvg.
La ¶ultima relaci¶on es consecuencia de:
(Integral de una transformada).
Z 1
s
Lfug(°) d° = Lf
u(t)
t
g:
La cual es v¶alida para u(t) tal que l¶³mt!0+
u(t)
t exista y sea ¯nito.
11

12. 4. M¶etodo de Heaviside
Este m¶etodo se aplica al c¶alculo de soluciones de problemas lineales de valor inicial.
Sup¶ongase que se desea hallar la soluci¶on x(t) en 0 · t < 1 de un problema de valor
inicial para una ecuaci¶on lineal con coe¯cientes constantes
x00 + ax0 + bx = f(t), x(0) = x0, x0(0) = x0
0 (3)
El f¶³sico-matem¶atico e ingeniero ingl¶es Oliver Heaviside propuso la siguiente idea.
Primero, se aplica transformada de Laplace a la ecuaci¶on
Lfx00 + ax0 + bxg = Lff(t)g.
Entonces, por las propiedades (i) y (iv) de transformada de Laplace, la ecuaci¶on se
reduce a
s2Lfxg ¡ sx(0) ¡ x0(0)) + a(sLfxg ¡ x(0)) + bLfxg = Lffg
(s2 + as + b)Lfxg = Lffg + x(0)s + ax(0) + x0(0).
As¶³, la transformada de Laplace de la soluci¶on x(t) de (3) es
Lfxg =
Lffg
(s2 + as + b)
+
x(0)s + ax(0) + x0(0)
(s2 + as + b)
.
La soluci¶on x(t) de (3) en 0 · t < 1 se obtiene mediante la transformada inversa
x(t) = L¡1
½
Lffg
(s2 + as + b)
+
x(0)s + ax(0) + x0(0)
(s2 + as + b)
¾
.
Ejemplos. Buscaremos la soluci¶on de
dx
dt
+ 2x = 1, x(0) = 10.
Aplicando transformada a la ecuaci¶on, se obtiene
sLfxg ¡ x(0) + 2Lfxg =
1
s
.
De donde (usando fracciones parciales)
Lfxg =
1
s(s + 2)
+
10
s + 2
=
1
2
µ
1
s
¡
1
s + 2
¶
+
10
s + 2
,
Lfxg =
1
2
(
1
s
+
19
s + 2
) para 0 · t < 1.
12

13. Finalmente, la soluci¶on x(t) en 0 · t < 1 es
x(t) = L¡1f
1
2
(
1
s
+
19
s + 2
)g =
1
2
L¡1f
1
s
g +
19
2
L¡1f
1
s + 2
g
x(t) =
1
2
+
19
2
e¡2t.
Ejemplo. Nos proponemos determinar el movimiento desde el equilibrio de un
oscilador lineal no amortiguado con masa m y constante de rigidez k sometido a una
fuerza externa variable F(t) que se anula antes del instante t0 > 0 y que es constante
e igual a F0 despu¶es del instante t0 :
F(t) = F0H(t ¡ t0) =
½
0, t < 0
F0, t ¸ t0
.
El problema de valor inicial correspondiente es
d2x
dt2 + !2x =
F0
m
H(t ¡ t0), x(0) = 0, x0(0) = 0,
con ! =
q
k
m. Tomando transformada de Laplace, la ecuaci¶on se reduce a
s2Lfxg ¡ sx(0) ¡ x0(0) + !2Lfxg =
F0
m
LfH(t ¡ t0)g.
Utilizando las condiciones iniciales, x(0) = x0(0) = 0 , se obtiene
Lfxg(s) =
F0
m
1
s2 + !2
LfH(t ¡ t0)g,
y por tanto
x(t) =
F0
m
L¡1f
1
s2 + !2
LfH(t ¡ t0)gg.
Por la propiedad de convoluci¶on de L y observando que
1
s2 + !2 = Lf
1
!
sen !tg;
se tiene que
1
s2 + !2
LfH(t ¡ t0)g =
1
!
Lfsen !tgLfH(t ¡ t0)gg =
1
!
Lf sen !t ¤ H(t ¡ t0)g =
1
!
Lf
Z t
0
sen !(t ¡ z)H(z ¡ t0)dzg
Luego,
x(t) =
F0
m!
Z t
0
sen !(t ¡ z)H(z ¡ t0)dz, para 0 · t < 1.
13

14. FO H( t−tO )
FO
xO
tO
t
x(t)
F
O
mw2
t
Figura 3: Oscilaciones bajo una fuerza repentina
Para evaluar la integral en esta expresi¶on para x(t), observamos que cuando 0 · t <
t0,0 · z · t < t0 implica H(z¡t0) = 0, y cuando t ¸ t0 0 · z · t implica 0 · z < t0
con H(z ¡ t0) = 0 ¶o t0 · z · t con H(z ¡ t0) = 1. As¶³ que
Z t
0
sen !(t ¡ z)H(z ¡ t0) dz =
½
R 0, t < t0 t
t0
sen !(t ¡ z) dz, t ¸ t0;
Z t
0
sen !(t ¡ z)H(z ¡ t0) dz =
½
0, t < t0
1
! (1 ¡ cos !(t ¡ t0) ), t ¸ t0;
Se concluye que la soluci¶on x(t) en 0 · t < 1 est¶a dada por
x(t) =
½
0, t < t0
F0
m !2 (1 ¡ cos !(t ¡ t0) ), t ¸ t0:
Esta soluci¶on representa un movimiento del oscilador en el cual en ausencia de fuerzas
externas la masa permanece en reposo en la posici¶on de equilibrio x = 0 hasta el
instante t0 cuando empieza a obrar la fuerza constante F0. A partir del instante t0,
la masa inicia una oscilaci¶on arm¶onica con frecuencia igual a la frecuencia natural !
del oscilador libre en la cual la masa cada 2¼
! unidades de tiempo se desplaza 2F0
m !2
unidades de distancia en la direcci¶on de la fuerza F0 y vuelve luego a la posici¶on de
equilibrio x = 0 ( v¶ease ¯gura 3).
14

15. 5. Resumen
5.1. Transformada de Laplace
1. De¯nici¶on: Lff(t)g(s) =
R 1
0 e¡s tf(t) dt:
2. Linealidad: Lf® f(t) + ¯ g(t)g(s) = ® Lffg(s) + ¯ Lfgg(s):
3. Translaci¶on: si ^u(s) = Lfu(t)g(s) entonces ^u(s ¡ a) = Lfeatu(t)g(s):
4. Translaci¶on y truncamiento: LfH(t ¡ a)u(t ¡ a)g(s) = e¡asLfug(s):
5. Derivada n-esima:
Lff0(t)g(s) = s Lffg(s) ¡ f(0+):
Lff00(t)g(s) = s2Lffg(s) ¡ s f(0+) ¡ f0(0+):
Lff(n)(t)g(s) = snLffg(s) ¡ sn¡1 f(0+) ¡ sn¡2f0(0+) ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ f(n¡1)(0+):
6. Transformada de la integral:
L
nR t
a f(r) dr
o
(s) = 1
sLffg(s) ¡ 1
s
R a
0 f(t) dt:
L
8>><
>>:
Z t
0
¢ ¢ ¢
Z t
| {z 0}
n-veces
f(t)dt : : : dt
9>>=
>>;
(s) = 1
snLffg(s):
R 1
s Lfug(°) d° = Lfu(t)
t g (s) :
7. Producto y convoluci¶on
R t
0 u(t ¡ y)v(y) dyg:
LfugLfvg = Lf
Lfu ¤ vg = LfugLfvg , donde (u ¤ v)(t) =
R t
0 u(t ¡ y)v(y) dy:
8. Transformada de una funci¶on peri¶odica f(s) con per¶³odo p > 0
Lff(t)g(s) =
R p
0 e¡s tf(t) dt
1 ¡ e¡p s :
9. Propiedades varias
Lfeatf(t)g(s) = L(f)(s ¡ a):
Lftnf(t)g(s) = (¡1)n dn
dsnLffg(s):
LfH(t ¡ a)g(t)g(s) = e¡asLfg(t + a)g(s):
Lff(t)
t g(s) =
R 1
s Lffgds , si l¶³mt!0+
f(t)
t existe.
15

16. 5.2. Transformada inversa de Laplace
1. Linealidad de la transformad inversa:
L¡1f® f(t) + ¯ g(t)g = ® L¡1ffg + ¯ L¡1fgg:
2. Translaci¶on:
L¡1fv(s ¡ a)g = easL¡1fvg:
3. Derivada de la transformada inversa:
L¡1f
dn
dsn v(s)g = (¡1)ntnL¡1fvg:
4. Integral
L¡1fv(s)
s g =
R t
0 L¡1fvg(r) dr:
L¡1
©R 1
s v(r) dr
ª
tL¡1fvg:
= 1
5. Convoluci¶on:
L¡1fv(s)w(s)g = L¡1fvg ¤ L¡1fwg:
A continuaci¶on presentamos una breve tabla de las transformadas de Laplace de
algunas funciones
Lf1g = 1
s , Lf±(t)g = 1
s¡a , Lf±(t ¡ a)g = e¡as
Lfeatg = 1
sn+1 , Lftn¡1eat
(n¡1)! g = 1
(s¡a)n (n ¸ 1)
Lftng = n!
Lfsen atg = a
s2+a2 , Lf 1
2a3 (sen at ¡ at cos at)g = 1
(s2+a2)2
s2+a2 , Lf 1
2a3 (sen a t + a t cos a t)g = s2
a2(s2+a2)2
Lfcos atg = s
Lfsenh atg = a
s2¡a2 , Lf
R t
0
t
2nL¡1[ 1
(s2+a2)n ] dtg = 1
(s2+a2)n+1
s2¡a2 , Lf t
2nL¡1[ 1
(s2+a2)n ]g = s
(s2+a2)n+1
Lfcosh atg = s
Nota:La funci¶on ±(t ¡ t0) es la funci¶on Delta de Dirac de¯nida como sigue
±(t ¡ t0) =
½
1 si t = t0
0 si t6= t0
y adem¶as Z 1
¡1
±(t ¡ t0) dt = 1:
16

17. Ejercicios
1. Hallar la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones
a. e2tsen 3t; b. 3e¡t cos 2t; c. t3sen 3t; d. t2et cos t;
e. e¡3t cos (2t + 4) ; f.
R t
a r cos r dr; g. sen2t; h. j cos t j;
:
2. Calcule la transformada inversa de las siguientes funciones
a. 1
s (s+1) ; b. 3
(s¡1)2 ; c. 5
s2(s¡5)2 ; d. 1
(s¡a)(s¡b) ; a; b constantes,
e. 1
(s2+1)2 ; g. 1+e¡s
s2+4s+29; f. 2s
s ; h. e¡s
s4+1:
3. Hallar la transformada de Laplace de
f(t) :=
½
0; t · 1
2
1 + t t > 1
2
; g(t) :=
½
t; t · 2
2 t > 2
:
4. Hallar la transformada de Laplace de la funci¶on escalera
f(t) = n + 1; si n < t · n + 1; n = 0; 1; 2; :::; :
5. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones usando transformadas de Laplace
a. dy
dt + 3y = t sen at y(0) = 1; a constante,
b.d2y
dt2 ¡ 2dy
dt + y = t etsen t y(0) = 0; y0(0) = 0;
c: d2y
dt2 + 2r dy
dt + !2y = A±(t ¡ t0) y(0) = 0; y0(0) = 0; t0 constante,
d.d4y
dt4 + y =
½
0; t · 1
t ¡ 1 t > 1
y(0) = y0(0) = y00(0) = y000(0) = 0;
e. dy
dt + 2y +
R t
0 y(s) ds = cos t y(0) = 1:
Respuestas
1.
9+(s¡2)2 , b. 3(s+1)
a. 3
4+(1+s)2 , c. 72s3¡648s
(s2+9)4 , d. 2s3¡6s2+4
(1+(s¡1)2)3 ,
4+(s+3)2 , f. 2 s+(1+s2)s
e. (s+3) cos 4¡2sen 4
(1+s2)2 ¡ cos a+a sen a
s , g. 2
s(s2+4) , h. ¡ (e¡¼ s+1)s
(e¼ s¡1)(1+s2) :
2.
a. 1 ¡ e¡t , b. 3ett ,
c. 2¡2e5t+5t+5e5tt
25 , d. eat¡ebt
a¡b ,
5e¡2tsen 5t , f. t sen t ,
e. 1
g. 1 + H(t ¡ 1) , h. ¡1
2e
tp¡1
2 cos
³
¼
4 + tp¡1
2
´
¡ 1
2e¡tp¡1
2 cos
³
3¼
4 + tp¡1
2
´
H(t ¡ 1):
3. Lffg(s) = e¡s
2
¡2+3s
2s2
¢
;Lfgg(s) = e2s¡1
e2ss2
17

18. 4. Lffg(s) =
P1
k=0
e¡sk
s :
(9+a2)2 ((81 ¡ 6 a + 18 a2 + a4)e¡3 t ¡ a((9 + a2)t ¡ 6) cos a t + (a2 ¡ 9 + 27 t +
5. a. 1
3 a2t)sen a t);
b. y (t) = 2et ¡ 2et cos t ¡ ett sen t;
c. y (t) = AH(t¡t0)
p
r2¡w2 (e¡(t¡t0)(r¡
2
p
r2¡w2) ¡ e(t¡t0)(r+
p
r2¡w2)),
d. (t ¡ 1 ¡ 1
2e
tp¡1
4 ¡ tp¡1
2 sen(¼
2
) + 1
2e
tp¡1
4 + tp¡1
2 sen( 3¼
2
))H(t ¡ 1);
e. y (t) = 1
2et ¡ t
2et + cos t
2 :
18